Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello

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1 Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Maurizio Palesi Maurizio Palesi 1

2 Introduzione Obiettivo della sintesi logica: ottimizzazione delle cifre di merito area e prestazioni Prestazioni: valutate di norma come il ritardo di propagazione lungo il percorso critico Reti combinatorie a due livelli: si riducono contemporaneamente areae ritardo Reti combinatorie a più livelli: area e ritardo non procedono nella stessa direzione Maurizio Palesi 2

3 Introduzione I circuiti logici combinatori sono molto spesso realizzati come reti multi-livello di porte logiche Aumento dei gradi di libertà per l ottimizzazione Sfruttamento del trade-off area/ritardo Soddisfare i vincoli tecnologici Difficoltà di modeling e ottimizzazione Metodi esatti: praticamente non attuabili Euristiche (2 passi) Ottimizzazione trascurando i vincoli (semplici modelli per area e prestazioni) I vincoli sono presi in considerazione (library binding) Fattorizzazione Maurizio Palesi 3

4 Fattorizzazione Costo: 31 porte a 2 ingressi Ritardo: 5 f = xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv Corrispondente ad un circuito costituito da 8 porte AND a 4 ingressi e 1 porta OR a 8 ingressi Raramente disponibili in una libreria Caratterizzati da ritardi elevati Maurizio Palesi 4

5 Fattorizzazione f = xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv + xyzv Applicando la proprità distributiva del prodotto rispetto alla somma f = xy(zv + zv) + xy(zv + zv) + xy(zv + zv) + xy(zv + zv) Riapplicando nuovamente la stessa proprietà f = (xy + xy)(zv + zv) + (xy + xy)(zv + zv) Ricordando che (ab + ab) =(ab + ab) i = (xy + xy) j = (zv + zv) f = ij + ij Maurizio Palesi 5

6 Fattorizzazione Costo della rete ancora di 9 porte logiche Ma tutte le porte sono a 2 ingressi Numero di letterali da 32 a 12 Costo: 9 porte a 2 ingressi Ritardo: 4 Maurizio Palesi 6

7 Fattorizzazione La tecnica di fattorizzazione, se applicata manualmente, implica una certa misura di intuito (o di fortuna) da parte del progettista Deve sapere scegliere nel modo migliore i termini rispetto a cui fattorizzare e l ordine Spesso occore effettuare una fase di espansione (Teorema di Shannon) prima di fattorizzare Utilizzo di strumenti di progettazione automatica Maurizio Palesi 7

8 Esempio (1/3) Si supponga di disporre di porte con un massimo di 3 ingressi (ritardo uniforme τ) f = l + c *g*h + a*b *k + g*k + a *b *c *d *e + a*d *e *f + e *g *i + e *j La porta AND a cinque ingressi è realizzata come cascata di due AND a tre ingressi; l OR a otto ingressi realizzato con tre OR in parallelo seguiti da un OR finale Costo: 23 letterali Ritardo: 5 Maurizio Palesi 8

9 Esempio (2/3) Si proceda ora a fattorizzare k fra il 3 e il 4 termine f = l + c *g*h + k (a*b + g) + a *b *c *d *e + a*d *e *f + e *g *i + e *j ; Costo: 22 letterali Ritardo: 5 Si applichi ancora la fattorizzazione questa volta rispetto a e, per i termini dal 4 all ultimo f = l + c *g*h + k (a*b + g) + e *(a *b *c *d + a*d *f +g *i +j ); Costo: 19 letterali Ritardo: 6 Maurizio Palesi 9

10 Esempio (3/3) Infine, si applichi iterativamente la fattorizzazione entro la seconda parentesi, questa volta rispetto a d f = l + c *g*h + k *(a*b + g) + e *(d *(a *b *c + a*f )+g *i +j ) Costo: 18 letterali Ritardo: 7 Ritardo Area Maurizio Palesi 10

11 Obiettivi della Sintesi Nella realizzazione di reti combinatorie a più livelli, più che ricercare un ottimo (che non è sempre definibile in maniera univoca), si cerca una soluzione accettabile in termini di area e ritardo Sarebbe più corretto parlare di sintesi invece che di ottimizzazione. La sintesi può prevedere Minimizzazione dell'area (con vincolo sul ritardo) Minimizzazione del ritardo (con vincolo sull'area) Maurizio Palesi 11

12 Criteri Guida (1/2) Si pone il problema di scegliere rispetto a quale/quali variabili fattorizzare a ogni passo Quali variabili raccogliere a fattor comune? Fra quali termini? Si ricorre a semplici criteri-guida Maurizio Palesi 12

13 Criteri Guida (2/2) Partendo da una forma iniziale (tipicamente, una forma a due livelli) si costruisce una tabella in cui A ogni riga corrisponde uno dei termini prodotto (implicanti) presenti nella espressione Per ogni variabile si introducono due colonne una corrispondente alla forma naturale, una alla forma complementata; In ogni casella si scrive 1 se il letterale compare nell implicante, 0 altrimenti Nell ultima riga della tabella, colonna per colonna, si inserisce la somma aritmetica dei termini della colonna Un semplice indicatore di quanto sia presente il letterale nei diversi implicanti Maurizio Palesi 13

14 Esempio 1 (1/5) Si consideri f = a*c*d + a *b*c + a *b*d + b *c*d Si faccia riferimento a porte a 3 ingressi con ritardo uniforme Costo: 12 letterali Ritardo: 3 Maurizio Palesi 14

15 Esempio 1 (2/5) I letterali di maggior peso sono a, b, c, d Si nota inoltre che c e d compaiono nelle stesse righe Il termine cd è quindi un buon candidato per la fattorizzazione Si estraggono due tabelle Una costituita dalle righe in cui compaiono sia c sia d (estraendo cd dai rispettivi implicanti) e dalle colonne relative alle variabili residue L altra residua costituita da tutte le righe restanti La tabella completa (cioè la funzione) è la somma logica delle due Maurizio Palesi 15

16 Esempio 1 (3/5) Maurizio Palesi 16

17 Esempio 1 (4/5) Dalla tabella di sinistra non risultano ulteriori possibilità di fattorizzazione La tabella corrisponde alla somma dei due termini prodotto che marcano le righe (quindi ad a+b ) La tabella di destra porta a un ulteriore fattorizzazione rispetto al prodotto a b Anche in questo caso si estrae una tabella residua Maurizio Palesi 17

18 Esempio 1 (5/5) Dalla sequenza di passi ora visti si ottiene la forma fattorizzata f = d*c*(a+b ) + a *b*(c +d ) Costo: 8 letterali Ritardo: 3 Maurizio Palesi 18

19 Esempio 2 Maurizio Palesi 19

20 Esempio 3 Maurizio Palesi 20

21 Modelli di Reti Logiche Il comportamento di un circuito combinatorio a n ingressi ed m uscite può essere espresso da un vettore di funzioni Booleane: f i :B n {0,1,*}, i=1,2,...,m Tale funzione, che può essere non completamente specificata, rappresenta una corrispondenza esplicita tra lo spazio degli ingressi primari e lo spazio delle uscite primarie La struttura di un circuito combinatorio multi-livello, in termini di interconnessione di porte logiche, può essere descritta da una rete logica Una rete logica è una struttura che collega dei moduli (porte di I/O e porte logiche) attraverso reti di interconnessione Maurizio Palesi 21

22 Modelli di Reti Logiche (cont.) Una rete logica può essere rappresentata da un DAG (Directed Acyclic Graph) nel quale i vertici corrispondono ai moduli e i lati rappresentano reti a due terminali, nelle quali le reti originali a terminale multiplo sono state ridotte Una rete logica i cui moduli interni corrispondano a porte logiche appartenenti ad una libreria viene chiamata rete logica mappata (bounded or mapped logic network) Il comportamento di un circuito può essere rappresentato attraverso strutture equivalenti. Al contrario, un unico comportamento può essere derivato dalla struttura di un circuito Maurizio Palesi 22

23 Esempio di Rete Logica Comportamento logico di I/O x = ab y = c + ab a b c Rete logica mappata p q x y v a Grafo della rete logica v b v p v x v c v q v y Maurizio Palesi 23

24 Modelli di Reti Logiche Una rete logica non gerarchica rappresentata dal grafo G n (V,E) è costituita da: Un insieme di vertici V partizionato in 3 sotto-insiemi V I vertici relativi a ingressi primari e n i = V I numero degli ingressi primari V O vertici relativi a uscite primarie e n o = V o numero delle uscite primarie V G vertici interni e n g = V G numero dei vertici interni Ogni vertice è etichettato da una variabile Un insieme di funzioni booleane combinatorie scalari associate ai vertici interni Gli invertitori sono impliciti nel modello e non sono rappresentati. In pratica, ogni vertice può fornire segnali di entrambe le polarità (rete logica a doppia polarità) Maurizio Palesi 24

25 Modelli di Reti Logiche Esempio Si consideri la rete logica con variabili di ingresso primarie {a,b,c,d,e}, variabili di uscita primarie {w,x,y,z} descritta dalle seguenti equazioni p = ce + d e q = a + b r = p + a' s = r + b' t = ac + ad + bc + bd + e u = q'c + qc' + qc v = a'd + bd + c'd + ae' w = v x = s y = t z = u Maurizio Palesi 25

26 Modelli di Reti Logiche Esempio - Rappresentazione Costo associato alla rete logica = ( ) letterali = 33 letterali Maurizio Palesi 26

27 Stima dell Area L area occupata da una rete logica multi-livello è proporzionale al numero di porte logiche e alle interconnessioni (wiring) L area delle porte logiche è definibile una volta che si conosca la libreria tecnologica Valutabile parametricamente in base al numero di ingressi In base al numero di porte logiche equivalenti (NAND2) che implementano la corrispondente funzionalità logica e al numero di letterali L area dovuta ai collegamenti è molto più difficile da stimare Proporzionale al numero di letterali Maurizio Palesi 27

28 Stima del Ritardo Ritardo proporzionale al numero di livelli logici e alle interconnessioni Nel caso di bounded network (reti mappate su una libreria tecnologica), il ritardo di ogni singola porta logica è specificato Altrimenti il ritardo è stimato in base al ritardo associato ad ogni vertice (es. ritardo unitario per ogni vertice) Modelli di ritardo più sofisticati tengono conto del fan-out e delle interconnessioni associati ai vertici Ottimizzazione in timing = Ridurre il ritardo associato al percorso più lungo detto percorso critico Maurizio Palesi 28

29 Ottimizzazione Multi-livello: Metodi Metodi esatti Elevata complessità computazionale Non applicabili ai casi reali Metodi approssimati Metodi euristici basati sull applicazione iterativa di trasformazioni che preservano il comportamento di I/O L esecuzione di trasformazioni in qualunque sequenza salvaguarda l equivalenza della rete logica Metodi che differiscono per Tipo delle trasformazioni Selezione e ordine delle trasformazioni Maurizio Palesi 29

30 Ottimizzazione Multi-livello Problema della sintesi multi-livello Trovare un appropriata sequenza di trasformazioni da applicare alla rete logica Una rete logica viene dichiarata ottima in area e ritardo rispetto ad un insieme di trasformazioni quando l aplicazione di queste non può più migliorare la funzione di costo Maurizio Palesi 30

31 Ottimizzazione Multi-livello Le traformazioni Si valutano utilizzando delle cifre di merito In modo da scartare le trasformazioni non convenienti Si applicano in modo iterativo Il procedimento termina quando nessuna ulteriore applicazione di queste la migliora Per ogni trasformazione è definito un algoritmo Dove la trasformazione può essere applicata? Termina quando nessuna trasformazione dello stesso tipo può essere applicabile Gli algoritmi legati a trasformazioni diverse vengono applicati in sequenza Sequenze di applicazione diversa portano a risultati diversi Script di sintesi Maurizio Palesi 31

32 Trasformazioni Algebriche Sweep Eliminazione Decomposizione Estrazione Semplificazione Sostituzione Maurizio Palesi 32

33 Sweep Elimina dalla rete I nodi con un solo ingresso I nodi le cui funzioni danno valore costante Viene richiamata a valle di altre trasformazioni Maurizio Palesi 33

34 Eliminazione L eliminazione di un vertice interno è la sua rimozione dalla rete. La variabile corrispondente al vertice è rimpiazzata dalla corrispondente espressione in tutte le sue occorrenze nella rete logica Eliminazione Maurizio Palesi 34

35 Eliminazione (cont.) Maurizio Palesi 35

36 Decomposizione La decomposizione di un vertice interno è la sostituzione del vertice con due (o più) vertici che formano una sottorete equivalente al vertice originale Decomposizione v = (a + b + c )d + ae j = a + b + c v = jd + ae Maurizio Palesi 36

37 Decomposizione (cont.) Maurizio Palesi 37

38 Estrazione Una sotto-espressione comune a due funzioni associate a due vertici può essere estratta creando un nuovo vertice associato alla sottoespressione p = (c + d)e k = c + d p = ke t = ka + kb + e t = (c + d)(a + b) + e Maurizio Palesi 38

39 Estrazione (cont.) Maurizio Palesi 39

40 Semplificazione Una funzione è ridotta in complessità sfruttando le proprietà della sua rappresentazione. Se la funzione è rappresentata nella forma a due livelli allora le tecniche di ottimizzazione a due livelli possono essere utilizzate. Se l insieme di supporto non cambia allora la trasformazione si dice locale u = q + c Trasformazione locale Maurizio Palesi 40

41 Sostituzione Una funzione è ridotta in complessità utilizzando un ingresso addizionale che non appartiene all insieme di supporto. La trasformazione richiede la creazione di una dipendenza ma può anche portare ad eliminarne altre t = k(a + b) + e Maurizio Palesi 41

42 Sostituzione (cont.) Maurizio Palesi 42

43 Risultato delle Trasformazioni Costo associato alla rete logica trasformata = ( ) letterali = 24 letterali Maurizio Palesi 43

44 Risultato delle Trasformazioni k = c + d q = a + b s = ke + a' + b' t = kq + e u = q c + qc + qc v = jd + ae' w = v x = s y = t z = u Rispetto alla rete logica di riferimento il numero totale dei letterali è stato ridotto da 33 a 24 Maurizio Palesi 44

45 Trasformazioni Booleane Idea di base Associare ad ogni nodo della rete Non solo la funzione booleana locale ma anche un insieme di condizioni di indifferenza locali Si considerano le relazioni tra il singolo nodo e l intera rete Condizioni di indifferenza esterne Di controllabilità di ingresso Di osservabilità di uscita Maurizio Palesi 45

46 Condizioni di Indifferenza Esterne Di controllabilità di ingresso Controllability don t care (CDC in ) Configurazioni di ingresso che non vengono mai prodotte dall ambiente E quindi non vengono mai presentate agli ingressi primari CDC in = x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 1 x 4 +x 2 x 3 +x 2 x 4 +x 3 x 4 Maurizio Palesi 46

47 Condizioni di Indifferenza Esterne Di osservabilità in uscita Observability don t care (ODC out ) Configurazioni di ingresso corrispondenti a situazioni in cui l uscita non verrà osservata ODC out = [x 1 x 1 x 4 x 4 ] T Maurizio Palesi 47

48 Condizioni di Indifferenza Esterne Insieme complessivo delle condizioni d indifferenza esterne External don t care (DC ext ) DC ext = CDC in ODC out CDC in = x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 1 x 4 +x 2 x 3 +x 2 x 4 +x 3 x 4 ODC out = [x 1 x 1 x 4 x 4 ] T DC ext =CDC in ODC out =[ x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 4 x 2 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 1 ] Maurizio Palesi 48

49 Insiemi Locali di Condizioni di Indifferenza Mappa di Karnaugh per y Maurizio Palesi 49

50 Insiemi Locali di Condizioni di Indifferenza Non puo mai essere x a+b E possibile definire le seguenti condizioni di indifferenza di controllabilità CDC=x a b = x a xb xa b Maurizio Palesi 50

51 Insieme di Soddisfacibilità L uscita di una funzione non può mai essere diversa dalla valutazione della funzione stessa Per l intera rete G(V,E) si può calcolare l insieme di soddisfacibilità SDC= v x V x f x x è l uscita del generico nodo v x f x è la funzione che genera x Maurizio Palesi 51

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