Probabilità. Soluzioni degli esercizi. Springer. 28 agosto 2013

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1 Fracesco Caravea Paolo Dai Pra Probabilità Soluzioi degli esercizi 8 agosto 03 Spriger

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3 Idice Spazi di probabilità discreti: teoria S- 3 Variabili aleatorie discrete: teoria S-7 6 Variabili aleatorie assolutamete cotiue S-55 7 Teoremi limite S-9 8 Applicazioi alla statistica matematica S-03 Tavola della distribuzioe ormale S-3 Pricipali distribuzioi otevoli su R S-5 Riferimeti bibliografici S-7 v

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5 Capitolo Spazi di probabilità discreti: teoria. Modelli probabilistici discreti Esercizio.. Sia (Ω,P uo spazio di probabilità discreto e siao A,B Ω eveti. (i Si mostri che se P(A = P(B = 0 allora P(A B = 0. (ii Si mostri che se P(A = P(B = allora P(A B =. Soluzioe.. ( Poiché ogi probabilità è sub-additiva (Proposizioe.6 (ii, P(A B P(A + P(B = 0. ( Per il puto precedete, P(A c B c = 0. Ma, essedo A B = (A c B c c, si ha P(A B = P(A c B c =. Esercizio.. Rafforziamo l esercizio precedete. Sia (Ω, P uo spazio di probabilità discreto e sia (A N ua famiglia umerabile di eveti. (i Si mostri che se P(A = 0 per ogi N, allora P( N A = 0. (ii Si mostri che se P(A = per ogi N, allora P( N A =. Soluzioe.. Si argometa i modo aalogo all esercizio precedete, osservado che, per sub-additività umerabile (Corollario.0, ( P A P(A = 0, N N e che ( c A = A c N N Esercizio.3. Sia (Ω,P uo spazio di probabilità discreto e sia C Ω u eveto. S-

6 S- Spazi di probabilità discreti: teoria (i Si mostri che, se P(C =, allora P(A C = P(A per ogi A Ω. (ii Si mostri che, se P(C = 0, allora P(A C = P(A per ogi A Ω. Soluzioe.3. ( Basta osservare che essedo A C c C c e P(C c = 0. ( I modo aalogo, essedo C A c C e P(C = 0. P(A P(A C = P(A C c = 0 P(A C P(A = P(C A c = 0 Esercizio.4 (Disuguagliaza di Boferroi. Siao A,...,A eveti di uo spazio di probabilità discreto (Ω,P. Si mostri per iduzioe su N che ( P k= A k k= P(A k i< j P(A i A j. I particolare, se P(A i A j = 0 per i j, si deduca che P( k= A k = k= P(A k. Soluzioe.4. Se = la disuguagliaza da dimostrare si riduce a P(A P(A, baalmete vera. Assumiamo la disugliagliaza vera per. Ricordado l idetità P(A B = P(A + P(B P(A B (Proposizioe.6 (ii, ( + ( P A k = P ( k= k= ( A k A + = P k= (( A k +P(A + P Ora, per il termie P ( k= A k usiamo l ipotesi iduttiva: ( P k= A k k= P(A k i< j P(A i A j. k= A k A +. metre per il termie P ( ( k= A k A + usiamo la sub-additività (Corollario.0 (( P k= ( A k A + = P Mettedo tutto assieme otteiamo k= (A k A + k= P(A k A +.

7 . Calcolo combiatorio S-3 ( + ( (( P A k = P A k + P(A + P A k A + k= k= + = k= k= P(A k P(A k i< j i< j + k= P(A i A j + P(A + P(A i A j. Esercizio.5. Co le stesse otazioi dell Esempio.4, si mostri che k= P(A k A + lim P β ({ω} =, ω M. (.7 β + M Possiamo dire che, per β +, la probabilità P β coverge (el seso della relazioe (.7 verso la probabilità uiforme sull isieme M. Soluzioe.5. Se ω M, cioè H(ω = m, si ha P β ({ω} = e βh(ω σ Ω e βh(σ = σ Ω e β[h(σ m] = M + σ M e β[h(σ m]. Poiché, per σ M, H(σ > m e pertato si coclude facilmete. lim β + e β[h(σ m] = 0,. Calcolo combiatorio Esercizio.6. Siao Ω e Ω due isiemi fiiti, sia P la probabilità uiforme su Ω e P la probabilità uiforme su Ω Ω. Si mostri che per ogi A Ω P (A = P(A Ω. Soluzioe.6. La coclusioe è ovvia ua volta osservato che A Ω = A Ω. Esercizio.7. Si cosideri u mazzo di 5 carte da Poker, e si scelgao a caso 5 carte. Si calcoli la probabilità che: (i elle 5 carte ci sia almeo ua coppia (cioè due carte di semi diversi ma co lo stesso umero o figura; (ii elle 5 carte ci sia esattamete ua coppia, cioè ci sia ua coppia ma essua combiazioe migliore (doppia coppia, tris...

8 S-4 Spazi di probabilità discreti: teoria Soluzioe.7. Sia S l isieme delle 5 carte, Ω := {A S : A = 5}, P la probabilità uiforme su Ω. (i Sia E = elle cique carte estratte o c è essua coppia. La scelta di u elemeto di E c può essere eseguita i due passi: ( Si scelgoo 5 tipi (ossia umeri o figure distiti; questo può essere fatto i ( 3 5 modi diversi. ( Ua volta eseguita la scelta i (, si tratta di scegliere per oguo dei 5 umeri o figure uo dei 4 possibili semi (cuori, quadri, fiori, picche ; questo comporta 4 5 esiti distiti della scelta. Segue duque che E c = 4 5( 3 5. Pertato, per il pricipio fodametale del calcolo combiatorio (Teorema.6, P(E = 45( (iii Sia F l eveto elle cique carte estratte c è esattamete ua coppia. La scelta di u elemeto di F si può eseguire i tre passi: ( 5 5 ( si sceglie il umero o figura per la coppia (3 esiti; ( fissata la scelta i (, si scelgoo le due carte per la coppia ( ( 4 esiti; (3 fissate le scelte i ( e (, si scelgoo 3 carte co umeri o figure distiti e diversi da quello usato per la coppia. Il umero di scelte si determia come al puto (i, ma co 48 carte ivece di 5 e 3 carte scelte ivece di 5: ci soo duque 4 3( 3 esiti possibili. Quidi F = 3 ( ( 3, da cui segue che P(F = 3( ( Esercizio.8. Ua classe è costituita da 30 persoe, tra cui Giacomo, Claudio e Nicola. U isegate divide i modo casuale la classe i tre gruppi di 0 persoe. ( 5 5 (i Qual è la probabilità che Giacomo, Claudio e Nicola fiiscao i tre gruppi distiti? (No semplificare i coefficieti biomiali (ii Qual è la probabilità che fiiscao ello stesso gruppo? Soluzioe.8. (i Sia Ω := {(A,A,A 3 : A i {,,...,30}, A i = 0, A i A j = /0 per i j}, e P la probabilità uiforme su Ω. Si oti che Ω è formato da tere ordiate di sottoisiemi che formao ua partizioe dell isieme {,,...,30}. (No sarebbe affatto sbagliato cosiderare tere o ordiate. No è restrittivo assumere che Giacomo, Claudio e Nicola corrispodao rispettivamete agli ele-

9 .3 Probabilità codizioale e idipedeza S-5 meti, e 3 di {,,...,30}. U elemeto di Ω si determia co la seguete sequeza di scelte successive: Scelgo A : ( 30 0 esiti. Scelgo A da {,,...,30} \ A : ( 0 0 esiti. Ovviamete A 3 resta determiato. Quidi, per il Teorema.6, ( ( 30 0 Ω =. 0 0 Cosideriamo ora l eveto B = Giacomo, Claudio e Nicola fiiscoo i tre gruppi distiti. U elemeto di B si determia co la seguete sequeza di scelte successive: Scelgo 9 elemeti per A i {4,5,...,30}: ( 7 9 esiti. Scelgo 9 elemeti per A i {4,5,...,30} \ A : ( 8 9 esiti. Scelgo come disporre, e 3 ei tre posti vuoti: 3! = 6 esiti. Duque: ( ( 7 8 B = P(B = 6( 7 9 ( 30 0 ( 8 9 ( (ii Sia C = Giacomo, Claudio e Nicola fiiscoo ello stesso gruppo. U elemeto di C si determia co la seguete sequeza di scelte successive: Scelgo il gruppo i cui iserire Giacomo, Claudio e Nicola: 3 esiti. Scelgo i rimaeti compoeti di quel gruppo: ( 7 7 esiti. Scelgo i compoeti di uo (qualsiasi degli altri due gruppi: ( 0 0 esiti. Duque P(C = 3( 7 7 ( 30 0 ( 0 0 ( 0 0 = 3( ( Probabilità codizioale e idipedeza Esercizio.9. Si mostri, co degli esempi, che etrambe le disuguagliaze P(A B > P(A e P(A B < P(A soo possibili. Soluzioe.9. Si cosideri u qualsiasi spazio di probabilità (Ω,P i cui vi sia u eveto B per cui P(B (0,. (Ad esempio, si cosideri l isieme Ω = {0,} muito della probabilità P uiforme, e sia B := {0}, così che P(B =. Posto A = B, si ha P(A B = P(B B = > P(A,

10 S-6 Spazi di probabilità discreti: teoria metre, posto A = B c, si ha P(A B = P(B c B = 0 < P(A. Esercizio.0. Siao A,B,C tre eveti i uo spazio di probabilità discreto (Ω,P. Si assuma che A,B,C siao idipedeti. Si mostri che (i A B è idipedete da C. (ii A B è idipedete da C. Soluzioe.0. (i Quasi ovvio: P[(A B C] = P(A B C = P(AP(BP(C = P(A BP(C. (ii Per la Proposizioe.64, è equivalete dimostrare che (A B c = A c B c è idipedete da C. Poichè gli eveti A c,b c,c soo idipedeti (acora per la Proposizioe.64, ci siamo ricodotti al caso precedete visto i (i. Esercizio.. Siao A,A,...,A eveti idipedeti tali che P(A A A =. Si mostri che esiste k {,,...,} tale che P(A k =. Soluzioe.. Usado la Defiizioe.6 di idipedeza di eveti, e il fatto che l idipedeza di eveti implica l idipedeza dei loro complemetari (Proposizioe.64, abbiamo che 0 = P((A A A c = P(A c Ac = k= P(A c k. Poiché u prodotto di umeri reali vale zero se e solo se uo dei fattori vale zero, segue che esiste k {,,...,} tale che P(A c k = 0, cioè P(A k =. Esercizio.. Siao assegati tre umeri: α,α [0,] e β (0,. Si mostri che esiste uo spazio di probabilità discreto (Ω,P coteete due eveti A,B tali che P(B = β, P(A B = α, P(A B c = α. [Sugg. Si cosideri Ω = {ab,a b,āb,ā b} = {a,ā} {b, b}, defiedo A := {ab,a b}, B := {ab,āb} e mostrado che esiste u uica probabilità P su Ω che soddisfa le specifiche richieste.] Soluzioe.. Basta defiire la desità discreta p(ω := P({ω}. Se devoo valere le relazioi P(B = β, P(A B = α, P(A B c = α, (S. si deve avere ecessariamete p(ab = P({ab} = P(A B = P(B P(A B = β α. Co aaloghi calcoli, si ricavao tutti i valori di p:

11 .3 Probabilità codizioale e idipedeza S-7 p(ab = α β, p(āb = ( α β, p(a b = α ( β, p(ā b = ( α ( β. Duque la desità discreta p è uivocamete determiata dalle richieste del problema (S.. Viceversa, è immediato verificare che la fuzioe p defiita come sopra è effettivamete ua desità discreta (Defiizioe.9, ossia p(ω 0 per ogi ω Ω e ω Ω p(ω =, e valgoo le proprietà richieste (S.. Esercizio.3 (Paradosso dei tre prigioieri. Tre prigioieri (A, B, C soo codaati all impiccagioe. Il sovrao decide di graziare uo dei tre scelto a caso, ma il ome del fortuato verrà comuicato soltato alla vigilia dell esecuzioe. Il prigioiero A si avvicia al secodio, che coosce il ome del graziato, e gli dice: Per favore, comuicami u ome, tra B e C, che verrà sicuramete impiccato. È oto che almeo uo di loro due sarà impiccato, pertato o mi forisci alcua iformazioe dicedomelo. Il secodio ci pesa, trova l argometo sesato e rispode: B verrà impiccato. A questo puto A esclama: Evviva! Visto che B verrà impiccato, restiamo i gioco solo io e C, pertato ho il 50% di probabilità di essere graziato, metre i precedeza e avevo solo 3. Questo argometo è corretto? Soluzioe.3. Come el paradosso di Moty-Hall (Esempio.7 è importate specificare i che modo il secodio sceglie il ome da comuicare ad A. L opzioe più aturale è che il secodio comuica B co probabilità se il graziato è C, e co probabilità se il graziato è A. Se allora cosideriamo gli eveti E x = x viee graziato, per x {A,B,C}, e F = il secodio comuica che B verrà impiccato, abbiamo e P(E A = P(E B = P(E C = 3, P(F E A =, P(F E B = 0, P(F E C =. Pertato, sapedo che il secodio comuica che B verrà impiccato, la probabilità (codizioale che A sia graziato vale P(E A F = P(F E A P(E A P(F E A P(E A + P(F E B P(E B + P(F E C P(E C = 3, ossia la stessa che aveva i parteza. L argometo di A è duque sbagliato. Esercizio.4 (Paradosso delle tre carte. Ifilo i ua busta tre carte: ua ha etrambe le facce rosse, ua le ha etrambe ere, ua ha ua faccia rossa e ua era. Co gli occhi chiusi, pesco ua carta a caso e la depogo sul tavolo su ua faccia a caso, quidi apro gli occhi. Se la faccia che vedo è rossa, qual è la probabilità che ache l altra faccia sia rossa? Soluzioe.4. Cosideriamo gli eveti: NN = la carta pescata è quella co due facce ere, RR = la carta pescata è quella co due facce rosse, NR = la carta pescata è quella co ua faccia rossa e ua era, R = la faccia che vedo è rossa. Per ipotesi si ha

12 S-8 Spazi di probabilità discreti: teoria P(NN = P(RR = P(NR = 3 P(R NN = 0, P(R RR =, P(R NR =. Quidi, la probabilità cercata è, usado la Formula di Bayes (Teorema.49, ella versioe della formula (.4, P(RR R = P(R RR P(RR P(R RRP(RR + P(R NNP(NN + P(R NRP(NR = 3..4 Esercizi di riepilogo Esercizio.5. Siao A,B eveti. Ricordado che A B := (A B \ (A B, si mostri che P(A B = P(A + P(B P(A B. Siao ora A,B,C tre eveti. Si mostri che P(A C P(A B + P(B C. Soluzioe.5. Per la prima parte, si oti che A B = (A B (A B, e quest ultima è u uioe disgiuta. Perciò, per l additività della probabilità, P(A B = P(A B + P(A B, ossia P(A B = P(A B P(A B, e si coclude usado l idetità vista ella Proposizioe.6 (ii. Per la secoda parte, basta otare che P(A B = P(A + P(B P(A B, A C (A B (B C, come si verifica facilmete. La disuguagliaza cercata segue per subadditività della probabilità (si veda di uovo la Proposizioe.6 (ii. Esercizio.6. Siao A e B due eveti arbitrari di uo spazio di probabilità (Ω,P. Si dimostri la disuguagliaza P(A B P(A + P(B. Si mostri quidi per iduzioe che, per ogi e per ogi scelta degli eveti

13 .4 Esercizi di riepilogo S-9 A,A,...,A, si ha P(A A A i= Soluzioe.6. Per il caso =, basta osservare che Per >, si procede per iduzioe: P(A i (. P(A B = P(A + P(B P(A B. P(A A A = P[(A A A A ] P(A A A + P(A i= = i= P(A i ( + P(A P(A i (, dove abbiamo prima usato il risultato per = e poi l ipotesi iduttiva. Esercizio.7. Da u mazzo di 5 carte da Poker si estraggoo, a caso, tre carte. Si calcoli la probabilità che: (i tra le carte estratte vi sia almeo u asso; (ii le tre carte estratte siao di tre semi diversi; (iii almeo due delle carte estratte abbiao lo stesso umero o figura. Soluzioe.7. (i Ω è l isieme dei sottoisiemi di tre elemeti del mazzo di 5 carte, quidi Ω = ( 5 3. Il umero di modi di scegliere 3 carte i modo che o vi sia alcu asso è ( Quidi, la probabilità richiesta è (ii Sia A l eveto di cui dobbiamo calcolare la probabilità. Scegliere u elemeto di A sigifica iazitutto scegliere 3 dei 4 semi dispoibili ( ( 4 3 esiti; ua volta scelti i semi, ogua delle 3 carte può essere scelta i 3 modi possibili. Duque, per il pricipio fodametale del calcolo combiatorio (Teorema.6, ( 4 A = che, divisa per Ω = ( 5 3, dà la probabilità richiesta. (iii Se B è l eveto di cui dobbiamo calcolare la probabilità, B c = le tre carte scelte hao umero diverso. Scegliere u elemeto di B c sigifica scegliere ( 48 3 ( 5 3.

14 S-0 Spazi di probabilità discreti: teoria iazitutto tre tipi (umero o figura tra i 3 dispoibili ( ( 3 3 scelte; fissati i tre tipi, ogi carta può essere scelta i 4 modi diversi. Duque ( P(B = P(B c = Esercizio.8. U mazzo di 5 carte da Poker viee diviso a metà. Si determii la probabilità che ogua delle due parti cotega carte rosse e ere i egual umero. Soluzioe.8. Ci soo ( 5 ( 6 modi di scegliere 6 carte tra 5, quidi 5 6 modi di dividere il mazzo (casi possibili. Dato che ci soo esattamete 6 carte rosse tra le 5 carte, se ogua delle due parti del mazzo deve coteere carte rosse e ere i egual umero, ogua dovrà coteere 3 carte rosse. Scelgo quidi le 3 carte rosse di ua parte i ( 6 ( 3 modi e le rimaeti 3 carte tra le 6 ere i 6 3 modi. I defiitiva: 3 ( 5 3. P(ciascua parte cotiee carte rosse i egual umero = ( 6 ( ( Esercizio.9. Ua lotteria emette biglietti, di cui m < soo viceti. Qual è la probabilità che u possessore di r biglietti e abbia almeo uo di vicete? Soluzioe.9. Possiamo scegliere Ω = isieme dei sottoisiemi di r elemeti dell isieme degli biglietti, muito della probabilità uiforme. Se A è l eveto i questioe, A c è l isieme dei sottoisiemi di r elemeti degli m biglietti o viceti. Allora P(A = P(A c = ( m r ( r. Esercizio.0. Si mescolao paia di guati, che vegoo poi distribuiti a caso a persoe, due guati per ciascuo. Qual è la probabilità che oguo riceva u guato per la mao destra e uo per la siistra? Soluzioe.0. Numeriamo i guati da a (da a i guati destri, e le persoe da a. Se σ S (l isieme delle permutazioi di {,...,}, la sequeza (σ(,σ(,...,σ( rappreseta l ordie i cui i guati vegoo distribuiti, co la covezioe che σ(k,σ(k siao i guati cosegati alla persoa k. Deotiamo co P la probabilità uiforme su S, e sia A l eveto costituito da quegli elemeti di S per cui oguo riceva u guato destro e uo siistro. Ogi elemeto di A è uivocamete idividuato da uo schema di scelte successive (si veda il Teorema.6, scegliedo successivamete le coppie ordiate (σ(k, σ(k, per k =,,...,. La scelta della prima coppia (σ(,σ( ha esiti possibili: si sceglie prima u guato destro ( modi e poi uo siistro ( modi, oppure viceversa. Similmete, la scelta della secoda coppia (σ(3,σ(4 ha ( esiti possibili; più i geerale, la scelta della k-esima coppia (σ(k,σ(k ha ( k + esiti possibili. Ne segue che

15 .4 Esercizi di riepilogo S- A = k= ( k + = ( ( ( ( = (!, e quidi P(A = (! (!. Esercizio.. Si esegua ua permutazioe casuale dei umeri {,,...,}. Qual è la probabilità che e siao successivi ache dopo la permutazioe? Soluzioe.. Sia Ω = S l isieme delle permutazioi degli umeri, e sia A := {σ Ω : σ( = σ( + }. Ogi elemeto di A è idividuato dal seguete schema di scelte successive: (i i valori della coppia (σ(,σ( possoo essere scelti i modi possibili, ossia (,, (,3,..., (,; (ii i valori di σ(i, i > si possoo scegliere a piacere i {,,...,}\{σ(,σ(}, il che si può fare i (! modi diversi. Duque P(A = ( (!! =. Esercizio.. Sia S l isieme delle permutazioi di {,,...,}. Dati σ S e I {,,...,}, diciamo che l isieme I è stabile per σ se σ(i I per ogi i I. Deotiamo co A I S l isieme delle permutazioi per le quali I è stabile. Idicado co P la probabilità uiforme su S, si calcoli P(A I. Soluzioe.. Si osservi che I è stabile per σ se e solo se σ è dato dalla composizioe di ua permutazioe di I co ua permutazioe di I c. Quidi A I = I!( I!, da cui I!( I! P(A I = = (!. Esercizio.3. Si eseguao estrazioi casuali co reimmissioe da u ura coteete oggetti distiti. Si determii la probabilità p che gli oggetti estratti siao tutti diversi. Usado la formula di Stirlig (.0, si determii quidi il comportameto asitotico di p per +, mostrado che p cρ (el seso che lim p /(cρ = e calcolado i valori di c e ρ. Soluzioe.3. Il umero di sequeze di estrazioi i cui gli oggetti estratti siao tutti diversi è ( ( + = (!.! Perciò p = (!!(. I

16 S- Spazi di probabilità discreti: teoria Usado la Formula di Stirlig 4π( e e θ(/ p = π e e θ(/ ( (, e cioè c = e ρ = /e. Esercizio.4. Da u ura coteete pallie di cui k rosse e k verdi, co k, si estrae ua pallia e quidi, seza reimmetterla ell ura, si estrae ua secoda pallia. Si cosiderio gli eveti iformalmete descritti da A := la prima pallia estratta è rossa, A := la secoda pallia estratta è rossa. Si mostri che gli eveti A e A o soo idipedeti. Soluzioe.4. Basta osservare che P(A A = k k = P(A. Esercizio.5. Si voglia illumiare ua staza co u certo umero di lampadie. Assumiamo che la probabilità che ua lampadia sopravviva almeo giori vale p, co p = 0.9. Si può riteere che le lampadie si comportio i modo idipedete. Quate lampadie occorre istallare affiché, co probabilità almeo 0.99, dopo 0 giori vi sia almeo ua lampadia fuzioate? Soluzioe.5. La probabilità che dopo 0 giori tutte le N lampadie istallate abbiao smesso di fuzioare è ( p 0 N. Perciò ( p 0 N 0.0 N log(0.0 log( p Esercizio.6. Si mostri la seguete formula di disitegrazioe per la probabilità codizioale: dati tre eveti A,B,C tali che P(B C > 0 e P(B C c > 0, si ha Soluzioe.6. Si osservi che P(A B = P(A B CP(C B + P(A B C c P(C c B. P(A B CP(C B = P(A B C. P(B Moltiplicado l idetità da dimostrare per P(B, segue che essa è equivalete a P(A B = P(A B C + P(A B C c, che è vera per additività della probabilità.

17 .4 Esercizi di riepilogo S-3 Esercizio.7. Ua compagia di assicurazioi offre ua polizza che prevede il pagameto di ua cifra forfettaria C a frote di u dao subito dal cliete. La compagia classifica gli assicurati i tre categorie: basso rischio, medio rischio e alto rischio. Dei suoi assicurati, il 75% soo a basso rischio, il 0% a medio rischio e il restate 5% ad alto rischio. È oto che gli assicurati a basso rischio hao ua probabilità del % di subire u dao che prevede il pagameto dell assicurazioe, metre tale probabilità è del 0% per gli assicurati a medio rischio e del 0% per quelli ad alto rischio. (i Qual è la probabilità che u idividuo scelto a caso tra gli assicurati reclami il pagameto dell assicurazioe? (ii Se u idividuo reclama il pagameto dell assicurazioe, qual è la probabilità che sia ella categoria ad alto rischio? Soluzioe.7. (i Cosideriamo gli eveti: A = l idividuo scelto è della categoria basso rischio ; A = l idividuo scelto è della categoria medio rischio ; A 3 = l idividuo scelto è della categoria alto rischio ; B = l idividuo reclama il pagameto dell assicurazioe. Sappiamo che P(B A = 0.0, P(B A = 0., P(B A 3 = 0., P(A = 0.75, P(A = 0., P(A 3 = Per la formula delle probabilità totali (Proposizioe.47 P(B = 3 i= P(B A i P(A i = = (ii Usado la Formula di Bayes (Teorema.49 P(A 3 B = P(B A 3P(A 3 P(B = = 9. Esercizio.8. Durate la otte, u taxi ha causato u icidete. I città operao due compagie di taxi, ua co i taxi gialli, l altra co i taxi biachi. U testimoe ha dichiarato che il taxi coivolto ell icidete era giallo. Sappiamo che i taxi biachi soo l 85% dei taxi i città. Ioltre, la probabilità che u testimoe, di otte, idetifichi correttamete il colore del taxi è pari a 0.8. (i Sulla base di queste iformazioi, qual è la probabilità che il taxi coivolto ell icidete fosse i realtà biaco? (ii Suppoiamo che u secodo testimoe abbia dichiarato che il taxi era giallo, e che la correttezza dell idetificazioe del colore da parte di questo testimoe sia idipedete da quella del primo. Sulla base di questa ulteriore iformazioe, qual è ora la probabilità che il taxi coivolto ell icidete fosse i realtà biaco? Soluzioe.8. (i Cosideriamo gli eveti: A = il taxi coivolto è biaco, B = il testimoe dichiara di aver visto u taxi giallo. Sappiamo che P(A = 0.85,

18 S-4 Spazi di probabilità discreti: teoria P(B A = 0., P(B A c = 0.8. Perciò, usado la Formula di Bayes, P(A B = P(B A P(A P(B AP(A + P(B A c P(A c = 7 9. (ii Sia C = il secodo testimoe dichiara di aver visto u taxi giallo. Per ipotesi P(B C A = P(B AP(C A = (0. = 0.04 e, aalogamete, P(B C A c = P(B A c P(C A c = (0.8 = Allora P(A B C = P(B C A P(A P(B C AP(A + P(B C A c P(A c = Esercizio.9. Il Miistero della Pubblica Istruzioe vuole stimare la frazioe α (0, di studeti di terza media che hao preparazioe scarsa i matematica. A tal fie, sottopoe a u grade umero di studeti u quesito co 0 possibili risposte, di cui ua sola è corretta. Assumiamo che gli studeti co ua buoa preparazioe i matematica rispodao correttamete al quesito, metre quelli co preparazioe scarsa diao ua risposta scelta a caso (e o esistao altre possibilità. Sottopoedo ad ua aalisi più approfodita gli studeti che hao risposto correttamete al quesito, si scopre che tra questi solo l 80% ha ua buoa preparazioe i matematica. Sulla base di queste iformazioi, si determii α. Soluzioe.9. Immagiiamo di scegliere uo studete a caso e cosideriamo gli eveti A := lo studete ha ua preparazioe scarsa i matematica e B := lo studete rispode correttamete al quesito. Secodo i dati foriti dal problema P(A = α, P(B A = 0, P(B Ac =, P(A c B = = 4 5. Si ricava quidi da cui P(B = P(B AP(A + P(B A c P(A c = α 0 P(B A c = P(Ac BP(B P(A c = 4 5 ( 0 9 α = α + ( α = 9 0 α, α α, e dato che P(B A c = si ottiee ifie α α = α = 5 7 7,4%. Esercizio.30. Tre ure, etichettate co le lettere α, β, γ, cotegoo 0 pallie ciascua. Due ure cotegoo 5 pallie rosse e 5 blu, metre la terza cotiee 3 pallie rosse e 7 blu. No sappiamo però quale sia l ura co 3 pallie rosse: i asseza di ulteriori iformazioi, riteiamo che sia α, β o γ co la stessa probabilità.

19 .4 Esercizi di riepilogo S-5 Estraiamo ora pallie da ogua delle tre ure. Se dall ura α abbiamo estratto ua pallia rossa e ua blu, dall ura β due pallie rosse e dall ura γ due pallie blu, qual è la probabilità che l ura γ sia quella coteete tre pallie rosse? Soluzioe.30. Per x {α,β,γ}, si A x l eveto l ura co 3 pallie rosse è l ura x. Sia ioltre B l eveto dall ura α abbiamo estratto ua pallia rossa e ua blu, dall ura β due pallie rosse e dall ura γ due pallie blu. Abbiamo P(B A α = 3 7 ( 5 ( 0 P(B A β = 5 5 ( 0 P(B A γ = 5 5 ( 0 ( 0 ( 3 ( 5 ( 0 = ( 5 ( 0 ( 0 = 43. ( 5 ( 7 ( 0 ( 0 = P(A x = 3 per x {α,β,γ}. I coclusioe, usado la Formula di Bayes, P(A γ B = P(B A γ P(A γ x {α,β,γ} P(B A x P(A x = Esercizio.3. U ura cotiee M pallie, di cui M biache. (i Si effettuao estrazioi successive, co reimmissioe. Si cosiderio gli eveti B j := la j-esima pallia estratta è biaca, A m := delle pallie estratte esattamete m soo biache, dove j,m. Si calcoli P(B j A m. (ii Si calcoli la probabilità codizioale del puto precedete el caso di estrazioi seza reimmissioe, suppoedo che m sia tale che P(A m > 0. Soluzioe.3. Al solo scopo di semplificare la soluzioe (ma si potrebbe fare altrimeti cosideriamo la seguete osservazioe, valida sia per il puto (i che per il puto (ii. Se si cosidera, ell isieme Ω delle sequeze possibili di pallie estratte, la fuzioe che scambia la prima pallia estratta co la j-esima, tale fuzioe è ua corrispodeza biuivoca i Ω che mada A m i sé e B j i B, e quidi mada B j A m i B A m. Poichè, sia i (i che i (ii, la probabilità su Ω è quella uiforme, tale trasformazioe o cambia la probabilità degli eveti. I particolare P(B j A m = P(B A m. No è duque restrittivo assumere che j =. (i Trattadosi di estrazioi co reimmissioe, scegliamo come spazio campioario

20 S-6 Spazi di probabilità discreti: teoria Ω = {,,...,M}, e sia P la probabilità uiforme su esso. Si vede che B A m = B A m dove A m = elle successive estrazioi si estraggoo m pallie biache. Gli elemeti di B A m soo idividuati dalle segueti scelte successive: Si sceglie la pallia biaca per la prima estrazioe. Si scelgoo altre m estrazioi i cui estrarre pallie biache. Per ogua delle estrazioi scelte al puto precedete si sceglie la pallia biaca da estrarre. Per ogua delle rimaeti m estrazioi si sceglie ua pallia o biaca da estrarre. Si deduce che ( B A m = M M m (M M m. m Perciò P(B A m = B A m M = M ( M m Dato che si trova facilmete P(A m = ( m ( M M P(B A m = P(B A m P(A m ( M M m ( M m, M = ( m m ( M m. M ( m = m. (ii Si oti che P(A m B coicide co la probabilità che da u ura coteete M pallie di cui M biache si estraggao m pallie biache i estrazioi seza reimmissioe. Perciò, ricordado la formula (.3 (o co u calcolo diretto, Essedo, aalogamete, P(A m = co facili calcoli si ha P(A m B = ( M m ( M M m ( M ( M ( M M m m ( M., P(B = M M,

21 .4 Esercizi di riepilogo S-7 P(B A m = P(A m B P(B P(A m = m, cioè lo stesso risultato otteuto el caso di estrazioi co reimmissioe. Esercizio.3. Ho due dadi regolari: il dado α ha sei facce, su cui soo scritti i umeri da a 6, metre il dado β ha dodici facce, su cui soo scritti i umeri da a. Scelgo uo dei due dadi a caso, co la stessa probabilità, e lo lacio per volte, dove N è u umero fissato. (i Qual è la probabilità che tutti i laci diao come risultato il umero 3? (ii Qual è la probabilità che tutti i laci diao come risultato lo stesso umero? (iii Se tutti i laci dao come risultato il umero 3, qual è la probabilità che il dado scelto sia stato α? Si mostri che tale probabilità (codizioale è sempre strettamete maggiore di e se e studi il comportameto per. Soluzioe.3. (i Itroduciamo gli eveti A := il dado scelto è A e C := tutti i laci dao come risultato il umero 3. Allora P(A =, metre P(C A = ( 6 e P(C A c = (, da cui P(C = P(C AP(A + P(C A c P(A c = = {( ( } +. 6 ( ( 6 + (ii Itroduciamo l ulteriore eveto D := tutti i laci dao come risultato lo stesso umero. Allora P(D A = 6( 6 metre P(D B = (, duque P(D = P(D AP(A + P(D A c P(A c = (iii Per la Formula di Bayes {( ( } +. 6 P(A C = P(C AP(A P(C = ( 6 ( 6 + ( = + ( = +. Dato che > per ogi N e che lim ( = 0, segue che P(A C > e che P(A C per. Esercizio.33. Ho u ura iizialmete vuota e u isieme di pallie umerate coi umeri aturali. Il primo gioro iserisco ell ura le pallie umero e, dopodiché e estraggo ua a caso (ell ura rimae duque ua sola pallia. Il secodo gioro iserisco ell ura le pallie umero 3 e 4, dopodiché estraggo a caso ua delle tre pallie coteute ell ura. Itero duque la procedura: l i-esimo gioro iserisco ell ura le pallie umero i e i, dopodiché estraggo a caso ua delle i + pallie coteute ell ura.

22 S-8 Spazi di probabilità discreti: teoria Si itroduca per i N l eveto A i := la pallia umero è presete ell ura alla fie dell i-esimo gioro. (i Si spieghi perchè vale l iclusioe A i+ A i per ogi i N e si deduca la formula P(A = P(A P(A A P(A A, N. (ii Si mostri che P(A = + per ogi N. Soluzioe.33. (i L iclusioe A i+ A i è equivalete a A c i A c i+, che è immediatamete verificata: ifatti se la pallia umero o è presete ell ura alla fie dell i-esimo gioro, o potrà ovviamete essere presete alla fie dell (i + -esimo. La formula si dimostra per iduzioe: per, dato che A + A, si ha P(A + = P(A + A = P(A P(A + A e applicado l ipotesi iduttiva per P(A si coclude. (ii Chiaramete P(A =, P(A A = 3 e più i geerale P(A i A i = Applicado la formula dimostrata al puto a si ha duque P(A = = +. i i+. Esercizio.34. Si cosideri il seguete modello per la distribuzioe dei sessi dei figli i ua famiglia: il primo figlio ha proabilità di essere maschio (o femmia; la probabilità che l ( + -esimo figlio sia maschio, codizioalmete ai sessi dei figli precedeti, è 5 3 se l -esimo figlio è maschio, 5 se l -esimo figlio è femmia. Si determii quidi: (i la probabilità che il primo figlio sia maschio, codizioale al fatto che il secodo è maschio; (ii la probabilità che il primo figlio sia maschio, codizioale al fatto che il terzo è maschio. Soluzioe.34. (i Itroduciamo gli eveti A = il primo figlio è maschio e B = il secodo figlio è maschio. I dati del problema ci dicoo che P(A =, P(B A = 3 5, P(B Ac = 5. La formula delle probabilità totali dà P(B = P(B AP(A + P(B A c P(A c = ( = 5. Applicado quidi la Formula di Bayes si ottiee

23 .4 Esercizi di riepilogo S-9 P(A B = P(B AP(A P(B = 3 5 = 3 5. b Itroducedo l eveto C = il terzo figlio è maschio, dobbiamo calcolare P(A C. Si osservi che Per la Formula di Bayes P(A C = P(A B C + P(A B c C. P(A B C = P(C A BP(A B. P(C Azitutto P(C A B = 3 5. Ioltre P(A B = P(B AP(A = 3 5 = 3 0. Ifie, per la formula delle probabilità totali, P(C = P(C BP(B + P(C B c P(B c = ( = 5. Perciò P(A B C = Lo stesso coto co B c al posto di B coduce a = 9 5. P(A B c C = 4 5, da cui P(A C = 3 5. Esercizio.35. Il sigor Biachi da Roma e il sigor Rossi da Milao decidoo di icotrarsi a Roma. All ultimo mometo, Rossi, che è u tipo molto ideciso, rimette al caso la decisioe di partire, laciado ua moeta. Successivamete, i caso di esito positivo, per scegliere quale dei 6 trei a sua disposizioe predere, tira u dado regolare a sei facce. Se Biachi va i stazioe e osserva che Rossi o è su essuo dei primi 5 trei, qual è la probabilità che Rossi arrivi co l ultimo treo? Soluzioe.35. Itroducedo gli eveti T i Rossi parte co l i-esimo treo, V Rossi parte per Roma, N Rossi o prede essuo dei primi 5 trei

24 S-0 Spazi di probabilità discreti: teoria si ha P(V = P(T i = P(T i V = P(T i V P(V = 6 = P(N = P(V c + P(T 6 = + = 7 P(T 6 N = P(N T 6P(T 6 P(N = 7 = 7. Esercizio.36. Atoio e Berta si icotrao per ua gara di scacchi. Covegoo di fare due partite, assegado u puto i caso di vittoria, zero puti i caso di scofitta e mezzo puto i caso di pareggio o patta. Nel caso i cui dopo le due partite i due giocatori abbiao lo stesso puteggio, lacerao ua moeta equilibrata per determiare il vicitore della gara. Atoio sa giocare co due diversi approcci, uo offesivo e uo difesivo, metre Berta gioca sempre i maiera offesiva. Se Atoio gioca i maiera offesiva, vice co probabilità p (0,] e perde co probabilità p. Se ivece gioca i maiera difesiva, pareggia co probabilità q (0,] e perde co probabilità q. Atoio decide di adottare la seguete strategia. Gioca la prima partita i maiera offesiva. Se perde, gioca ache la secoda i maiera offesiva, metre se vice gioca la secoda partita i maiera difesiva. (i Si calcoli, i termii di p e q, la probabilità p che Atoio vica la gara. (ii Si assuma che q = 0.9. Per quali valori di p si ha p >? È possibile che Berta sia la giocatrice più forte el seso che ha maggiore probabilità di vicere ua partita rispetto ad Atoio e ciooostate Atoio abbia maggiore probabilità di vicere la gara? ( Atoio vice la gara se si verifica ua delle segueti altera- Soluzioe.36. tive: vice la prima partita e pareggia la secoda; vice la prima partita, perde la secoda, e vice el lacio della moeta; perde la prima partita, vice la secoda, e vice el lacio della moeta. Pertato p = pq + p( q + ( pp. ( Posto q = 0.9, si ha pq + p( q + p( p > se e solo se p > 0.4. Quidi se p (0.4,0.5, Berta è più forte ma Atoio ha maggiore probabilità di vicere la gara. Esercizio.37. Ua guida alpia orgaizza abitualmete salite alla cima del Mote Archimede. Talvolta, i preseza di cattive codizioi atmosferiche, la guida decide di torare prima di aver raggiuto la cima, ache a secoda delle capacità delle

25 .4 Esercizi di riepilogo S- persoe accompagate. I caso di pioggia seza raffiche di veto, la guida riucia a raggiugere la cima il 0% delle volte; i caso di raffiche di veto ma seza pioggia, la guida riucia il 30% delle volte; co pioggia e raffiche di veto, la guida riucia l 80% delle volte; ifie, se o piove e o ci soo raffiche di veto, la cima viee sicuramete raggiuta. Assumiamo che gli eveti si trova pioggia lugo il percorso e ci soo raffiche di veto lugo il percorso siao idipedeti e abbiao probabilità rispettivamete 0.3 e 0.. Oggi u gruppo è partito co la guida, ma è torato seza aver raggiuto la cima. Qual è la probabilità che abbia trovato pioggia? Soluzioe.37. Cosideriamo gli eveti A = la guida riucia a raggiugere la cima, B = si trova la pioggia lugo il percorso, C = ci soo raffiche di veto lugo il percorso. Sappiamo che P(A B \C = 0., P(A C \ B = 0.3, P(A B C = 0.8, P(A B c C c = 0. Ioltre, P(B = 0.3 e P(C = 0.. Ifie, essedo B e C idipedeti P(B \C = P(B P(B C = P(B P(BP(C = = 0.4 P(C \ B = P(C P(B C = P(C P(BP(C = = 0.4 e, chiaramete P(B C = P(BP(C = Per la Formula di Bayes P(B A = P(B \C A + P(B C A P(A B \CP(B \C = P(A B \CP(B \C + P(A C \ BP(C \ B + P(A B CP(B C + P(A B c C c P(B c C c P(A B CP(B C + P(A B \CP(B \C + P(A C \ BP(C \ B + P(A B CP(B C + P(A B c C c P(B c C c = 6 3. Esercizio.38. (i Si dimostri che, se α,α,...,α 0 e i= α i =, allora per ogi scelta di x,x,...,x R si ha mi x i i=,,... i= α i x i max x i. i=,,... (ii Siao ora A,A,...,A eveti disgiuti di uo spazio di probabilità (Ω,P, tali che P(A i > 0 per ogi i =,...,. Si mostri che per ogi eveto B mi P(B A i P(B A A A max P(B A i. i=,,... i=,,... Soluzioe.38. ( Sia m := mi i=,,... x i. i= α i x i i= Aalogamete per l altra disuguagliaza. α i m = m.

26 S- Spazi di probabilità discreti: teoria ( Si osservi che: dove P(B A A A = P(B (A A A P(A A A α i := P(A i j= P(A j. = i= P(B A i j= P(A j La coclusioe segue allora dal puto precedete. = i= α i P(B A i, Esercizio.39. Siao A e B due eveti co probabilità o ulla. Diciamo che A è positivamete correlato a B se P(A B P(A. Si mostri che le segueti tre affermazioi soo equivaleti. (i A è positivamete correlato a B. (ii B è positivamete correlato a A. (iii A c è positivamete correlato a B c. Soluzioe.39. Si osservi che P(A B P(A P(A B P(AP(B P(B A P(B, che dimostra (i (ii. Ioltre P(A B P(A P(A B P(AP(B P(A P(A B c P(A[ P(B c ] P(A B c P(AP(B c. Ripetedo lo stesso argometo si trova P(A B c P(AP(B c P(A c B c P(A c P(B c. Mettede assieme queste ultime due equivaleze si coclude che (i (iii. Esercizio.40. U ura cotiee pallie, che possoo essere di due colori, rosso e verde. No coosciamo la composizioe dell ura e riteiamo che tutti i possibili valori k = 0,,,..., del umero di pallie rosse siao equiprobabili. (i Si estrae ua pallia dall ura, che si rivela essere rossa. Sapedo ciò, per quale valore di k la probabilità che ell ura vi fossero k pallie rosse è massimizzata? (ii Si rispoda alla medesima domada, ma assumedo che dall ura siao state estratte due pallie, ua rossa e ua verde.

27 .4 Esercizi di riepilogo S-3 Soluzioe.40. (i Defiiti gli eveti A = la pallia estratta è rossa e B k = l ura cotiee k pallie rosse, sappiamo che P(A B k = k e P(B k = +. Duque, per la Formula di Bayes, P(B k A = P(A B kp(b k j=0 P(A B jp(b j = k + (+ j=0 j = k ( +, dove è stata usata la prima formula i (0.7, ossia j=0 j = (+. Tale probabilità, evidetemete crescete i k, è massimizzata per k =. (ii Sia ora C = le due pallie estratte soo ua rossa e ua verde. Questa volta abbiamo k( k P(C B k = (. Essedo P(B k C = P(C B kp(b k j=0 P(C B jp(b j, e osservado che tato P(B k quato j=0 P(C B jp(b j o dipedoo da k, sia ha che k( k P(B k C =, Z dove Z è ua costate che o dipede da k. Quidi massimizzare P(B k C equivale a massimizzare k( k su k {0,,...,}. Se è pari, k = è l uico puto di massimo, metre se è dispari vi soo due puti di massimo: k = ±. Esercizio.4. Si cosideri il seguete modello di distribuzioe dei figli ei uclei familiari. La probabilità che u ucleo familiare scelto a caso abbia figli, co 0, vale e λ λ! (dove λ > 0 è u parametro fissato, e ciascu figlio è maschio co probabilità /, idipedetemete da tutti gli altri. Cosideriamo l eveto A k := il ucleo familiare scelto (a caso ha esattamete k figli maschi, per k 0. Si mostri che P(A k = e λ/ (λ/ k k!. [Sugg. Si cosideri l eveto B = il ucleo familiare scelto ha figli. Si determii iazitutto P(A k B e poi si calcoli P(A k. Si ricordi la serie espoeziale (0.5.] Soluzioe.4. Ricordado la formula (.56 relativa a prove ripetute e idipedeti co probabilità di successo p =, segue dalle ipotesi del modello che, se k, P(A k B = (. k Ovviamete, P(A k B = 0 se k >. Pertato, applicado la formula delle probabilità totali (Proposizioe.47, si ottiee

28 S-4 Spazi di probabilità discreti: teoria P(A k = + =0 = e λ k λ k P(A k B P(B = k! + =k + =k λ k k ( k! λ (λ/k = e e λ/ λ/ (λ/k = e k! k! ( e λ λ k! = e λ (λ/k k! + (λ/ m m=0 m! Esercizio.4. Sia S = {,,...,}, Ω := P(S P(S, e P la probabilità uiforme su Ω. Duque gli elemeti di Ω soo coppie ordiate (A,B, co A,B S. Cosideriamo l eveto E := {(A,B Ω : A B}. Ioltre, per B S, defiiamo F B := {(A,B Ω : B = B} = {(A,B : A S}. (i Si determii P(E F B. (ii Usado la formula di disitegrazioe si mostri che P(E = (3/4. P(E = P(E F B P(F B, B S [Sugg. Si ricordi il biomio di Newto (.9 e il fatto che P(S = S.] Soluzioe.4. (i Azitutto P(E F B = E F B. F B Gli elemeti di F B soo tati quati i sottoisiemi di S, cioè. Gli elemeti di E F B soo tati quati i sottoisiemi di B, cioè B. Duque P(E F B = B. (ii Essedo P(F B = F B / Ω = /, si ha P(E = B B S 4 = 4 k=0 B S: B =k k = 4 k=0 dove abbiamo usato il fatto che k=0 ( k k = ( +. ( k = 3 k 4, Esercizio.43. È stato idetto u referedum i ua popolazioe di idividui (tutti aveti diritto al voto. Ciascu idividuo adrà a votare co probabilità, idipedetemete dagli altri. Ioltre, se u idividuo adrà a votare, voterà SÌ co probabilità, idipedetemete dagli altri. (i Qual è la probabilità p che u idividuo scelto a caso vada a votare e voti SÌ?

29 .4 Esercizi di riepilogo S-5 (ii Qual è la probabilità che il umero di voti SÌ sia k, per k {0,...,}? (iii Assumedo che i voti SÌ siao k, si determii la probabilità (codizioale che i votati totali siao m, dove m {k,...,}. Si mostri che tale probabilità vale ( k m k ( 3 m k ( m. 3 Soluzioe.43. ( Cosideriamo gli eveti A = l idividuo va a votare e B = l idividuo vota SÌ. Allora p = P(A B = P(A P(B A = = 4. ( Dobbiamo calcolare la probabilità dell eveto C = esattamete k idividui vao a votare e votao SÌ. Dato che ciascu idividuo, idipedetemete dagli altri, va a votare e vota SÌ co probabilità p = 4, siamo i preseza di uo schema di prove ripetute e idipedeti: duque P(C = ( k ( 4 k ( 3 k. 4 (3 Itroducedo l eveto D = esattamete m idividui vao a votare, dobbiamo calcolare P(D C. Applicado la Formula di Bayes P(D C = P(C D P(D. P(C Applicado lo schema di prove ripetute e idipedeti si ha ( ( ( ( m m P(D =, P(C D =, m k metre P(C è stata determiata al puto precedete. Sostituedo ed effettuado le opportue semplificazioi, si trova P(D C = ( m ( k( m k ( m ( ( 3 k ( 3 4 k = ( k m k ( 3 m k ( m. 3

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31 Capitolo 3 Variabili aleatorie discrete: teoria 3. Variabili aleatorie e distribuzioi Esercizio 3.. Sia X ua variabile aleatoria, defiita su (Ω,P a valori i E, quasi certamete costate, ossia esiste c E tale che P(X = c =. Si mostri che esiste u uico elemeto c E co tale proprietà. Soluzioe 3.. Se esistessero due costati c e c co tale proprietà, gli eveti {X = c} e {X = c } sarebbero due eveti disgiuti di probabilità, il che è impossibile. Esercizio 3.. Siao A e B due eveti i uo spazio di probabilità discreto (Ω,P, e cosideriamo la variabile aleatoria X := λ A + µ B, dove λ,µ R. Si determii la desità discreta di X. [Sugg. Si cosideri iazitutto il caso i cui i quattro umeri 0,λ,µ,λ + µ soo distiti.] Soluzioe 3.. Cosideriamo azitutto il caso i cui i quattro umeri 0,λ,µ,λ + µ siao distiti. Abbiamo allora X(Ω = {0, λ, µ, λ + µ} e {X = λ} = A B c p X (λ = P(A B c {X = µ} = A c B p X (µ = P(A c B {X = λ + µ} = A B p X (λ + µ = P(A B {X = 0} = A c B c p X (0 = P(A c B c Nel caso i cui i quattro umeri 0,λ,µ,λ + µ o siao distiti, è sufficiete sommare le probabilità corrispodeti a valori uguali. Ad esempio, se λ = µ 0, allora X assume i valori 0,λ,λ e p X (λ = P(A B c + P(A c B, p X (λ = P(A B, p X (0 = P(A c B c. I modo aalogo si trattao i casi rimaeti, cioè λ = µ 0, 0 = λ µ, 0 = µ λ, λ = µ = 0. S-7

32 S-8 3 Variabili aleatorie discrete: teoria Esercizio 3.3. Sia X ua variabile aleatoria defiita su uo spazio di probabilità discreto (Ω,P a valori i u isieme E. Idichiamo co σ(x la famiglia degli eveti geerati da X, secodo la Defiizioe 3.5: σ(x = { C Ω : A E tale che C = {X A} }. Si mostri che u eveto D Ω appartiee a σ(x se e solo se verifica la seguete proprietà: per ogi coppia di elemeti ω,ω Ω tali che X(ω = X(ω, o etrambi gli elemeti appartegoo a D o etrambi o vi appartegoo, ossia o si può avere che ω D e ω D, o viceversa che ω D e ω D. Soluzioe 3.3. Sia, per comiciare, D u eveto co la proprietà seguete: per ogi coppia di elemeti ω,ω Ω tali che X(ω = X(ω, o etrambi gli elemeti appartegoo a D o etrambi o vi appartegoo. Poiamo A = {X(ω : ω D} e si oti che A è u sottoisieme di E. Per defiizioe, se ω D allora X(ω A, e quidi D {X A}. D altra parte, se ω {X A}, dev essere X(ω = X(ω per qualche ω D; duque, per ipotesi, ω D. Ciò mostra che {X A} D, e quidi {X A} = D, cioè D σ(x. Viceversa, se D σ(x, esiste A E per cui D = {X A}. Se ω,ω Ω soo tali che X(ω = X(ω, si ha che se X(ω = X(ω A allora ω,ω D; se X(ω = X(ω A allora ω,ω D; duque D ha la proprietà richiesta. 3. Idipedeza di variabili aleatorie Esercizio 3.4. Siao A e B due eveti i uo spazio di probabilità discreto (Ω,P. Si determii la desità cogiuta del vettore aleatorio ( A, B. Soluzioe 3.4. La desità cogiuta p(x,y = P( A = x, B = y è data da metre p(x,y = 0 se x,y {0,}. p(0,0 = P(A c B c p(0, = P(A c B p(,0 = P(A B c p(, = P(A B, Esercizio 3.5. Siao C,C,...,C eveti i uo spazio di probabilità discreto (Ω,P. Posto X i := Ci, si mostri l equivaleza delle segueti affermazioi (i le variabili aleatorie X,X,...,X soo idipedeti; (ii gli eveti C,C,...,C soo idipedeti.

33 3. Idipedeza di variabili aleatorie S-9 Si mostri quidi che vale lo stesso per ua famiglia (C i i I arbitraria di eveti. [Sugg. Si ricordi la Proposizioe.63.] Soluzioe 3.5. (i (ii Sia J {,,...,}. Si oti che C i = {X i = per ogi i J}. i J Duque, usado l ipotesi di idipedeza delle variabili aleatorie X,X,...,X : ( P C i = P(X i = per ogi i J, X k {0,} per ogi k J i J = i J P(X i = = P(C i. i J (ii (i Mostriamo che la desità cogiuta di X,X,...,X è prodotto delle desità margiali. Per x {0,}, poiamo C x := C se x = e C x = C c se x = 0. Ricordado che l idipedeza di eveti si coserva per complemetazioe (Proposizioe.64 e osservado che {X i = x} = C x, si ha p X,...,X (x,...,x = P(X = x,...,x = x = P(C x C x = i= P(C x i = i= P(X i = x i, dove, i quest ultima uguagliaza, abbiamo usato la Proposizioe.63. Per estedere l affermazioe a famiglie arbitrarie, basta ricordare che l idipedeza di ua famiglia di variabili aleatorie (risp. eveti equivale per defiizioe all idipedeza di ogi sottofamiglia fiita. Esercizio 3.6. Date prove ripetute e idipedeti co probabilità di successo p, cosideriamo le variabili aleatorie S := umero di successi elle prove e T := prova i cui si ha il primo successo. Si determii la desità cogiuta p S,T. (Osserviamo che le desità margiali p S e p T soo già state determiate ell Esempio 3.9:, si veda la relazioe (3.4. Soluzioe 3.6. L eveto {S = s, T = t} si può esprimere come itersezioe dei tre eveti corrispodeti alle segueti affermazioi: le prime t prove soo stati isuccessi; la prova t-esima è stata u successo; elle rimaeti t prove vi soo stati s successi. Data l idipedeza di prove distite, i tre eveti precedeti soo idipedeti. Ne segue che

34 S-30 3 Variabili aleatorie discrete: teoria ( t p S,T (s,t = P(S = s, T = t = ( p t p p s ( p t (s s ( t = p s ( p s, s co la covezioe ( N K 0 se e solo se 0 K N. 3.3 Valor medio e disuguagliaze Esercizio 3.7. Sia X ua variabile aleatoria discreta reale a valori i N, co desità discreta data da p X (x = c α x +α N (x, dove α (0, è u parametro fissato, e c α = y N y +α. Si determii per quali valori di p (0, si ha X L p (Ω,P. Soluzioe 3.7. Usado la Defiizioe 3.43 e la defiizioe di L p (Ω,P (paragrafo 3.3.3, abbiamo che X L p (Ω,P se e solo se + k= k p X (k < + + k= k α < +. Ricordado (0., ciò avviee se e solo se α >. Esercizio 3.8. Siao X, Y variabili aleatorie idipedeti, a valori rispettivamete egli isiemi E e F, e siao g : E R e h : F R fuzioi arbitrarie. Si mostri che se le variabili aleatorie g(x e h(y ammettoo valor medio fiito, allora ache il loro prodotto g(xh(y ammette valor medio fiito e E(g(Xh(Y = E(g(XE(h(Y. Soluzioe 3.8. Dalla Proposizioe 3.40 segue che le variabili aleatorie g(x e h(y soo idipedeti. È pertato sufficiete applicare a tali variabili la Proposizioe 3.7. Esercizio 3.9. Per, sia X ua variabile aleatoria che assume, co la stessa probabilità, i valori,,...,,. Se f : [0,] R è ua fuzioe cotiua, sia [( ] X m = E. Si idetifichi il limite Soluzioe 3.9. Si osservi che lim m. +

35 3.3 Valor medio e disuguagliaze S-3 [ ( ] X E f = f (k/, k= che è ua somma di Riema per l itegrale 0 lim m = f (xdx. + 0 f (xdx. Pertato Esercizio 3.0. Sia Y ua variabile aleatoria a valori i [0,+, e f : (0,+ (0,+ ua fuzioe crescete. Si mostri che per ogi ε > 0 P(Y ε E[ f (Y ] f (ε. Soluzioe 3.0. Dal fatto che f è crescete segue l uguagliaza di eveti {Y ε} = { f (Y f (ε}. Applicado la disuguagliaza di Markov (Teorema 3.77 alla variabile aleatoria X := f (Y si ottiee la tesi. Esercizio 3.. Si dimostri la seguete versioe forte della disuguagliaza di Jese. Sia X ua variabile aleatoria reale e ϕ : R R ua fuzioe strettamete covessa, el seso che la relazioe (3.49 vale come disuguagliaza stretta per ogi x x 0. Se X e ϕ(x ammettoo etrambe valor medio fiito, e X o è quasi certamete costate, vale la disuguagliaza stretta ϕ(e(x > E(ϕ(X. Soluzioe 3.. Usado la disuguagliaza (3.49 abbiamo la disuguagliaza ϕ(x ϕ(e(x λ(e(x(x E(X 0. Si poga Y := ϕ(x ϕ(e(x λ(e(x(x E(X, e si oti che E(Y = E(ϕ(X ϕ(e(x. Si tratta perciò di dimostrare che E(Y > 0. Usado il fatto che Y 0 e la Proposizioe 3.58, è sufficiete mostrare che Y o è quasi certamete uguale a 0, cioè che P(Y > 0 > 0. Poiché, per ipotesi, X o è quasi certamete costate, abbiamo P(X E(X > 0. Ioltre, usado la disuguagliaza (3.49 i seso stretto, abbiamo: Ciò mostra che P(Y > 0 > 0. {X E(X} {Y > 0}.

36 S-3 3 Variabili aleatorie discrete: teoria Esercizio 3.. Due variabili aleatorie X e Y soo defiite el modo seguete, sulla base dei risultati di tre laci idipedeti di ua moeta equilibrata. Se al primo lacio esce testa, poiamo X = Y = 0. Se esce croce sia al primo che al secodo lacio, poiamo X =, metre se viee croce al primo lacio e testa al secodo poiamo X =. Similmete, se viee croce al primo e al terzo lacio poiamo Y =, metre se viee croce al primo lacio e testa al terzo, poiamo Y =. Si determii la distribuzioe cogiuta di X e Y, mostrado che soo variabili aleatorie scorrelate ma o idipedeti. Soluzioe 3.. Idichiamo co C i l eveto che esca croce al lacio i-esimo. Abbiamo: p X,Y (0,0 = P(C c = p X,Y (, = P(C C C 3 = 8 p X,Y (, = P(C C C c 3 = 8 Ne segue che p X,Y (, = P(C C c C 3 = 8 p X,Y (, = P(C C c Cc 3 = 8. p X (0 = p X ( = p X,Y (, + p X,Y (, = 4 p X ( = p X,Y (, + p X,Y (, = 4 e, per simmetria, p X = p Y. I particolare E(X = E(Y = 0. Quidi Cov(X,Y = E(XY = xyp X,Y (x,y x,y = p X,Y (, + p X,Y (, p X,Y (, p X,Y (, = 0, quidi X e Y soo scorrelate. Tuttavia X e Y o soo idipedeti, perché P(X = 0,Y = 0 = p X,Y (0,0 = 4 = p X (0p Y (0 = P(X = 0P(Y = Lavorare co le distribuzioi Esercizio 3.3 (Geeralizzazioe dell Esempio 3.5. Siao X e Y due variabili

37 3.4 Lavorare co le distribuzioi S-33 aleatorie idipedeti, etrambe a valori i {,,...,}, tali che P(X = k = P(Y = k = per ogi k =,,...,. Si calcoli la desità di X +Y. Soluzioe 3.3. Usiamo la Proposizioe I questo caso abbiamo Pertato Notado che si ha p X = p Y = {,,...,}. p X,Y (k = p X p Y (k = {,,...,} (h {,,...,} (k h. h {,,...,} (h {,,...,} (k h = p X,Y (k = k { {,,...,k } (h se k {k,k +,...,} (h se < k, se k k+ se < k. Esercizio 3.4. Sia (X,Y ua variabile aleatoria a valori i R. Defiiamo Si mostri che per ogi (x,y R, F X,Y (x,y := P(X x,y y. p X,Y (x,y ( = lim FX,Y (x,y + F + [ X,Y x,y ( FX,Y x,y ( ] F X,Y x,y. Soluzioe 3.4. Si comici co il otare la seguete idetità fra eveti: {X x,y y} = {X x,y y} {X x,y y } {x < X x, y < Y y}. I quest ultima uioe, il terzo eveto è disgiuto dai primi due, metre l itersezioe fra i primi due è {X x,y y} {X x,y y } = {X x,y y }. Quidi, per la Proposizioe.6 (ii, P(X x,y y = P(X x,y y + P( X x,y y P ( X x,y y ( + P x < X x, y < Y y, da cui segue immediatamete

38 S-34 3 Variabili aleatorie discrete: teoria P ( x < X x, y < Y y = [ F X,Y (x,y + F X,Y ( x,y FX,Y ( x,y F X,Y ( x,y ]. Per cocludere, è ora sufficiete predere il limite per +, osservado che, per la cotiuità dall alto della probabilità (Proposizioe.9 (iii lim P( x + < X x,y < Y y = P(X = x,y = y = p X,Y (x,y. Esercizio 3.5. Sia X ua variabile aleatoria discreta reale a valori i Z \ {0}, co desità discreta data da p X (x = c α x +α N ( x, dove α (0, è u parametro fissato, e = c α y +α. y Z\{0} Si mostri che che la fuzioe geeratrice M X di X è data da M X (0 = e M X (t = + per ogi t 0. I particolare, si oti che M X o dipede dal valore di α. Soluzioe 3.5. Comiciamo co il cosiderare il caso t > 0. Allora M X (t = e tx x Z\{0} c α x +α c α dove quest ultima uguagliaza segue dal fatto che lim x + e tx + x= = + x +α e tx = +, x +α (si ricordi che ogi serie covergete è ecessariamete ifiitesima. I modo aalogo, per t = s < 0 M X (t = e sx x Z\{0} c α x +α c α x +α = c α x<0 e sx + y= e sy = +. y +α Esercizio 3.6. Siao X,X,...,X variabili aleatorie reali idipedeti, e siao M Xi le relative fuzioi geeratrici. Si mostri che M X +X + +X (t = i= M Xi (t, per ogi t R tale che M Xi (t < + per ogi i =,,...,, Soluzioe 3.6. Per ogi tale t, le variabili aleatorie e tx,e tx,...,e tx soo i L e, per la Proposizioe 3.40, soo idipedeti. Perciò, per la Proposizioe 3.7 [ ] ] M X +X + +X (t = E e t(x +X + +X = E[ e tx i = E [ e tx ] i = M Xi (t. i= i= i=