FONDAMENTI DI FISICA GENERALE

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1 FONDAMENTI DI FISICA GENERALE Ingegneia Meccanica Roma Te AA/- APPUNTI PER IL CORSO (Ripesi integalmente e da me assemblati dai testi di bibliogafia) Robeto Renzetti Bibliogafia: Paul J. Tiple, Gene Mosca Coso di Fisica Zanichelli, 9 Jay Oea Fundamental Physics John Wiley & Sons Inc, 967 F.W. Seas, M.W. Zemansky - Univesity Physics - Addison-Wesley Publishing Company, 964 M. Alonso, E.J. Finn Fundamental Univesity Physics - Addison- Wesley Publishing Company, 969 R. Renzetti Vai appunti miei accolti negli anni - PARTE SETTIMA ELETTROSTATICA Bibliogafia: Paul J. Tiple Physics Woth Publishes, Inc., New Yok, 976 Jay Oea Fundamental Physics John Wiley & Sons Inc, 967 F.W. Seas, M.W. Zemansky - Univesity Physics - Addison-Wesley Publishing Company, 964 M. Alonso, E.J. Finn Fundamental Univesity Physics - Addison- Wesley Publishing Company, 969 R. Renzetti - Svaiati lavoi ipotati su Caica elettica e pimi concetti - Popietà di alcuni copi - Caica di due tipi - Copi si attaggono e si espingono - Consevazione della caica - Caica quantizzata

2 - Stofinio, contatto, induzione - Bilancia di tosione di Cavendish e Coulomb (seconda metà del 7)

3 - Legge di Coulomb 3

4 F ±K q q - - Limiti della legge - Unità di misua della caica: Coulomb (C) quantità di caica che attavesa una sezione di un filo conduttoe in un secondo quando l intensità della coente elettica che fluisce nel filo è un ampee (A). Quest ultima unità saà definita più olte attaveso la misua della foza magnetica. Pe endee almeno qualitativamente l idea, un coulomb è cica la caica taspotata da 6. 8 elettoni. N m K 8,99. πε ed ε 8,85. - C /(N.m ) 9-4 C - Caica dell elettone: e,6. -9 C Confonto ta foza elettica e gavitazionale Il nucleo di un atomo di elio ha una massa m 6, kg ed una caica q fonita da due potoni che hanno, ciascuno, la stessa caica dell elettone con segno positivo, quindi q 3,. -9 C. Confontiamo oa la foza di epulsione elettostatica con quella di attazione gavitazionale ta due nuclei di elio [aggio atomico 5,3. - m; massa del potone m p,7. -7 kg; m e 9,. -3 kg; G 6,7. - (N.m )/kg ; K 9. 9 (N.m )/C ]. - Foza elettostatica F e F e K q - Foza gavitazionale F g F g m G Il appoto ta le due foze fonisce: F F e g K G q m 3, 35 4

5 Quanto tovato vuol die che la foza elettica è 35 volte più intensa di quella gavitazionale e ciò significa che la foza gavitazionale è del tutto tascuabile ispetto a quella elettica. 3 Campo elettico In un dato punto dello spazio esiste un campo elettico se su di un copo caico collocato in tale punto si esecita una foza elettica: E F q dove q è la caica di pova sistemata nel campo E. Essa deve essee piccola pe non alteae E. Quindi, la vea definizione di E è: E Vale la seguente elazione: lim q F q E Qq K F Q K q q dove è un vesoe. I campi elettici agenti su un dato punto si sommano vettoialmente: E Q E + E + E K Il campo può essee adiale (o centale) oppue unifome. In geneale i campi elettici sono geneati da caiche distibuite sulla supeficie di conduttoi di dimensioni finite e non da caiche puntifomi. In tal caso il campo elettico si calcola immaginando la caica di ogni conduttoe suddivisa in piccoli 5

6 elementi q. Con questa ipotesi, non tutta la caica di ciascun elemento si toveà alla stessa distanza da un punto P in cui è posta la caica q di pova, ma se gli elementi sono piccoli in confonto alla distanza dal punto e se appesenta la distanza di un punto qualunque dell elemento al punto P, si potà scivee appossimativamente: q E K Quanto più gli elementi di caica q tendeanno ad essee infinitesimi (dq), miglioe saà il isultato: dq K E Il campo si appesenta mediante delle linee di foza che sono le taiettoie che seguiebbe la piccola caica di pova (consideata positiva) sottoposta all azione di quel campo. La densità delle linee di foza è popozionale all intensità del campo. E N S N E S 6

7 4 - Flusso di un vettoe attaveso una supeficie Supponiamo di avee un campo elettico E unifome, quale quello che si avebbe all'inteno delle amatue di un appaato elettico che vedemo più olte, il condensatoe (figua a). Consideiamo poi una supeficie piana S la cui oientazione positiva sia definita dalla nomale n uscente da essa (figua b). Figua Se inseiamo la supeficie S all inteno del campo E, un ceto numeo di linee di foza attaveseà questa supeficie e questo numeo dipendeà dall oientazione della supeficie stessa ispetto al veso delle linee di foza. Quando S è pependicolae alle linee di foza (quando cioè n è paallelo ad esse) alloa la supeficie saà attavesata dal maggio numeo possibile di linee di foza. Quando S è paallela alle linee di foza (quando cioè n è pependicolae ad esse) alloa il numeo di linee di foza che attaveseà la supeficie saà uguale a zeo. Il numeo di linee di foza che attavesa una supeficie si definisce flusso e si indica con Φ S. Se le linee di foza sono oiginate, come nel nosto caso, da un campo elettostatico E, si avà un flusso di linee di foza di un campo E attaveso una supeficie S e si indicheà con Φ S (E). E facile convincesi che questo flusso è tanto più gande quanto più gande è E (in questo caso sono più numeose le linee di foza secondo la convenzione di Faaday), quanto maggioe è l estensione della supeficie S e quanto più essa si tova vicina alla posizione pependicolae ispetto ad esse. Tutto ciò si può iassumee nella elazione: Φ ( E) E n S ES cos () α S 7

8 dove α è l angolo fomato ta la nomale n ed il veso delle linee di foza. Si vede subito che quando α, da cui cos α (la supeficie è pependicolae alle linee di foza), il flusso è massimo e vale ES. Alto caso limite è quando α 9, da cui cos α (la supeficie è paallela alle linee di foza), il flusso è nullo. L ultimo caso limite che va consideato è quando la supeficie è pependicolae alle linee di foza, ma i vesi di n e delle linee di foza sono opposti (questo fatto è appesentato da α 8, da cui cos α - ); in questo caso il flusso assume un massimo negativo e vale ES. Nel caso più geneale, quando la supeficie S non è piana, bisogneà consideae su di essa svaiate piccole supefici (con buona appossimazione piane) di aea S e pe ciascuna di esse calcolasi il flusso elementae Φ S (E). In questo caso, ifeendosi alla figua, il flusso totale saà la somma di tutti i flussi elementai: Φ S Figua ( E ( E) Φ S ( E) + Φ S ( E ) Φ S ( En ) E S cos + E S cos S n cos n S cos ) n α α α α i 8

9 Passando dagli elementi di supeficie S, piccoli ma finiti, agli elementi infinitesimi ds, anche qui, si aiva all'espessione integale: Φ S ( E) E cosα ds E S S nds Come esempio calcoliamoci il flusso attaveso una supeficie sfeica centata su una caica elettica q il cui campo (adiale) sia E. In questo caso, essendo il campo adiale, in ogni punto della supeficie sfeica esso isulteà pependicolae alla supeficie, pe cui l angolo fomato ta n e la linea di foza saà α (da cui cos α ). Il flusso su ogni singolo elemento della supeficie sfeica saà alloa: Φ ( E ) ( E S) Ossevando che E è costante (in quanto la distanza alla quale è calcolato il campo elettico è sempe la stessa) si può mettee in evidenza: La supeficie che noi consideiamo è una sfea e quindi la somma di tutte le supefici elementai S daà la supeficie della sfea S 4π. Si ha quindi: e, come vedemo, icodando che in un campo adiale isulta: () si avà: Φ 4π ( E ) E... 4πε q 4π Questo isultato è molto più geneale. Si può dimostae che esso è valido pe una supeficie qualunque chiusa che contenga al suo inteno una caica elettica q e va sotto il nome di teoema di Gauss (che dimosteemo nel possimo capitolo). Il teoema si può completae affemando che nei punti di un campo elettostatico nei quali non vi sono caiche, il flusso di E attaveso una supeficie chiusa e non contenente nessuna caica è nullo. Ciò significa che, mente nel caso di una caica posta all inteno di una deteminata supeficie tutte le linee di foza uscenti dalla caica dovanno attavesae questa supeficie dando un contibuto al flusso pai a q/ε, nel caso invece di una supeficie chiusa non contenente la caica, le linee di q ε 9

10 foza entanti da un qualunque lato della supeficie, essendo adiali e non chiuse in sé, dovanno necessaiamente uscie dall'alto lato della supeficie, di modo che il flusso totale isulta nullo. Un'alta notazione di ilievo può a questo punto essee fatta; se consideiamo un cono di linee di foza (un tubo di flusso) che si dipatono da una caica, come conseguenza del fatto che E vaia con l inveso del quadato della distanza, si tova che il flusso di E attaveso una qualunque sezione del tubo di flusso è costante. Una conseguenza di quanto detto è che il teoema di Gauss è equivalente alla legge di Coulomb con la diffeenza che il pimo, noto il campo in ogni punto dello spazio, pemette il calcolo della caica che si tova all inteno di una data zona di tale spazio, mente il secondo, note le caiche, pemette di calcolae il campo. In definitiva il teoema di Gauss pe l elettostatica si espime con la seguente elazione: Φ ( E ) S q ε e questo fatto (il non essee cioè il flusso uguale a zeo) ci dice che nel campo elettico vi sono sogenti di caica. Nel caso magnetostatico, quando si considei una supeficie chiusa intono ad un magnete, attaveso di essa tante sono le linee di foza che entano quante sono quelle che escono (le linee di foza sono chiuse sul magnete e l impossibilità di ottenee un polo magnetico isolato gaantisce sempe ciò). Questo fatto vuol die che il teoema di Gauss pe la magnetostatica fonisce come isultato che il flusso uscente da qualunque supeficie chiusa posta nel campo (sia che contenga sia che non contenga il magnete) isulta sempe nullo: Φ S ( B) Un campo in cui si veifichi ciò è chiamato campo solenoidale ed un campo è solenoidale quando a lato di sogenti si hanno contempoaneamente pozzi in cui si annullano le sogenti. Scivendo l ultima elazione scitta con la notazione vista pe il campo elettico, si ha: B nds S Risulta, chiao alloa che mente il campo magnetico è solenoidale, il campo elettico non lo è.

11 5 Teoema di Gauss nel caso geneale [Pemetto una definizione che ci sevià. Dicesi angolo solido, sotto cui da un punto O si vede una supeficie piccola S, l'aea tagliata sulla sfea (di aggio unitaio e di cento O) dal cono che dal cento O poietta il contono di S. Chiamato Ω l'angolo solido sotto cui da O si vede S, sia la distanza da O a S ed n la pependicolae a S. Si poietti S sulla sfea di aggio e sia S' la poiezione; sia n la nomale alla supeficie sfeica, ed α l'angolo fa le due nomali, uguale alla sezione nomale del diedo fomato da S e S' (vedi figua). Figua a Figua b - Sezione nomale del diedo fomato da S e S' Dalla geometia sappiamo: S' : Ω : S'. Ω

12 e poiché si tova: S' S. cosα Ω S cosα L angolo solido si misua in steadianti e, nel caso si debba consideae la supeficie totale di una sfea, che ha supeficie 4π, l angolo solido totale sotteso da un punto saà: dove il isultato è in steadianti. 4π Ω 4π Nel caso più geneale, quando si consideino elementi infinitesimi ds di supeficie, pe dω si avà: ds d Ω ]. Consideiamo il campo geneato da una sola caica puntifome Q cicondata da una supeficie chiusa qualunque. In ogni punto di tale supeficie il campo E è dietto Q adialmente veso l esteno con un valoe E K. Figua a

13 Figua b. Sezione della figua a Figua 3 Nei punti di un aea ds sufficientemente piccola della supeficie si può ammettee che il campo abbia gandezza e diezione costante. La componente E n di E, 3

14 pependicolae alla supeficie, è uguale ad E cosα, con α angolo fomato da E e la pependicolae estena; mente il podotto di E n pe l aea ds è: E n ds Q E cosα ds K cosα ds Dalla figua 3 b si vede che ds.cosα è la poiezione dell aea ds su un piano ds cosα pependicolae ad e che è l angolo solido dω sotteso dalla caica Q all aea ds. Si ha alloa: E n ds K QdΩ che, integando su tutta la supeficie chiusa, diventa: E n ds K Q dω Indipendentemente dalla foma e dimensione della supeficie chiusa, Ω solido totale che ciconda la caica Q e vale 4π steadianti: d è l angolo Ricodando che K 4πε, abbiamo: ds E n K Q 4π () E ds n Q ε Il pimo membo è l integale di supeficie che isulta uguale alla caica in essa acchiusa indipendentemente dalla sua supeficie e dimensione ed indipendentemente dalla posizione di Q dento di essa. Se all inteno della supeficie consideata abbiamo una qualunque distibuzione di caica, occoeà sostituie nella () la somma di tutte le caiche: ds E n Q ε 4

15 E possibile scivee in alto modo le elazioni pecedenti intoducendo il vettoe ds con un modulo uguale a ds e con diezione e veso che sono quelli della pependicolae estena a ds. Il podotto E n ds E.cosα.dS si può quindi scivee come podotto scalae dei vettoi E e ds: In tal modo il teoema di Gauss si scive: E n ds E n ds Q En ds TOT ε Ossevando poi che il pimo membo non è alto che il flusso del campo E attaveso la supeficie S, si itova quanto avevamo studiato in modo elementae: Φ ( E ) S Q TOT ε 6 - Campo elettico geneato da una caica puntifome L'intensità del campo elettico geneato da una distibuzione di caica può essee calcolata diettamente mediante la legge di Coulomb (ma anche con il teoema di Gauss, calcolo che noi non faemo). L'intensità E i del campo elettico geneato in un ceto punto P da una singola caica q i è data da (da oa sciveò K in luogo di 4πε ): () i i, E F q i dove i è la distanza fa la caica e il punto P del campo ed io è un vesoe oientato dalla caica a P. Questa equazione deiva diettamente dalla legge di Coulomb pe la foza esecitata dalla caica q i su una caica di pova q o collocata nel punto P e dalla definizione dell'intensità del campo elettico come appoto fa la foza esecitata su una caica di pova e la caica. Consideeemo l'equazione () come legge di Coulomb pe l'intensità del campo elettico geneato da una singola caica puntifome. Pe tovae l'intensità totale del campo elettico geneato da n caiche puntifomi si tova l'intensità del campo geneato da ciascuna caica q i e si somma vettoialmente. K q i i, 5

16 F F F n E E + E q q q q F E n Le distibuzioni di caica sono costituite spesso da molte caiche così vicine fa loo che la caica può essee consideata distibuita continuamente su una supeficie o in un volume, anche se, sotto l'aspetto micoscopico, la caica elettica è una gandezza disceta. L'uso di una densità di caica elettica continua pe descivee una distibuzione di un gande numeo di caiche elettiche discete è simile all'uso di una densità mateiale (o densità di massa) continua pe descivee l'aia, che in ealtà è costituita da un gande numeo di molecole discete. In entambi i casi, è di solito facile tovae un elemento di volume v tanto gande quanto basta pe contenee molte singole caiche o molecole (miliadi) e tuttavia tanto piccolo quanto basta pe assicuae che, sostituendo v con un diffeenziale dv e usando l'analisi matematica, si intoduce un eoe tascuabile. Se la caica Q è distibuita in un volume v, la caica elettica volumica o densità volumica di caica elettica ρ è, pe definizione, () ρ Q v Spesso la caica è distibuita in uno stato sottile sulla supeficie di un copo. In questi casi, conviene definie una densità supeficiale di caica elettica σ. Sia s lo spessoe dello stato di caica, alloa, in un elemento di volume di aea A, la caica è: Q ρ v Q ρ. s A σ A dove σ è la caica elettica pe unità di supeficie: Q A (3) σ ρ s che si può anche scivee, in modo del tutto geneale σ Q S In modo analogo, se la caica è distibuita lungo una linea, pe esempio su un filo con sezione tasvesale di aea A, si sceglie un elemento di volume di lunghezza L, v A. L, e si definisce la densità lineae di caica elettica, λ, mediante la elazione 6

17 ossia Q ρ A L λ L Q L (4) λ ρ A 7 Campo elettico geneato da un dipolo (esecitazione) Si debba calcolae l'intensità del campo elettico di un dipolo elettico in un punto P situato sull'asse del dipolo (il segmento che congiunge le due caiche) a gande distanza z dal cento c dell asse. Ci inteessiamo nomalmente all'effetto elettico di un dipolo soltanto quando ci toviamo a gandi distanze paagonate alle dimensioni del dipolo, cioè a distanza z» d. A tali gandi distanze d/(z) «l (vedi figua a). (a) (b) Pe simmetia il campo elettico E nel punto P, e anche i campi E (+) ed E (-) podotti dalle caiche sepaate che fomano il dipolo, sono allineati lungo l'asse del 7

18 8 dipolo, che indichiamo come asse z. Applicando il pincipio di sovapposizione pe i campi elettici, si tova che l'intensità E del campo elettico in P è:. z d z d z q K z d z z d z q K d z d z q K q K q K E E E ) ( ) ( Applichiamo ai temini ta paentesi tonda lo sviluppo del binomio di Newton, consideando solo i pimi due temini di tale sviluppo. Ricodo lo sviluppo del binomio di Newton:...! ) (! ) ( + + ± ± x n n x n x n...! ) (! ) ( ± x n n x n x n m Abbiamo alloa: () z d... z d z q K...! z d...! z d z q K E I temini mancanti nei due sviluppi dell'equazione pecedente sono costituiti da potenze successive di d/z. Siccome d/z «l, i contibuti di questi temini sono pogessivamente minoi e si possono tascuae pe appossimae E a gandi distanze. Nella nosta appossimazione possiamo quindi iscivee l'equazione () come: () 3 z qd K z d z q K E Il podotto qd, che contiene le due popietà intinseche q e d del dipolo, viene chiamato momento di dipolo elettico del dipolo e indicato col simbolo p. La sua unità di misua è C.m. Si può quindi scivee l'equazione () come (3) 3 z p K E

19 Se definiamo il momento di dipolo elettico come un vettoe p, lo possiamo usae pe deteminae la diezione dell'asse di dipolo. La diezione è quella dell'asse dall'estemità negativa del dipolo a quella positiva. Il vettoe momento di dipolo è indicato nella figua b pecedente. L'equazione (3) mosta che, se si misua il campo elettico di un dipolo a gandi distanze, non si toveanno mai q e d sepaatamente, ma solo il loo podotto. Il campo in punti distanti non cambia se, pe esempio, q viene addoppiato e d viene simultaneamente dimezzato. Pe cui il momento di dipolo è una popietà fondamentale di un dipolo. Sebbene l'equazione (3) abbia valoe soltanto pe punti distanti lungo l'asse di dipolo isulta che E pe un dipolo vaia come / 3 pe tutti i punti distanti, sia che giacciano sull asse di dipolo sia che non giacciano su quest'asse; qui è la distanza del punto in questione dal cento del dipolo. La diezione di E pe punti distanti sull'asse di dipolo è sempe nel veso del vettoe momento di dipolo p. Questo è veo sia che il punto P nella figua (a) pecedente si tovi sopa sia che si tovi sotto l'asse del dipolo. L'esame dell'equazione (3) dimosta che, se si addoppia la distanza ta un punto e un dipolo, il campo elettico in quel punto si iduce di un fattoe 8. Se, invece, si addoppia distanza da una caica puntifome singola (equazione del capitolo pecedente), il campo elettico si iduce soltanto di un fattoe 4. Se ne deduce che il campo elettico di un dipolo diminuisce più apidamente con la distanza del campo elettico podotto da una caica singola. La spiegazione fisica di questa apida diminuzione del campo elettico di un dipolo è che un dipolo, da posizioni distanti, appae come due caiche uguali in intensità ma di segno opposto che coincidono quasi pefettamente. Pe cui i loo campi elettici, in punti distanti, si annullano ecipocamente quasi del tutto. 8 Campo elettico geneato da una caica lineae (esecitazione) Si è consideato finoa il campo elettico geneato da una o, al massimo, da poche caiche puntifomi. Consideiamo oa le distibuzioni di caiche composte da una enome quantità (miliadi) di caiche puntifomi molto avvicinate, spase lungo una linea, su una supeficie o ento un volume. Si dice che tali distibuzioni sono continue piuttosto che discete. Poiché queste distibuzioni possono avee un numeo enome di caiche puntifomi, i campi elettici che esse poducono si tovano mediante il calcolo infinitesimale piuttosto che consideando le caiche puntifomi 9

20 una alla volta. Toveemo oa il campo elettico podotto da una caica lineae. Quando si pala di distibuzioni continue di caica è più conveniente espimee la caica di un oggetto come una densità di caica, piuttosto che come una caica totale. Pe una caica lineae, ad esempio, ci ifeiemo a una densità di caica lineae (o caica pe unità di lunghezza) λ la cui unità di misua SI è il coulomb al meto (C/m). La figua seguente mosta un anello sottile di aggio R caicato unifomemente con densità lineae di caica λ. Supponiamo che l anello sia di mateiale isolante di modo che le caiche estino feme dove sono situate. Vogliamo calcolae il campo E nel punto P posto a distanza z dal piano dell' anello lungo il suo asse. Non possiamo peò utilizzae la () del capitolo pecedente (che ipoto di seguito scitta in modo più semplice) elativa al campo elettico podotto da una caica puntifome, poiché l'anello non è natualmente caica puntifome.

21 F E q () K q Possiamo peò usae i metodi dell analisi pensando di dividee l'anello in elementi diffeenziali di caica così piccoli da essee tattati come caiche puntifomi, e quindi applicae ad ognuno di essi ognuno di essi l'equazione (). Si possono poi sommae i campi elettici, geneati nel punto P, da tutti gli elementi diffeenziali. La loo somma vettoiale ci dà il campo geneato dall'anello nel punto P. Si considei ds come la lunghezza di un qualsiasi elemento diffeenziale (aco) dell anello. Consideiamo l anello caico (unifomemente) di aggio R delineato in figua. Se Q è la caica complessiva sull anello (e quindi λ dq/ds Q/πR). Peso un punto P sul suo asse, a distanza z dal suo cento (vedi figua), il campo in esso deteminato da un clementino ds dell anello è pai a de 4πε dq 4 πε λds Notando che elementi diametalmente opposti sull anello danno campi uguali, ma con componenti tasvese all asse uguali ed opposte, si capisce che il campo isultante è dietto lungo l asse stesso. Il suo valoe si otteà quindi con il seguente integale. E λ cosθ λπr cosθ de cosθ ds Q cosθ K zλ( πr ) 4πε 4πε 4πε R 3 ( z + ) con R + z e cos θ z/. Infine, espimendo cos θ e in temini delle alte gandezze, si ottiene E( z ) Qz 3 ( z + ) 4πε R 9 Campo elettico geneato da un disco caico (esecitazione) La figua seguente mosta un disco isolante di aggio R, sulla cui faccia supeioe è distibuita unifomemente una caica con densità σ. Si vuole calcolae il campo elettico nel punto P a una distanza z dal disco lungo il suo asse centale.

22 Abbiamo tovato nel capitolo pecedente il campo geneato da un anello caico. Di seguito ipoto il isultato: E( z ) Qz 3 ( z + ) 4πε R Oa si abbia un disco (sottile) di aggio R su cui è distibuita unifomemente della caica con densità supeficiale σ (vedi figua). Pe il calcolo del campo lungo l asse del disco, suddividiamo il disco stesso in tanti anelli concentici di aggio e spessoe d (e quindi con una caica dq σπd). Ognuno di essi detemina in un punto P sull asse del disco (a distanza z dal suo cento) un campo (come segue da quanto ottenuto nel calcolo pecedente) de dq z πzσ d d 4πε R 3 ( z + R ) 3 πε ( z + ) 4 Conseguentemente, il campo complessivo saà dato da

23 E de σz ε R 3 ( z + ) d Ricodando che: toviamo: m+ m x x dx m + (4) E σz ε ( z + ) σ z ε z + R R È inteessante notae che nel caso in cui sia R z alloa la pecedente elazione ci dà E σ ε indipendente da z. Tale espessione coisponde al campo geneato da un piano caico unifomemente. - Consevatività del campo elettico: campo unifome Ricodiamo che è consevativo un campo quando il lavoo fatto pe spostasi ta due punti A e B di esso è indipendente dal cammino pecoso. Ciò equivale a die che, in un campo consevativo se si pecoe un cicuito chiuso, il lavoo è nullo. Iniziamo con il consideae il caso di un campo elettico unifome, come quello esistente ta due placche paallele, caiche di segno opposto e distanti ta loo d meti. 3

24 caso. La caica + q si muove seguendo le linee del campo (fig. l). Il lavoo pe definizione è L F s (visto il paallelismo ta foza e spostamento, avemo semplicemente F.s), ove s è lo spostamento. Nel nosto caso ma F qe, quindi: s AB d; L AB qe.d caso. La caica + q si muove secondo una cuva piana qualunque (pe esempio in fig. la taiettoia pecosa sia AB'B). Appossimiamo la cuva AB' con la spezzata di n tatti appesentata in figua e ammettiamo che questa spezzata possa appossimae quanto si voglia la cuva aumentando n. Nei tatti oizzontali, paalleli alle amatue il lavoo è nullo peché lo spostamento e la foza sono pependicolai. Si ha solo lavoo nei tatti veticali in ciascuno dei quali è L qe. d, ove d è la lunghezza del tatto. Sommando tutti questi temini avemo: L L + L + + L n qe ( d + d d n ). 4

25 Natualmente la somma ta paentesi è uguale a d pe cui da A a B' il lavoo saà: L AB' qe.d. Il lavoo da B' a B è nullo peché di nuovo foza e spostamento sono pependicolai; quindi: L AB L AB' + L B'B qe.d + qe.d, come nel caso pecedente. Che è quanto si voleva dimostae. - Consevatività del campo elettico: caso adiale Si abbia una sfea caica + Q di aggio R. Il campo adiale ceato da tale sfea è dato da: Q E 4 πε () Supponiamo oa di avee una piccola caica + q che si sposti, seguendo una linea di campo, dal punto A (sulla supeficie della sfea caica) ad un punto qualunque B. 5

26 Figua 3 Oa calcoleemo il lavoo che le foze del campo fanno a spostae tale caichetta da A a B (cammino ), quindi calcoleemo il lavoo che dovemo fae conto le foze del campo pe ipotae la caichetta in A lungo il cammino. Ma toniamo al calcolo del lavoo fatto pe potae + q da A a B. Pe falo occoe patie con una ossevazione di fondamentale impotanza, pena un calcolo eato in tutto. Lo spostamento è AB e qui non vi è nulla da ossevae. Ma la foza (che si ottiene moltiplicando la caica + q pe il campo E) è davveo un gave poblema peché, ossevando la (), ci si ende immediatamente conto che essa vaia con l inveso del quadato della distanza (l analogo della foza gavitazionale). Le alte cose che compaiono nella fomula sono delle costanti, anche Q, una volta fissata, è quella e basta. Il fatto che la foza vai con il quadato della distanza, vuol die che man mano che ci si allontana dalla caica Q tale foza diminuisce. Fin qui è chiao. Il fatto è che la vaiazione di tale foza avviene punto pe punto. Ciò vuol die che pe calcolae il lavoo fatto pe andae da A a B occoe sommae infiniti lavoi, quelli fatti punto pe punto (della linea AB) che sono divesi ta loo. Seguiamo il seguente metodo di calcolo pe capie successivamente la potenza dell analisi matematica. Suddividiamo la distanza AB R in tanti piccoli segmenti tali che, in ognuno di essi la foza F q.e sia appossimativamente costante, pai cioè al valo medio (attenzione: non media aitmetica!) nell intevallo. All inizio del pimo intevallo (punto A) la foza che agisce sulla caica +q saà data da: 6

27 F 4 πε qq R alla fine dello stesso intevallo saà: F 4 πε qq Il poblema è avee una media nell intevallo di questi due valoi. La media aitmetica (sommae i due valoi di foza pe poi dividee pe ) dovebbe pevedee una diminuzione costante della foza nell intevallo. Ma qui la foza diminuisce con il quadato, se cioè ci si allontana di la foza diventa un quato, se ci si allontana di 3 la foza diventa un nono, Una media che isponde allo scopo è la media geometica, media in gado di deteminae il tasso medio di decemento (o accescimento) di un fenomeno (nel nosto caso: decemento della foza). Si definisce come media geometica ta N valoi (nessuno dei quali negativo o nullo), la adice N- esima del loo podotto. Nel nosto caso abbiamo valoi e quindi dovemo calcolae la adice quadata del loo podotto. Chiamando con F la nosta media, si tova: F 4πε qq R 4πε qq 4πε qq R Nel secondo intevallo (quello che va da ad ) si toveà: F 4 πε qq e così via: F 3 4 πε qq 3.. 7

28 8 Il lavoo che la foza F compie nel pimo intevallo, saà: 4 ) ( 4 ) ( R qq R R qq R F L πε πε Analogamente, pe L, L 3,, si tova: 4 qq L πε qq L πε. Poiché il lavoo complessivo L 3 fatto dalla foza elettica in questi pimi te intevalli saà: 3 3 L L L L + + si ha: qq qq R qq L πε πε πε cioè:

29 L 4πε qq R qq 4πε R 3 Estendendo il agionamento a tutti gli intevalli, ossevando che il secondo temine dento una paentesi tonda si annulla con il pimo della paentesi tonda successiva, si tova che il lavoo totale L AB, pe spostae la caica +q da A a B è dato da: qq L AB 4πε R Pima di andae olte si deve notae che questo lavoo è fatto dalle foze del campo (è il campo elettico della caica + Q che allontana la caica + q) e non conto di esse come nel caso in cui, invece di una caica + q, avessimo avuto una caica q (in tal caso, pe andae da A a B dovevamo essee noi ad esecitae una foza sulla caica q che altimenti saebbe stata spontaneamente attatta da + Q). In quest ultimo caso l espessione doveva essee cambiata di segno. Ma toniamo alla discussione che stavamo facendo. Resta un piccolo poblema: siamo sicui che il calcolo della media geometica ci dia popio il valoe cecato? Mi semba chiao che il valoe miglioe pe la foza non dovebbe essee mediato su un intevallo ma dovebbe essee quello che la foza ha punto pe punto. Si tatteebbe quindi di sommae infiniti contibuti infinitesimi. L integale è l opeazione che pemette questo tipo di somma. Facendo l integale da A a B (cioè da R ad ) delle foza elettica (nella quale l ee che compae al denominatoe non saà né R né ma un ρ vaiabile ta R ed, cioè: R ρ ) moltiplicata pe l intevallo infinitesimo dρ della linea di foza, abbiamo il lavoo L AB che abbiamo pima tovato con la lunga elaboazione vista: L AB qq qq qq qq Fdρ dρ dρ R R R 4πε ρ 4πε ρ 4πε ρ 4πε R R Mi pae sia chiao che il calcolo, l analisi, è qualcosa di fondamentale. Non si viaggia più pe tentativi (pe quanto sofisticati) ma si aiva a isultati ceti in tempi bevissimi e con opeazioni genealmente molto semplici (l integale oa fatto è uno degli integali elementai). 9

30 Volendo oa chiudee il discoso sul campo elettico, campo consevativo nel caso adiale, occoe fae il conto del lavoo che si fa pe tonae da B ad A, attaveso la linea della figua 3. Se facendo questo conto, toviamo lo stesso valoe (cambiato di segno) che abbiamo oa tovato pe il lavoo, alloa potemo concludee che il lavoo fatto pe andae da A a B è indipendente dal cammino pecoso in accodo con quanto detto all inizio: il lavoo fatto lungo una linea chiusa è nullo. Figua 4 Rifeendoci alla figua 4, soffemiamoci sulla linea cuva che unisce B ad A. Anche qui mi seviò di agionamenti analitici. Tale linea la posso pensae costituita da tanti tatti adiali (paalleli alle linee di foza) e da tanti achi di cechi concentici alla sfea. Lungo tali achi la foza che sposta la caica non compie lavoo peché la foza è pependicolae allo spostamento (la foza agisce lungo la linea di foza e tale linea è un aggio della sfea e quindi pependicolae alla sua supeficie ed a tutte le supefici concentiche ad essa). Nel tagitto cuvo estano alloa solo da consideae i contibuti adiali e la somma di tali contibuti non è alto che il tatto BA. Petanto il lavoo complessivo (lavoo fatto conto le foze del campo) che facciamo pe potae la caica +q da B ad A lungo la linea cuva non è alto che quello che abbiamo già tovato cambiato di segno. Petanto: L BA - L AB L L AB + L BA. Con questo abbiamo dimostato la consevatività del campo elettico nel caso adiale. Meita appena una citazione la genealizzazione di quanto oa discusso. Nel caso in cui la caica + q si sposti come mostato in figua 5a le cose vanno in modo identico a quanto visto e la elazione che ci fonisce il lavoo pe andae da A a B è la stessa. 3

31 (a) (b) Figua 5 Nel caso in cui da A a B si sposta una caica q (figua 5b), come già accennato, occoe cambiae di segno all espessione che ci fonisce quel lavoo che diventa: qq L BA πε R 4 Resta da die che la foza data dalla legge di Coulomb è consevativa. Ciò accade quando il lavoo eseguito su una paticella da questa foza, quando la paticella si sposta da un punto a un alto, dipende solo dalla posizione iniziale e dalla posizione finale e non dal cammino seguito. E, quando una foza è consevativa, si può associae ad essa un potenziale (come oa vedemo). Ricodo solo che, con dei conti identici, si è dimostata anche la consevatività del campo gavitazionale. In questo caso, invece di patie dalla legge di Coulomb F 4 πε qq R 3

32 occoeva patie dalla legge di gavitazione univesale: F G mm R - Il potenziale Rifeendoci al caso di figua 5b ed all ultima elazione scitta ad essa elativa, iniziamo con il icodae che la vaiazione di enegia potenziale ta due punti A e B è definita come il lavoo fatto pe andae da A a B: U B - U A L AB Nel nosto caso abbiamo quindi immediatamente: U B U A qq 4πε R Consideiamo oa U A come enegia potenziale di ifeimento ponendola quindi uguale a zeo in coispondenza di un campo che vale zeo: U A pe E. Oa E a distanza infinita, quando cioè R (se si icoda che E K.Q/R si vede subito che al tendee R ad infinito, il campo E tende a zeo). Quindi abbiamo: qq U B 4 πε E questo isultato è valido in geneale, cioè: 3

33 qq U B 4 πε appesenta il lavoo compiuto pe potae la caica q da un ceto punto (a distanza da Q) all infinito. Intodotta U (che a questo punto può fae a meno del sub indice) è possibile definie il potenziale V come enegia potenziale pe unità di caica: U () q V Q 4πε ; L unità di misua è il Volt J/C con simbolo V. Molto più utile nella patica, come oa vedemo, è la diffeenza di potenziale, data da: () V V V B A L AB q Abbiamo già detto che la foza elettostatica data dalla legge di Coulomb è consevativa; cioè, il lavoo eseguito su una paticella da questa foza, quando la paticella si sposta da un punto a un alto, dipende solo dalla posizione iniziale e dalla posizione finale e non dal cammino seguito. Peciò, a questa foza è associata un'enegia potenziale. Come nel caso di qualunque foza consevativa, la vaiazione dell'enegia potenziale è uguale, pe definizione, all'opposto del lavoo eseguito dalla foza. Quindi, il lavoo eseguito dalla foza è uguale alla diminuzione dell'enegia potenziale. Se ds è un piccolo spostamento di una paticella soggetta all'influenza di una foza consevativa F, la vaiazione dell'enegia potenziale du è pe definizione (3) du - F ds Rileviamo che questa equazione definisce soltanto la vaiazione dell'enegia potenziale. Pe deteminae il valoe assoluto dell'enegia potenziale si attibuisce di solito il valoe zeo all'enegia potenziale in una posizione oppotuna. DIFFERENZA DI POTENZIALE Si considei una caica di pova q in un campo elettico di intensità E geneato da un ceto sistema di caiche. La foza esecitata su q è qe. Questa foza è la somma 33

34 delle singole foze esecitate su q da ciascuna caica pesente nel sistema. Poiché ogni singola foza è data dalla legge di Coulomb ed è peciò consevativa, la foza isultante qe è consevativa. Peciò, il lavoo eseguito da questa foza è uguale alla diminuzione dell'enegia potenziale. Se essa è l'unica foza che esegue lavoo sulla paticella, la diminuzione dell'enegia potenziale è accompagnata da un aumento dell'enegia cinetica di uguale valoe assoluto. La vaiazione dell'enegia potenziale elettostatica di una caica di pova q che subisce uno spostamento ds è data dall'equazione (3), dove la foza F uguale a qe (icodo che il lavoo eseguito dalla foza è uguale alla diminuzione dell'enegia potenziale): (4) du qe d s La vaiazione dell'enegia potenziale è popozionale alla caica di pova q. Il appoto fa la vaiazione dell'enegia potenziale e la caica di pova q è chiamato diffeenza di potenziale dv: du q (5) dv E d s La diffeenza di potenziale fa un ceto punto A e un alto punto B è (6) V B VA dv E B L'integale E d s è il appoto fa il lavoo eseguito dalla foza del campo A elettico nello spostae la caica di pova q da A a B e la caica q. Poiché la foza qe è consevativa, questo lavoo non dipende dal cammino seguito da A a B. Volendo spostae una caica di pova q dal punto A al punto B senza acceleazione si deve esecitae una foza applicata F appl uguale e opposta alla foza qe esecitata dal campo. Il lavoo eseguito da tale foza applicata è l'opposto di quello eseguito dalla foza del campo elettico ed è peciò uguale all'aumento dell'enegia potenziale della caica. Secondo la definizione di enegia potenziale, l'aumento dell'enegia potenziale è q volte la diffeenza di potenziale V: (7) U q. V La diffeenza di potenziale V B V A diventa così suscettibile di una semplice intepetazione fisica: B A La diffeenza di potenziale V B V A è il lavoo pe unità di caica necessaio pe spostae una caica di pova, senza acceleazione, dal punto A al punto B. B A d s 34

35 - Sono supefici equipotenziali quelle muovendosi sulle quali si ha sempe lo stesso potenziale. - Due punti allo stesso potenziale non possono essee situati sulla stessa linea di foza. - La linea di foza unisce sempe punti a potenziali diffeenti, andando dal potenziale maggioe al potenziale minoe. 3 - Gadiente di potenziale Siano dati due punti a e b in un campo centale geneato da una caica + q. Se i due punti sono abbastanza vicini, la diffeenza di potenziale V a V b diventa dv e l integale cuvilineo di E da a a b si iduce a E s ds E s.ds, dove E s è la componente tangenziale alla taiettoia che lega a e b e ds è un elemento infinitesimo di tale taiettoia: da cui la foma diffeenziale: V a V b b a E S ds dv E s ds 35

36 da cui ancoa: E s dv ds La deivata del potenziale ispetto alla distanza nella diezione ds si chiama gadiente del potenziale ed E s è la componente del campo elettico nella diezione di ds. In qualunque punto di un campo elettico, la componente del campo in una data diezione è uguale al gadiente, cambiato di segno, del potenziale nella data diezione. L unità di misua del potenziale è il volt diviso meto (V/m). 4 Teoema di Coulomb Dimostiamo oa il teoema di Coulomb, applicazione del teoema di Gauss. Allo scopo consideiamo un conduttoe in equilibio elettostatico. Sappiamo già che la caica eventualmente pesente su di esso si distibuisce sulla supeficie estena S mente la caica è nulla all inteno del conduttoe. La distibuzione di tale caica è poi molto vaiabile, essendo unifome solo nel caso di supefici sfeiche. Chiamiamo dq la caica infinitesima pesente sulla supeficie infinitesima ds; chiamiamo poi con σ dq/ds la densità supeficiale di caica Consideiamo un cilindo di altezza infinitesima dh, avente le basi dsi e dse, uguali e paallele a ds, situate ispettivamente all'inteno e all'esteno del conduttoe. 36

37 Il campo elettico è nullo all'inteno del conduttoe, mente all'esteno è nomale alla supeficie S peché questa è equipotenziale. Si sommi oa il flusso attaveso la supeficie del cilindo. Non c'è flusso attaveso la paete cicolae intena (base del cilindo), peché il campo elettico è, in quel punto, nullo. Non c'è flusso attaveso la supeficie lateale cuva del cilindo, peché non c'è campo elettico all'inteno del conduttoe e il campo elettico è paallelo alla supeficie cuva all'esteno. L'unico flusso che passa attaveso la supeficie è quello che passa attaveso la faccia cicolae estena, dove E è pependicolae al piano della paete. Il flusso del vettoe E, uscente dal cilindo infinitesimo,è dunque: dφ E ds dove E e la componente di E secondo la nomale estena alla supeficie S. 37

38 Applicando il teoema di Gauss al cilindo infinitesimo, che contiene la caica dq σ.ds, otteniamo, pe la elazione appena scitta: E ds σ ds ε ovveo: E σ ε E questo è il teoema di Coulomb che affema: Il campo elettico E in un punto P vicino alla supeficie estena di un conduttoe ha modulo E σ/ε, dove σ, densità supeficiale di caica del conduttoe vicino a P, e con il campo dietto pependicolamente alla supeficie. Pe cui l'intensità del campo elettico appena al di fuoi di un conduttoe è popozionale alla densità di caica supeficiale che si tova in quello stesso punto del conduttoe. Se la caica del conduttoe è positiva, il campo elettico esce dal conduttoe, come nella figua. Enta invece nel conduttoe se la caica è negativa. Le linee di foza della figua devono teminae su qualche caica negativa posta in qualche pate intono. Se poniamo quelle caiche negative vicino al conduttoe, la densità di caica in tutti i punti cambia e così pue l'intensità del campo elettico. La elazione ta σ ed E saà comunque ancoa data dal teoema di Coulomb. Si ossevi che il campo esistente all'esteno di un conduttoe, è dovuto pe metà alla caica dq pesente su ds e, pe l'alta metà, a tutte le alte caiche pesenti sul conduttoe e fuoi di esso. 38

39 COME SI DIVERTIVANO Una agazza, sospesa su un seggiolino, viene elettizzata con una macchina elettostatica Un giovanetto, sospeso con una coda, viene elettizzato attaveso i piedi e, con la mano, è in gado di attae piccoli pezzetti di cata 39

40 Il giovanetto di figua pecedente, sospeso con una coda, dopo essee stato elettizzato attaveso i piedi, disponendo nella mano di baette di veto, poduce diffeenti fenomeni elettici Una delle espeienze spettacolai di Nollet: una dama caica di eletticità (pe contatto con la macchina elettostatica) sta pe tasmettee la scossa al suo spasimante sospeso (isolato) da tea. La macchina elettica a sfea di veto utilizzata da Nollet 4

41 Espeimenti elettici poposti nei testi di Nollet 4

42 Musschenboek elettizza l'acqua di una bottiglia Cua dei denti con l'eletticità 4

43 Un paalitico spea nel miacolo elettico 43

44 Il bacio elettico 44

45 Magnetismo Il magnetismo animale di Mesme Il magnetismo animale di Mesme 45

46 Mesme (sulla desta) dà dimostazioni del suo magnetismo animale Mesme ipnotizza pe mezzo di uno stumento (il tubo) 46

47 La tinozza di Mesme. Una tinozza con acqua e limatua di feo : ed intono ad essa i malati ta cui molte donne isteiche. Mesme li toccava con una bacchetta mente una fisamonica suonava: il fluido 'magnetico' si tasmetteva ed i pazienti dovevano tenesi uniti tamite una fune pe potenziae l'effetto di assobimento delle "enegie mesmeiche". Potati quindi in un'alta stanza, Mesme li tanquilizzava e a volte opeava vee guaigioni con tecniche ipnotico-suggestive. Successivamente,egli si accose che non seviva la bacchetta pe ottenee gli stessi effetti, ma la sola imposizione delle mani. Esse eano 'caiche' dello stesso fluido guaitoe e, alla stessa maniea, caicava oggetti capaci di guaie il paziente, facendolo entae in tance. 5 - La capacità Ripendiamo la nosta discussione sulle gandezze elettostatiche definendo la capacità di un conduttoe popio in ifeimento a quella gandezza che abbiamo lasciato qualche pagina indieto, il potenziale. Avevamo visto che, con le definizioni date, il potenziale all infinito è nullo, mente il potenziale di un singolo conduttoe isolato che pota una caica Q è popozionale alla stessa caica Q e dipende dalla foma e dalle dimensioni del conduttoe. In geneale quanto maggioi sono le dimensioni di un conduttoe, tanto maggioe è la quantità di caica che esso può potae pe un dato potenziale. La elazione () del capitolo definiva il potenziale di un conduttoe sfeico di aggio R e con una caica Q come: U q () πε R V Q 4 47

48 Da questa elazione si vede subito che, pe un dato valoe di V, più è gande R, più gande può diventae Q. Il appoto ta la caica e il potenziale di un conduttoe isolato è chiamato capacità elettica del conduttoe: Q C () V [unità: faad (F)] Tale appoto non dipende né da Q né da V (poiché V è sempe popozionale alla caica Q). Esso dipende solo dalle dimensioni e dalla foma del conduttoe. La capacità di un dato conduttoe sfeico saà (dalla elazione ): Q V C 4πε R La capacità della Tea, che ha un aggio R km, è: C 6 4πε R 4π 8,85 6,374 3,54 4 F Un sistema in gado di immagazzinae caiche mettendosi ad un dato potenziale si chiama condensatoe. 48

49 49

50 TESLA 5

51 CAPACITA DI UN CONDENSATORE PIANO Il calcolo della capacità di qualunque condensatoe non è difficile in teoia. Dati due conduttoi qualsiasi, si colloca una caica + Q su uno di essi e una caica - Q sull'alto e si tova la diffeenza di potenziale fa di essi. Nel caso in cui le geometie sono semplici, pe esempio pe il condensatoe piano o il condensatoe cilindico, si può tovae la diffeenza di potenziale tovando pe pima cosa il campo elettico mediante il teoema di Gauss o la legge di Coulomb, secondo qual è più conveniente. Si tova poi la diffeenza di potenziale integando l'intensità del campo elettico lungo qualunque cammino che colleghi i conduttoi, secondo l'equazione già data nel capitolo : (3) V B VA dv E B A B A d s Illusteemo questo calcolo nel caso del condensatoe piano. Un condensatoe piano è costituito da due lamine conduttici (amatue) paallele molto vicine fa loo. Ciascuna amatua abbia un'aea S. Un'amatua poti una caica + Q e l'alta una caica - Q. Ogni amatua ha quindi una densità supeficiale di caica pai a σ Q/S e il campo fa le amatue saà unifome (eccetto che ai bodi delle amatue). Il campo elettico nella egione di spazio compesa fa le amatue e lontana dai bodi è sostanzialmente quello dovuto a due distibuzioni 5

52 piane e indefinite di caica elettica. L'intensità del campo elettico dovuto a ciascuna distibuzione ha modulo ½. σ/ε (teoema di Coulomb). All'esteno delle amatue questi campi si elidono, ma nello spazio compeso fa le amatue si sommano poducendo un campo elettico la cui intensità ha il modulo Q (4) S E σ ε Si potebbe ottenee questo isultato anche mediante il teoema di Gauss applicato a una supeficie gaussiana costituita da un cilindo con una base fa le amatue e l'alta all'inteno di uno dei conduttoi, come abbiamo visto nel teoema di Coulomb (si ossevi che il teoema di Gauss lo abbiamo icavato nel caso di un campo centale, elativamente ad una supeficie che cicondava la caica, ed esso non isponde quindi al nosto scopo peché siamo nel caso di campo unifome, come isulta all inteno delle supefici piane e paallele di un condensatoe). Questo isultato è soltanto appossimato, peché sono stati tascuati gli effetti in possimità dei bodi delle amatue, ma in patica l appossimazione è abbastanza buona peché la distanza fa le amatue è il più delle volte molto minoe del diameto delle amatue (se esse sono cicolai) o della lunghezza del lato più coto (se sono ettangolai). Poiché questo campo è costante nella egione fa le amatue, la diffeenza di potenziale fa le amatue è semplicemente Ed, dove d è la distanza fa le amatue. Infatti, come avevamo visto, l enegia potenziale è data dalla foza di Coulomb moltiplicata una distanza: ε qq (5) U K F d Ma abbiamo anche che il potenziale V è definito come: (6) V U q F d q mente il campo elettico è definito come: (7) Sostituendo la (7) nella (6) si ha: E F q (8) V E.d 5

53 Il teoema di Coulomb ci dice poi che: (9) E σ ε pe cui la (8) diventa: σ () V d Pe alti vesi, dalla definizione di densità supeficiale σ Q/S si icava che ε () Q σ.s. Sostituendo la () e la () nella definizione di capacità (), C Q/V, si tova: C Q V σs σ d da cui: ε C ε S d La capacità è diettamente popozionale all'aea delle amatue e invesamente popozionale alla loo distanza. 6 Condensatoi in paallelo ed in seie Due o più condensatoi sono spesso collegati fa loo. La figua (a) mosta te condensatoi collegati in paallelo. Le amatue supeioi dei te condensatoi sono collegate insieme con un filo conduttoe e sono peciò allo stesso potenziale in 53

54 elettostatica. Anche le amatue infeioi sono collegate insieme e sono a un potenziale comune. È chiao che l'aggiunta di condensatoi collegati in questo modo ha l'effetto di aumentae la capacità; cioè, l'aea è sostanzialmente aumentata, consentendo che venga accumulata una maggioe quantità di caica pe la stessa diffeenza di potenziale V V A - V B. Se le capacità sono C l, C e C 3, le caiche Q l, Q e Q 3 accumulate sulle amatue sono date da Q C V Q C V Q 3 C 3 V dove V è la diffeenza di potenziale ai capi dei condensatoi. La caica totale accumulata è peciò Q Q + Q + Q 3 C V + C V + C 3 V (C + C + C 3 )V La capacità equivalente o isultante di condensatoi collegati in paallelo è il appoto fa la caica totale accumulata e il potenziale, Q/V. Peciò Q C C + V + C C3 La capacità equivalente è quella di un singolo condensatoe che potebbe sostituie i te condensatoi collegati in paallelo e accumulae la stessa quantità di caica pe una data diffeenza di potenziale V. Questo agionamento può essee esteso a più condensatoi collegati in paallelo, la capacità equivalente è semplicemente la somma delle singole capacità. 54

55 Vediamo oa il collegamento in seie di condensatoi, come mostato nella figua (b). Te condensatoi C l, C e C 3 sono collegati in seie, e fa l'amatua supeioe del pimo condensatoe e l'amatua infeioe del tezo condensatoe c'è una diffeenza di potenziale V. Si può ealizzae in patica questa situazione collegando i punti a e b ai mosetti di una batteia. Se una caica + Q è collocata sull'amatua supeioe del pimo condensatoe, una caica negativa uguale - Q saà indotta sulla sua amatua infeioe. Allo stesso modo veà indotta caica + Q e Q nelle amatue del tezo condensatoe. Questa caica è dovuta a elettoni povenienti dall'amatua supeioe del secondo condensatoe. Peciò, vi saà una caica + Q sull'amatua supeioe del secondo condensatoe e una caica uguale ma opposta - Q sulla sua amatua infeioe. Allo stesso modo nel tezo condensatoe. La diffeenza di potenziale fa le amatue del condensatoe supeioe è V Q/C. In modo analogo, la diffeenza di potenziale fa le amatue del secondo condensatoe è V Q/C. Ed ancoa allo stesso modo la diffeenza di potenziale fa le amatue del tezo condensatoe è V 3 Q/C 3. La diffeenza di potenziale ai capi dei te condensatoi collegati in seie è semplicemente la somma di queste diffeenze di potenziale: Q Q Q V V + V + V + + Q C C C + + C C C dove con C abbiamo indicato la quantità: Q C C C + C + C 3 e l espessione scitta ci dice che nel caso di condensatoi collegati in seie l inveso della capacità totale è uguale alla somma degli invesi delle singole capacità. La capacità equivalente o isultante di te condensatoi collegati in seie è minoe di quella dei condensatoi consideati sepaatamente. 7 Enegia elettostatica in un condensatoe Si può caicae un condensatoe tasfeendo una quantità di caica da un conduttoe all'alto. Poiché in questo pocesso il potenziale della caica tasfeita 55

56 aumenta, pe caicae un condensatoe occoe eseguie lavoo. Si può anche die che pe fa passae la caica di un condensatoe dal valoe al valoe Q si deve passae da un potenziale ad un potenziale V. Una pate di questo lavoo (o la sua totalità, secondo il pocesso usato pe caicae il condensatoe) è accumulato sotto foma di enegia potenziale (pate va specata sotto foma di caloe nei fili di collegamento e nella batteia stessa). Si voglia caicae un condensatoe piano. Essendo impotante solo la diffeenza di potenziale fa le amatue, si è libei di assegnae al potenziale il valoe zeo in qualunque punto. Conviene assegnae il valoe zeo al potenziale dell'amatua negativa. All'inizio del pocesso di caica, nessuna delle due amatue è caica; non c'è campo elettico ed entambe le amatue sono allo stesso potenziale. Dopo il pocesso di caica, una caica Q è stata tasfeita da un'amatua all'alta e la diffeenza di potenziale è V Q /C, dove C è la capacità. Si ha quindi una caica Q su un'amatua, alla quale è stato assegnato il potenziale zeo, e una caica + Q sull'alta amatua al potenziale V. Ci si potebbe attendee che il lavoo necessaio pe aggiungee questo isultato sia semplicemente il podotto della caica Q pe l'enegia potenziale pe unità di caica V, ma solo l'ultima piccola quantità di caica deve essee innalzata all'intea diffeenza di potenziale V. La diffeenza di potenziale fa le amatue cesce dal valoe iniziale al valoe finale V. Il valoe medio della diffeenza di potenziale duante il pocesso di caica è semplicemente ½V, e il lavoo necessaio è ½Q V, come si può vedee nella maniea seguente. Sia q la caica che è stata tasfeita in un ceto istante duante il pocesso. La diffeenza di potenziale è quindi V q/c. Se una piccola quantità di caica dq viene oa tasfeita dall'amatua con caica - q a potenziale zeo all'amatua con caica + q al potenziale V, la sua enegia potenziale viene aumentata di: q C () du Vdq dq L'aumento totale dell'enegia potenziale nel pocesso di caica da q a q Q o è l'enegia accumulata nel condensatoe (vedi figua). 56