FISICA GENERALE II FORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO. 1) Elettrostatica
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- Agnello Fumagalli
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1 FISICA GENERALE II FORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO ) Elettrostatica ɛ = ɛ o ɛ r = costante dielettrica assoluta ; ɛ r = costante dielettrica relativa Nel vuoto( e nella maggior parte dei gas, condizioni STP)ɛ r Legge di Coulomb nel vuoto : F = q q 4πɛ o r ˆr Campo elettrostatico : E = F q o E = d F dq Potenziale : forma integrale :V (P ) V (P )= P P E dl forma differenziale : E = grad V = V Conservativitá del campo elettrostatico Forma integrale : E dl =0 Forma differenziale : E =0 Campo elettrostatico e potenziale generati da : -carica isolata puntiforme : E = q 4πɛ r ˆr V = q 4πɛ r -distribuzione discreta di carica : E = q i ˆr 4πɛ r i V = i i 4πɛ -distribuzione continua di carica : E = ρdτ 4πɛ r ˆr V = 4πɛ Ω qi Dipolo elettrico Potenziale : V = p r = p ( 4πɛ r 3 4πɛ r ) Campo : E = 4πɛ [3( p r ) p r r 5 r ] 3 Energia del dipolo in un campo esterno : U = p E Forza agente su un dipolo costante: F = U = ( p E ) Momento meccanico agente : τ = p E Multipoli Il potenziale generato da una distribuzione di carica, a grande distanza dalle cariche, puó venir espresso tramite uno sviluppo in serie i cui primi termini sono : V = Q p r r πɛ r + 4πɛ (Q carica totale e p momento di dipolo della distribuzione) distribuzione discreta : p =( i q ix i, i q iy i, i q iz i ) Ω r i ρdτ r
2 distribuzione continua : p =( ρxdτ, ρydτ, ρzdτ) Legge di Gauss Forma integrale : Σ E ˆn ds= Q int ɛ o (Σ superficie chiusa) Forma differenziale : E = ρ ɛ o Conduttori E int =0 conduttore è sempre equipotenziale campo in vicinanza di un conduttore(teorema di Coulomb): E = σ ˆn ɛ o forza per unitá di superficie su un conduttore : df ds = σ ɛ o Equazione del potenziale elettrostatico Equazione di Poisson : V = ρ ɛ o Equazione di Laplace : V =0 (doveρ =0) Condensatori Definizione di capacitá : C = Q V Capacitá cond. piano : C = ɛ S d L Capacitá cond. cilindrico : C = πɛ log(r est /r int ) Capacitá cond. sferico : C =4πɛ r intr est r est r int Condensatori in parallelo : C = C + C C N Condensatori in serie : C = C C C N Energia del condensatore : U = Q V = C V = Forza tra armature : F = Q ɛs (cond.piano) Dielettrici p Vettore polarizzazione : P = lim τ 0 τ (momento dip. per unitávolume) mezzo isotropo e lineare : P = ɛo χ E Suscettivitá dielettrica : χ e = N[α def + α orien ] N[4πRat 3 + p o 3ɛ o kt ] (N = no. molecole per unitá divolume) Costante dielettrica relativa: ɛ r = χ + Vettore spostamento elettrico : D = ɛ o E + P = ɛo ɛ r E Cariche di polarizzazione : σ pol = P ˆn : ρ pol = P Q C
3 Equazioni dell elettrostatica in presenza di dielettrici E =0 ; E dl =0 D = ρ ; Σ D ˆndS = Qlib Condizioni di continuitá all interfaccia fra due mezzi E t = E t ; D n = D n Dielettrici densi Campo di Lorentz : E m = P E + 3ɛ o Formula Clausius-Mossotti : ɛ r ɛ r + = Nα 3ɛ o Energia elettrostatica Energia distribuzione discreta : U = 4πɛ i,ji j q i q j r ij = q i V i (V i potenziale di tutte le cariche i) Energia distribuzione continua : U = ρv dτ Energia sistema conduttori : U = Q i V i (V i potenziale conduttore i con carica Q i ) Densitá energia del campo : u = E D = ɛ oɛ r E Densitá energia interazione di un dielettrico in un campo esterno: u = E D = ɛ oɛ r E i i ) Correnti stazionarie Densitá di corrente : j = nq v = ρ v Equazione di continuitá : j = ρ (ρ=densitá di carica) Intensitá di corrente : i = dq dt = j ˆn ds Σ Legge di Ohm (forma locale) : j = σ E (σ=conducibilitá) per elemento finito : V = Ri Resistenza conduttore di sezione costante : R = l σ S = ρ l s S N resistenze in serie : R = R + R R N N resistenze in parallelo : R = R R R N Leggi di Kirchhoff - legge dei nodi : k i k =0 legge delle maglie : k i kr k = k V k Effetto Joule(potenza P = dw/dt,w =energia): in forma locale : dp = j E dτ conduttore finito : P = V i = i R 3
4 3) Magnetismo Magnetostatica nel vuoto Campo generato da una carica in moto : B = µ o v r 4π q r 3 µ o dl r Campo generato da una corrente : B = 4π i r 3 -filo rettilineo indefinito : B = µ o i π r ˆτ -spira circolare ( sull asse!) : B = µ o i R ˆk (R + z ) 3 -interno solenoide indefinito : B = µ o in [n = N spire L ] Forza agente su una corrente : F = i dl B Forza su carica in moto(forza Lorentz) : F = q v B Equazioni della magnetostatica nel vuoto: B =0 ; Σchiusa B ˆndS =0 B = µo j ; B dl = µo iconc Dipolo magnetico Momento dipolo distrib. correnti: m = r jdτ Per una spira piana: m = isˆn Potenziale Vettore : A = µ o m r 4π r 3 Campo : B = µ o 4π [3( m r ) m r r 5 r ] 3 Energia dipolo in campo esterno : U = m B Momento agente su dipolo in campo esterno : M = m B Momento magnetico e momento angolare di una carica q, massa m, in moto circolare uniforme: m = Precessione (di Larmor) in campo esterno: ω L = qb m q L m Potenziale vettore Definizione : B = A Equazione del potenziale : A = µo j Potenziale generato da un dipolo : A = µ o m r 4π r 3 Proprietá magnetiche della materia Vettore magnetizzazione (momento dipolo per unitá di volume) : M = lim τ 0 m τ mezzo isotropo e lineare : χ M = B = χ H µ o +χ 4
5 NZe <r > N m o Suscettivitá magnetica: χ m = χ dia + χ par µ o + µ o 6m e 3 kt Vettore campo magnetico H : H = χ M Relazione fra B e H : B = µ o H + µo M = µo µ r H : µ r = χ + Correnti di magnetizzazione : j sup = M ˆn : j vol = M Equazioni della magnetostatica nei mezzi materiali H = j libere ; H dl = iconc B =0 ; Σchiusa B ˆndS =0 Condizioni di continuitá all interfaccia fra due mezzi H t = H t ; B n = B n Circuiti magnetici Legge di Hopkinson : F = RΦ F = Ni (forza magnetomotrice) R = l µ S (Riluttanza) Riluttanze in serie : R = R + R R N Riluttanze in parallelo : R = R R R N 4) Campi variabili Campi quasi-statici Legge di Faraday-Neumann Forma integrale : dφ E dl = dt = d B ˆndS dt Σ Forma locale : E = B Coefficiente di mutua induzione fra due circuiti : Φ = M i ; Φ = M i ; M = M Coefficiente di autoinduzione Induttanza solenoide : :Φ = Li L = µ o n ls Energia magnetica Energia sistema circuiti : U = Φ k i k Densitá energia del campo : u = H B = µ oµ r H = B µ o µ r Energia induttore : U = Li k 5
6 5) Circuiti elettrici Grandezze variabili sinusoidalmente e fasori : i = i o cos(ωt + φ) R[i o exp (iφ)exp(iωt)] = R[I] I = Ĩoe (iωt) ; Ĩ o = i o e iφ Circuito RC Circuito RL : R dq dt + q C = V Carica C : q = CV ( exp ( t/τ) ; τ = RC Scarica C : q = q o exp ( t/τ) Extracorrente chiusura : L di dt + Ri= V : i = V ( exp ( t/τ) ; τ = L/R R Extracorrente apertura : i = V exp ( t/τ) R Circuito RLC serie : L d i dt + Rdi dt + C i = V Frequenza di risonanza : ω r =πν r = LC Impedenze complesse : resistenza : Z = R capacitá : Z = iωc induttanza : Z = iωl EquazionidiMaxwell 6) Onde elettromagnetiche Forma differenziale Forma integrale D = ρ D ˆndS = Qi nt Σ B =0 Σ B ˆndS =0 B E = Γ E ˆdl = B ˆn ds Σ D H = j + Γ H ˆdl = Σ j ˆn ds+ Densitá corrente di spostamento : j = D Legge di Ohm(per conduttori) : j = σ E Caratteristiche generali propagazione per onde Equazione delle onde (3D) : φ φ v =0 Equazione delle onde (D) : φ z φ v =0 Σ D ˆn ds 6
7 parametri dell onda sinusoidale : numero d onda : k = π λ = ω v vettore d onda : k = k (versore propag.) lunghezza d onda : λ = v ν pulsazione : ω =πν onda piana sinusoidale progressiva(d) : φ = φ 0 sin(kz ωt) φ 0 e i(kz ωt) onda sferica sinusoidale progressiva(d) : φ = φ 0 r sin( k r ωt) =φ 0 e i( Caratteristiche delle onde elettromagnetiche Velocitá di propagazione(fase) : v = Trasversalitá onde e.m. : E = v B Onda piana (polarizzata asse-x) : E = E x = E o sin(kz ωt) B = B y = B o sin(kz ωt) E o = vb o = Z o H o ; Z o = k r ωt) c ; c = ɛr µ r ɛo µ o µo ɛ o 377Ω Velocitádigruppo: v g = dω dk = c n(ω)+ω dn dω Effetto Doppler (c=velocitá onda e.m.): ν = ν (v oss/c)cosθ v sor /c Effetto Doppler nel moto collineare(non relativistico, v=velocitá onda): ν = v v oss ν v v sor Energia e impulso dell onda Densitá dienergia:u = ɛe + µh = ɛe = B µ (energia per unitá di volume) Vettore di Poynting : P = E H Intensitá (istantanea)dell onda : I = (potenza per unitá di superficie) P = vɛe = vu Intensitá (media) dell onda(sinusoidale) : < I >= vɛ E Quantitá di moto dell onda : p = u onˆk = P v (per unitá di superficie e unitá ditempo) 7
8 Dipolo elettrico oscillante p(t) =p o sin ωt Campo a grandi distanze(vuoto) : E θ = p o 4πɛ o r sin θ(ω c ) sin(kr ωt) ; B φ = p o 4πɛ o cr sin θ(ω c ) sin(kr ωt) Intensitá(media) irraggiata dal dipolo : < I >= p oω 4 3π ɛ o c 3 r sin θ (energia per unitá superficie e unitá di tempo) Potenza(media) totale irraggiata dal dipolo : P =< de dt >= p oω 4 πɛ o c 3 Carica accelerata : Potenza(media) totale irraggiata (carica q oscillante sinusoid. z = z o sin ωt P =< de dt >= q zo ω4 πɛ o c 3 Intensitá irraggiata da carica accelerata nella direzione θ(rispetto all accelerazione): I(θ) = dp dθ = q a 6π ɛ o c 3 sin θ Potenza istantanea irraggiata da una carica accelerata : P = de dt = q a 6πɛ o c 3 7) Ottica Ottica geometrica Indice di rifrazione : n = ɛ r ; ɛ r = ɛ r (ω) cost. dielettrica velocitá della luce in un mezzo : v = c n cammino ottico : d = i n il i sin θ Leggi di Snell : θ inc = θ rifl ; = n = v sin θ n v angolo limite : sin θ lim = n ; se n <n n angolo di Brewster : tan θ Bre = n n Formule di Fresnel (µ = µ µ o ): ( E rifl ) = n cos θ n cos θ = tan(θ θ ) E inc n cos θ + n cos θ tan(θ + θ ) ( E rifl ) = n cos θ n cos θ = sin(θ θ ) E inc n cos θ + n cos θ sin(θ + θ ) n cos θ ( E tra E inc ) = ( E tra ) = E inc trasmittivitá :t =( E tra ) E inc riflettivitá : cosθ sin θ sin(θ + θ )cos(θ θ ) = n cos θ + n cos θ n cos θ = cosθ sin θ n cos θ + n cos θ sin(θ + θ ) r =( E rifl E inc ) 8
9 Caso di incidenza normale di onda non polarizzata: t =( n n ) n + n Interferenza Diffrazione r =( n n n + n ) Formula lenti sottili: p + q = f ; f =(n )( r r ) Interferenza fra onde piane,sinusoidali, lin. polarizzate: E = A sin[(kz ωt)+φ ] E = A sin[(kz ωt)+φ ] I = I + I + I I cos(φ φ ) Due sorgenti coerenti(alla Young) : I = I o cos β β = πd sin θ (d = distanza fra sorgenti) λ N sorgenti coerenti : I = I o [ sin (Nδ/) sin (δ/) ] δ = π d sin θ (b = larghezza fenditura) λ Diffrazione(di Fraunhofer) da fenditura rettangolare : I = I o ( sin α ) α α = πb sin θ (b = larghezza fenditura) λ condizione per i minimi ; sin θ = n λ [n 0] b Diffrazione(di Fraunhofer) da foro circolare : I = I o [ J (πr sin θ/λ) ] πr sin θ/λ condizione per il o minimo ; sin θ =. λ R Diffrazione(di Fraunhofer) da reticolo di N fenditure : I = I o ( sin α )( sin Nβ α sin β ) α = πb λ sin θ (b = larghezza fenditura) β = πp λ sin θ (p = distanza fra fenditure) massimi di intensitá ; p sin θ = nλ [ p= passo] Potere dispersivo del reticolo ; dθ dλ = Potere risolutivo del reticolo ; 9 n p cos θ λ λ = nn
10 8) Operatori vettoriali e trasformazioni di coordinate Coordinate cartesiane Elemento di volume : dτ = dx dy dz grad f f = f + f xîx y îy + f z îz div v v = v x x + v y y + v z z rot v v =[ v y z v z y ]î x +[ v z x v x z ]î y +[ v x y v y x ]î z Laplaciano : = x + y + z Coordinate cilindriche Trasformazione da (x, y, z) (ρ, θ, z) : x = ρ cos θ ; y = ρ sin θ Elemento di volume : dτ = ρdρdθdz grad f f = f + f ρîρ ρ θ îθ + f z îz div v v = ρ ρ (ρv ρ)+ ρ θ v θ + z v z rot v v =[ v z ρ θ v θ z ]î ρ +[ v ρ z v z ρ ]î θ + ρ [ (ρv θ) ρ Laplaciano : = ρ ρ (ρ ρ )+ ρ θ + z Coordinate sferiche Trasformazione da (x, y, z) (ρ, θ, φ) : x = ρ sin θ cos φ ; y = ρ sin θ sin φ ; z = ρ cos θ Elemento di volume : dτ = ρ sin θdρdθdφ grad f f = f + f ρîρ ρ θ îθ + f ρ sin θ φîφ div v v = ρ ρ (ρ v ρ )+ ρ sin θ rot v v = ρ sin θ [ (v φ sin θ) θ ρ [ (ρv θ) v ρ ρ θ ]î φ θ (v θ sin θ)+ v θ φ ]î ρ + ρ [ sin θ Laplaciano : = ρ ρ (ρ ρ )+ ρ sin θ [ θ (sin θ θ )] + sin θ Relazioni vettoriali utili a ( b c )= b ( a c ) c ( a b ) rot grad f f =0 div rot v v =0 rot rot v v = ( v ) v rot(f v ) (f v )=f( v ) f v div(f v ) (f v )=f( v )+ f v v φ φ v ρ θ ]î z ρ sin θ v ρ φ (ρv φ) ρ ]î θ + φ 0
11 9) Costanti di uso frequente Costante dielettrica del vuoto : ɛ o = F/m Permeabilitá magnetica del vuoto : µ o =4π 0 7 H/m Carica dell elettrone : e = C Massa dell elettrone : m e = kg Rapporto e/m dell elettrone : e/m =.76 0 C/kg Massa del protone : m p = kg Velocitá delle onde e.m. nel vuoto : c = m/s Impedenza del vuoto : Z o = Ω Costante di Planck : h = J s Magnetone di Bohr : µ B = Am Costante gravitazionale : G = m 3 kg s Numero di Avogadro : N A = mol Costante di Boltzmann : k = JK Costante dei gas : R =8.34 J/(mol K) =.986 cal/(mol K) Volume di una mole(stp gas ideale) : k = m 3 mol Unitá astronomica : AU = m Raggio(equatoriale)della terra : R = m Massa della terra : M = kg Massa del sole : M = kg
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