FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello

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1 FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello Una funzione di due variabili Ë una funzione in cui per ottenere un valore numerico bisogna speciöcare il valore di 2 variabili x e y, non pi di una sola z = f(x; y). Esempio f(x; y) =x 2! 2xy z y x

2 Una tripla di numeri (x; y; f(x; y)) si puú associare a un punto nello spazio a 3 dimensioni:

3 Scegliamo un insieme di punti appartenenti al dominio della funzione nel piano xy, e da ognuno innalziamo la freccia che sale al punto (x; y; f(x; y)), avremo

4 Tutti i punti di coordinate (x; y; f(x; y)) si distribuiscono formando una superöcie nello spazio

5 Non tutte le caratteristiche del graöco di funzioni di una variabile potranno essere trasferite ai graöci di funzioni di due variabili; per esempio non avr alcun senso parlare di crescenza o decrescenza, mentre illustreremo i concetti di di massimo e minimo (relativo o assoluto) (monti e valli).

6 Gli insiemi di livello sono ottenuti intersecando il graöco della funzione con piani orizzontali. Vengono anche chiamate curve di livello, individuate dalla quota del piano intersecante. Le curve di livello si possono proiettare sul piano orizzontale, eventualmente sovrapponendole a un graöco di densit : colori via via pi chiari per indicare le cime e via via pi scuri per indicare le valli..

7 ESEMPI. 1. La funzione lineare f(x; y) =3x! y +2 ha come linee di livello le rette di equazione 3x! y +2 = k; ovvero y = 3x +2! k tutte parallele al variare di k. y z y x x

8 2. La funzione (paraboloide iperbolico) f(x; y) =xy ha come linee di livello iperboli equilatere di equazione xy = k: y z y x x

9 3. La funzione f(x; y) =x 2 + y 2 il cui graöco Ë una semisuperöcie conica ha come linee di livello le circonferenze di equazione x 2 + y 2 = k y z x y x

10 Domini Anche per le funzioni a due varibili Ë necessario individuare líinsieme di esistenza della funzione f(x; y): Questa volta líinsieme di esistenza di una funzione a due variabili sar un sottoinsieme di R 2 : Esempi. 1. f(x; y) = q 4! x 2! y 2 2. f(x; y) = ln(x! y) 3. f(x; y) = 1 sin(x! y)

11 Piani tangenti Molto utili per studiare le propriet delle funzioni di due variabili sono le linee intersezione della superöce-graöco della funzione con piani verticali paralleli ai piani coordinati, cioë del tipo x = k e y = k: Queste linee si ottengono risolvendo uno dei seguenti due sistemi: ( ( z = f(x; y) z = f(x; y) =) z = f(x; k) =) z = f(k; y) y = k x = k Nel primo caso si ottiene una funzione della variabile indipendente x, il cui graöco si potr rappresentare in un piano Oxz, nel secondo caso si ottiene una funzione della variabile indipendente y, il cui graöco si potr rappresentare in un piano Oyz.

12 Esempio. Si consideri la funzione f(x; y) =x 3! 4xy 2 Líintersezione con il piano x = 1=2 conduce alla funzione (della sola variabile y) z = 1 8! 2y2 il cui graöco Ë una parabola nel piano Oyz: Líintersezione con il piano y =1=2 conduce alla funzione (della sola variabile x) z = x 3! x, il cui graöco sar nel piano Oxz:

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14 Le due funzioni ottenute per intersezione sono funzioni di una sola variabile e possono essere derivate: queste derivate saranno utili non solo per le curve intersezione, ma anche per la funzione di due variabili nel suo complesso. Derivate parziali DeÖnizione 1 Data una funzione z = f(x; y) e un punto (x 0 ;y 0 ) interno al suo dominio, possiamo considerare la funzione, della variabile x, z = f(x; y 0 )= g(x), ottenuta Össando y al valore y 0 e lasciando variare x, ovvero la funzione che si ottiene intersecando la superöcie z = f(x; y) con il piano verticale y = y 0 : Possiamo ora considerare lim x!x 0 f(x; y 0 )! f(x 0 ;y 0 ) x! x 0

15 ovvero il limite del rapporto incrementale della funzione z = g(x). Se questo esiste ed Ë Önito, esso si chiama derivata parziale prima rispetto a x della funzione x, nel punto (x 0 ;y 0 ) e si indica f 0 x (x 0 ;y 0 ) : In maniera analoga possiamo considerare la funzione, della variabile y, z = f(x 0 ;y)=h(y); ottenuta Össando x al valore x 0 e lasciando variare y, ovvero la funzione che si ottiene intersecando la superöcie z = f(x; y) con il piano verticale x = x 0 : Possiamo ora considerare f(x lim 0 ;y)! f(x 0 ;y 0 ) y!y 0 y! y 0 ovvero il limite del rapporto incrementale della funzione z = h(y). Se questo esiste ed Ë Önito, esso si chiama derivata parziale prima rispetto a y della funzione f, nel punto (x 0 ;y 0 ) e si indica con f 0 y (x 0 ;y 0 ) :

16 In pratica il calcolo delle due derivate parziali in un punto generico (x; y) interno al dominio si fa pensando la funzione f(x; y) come funzione di una sola delle due variabili e trattando líaltra come un parametro costante. DeÖnizione 2 Siano f : A % R 2! R e (x; y) 2 A: Il vettore rf(x; y) = h fx(x; 0 y) fy(x; 0 y) i si dice gradiente di f in (x; y) :

17 Avendo ottenuto da una funzione due derivate parziali prime, da ciascuna otterrú altre due derivate parziali, per un totale di quattro derivate parziali seconde della funzione originaria: ñ f 00 xx sar la derivata prima rispetto a x della f 0 x; ñ f 00 yy sar la derivata prima rispetto a y della f 0 y; ñ f 00 xy sar la derivata prima rispetto a y della f 0 x ; ñ f 00 yx sar la derivata prima rispetto a x della f 0 y. Le prime due si chiamano derivate parziali seconde pure, le ultime due si chiamano derivate parziali seconde miste.

18 Osservazione. Le derivate fxy 00 =4+6y = fyx:vale 00 infatti il seguente notevole teorema. Teorema 3 (Teorema di Schwartz). Se le derivate seconde miste sono continue, allora esse sono uguali. La derivata prima per funzioni di una variabile permette il calcolo della pendenza della retta tangente al graöco della funzione e quindi la determinazione dellíequazione di questa tangente. Per le funzioni di due variabili, le derivate parziali,servono a determinare le equazioni delle rette tangenti alle curve intersezione tra la superöcie e il piano verticale parallelo al piano Oxz oppure Oyz. Esse perú servono anche a determinare líequazione del piano tangente alla superöcie graöco della funzione di due variabili.

19 Data una funzione di due variabili z = f(x; y) e un punto (x 0 ;y 0 ) del suo dominio, dove la funzione ammette derivate parziali prime continue, líequazione del piano tangente alla superöcie graöco della funzione nel punto (x 0 ;y 0 ;z 0 ), con z 0 = f(x 0 ;y 0 ) sar : z = f(x 0 ;y 0 )+f 0 x (x 0;y 0 )(x 0! x)+f 0 y (x 0;y 0 )(y 0! y) Esempio. La funzione f(x; y) =x 2 +4xy +3xy 2 : Le derivate prime sono f 0 x(x; y) =2x +4y +3y 2 e f 0 y(x; y) =4x +6x: Prendiamo il punto (1;!1) : Avremo f(1;!1) = 0; f 0 x(1;!1) = 1; f 0 y(1;!1) =!2: Líequazione del piano tangente sar : z =0+(x! 1)! 2(y +1)! z = x! 2y! 3

20 z y x

21 Ottimizzazione libera Siamo interessati al problema della ricerca dei massimi e minimi nei punti interni al dominio della funzione o nei punti del bordo del dominio. Per questo problema basta lo studio delle derivate prime e seconde della funzione. Se si tiene conto dellíequazione di un piano tangente orizzontale, di equazione z = k; in corrispondenza di un punto di massimo o minimo interno al dominio entrambe le derivate parziali saranno nulle, esattamente caso di una variabile dove si aveva líannullamento della derivata prima. Purtroppo (ancora come nel caso di funzioni di una variabile) líannullarsi delle derivate non garantisce líesistenza di un massimo o un minimo. Teorema 4 (Condizione necessaria per i massimi e minimi in due variabili). Se una funzione f(x; y) dotata di derivate parziali ha, in corrispondenza a un punto

22 (x 0 ;y 0 ) interno al dominio, un massimo o un minimo, allora necessariamente il gradiente rf(x 0 ;y 0 )=0. Un punto (interno al dominio) in cui le derivate parziali siano contemporaneamente nulle (senza che necessariamente sia un punto di minimo o di massimo) si chiama un punto stazionario per f(x; y): Per stabilire se un punto stazionario Ë di massimo o di minimo cíë un teorema che stabilisce una condizione su ciente perchè un punto stazionario sia di massimo o di minimo. Teorema 5 Sia data una funzione f(x; y) dotata almeno di derivate seconde. Se (x 0 ;y 0 ) Ë un punto stazionario per f (interno al dominio), si calcolano, in (x 0 ;y 0 ), le quattro derivate seconde e si costruisce una matrice, detta matrice hessiana, H = " f 00 xx(x 0 ;y 0 ) fxy(x 00 0 ;y 0 ) fyx 00 0;y 0 ) fyy 00 0;y 0 ) #

23 Successivamente si calcola il determinante della matrice hessiana dato da f 00 xx(x 0 ;y 0 )f 00 yy(x 0 ;y 0 )!f 00 xy(x 0 ;y 0 )f 00 yx(x 0 ;y 0 )=f 00 xx(x 0 ;y 0 )f 00 yy(x 0 ;y 0 )! h f 00 xy(x 0 ;y Se: - det [H] > 0; allora si guarda il primo termine della matrice hessiana f 00 xx (x 0;y 0 ): ( se f 00 xx(x 0 ;y 0 ) > 0 allora (x 0 ;y 0 ) Ë un punto di minimo (relativo), ( se f 00 xx(x 0 ;y 0 ) < 0 allora (x 0 ;y 0 ) Ë un punto di massimo (relativo), - det [H] < 0; allora il punto (x 0 ;y 0 ) Ë un punto di sella - det [H] = 0; allora nulla si puú concludere.

24 Osservazione. Si deönisce punto di sella un punto in cui il piano tangente Ë orizzontale e in cui vale la seguente propriet : se passiamo per il punto in certe direzioni il punto si presenta come un massimo, mentre in certe direzioni si presenta come un minimo. Esempio. f(x; y) =x 2! y 2 z x y

25 Esempio. Data la funzione f(x; y) = 2 ln(x 2 + y 2 +2)! xy determinare il dominio, i punti stazionari e classiöcarli. - Dominio. x 2 + y 2 +2> 0! R 2 : - Gradiente. 8>< >: f 0 x = f 0 y = 4x x 2 + y 2 +2! y =0 4y! x 2 + y 2 +2! x =0 8 >< >: 1 x 2 + y 2 +2 = y 4x 1 x 2 + y 2 +2 = x 4y

26 Risolvendo il sistema si ottiengono tre punti stazionari (0; 0) ; (1; 1) e (!1;!1) : - Hessiane. Si calcolano le tre matrici hessiane nei tre punti. Intanto líhessiano sar !x2 + y 2 +2!4x (x 2 + y 2 +2) 2 (x 2 + y 2 +2) 22y! 1!4x (x 2 + y 2 +2) 22y! 1 4 x2! y 2 +2 (x 2 + y 2 +2)

27 Quindi 2!1 det H(0; 0) = =3> 0; f 00!1 2 1 xx(0; 0) = 2 > 0! minimo locale 1=2!3=2 det H(1; 1) = =!2 < 0! punto di sella 1!3=2 1=2 1 1=2!3=2 det H(!1;!1) = =!2 < 0! punto di sella 1!3=2 1=2 1

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