La statistica descrittiva per le variabili quantitative

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1 La statistica descrittiva per le variabili quantitative E la sintesi dei dati Gli indici di posizione/tendenza centrale OBIETTIVO Individuare un indice che rappresenti significativamente un insieme di dati statistici 1

2 Richiamo: tipi di variabili Frequenze assolute e relative Esempio Nella tabella seguente sono riportati i valori del tasso glicemico rilevati su 10 pazienti: Paziente Glicemia (mg/100cc) 1 x 1 =103 2 x 2 =97 3 x 3 =90 4 x 4 =119 5 x 5 =107 6 x 6 =71 7 x 7 =94 8 x 8 =81 9 x 9 =92 10 x 10 =96 Totale 950 2

3 Istogramma e poligono di frequenza La media (aritmetica) E quel valore che avrebbero tutte le osservazioni se non ci fosse la variabilità. Statistiche Medie Puo essere ponderata: dare un peso diverso ad ogni osservazione (es: media dei voti che prende in conto i numeri di crediti) Media di n dati Media ponderata Esempio glicemia? Si trova anche X m invece di x 3

4 Lunghezza (cm) in un campione di 66 neonati La media aritmetica dei 66 valori di lunghezza è: =( )/66 = /66 = 53.3 Media per dati ragruppati in classe Nell'esempio del campione di 66 misure di lunghezza dei neonati: 4

5 Caratteristiche della media La media aritmetica è la misura di posizione più usata ma a volte, altre misure come la mediana e la moda si dimostrano utili. Si consideri un campione di valori di VES (velocitàdi eritrosedimentazione, mm/ora) misurati in 7 pazienti {8, 5, 7, 6, 35, 5, 4} In questo caso, la media che è = 10 mm/ora non è un valore tipico della distribuzione: soltanto un valore su 7 è superiore alla media! Limite della media aritmetica: è notevolmente influenzata dai valori estremi della distribuzione. La mediana La mediana è quell osservazione che bipartisce la distribuzione in modo tale da lasciare al di sotto lo stesso numero di valori che lascia al di sopra. L'idea che e alla base della mediana e di cercare un numero che sia più grande di un 50% delle osservazioni e più piccolo del restante 50% (il valore che divide un insieme di osservazioni in 2 gruppi di taglia uguale) Vantaggio della mediana: è meno sensibile ai valori abberanti o estremi che la media Epi info: data con la media in Statistiche Medie 5

6 Fasi operative per il calcolo della mediana 1) ordinamento crescente dei dati 2) se il numero di dati n è dispari, la mediana corrisponde al dato che occupa la (n+1)/2esima posizione 3) se il numero di dati n è pari, la mediana è data dalla media aritmetica dei due dati che occupano la posizione n/2 e quella n/2+1 Ritornando all esempio della glicemia Per il calcolo della mediana è necessario disporre i dati in ordine crescente: 71, 81, 90, 92, 94, 96, 97, 103, 107, 119 Mediana = (94+96)/2 = 95 mg/100 cc Il fatto che mediana e media aritmetica in questo caso coincidano non è casuale in quanto la distribuzione è simmetrica. Ma, in generale, ciò non avviene. 6

7 In presenza di una distribuzione di frequenze è necessario considerare le frequenze cumulate per identificare la mediana La mediana 7

8 La moda Quando una variabile è categoriale, l indice di tendenza centrale addeguato a rappresentare la distribuzione è la moda ovverro l osservazione che si verifica con maggiore frequenza in una data distribuzione Si possono avere anche più valori modali (distribuzione bimodale, multimodale) Si utilizza per le variabili quantitative discrete (o continue categorizzate) Limite: molto sensibile alla grandezza e al numero delle classe Epi info: data con gli altri indici in Statistiche Medie Confronto tra media, mediana e moda Tra questi tre indici di tendenza centrale, la moda è il meno informativo in quanto, essendo calcolato sulle frequenze, prescinde totalmente dalla natura numerica dalle osservazioni. La mediana è più informativa della moda poichè considera anche l ordine tra le osservazioni. La media è l indice più informativo in quanto considera anche la distanza tra le osservazioni 8

9 Quale misura di posizione usare? Il proprietario di un azienda afferma "Lo stipendio mensile nell azienda è euro" Il sindacato dei lavoratori dice che lo stipendio medio è di euro L'agente delle tasse dice che lo stipendio medio è stato di euro Queste risposte diverse sono state ottenute tutte dai stessi dati PERO Media=2.700 Mediana=2.200 Moda=1.700 Interpretazione delle misure di posizione La media aritmetica indica che, se il denaro fosse distribuito in modo che ciascuno ricevesse la stessa somma, ciascun dipendente avrebbe avuto euro La moda ci dice che la paga mensile più comune è di euro La moda si considera spesso come il valore tipico dell'insieme di dati poiché è quello che si presenta più spesso. Non tiene però conto degli altri valori e spesso in un insieme di dati vi è più di un valore che corrisponde alla definizione di moda La mediana indica che circa metà degli addetti percepiscono meno di euro, e metà di più La mediana non è influenzata dai valori estremi eventualmente presenti ma solo dal fatto che essi siano sotto o sopra il centro dell'insieme dei dati 9

10 In generale La media aritmetica si utilizza quando si vuole esprimere un concetto di equidistribuzione La moda si determina quando si vuol conoscere il dato che ha la maggiore probabilità di presentarsi (la composizione normale di una famiglia, l altezza normale o il peso normale dei ragazzi di 12 anni) La mediana è utilizzata per suddividere a distribuzione in parti uguali ed ha il vantaggio di non essere influenzata da grandi differenze quantitative tra i dati ma solo dalla posizione Riepilogo sulle misure di posizione Notiamo che la media è una media di calcolo mentre la moda e la mediana sono medie di posizione 10

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