FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello"

Transcript

1 FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello Una funzione di due variabili Ë una funzione in cui per ottenere un valore numerico bisogna speciöcare il valore di 2 variabili x e y, non pi di una sola z = f(x; y). Esempio f(x; y) =x 2! 2xy z y x

2 Una tripla di numeri (x; y; f(x; y)) si puú associare a un punto nello spazio a 3 dimensioni:

3 Scegliamo un insieme di punti appartenenti al dominio della funzione nel piano xy, e da ognuno innalziamo la freccia che sale al punto (x; y; f(x; y)), avremo

4 Tutti i punti di coordinate (x; y; f(x; y)) si distribuiscono formando una superöcie nello spazio

5 Non tutte le caratteristiche del graöco di funzioni di una variabile potranno essere trasferite ai graöci di funzioni di due variabili; per esempio non avr alcun senso parlare di crescenza o decrescenza, mentre illustreremo i concetti di di massimo e minimo (relativo o assoluto) (monti e valli).

6 Gli insiemi di livello sono ottenuti intersecando il graöco della funzione con piani orizzontali. Vengono anche chiamate curve di livello, individuate dalla quota del piano intersecante. Le curve di livello si possono proiettare sul piano orizzontale, eventualmente sovrapponendole a un graöco di densit : colori via via pi chiari per indicare le cime e via via pi scuri per indicare le valli..

7 ESEMPI. 1. La funzione lineare f(x; y) =3x! y +2 ha come linee di livello le rette di equazione 3x! y +2 = k; ovvero y = 3x +2! k tutte parallele al variare di k. y z y x x

8 2. La funzione (paraboloide iperbolico) f(x; y) =xy ha come linee di livello iperboli equilatere di equazione xy = k: y z y x x

9 3. La funzione f(x; y) =x 2 + y 2 il cui graöco Ë una semisuperöcie conica ha come linee di livello le circonferenze di equazione x 2 + y 2 = k y z x y x

10 Domini Anche per le funzioni a due varibili Ë necessario individuare líinsieme di esistenza della funzione f(x; y): Questa volta líinsieme di esistenza di una funzione a due variabili sar un sottoinsieme di R 2 : Esempi. 1. f(x; y) = q 4! x 2! y 2 2. f(x; y) = ln(x! y) 3. f(x; y) = 1 sin(x! y)

11 Piani tangenti Molto utili per studiare le propriet delle funzioni di due variabili sono le linee intersezione della superöce-graöco della funzione con piani verticali paralleli ai piani coordinati, cioë del tipo x = k e y = k: Queste linee si ottengono risolvendo uno dei seguenti due sistemi: ( ( z = f(x; y) z = f(x; y) =) z = f(x; k) =) z = f(k; y) y = k x = k Nel primo caso si ottiene una funzione della variabile indipendente x, il cui graöco si potr rappresentare in un piano Oxz, nel secondo caso si ottiene una funzione della variabile indipendente y, il cui graöco si potr rappresentare in un piano Oyz.

12 Esempio. Si consideri la funzione f(x; y) =x 3! 4xy 2 Líintersezione con il piano x = 1=2 conduce alla funzione (della sola variabile y) z = 1 8! 2y2 il cui graöco Ë una parabola nel piano Oyz: Líintersezione con il piano y =1=2 conduce alla funzione (della sola variabile x) z = x 3! x, il cui graöco sar nel piano Oxz:

13

14 Le due funzioni ottenute per intersezione sono funzioni di una sola variabile e possono essere derivate: queste derivate saranno utili non solo per le curve intersezione, ma anche per la funzione di due variabili nel suo complesso. Derivate parziali DeÖnizione 1 Data una funzione z = f(x; y) e un punto (x 0 ;y 0 ) interno al suo dominio, possiamo considerare la funzione, della variabile x, z = f(x; y 0 )= g(x), ottenuta Össando y al valore y 0 e lasciando variare x, ovvero la funzione che si ottiene intersecando la superöcie z = f(x; y) con il piano verticale y = y 0 : Possiamo ora considerare lim x!x 0 f(x; y 0 )! f(x 0 ;y 0 ) x! x 0

15 ovvero il limite del rapporto incrementale della funzione z = g(x). Se questo esiste ed Ë Önito, esso si chiama derivata parziale prima rispetto a x della funzione x, nel punto (x 0 ;y 0 ) e si indica f 0 x (x 0 ;y 0 ) : In maniera analoga possiamo considerare la funzione, della variabile y, z = f(x 0 ;y)=h(y); ottenuta Össando x al valore x 0 e lasciando variare y, ovvero la funzione che si ottiene intersecando la superöcie z = f(x; y) con il piano verticale x = x 0 : Possiamo ora considerare f(x lim 0 ;y)! f(x 0 ;y 0 ) y!y 0 y! y 0 ovvero il limite del rapporto incrementale della funzione z = h(y). Se questo esiste ed Ë Önito, esso si chiama derivata parziale prima rispetto a y della funzione f, nel punto (x 0 ;y 0 ) e si indica con f 0 y (x 0 ;y 0 ) :

16 In pratica il calcolo delle due derivate parziali in un punto generico (x; y) interno al dominio si fa pensando la funzione f(x; y) come funzione di una sola delle due variabili e trattando líaltra come un parametro costante. DeÖnizione 2 Siano f : A % R 2! R e (x; y) 2 A: Il vettore rf(x; y) = h fx(x; 0 y) fy(x; 0 y) i si dice gradiente di f in (x; y) :

17 Avendo ottenuto da una funzione due derivate parziali prime, da ciascuna otterrú altre due derivate parziali, per un totale di quattro derivate parziali seconde della funzione originaria: ñ f 00 xx sar la derivata prima rispetto a x della f 0 x; ñ f 00 yy sar la derivata prima rispetto a y della f 0 y; ñ f 00 xy sar la derivata prima rispetto a y della f 0 x ; ñ f 00 yx sar la derivata prima rispetto a x della f 0 y. Le prime due si chiamano derivate parziali seconde pure, le ultime due si chiamano derivate parziali seconde miste.

18 Osservazione. Le derivate fxy 00 =4+6y = fyx:vale 00 infatti il seguente notevole teorema. Teorema 3 (Teorema di Schwartz). Se le derivate seconde miste sono continue, allora esse sono uguali. La derivata prima per funzioni di una variabile permette il calcolo della pendenza della retta tangente al graöco della funzione e quindi la determinazione dellíequazione di questa tangente. Per le funzioni di due variabili, le derivate parziali,servono a determinare le equazioni delle rette tangenti alle curve intersezione tra la superöcie e il piano verticale parallelo al piano Oxz oppure Oyz. Esse perú servono anche a determinare líequazione del piano tangente alla superöcie graöco della funzione di due variabili.

19 Data una funzione di due variabili z = f(x; y) e un punto (x 0 ;y 0 ) del suo dominio, dove la funzione ammette derivate parziali prime continue, líequazione del piano tangente alla superöcie graöco della funzione nel punto (x 0 ;y 0 ;z 0 ), con z 0 = f(x 0 ;y 0 ) sar : z = f(x 0 ;y 0 )+f 0 x (x 0;y 0 )(x 0! x)+f 0 y (x 0;y 0 )(y 0! y) Esempio. La funzione f(x; y) =x 2 +4xy +3xy 2 : Le derivate prime sono f 0 x(x; y) =2x +4y +3y 2 e f 0 y(x; y) =4x +6x: Prendiamo il punto (1;!1) : Avremo f(1;!1) = 0; f 0 x(1;!1) = 1; f 0 y(1;!1) =!2: Líequazione del piano tangente sar : z =0+(x! 1)! 2(y +1)! z = x! 2y! 3

20 z y x

21 Ottimizzazione libera Siamo interessati al problema della ricerca dei massimi e minimi nei punti interni al dominio della funzione o nei punti del bordo del dominio. Per questo problema basta lo studio delle derivate prime e seconde della funzione. Se si tiene conto dellíequazione di un piano tangente orizzontale, di equazione z = k; in corrispondenza di un punto di massimo o minimo interno al dominio entrambe le derivate parziali saranno nulle, esattamente caso di una variabile dove si aveva líannullamento della derivata prima. Purtroppo (ancora come nel caso di funzioni di una variabile) líannullarsi delle derivate non garantisce líesistenza di un massimo o un minimo. Teorema 4 (Condizione necessaria per i massimi e minimi in due variabili). Se una funzione f(x; y) dotata di derivate parziali ha, in corrispondenza a un punto

22 (x 0 ;y 0 ) interno al dominio, un massimo o un minimo, allora necessariamente il gradiente rf(x 0 ;y 0 )=0. Un punto (interno al dominio) in cui le derivate parziali siano contemporaneamente nulle (senza che necessariamente sia un punto di minimo o di massimo) si chiama un punto stazionario per f(x; y): Per stabilire se un punto stazionario Ë di massimo o di minimo cíë un teorema che stabilisce una condizione su ciente perchè un punto stazionario sia di massimo o di minimo. Teorema 5 Sia data una funzione f(x; y) dotata almeno di derivate seconde. Se (x 0 ;y 0 ) Ë un punto stazionario per f (interno al dominio), si calcolano, in (x 0 ;y 0 ), le quattro derivate seconde e si costruisce una matrice, detta matrice hessiana, H = " f 00 xx(x 0 ;y 0 ) fxy(x 00 0 ;y 0 ) fyx 00 0;y 0 ) fyy 00 0;y 0 ) #

23 Successivamente si calcola il determinante della matrice hessiana dato da f 00 xx(x 0 ;y 0 )f 00 yy(x 0 ;y 0 )!f 00 xy(x 0 ;y 0 )f 00 yx(x 0 ;y 0 )=f 00 xx(x 0 ;y 0 )f 00 yy(x 0 ;y 0 )! h f 00 xy(x 0 ;y Se: - det [H] > 0; allora si guarda il primo termine della matrice hessiana f 00 xx (x 0;y 0 ): ( se f 00 xx(x 0 ;y 0 ) > 0 allora (x 0 ;y 0 ) Ë un punto di minimo (relativo), ( se f 00 xx(x 0 ;y 0 ) < 0 allora (x 0 ;y 0 ) Ë un punto di massimo (relativo), - det [H] < 0; allora il punto (x 0 ;y 0 ) Ë un punto di sella - det [H] = 0; allora nulla si puú concludere.

24 Osservazione. Si deönisce punto di sella un punto in cui il piano tangente Ë orizzontale e in cui vale la seguente propriet : se passiamo per il punto in certe direzioni il punto si presenta come un massimo, mentre in certe direzioni si presenta come un minimo. Esempio. f(x; y) =x 2! y 2 z x y

25 Esempio. Data la funzione f(x; y) = 2 ln(x 2 + y 2 +2)! xy determinare il dominio, i punti stazionari e classiöcarli. - Dominio. x 2 + y 2 +2> 0! R 2 : - Gradiente. 8>< >: f 0 x = f 0 y = 4x x 2 + y 2 +2! y =0 4y! x 2 + y 2 +2! x =0 8 >< >: 1 x 2 + y 2 +2 = y 4x 1 x 2 + y 2 +2 = x 4y

26 Risolvendo il sistema si ottiengono tre punti stazionari (0; 0) ; (1; 1) e (!1;!1) : - Hessiane. Si calcolano le tre matrici hessiane nei tre punti. Intanto líhessiano sar !x2 + y 2 +2!4x (x 2 + y 2 +2) 2 (x 2 + y 2 +2) 22y! 1!4x (x 2 + y 2 +2) 22y! 1 4 x2! y 2 +2 (x 2 + y 2 +2)

27 Quindi 2!1 det H(0; 0) = =3> 0; f 00!1 2 1 xx(0; 0) = 2 > 0! minimo locale 1=2!3=2 det H(1; 1) = =!2 < 0! punto di sella 1!3=2 1=2 1 1=2!3=2 det H(!1;!1) = =!2 < 0! punto di sella 1!3=2 1=2 1

28

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Prerequisiti didattici

Prerequisiti didattici Università degli Studi di Ferrara 2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza 18 marzo 2015 Appunti di didattica della matematica applicata

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

Le funzioni di due variabili

Le funzioni di due variabili Le funzioni di due variabili 1)DEFINIZIONE Se consideriamo una coppia di numeri reali X,Y e ad essi facciamo corrispondere un altro numero reale Z, allora abbiamo determinato una funzione reale di due

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 1 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 1 1 Funzioni di più variabili Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 Definizione 1.1 Dati D R 2 e f : D R, l insieme

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Funzioni di più variabili

Funzioni di più variabili Funzioni di più variabili Introduzione Funzioni reali di più variabili reali Una unzione reale di due variabili è una unzione : D R dove il dominio D è un sottoinsieme di R. ESEMPI: - / ln. Considerazioni

Dettagli

MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A

MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando

Dettagli

6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz:

6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz: FUNZIONI DI PIU VARIABILI Esercizi svolti. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente : (a) f log( x y ) (b) f log(x + y ) (c) f y x 4 (d) f sin(x + y ) (e) f log(xy +

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

Funzioni con dominio in R 2

Funzioni con dominio in R 2 0.1 Grafici e curve di livello Politecnico di Torino. Funzioni con dominio in R 2 Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto Il dominio U di una funzione f e

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

Definizione DEFINIZIONE

Definizione DEFINIZIONE Definizione Funzione reale di due variabili reali Indichiamo con R 2 l insieme di tutti i vettori bidimensionali. Dato un sottoinsiemed R 2, una funzione f: D R è una legge che assegna a ogni punto (x,

Dettagli

Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci. Fasci. N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario. Fasci di rette nel piano

Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci. Fasci. N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario. Fasci di rette nel piano Fasci N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario Fasci di rette nel piano 1 Fasci di piani nello spazio 2 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Date due rette r ed r di equazione: : 0 :

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Lezione 6 (16/10/2014)

Lezione 6 (16/10/2014) Lezione 6 (16/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. La funzione f : R R data da f(x) = 10x 5 x è crescente? Perché? Soluzione Se f fosse crescente avrebbe derivata prima (strettamente) positiva.

Dettagli

x 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario.

x 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario. Le soluzioni del foglio 2. Esercizio Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F = (y + 3x, 2y x) per far compiere ad una particella un giro dell ellisse 4x 2 + y 2 = 4 in senso orario... Soluzione.

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

Funzioni a 2 variabili

Funzioni a 2 variabili Funzioni a 2 variabili z = f(x, y) Relazione che associa ad ogni coppia di valori x,y (variabili indipendenti) uno ed un solo valore di z (variabile dipendente). Esempi: z = x 2y + 4 z = x 2 y 2 2x z =

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati In problemi di massimo e minimo vincolato viene richiesto di ricercare massimi e minimi di una funzione non definita su tutto R n, ma su un suo sottoinsieme proprio. Esempio:

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

Funzioni. Funzioni /2

Funzioni. Funzioni /2 Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme

Dettagli

4 Funzioni di due o più variabili reali

4 Funzioni di due o più variabili reali 4 Funzioni di due o più variabili reali Dopo aver studiato in dettaglio le funzioni di una variabile reale, affrontiamo ora alcuni aspetti della teoria delle funzioni di due o più variabili reali. La nostra

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Sviluppo di Taylor del secondo ordine. Punti stazionari. Punti di massimo o minimo (locale

Dettagli

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete 1) Cosa intendiamo, esattamente, quando parliamo di funzione reale di due variabili reali? Quando esiste una relazione fra tre variabili reali

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte.

Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte. PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (che sarà svolto fino al 7 gennaio 2013) A.A. 2012-2013, Paola Mannucci e Claudio Marchi, Canali 1 e 2 Ingegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

Dettagli

Rette e curve, piani e superfici

Rette e curve, piani e superfici Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve

Dettagli

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

Estremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima.

Estremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima. Estremi 1. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = e x (x 1)(y 1) + (y 1).. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = y (y + 1) cos x. 3. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = xye x +y..

Dettagli

Capitolo 4. Funzioni di Più Variabili: Primi Elementi. 4.1 Coordinate Cartesiane in Tre Dimensioni.

Capitolo 4. Funzioni di Più Variabili: Primi Elementi. 4.1 Coordinate Cartesiane in Tre Dimensioni. Capitolo 4 Funzioni di Più Variabili: Primi Elementi L analisi delle funzioni di una singola variabile è fatta sostanzialmente sulla retta R enelpianor. Questi sono gli ambienti naturali per lo studio

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli

Calcolo integrale in più variabili

Calcolo integrale in più variabili ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 4 giugno 2013 - FILA A

MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 4 giugno 2013 - FILA A MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 4 giugno 2013 - FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i

Dettagli

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2006/2007 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 2 IL PIANO CARTESIANO 1 Il piano cartesiano In un piano

Dettagli

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili.

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 14 dicembre 2014 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo

Dettagli

I appello - 24 Marzo 2006

I appello - 24 Marzo 2006 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

Capitolo Sedicesimo CENNO SULLE SUPERFICI

Capitolo Sedicesimo CENNO SULLE SUPERFICI Capitolo Sedicesimo CENNO SULLE SUPERFICI 1. L A N O Z I O N E D I S U P E R F I C I E In tutto il Capitolo, chiameremo dominio un sottoinsieme di  2 che sia la chiusura di un aperto connesso. Sono tali,

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Geogebra matematica dinamica per tutti. Tiziana Segalini liceo Ariosto-Spallanzani Reggio Emilia a.s.2012-2013

Geogebra matematica dinamica per tutti. Tiziana Segalini liceo Ariosto-Spallanzani Reggio Emilia a.s.2012-2013 Geogebra matematica dinamica per tutti Tiziana Segalini liceo Ariosto-Spallanzani Reggio Emilia a.s.2012-2013 Geogebra può servire ad un insegnante e ad un allievo: Disegnare grafici di funzioni e non

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R?

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R? PROVA N 1 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(). Studiare la funzione f()= 8+ 7 9 (Sono esclusi i flessi) 3. Data la funzione f()= 1 6 3 - +5-6

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014 Analisi Matematica

Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014 Analisi Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014 Analisi Matematica Nome... N. Matricola... Ancona, 29 marzo 2014 1. (7 punti) Studiare la funzione determinandone: f(x) = e x x il dominio;

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I Lezioni A.A. 2003/2004, prof. G. Stefani primo semiperiodo 22/9/03-8/11/03 Testo consigliato: Robert A. Adams - Calcolo differenziale 1 - Casa

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@poi.it Primi teoremi di caclolo differenziale Ottobre 2010. Indice 1 Funzioni derivabili su un intervallo 1 1.1

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio DUE PROPOSTE DI ANALISI MATEMATICA Lorenzo Orio Introduzione Il lavoro propone argomenti di analisi matematica trattati in maniera tale da privilegiare l intuizione e con accorgimenti nuovi. Il tratta

Dettagli

Piccola guida all'uso del programma GRAPH

Piccola guida all'uso del programma GRAPH Piccola guida all'uso del programma GRAPH Che cosa e'? E' un programma per disegnare grafici di funzioni e delle loro derivate, per calcolare integrali, trovare le soluzioni di una equazione o di un sistema

Dettagli

ANALISI B alcuni esercizi proposti

ANALISI B alcuni esercizi proposti ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013)

PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013) PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013) Linguaggio matematico di base 1. Qual è l area del triangolo avente i vertici nei punti di coordinate (0,2), (4,0) e (7,6)? A 10 B 30

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria

Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizio 1 Testo Sia F F 1 x,y),f x,y)) ) x 1 x y + 1 x, y 1 x y + 1 y un campo vettoriale. 1. Si determini il dominio in cui

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

Richiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati.

Richiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati. PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (DEFINITIVO) A.A. 2010-2011, Paola Mannucci, Canale 2 Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M.

Dettagli

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y =

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010 Appello 15/12/2010 Svolgere i seguenti esercizi: 1) Calcolare entrambi i limiti: a) lim(1 x) 1 e x 1 ; x 0 x log 2 x b) lim x 1 1 cos(x 1). 2) Data la funzione: f(x) = x log x determinarne dominio, eventuali

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

y (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )

y (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 ) FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Siano date le seguenti funzioni: (a) f(x, y) = 3x + y (c) h(x, y) = x y (b) g(x, y) = xy (d) k(x, y) = x + y Determinare e disegnare nel piano cartesiano il dominio delle funzioni

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere) Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa

Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa a cura di P. Detti e G. Ciaschetti 1 Esercizi sulle condizioni di ottimalità per problemi di ottimizzazione non vincolata Esempio 1 Sia data la funzione

Dettagli

CBM a.s. 2012/2013 FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI

CBM a.s. 2012/2013 FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI CBM a.s. 01/013 FUNIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI Chiamiamo FUNIONE oni leame ra due insiemi tale che ad oni elemento del primo insieme (detto DOMINIO) corrisponde uno e un solo elemento del secondo

Dettagli

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x).

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x). Problema 1 Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di euro al mese, più centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che

Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che Funzioni periodiche Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che -T T In ogni intervallo di ampiezza pari a T il grafico di tale funzione si ripete.

Dettagli