L INDETERMINAZIONE DEL CAMPO MAGNETOSTATICO

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Gastone Giordano Tonelli
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1 L INDETERMINAZIONE DEL CAMPO MAGNETOSTATICO d.ing. Albeto Sacchi Sviluppo Pogetti Avanzati sl- R&D Dept. SINTESI (Abstact) La misua della Intensità di Campo (Induzione magnetica) ento una pefissata pecisione semba pesentae, pe il Campo Magnetostatico, un definito livello di indeteminazione. Tale compotamento è da attibuisi sia alla inesistenza di un Monopolo magnetico che alla definizione stessa di Campo di foza. NOTA PRELIMINARE (Pelminay note) L incipit alla elazione Elettodinamica dei copi in movimento, meglio conosciuta come Relatività Ristetta, pubblicata da A.Einstein su Annalen de Physik nel 1905, ecita : E noto che l elettodinamica di Maxwell - come la si intepeta attualmente- nella sua applicazione ai copi in movimento pota a delle asimmetie, che non paiono essee ineenti ai fenomeni. Paafasando Einstein, senza talasciae di evidenziae la infinita distanza che sepaa il lavoo di Einstein dalle elementai consideazioni di cui alle pagine seguenti, si potebbe scivee; E noto che la Magnetostatica- come la si intepeta attualmente- nella sua applicazione alla misua di Campo, pota a delle indeteminazioni, che non paiono essee ineenti ai fenomeni. PAROLE CHIAVE ( Keywods) Campo magnetostatico, Induzione magnetica, Monopolo, Vesoe di campo, Legge di Loentz, Legge di Biot Savat- Pincipio di Indeteminazione. CAMPI A GEOMETRIA RADIALE (Fields with adial geomety) La definizione di campo può essee sintetizzata come la egione di spazio ento la quale può essee ilevato un fenomeno attibuibile al copo geneante il campo. La ilevazione di un fenomeno pevede, pe ogni punto dello spazio, la misua di una quantità e, nel caso di campi vettoiali, di una diezione e di un veso. Il campo gavitazionale, così come quello elettostatico, sono esempi emblematici di campi vettoiali. Espesso con notazione vettoiale, il campo gavitazionale è dato dalla elazione (newtoniana): Gm1m2 F2,1( ) = (1.1) che, divisa pe m 2, diviene: g( ) = GM = acceleazione di gavità (1.2) dove, come ben noto: m 1 = M = massa geneante il campo m 2 = massa campione di pova = distanza 2 1

2 = vettoe 1 2 G = costante gavitazionale Ciò che diviene essenziale evidenziae è: a) la definizione puntuale di campo, cioè la sua definizione pe ogni punto dello spazio b) la diezione ta masse m 1 ed m 2 e la distanza ta i loo centi di massa. La pima equazione cadinale della dinamica ( Equazione di Euleo) gaantisce che il moto del cento di massa di un copo di massa m, equivalente ad un punto mateiale di massa m, è coispondente a quello geneato dalla isultante delle foze estene agenti sul sistema. Pe un copo continuo di densità ρ ( ) di massa totale m e volume V, la posizione R del cento di massa ( ispetto al sistema di coodinate consideato) è: 1 R = ρ ( ) dv (1.) m con vettoe posizione di un geneico punto del volume V e ρ= densità. V La elazione (1.) fonisce un coetto e completo ispetto delle condizioni a) e b) di cui al paagafo pecedente: In fatti la diezione del vettoe campo è data dalla etta passante pe i centi di massa dei due copi m 1 ed m 2 mente il punto di applicazione del vettoe campo è dato da R di m 2. Consideazioni del tutto analoghe possono essee fatte pe il campo elettostatico dove: 1 q1q2 = (1.4) 4πε F2,1 0 F2,1 E = (1.5) q 2 Anche pe il campo elettostatico la diezione del vettoe campo è definita dalla etta pe i centi geometici di q 1 e q 2 ( supposti sfeici); ciò è gaantito dal Teoema di Gauss sul flusso; infatti il campo elettico all esteno di un copo a geometia sfeica è identico a quello geneato da un punto mateiale in cui fosse concentata l intea caica q. Un elemento degno di nota è la natua del copo di pova che coisponde a quella del copo geneante il campo ( massa pe il campo gavitazionale, caica pe il campo elettostatico) (1.6) CAMPO MAGNETOSTATICO ( Magnetostatic field) Notevole la diffeenza che si isconta nella definizione e misua del campo magnetostatico; innanzitutto la II Equazione di Maxwell gaantisce l assenza del flusso totale attaveso una supeficie chiusa S. B = 0 e, in foma integale, BdS = 0 (2.1) S

3 Dalla (2.1) deiva l inesistenza di un polo magnetico singolo; ovveo il copo geneante il campo non può essee che bipolae. Dalla (1.6) di paag. pecedente deiva la tipologia del copo di pova inteso come un ago magnetico bipolae. Sotto l azione del campo esso si dispoà tangente alle linee di flusso, mosso da una coppia di momento Φ. Il modello fisico maggiomente intuitivo è quello di due foze agenti agli estemi (monopoli) dell ago magnetico distanziati di l ed aventi caica magnetica p. Ne deiva: Φ = lp (2.2) Sul momento di dipolo agisce il campo magnetico B con una foza F F dipolo = ( Φ. )B (2.) Tale modello, accettato sino al 190, pesuppone una coetta ed univoca definizione di caica magnetica ottenibile in modo igooso solo nell ipotesi di Monopolo; dal 190 si pefeisce fae ifeimento all inteazione ta campo magnetico e coente elettica. Da evidenze speimentali i fisici fancesi Jean Baptiste Biot e Felix Savat, nel 1820, stabiliono la legge fisica che coela il campo magnetico con l azione di un conduttoe pecoso da coente. In un punto geneico P a distanza da un conduttoe ettilineo di lunghezza L, pecoso da coente continua I si genea un campo magnetico di intensità B ( nel vuoto) pai a: µ 0I dlx B( P) = 4 (2.4) π L Consideando il campo B esistente lungo una ciconfeenza di aggio R geneato dalla coente I in un conduttoe ettilineo, la (2.2) diviene: µ 0I B( R) = i (2.5) 2πR essendo i il vesoe tangente alla ciconfeenza R; quindi viene in tale modo definita diezione, veso e modulo del vettoe induzione. Natualmente è possibile estendee la misua a cicuiti di foma indefinita λ mediante l equazione di Laplace: µ 0I dlx B ( ) = π (2.6) 4 λ In modo duale un cicuito chiuso S pecoso dalla coente I genea un momento magnetico Φ ( nomale al piano del cicuito) : Φ = I ds (2.7) Il campo magnetico B agisce su Φ secondo l equazione: F S = ( ΦxB) (2.9) S

4 F Φ πr 2 =S R B I FIG. 2.0 La FIG 2.0) mosta due possibili intepetazioni della misua del campo. Un tezo metodo di misua della intensità di campo ( induzione) fa icoso alla Legge di Loentz che definisce il vettoe foza agente su di una caica q in moto con velocità v in un campo magnetico di induzione B. F = q( E + vxb) (2.7) che, in assenza di un campo elettostatico E, diviene: F = qvxb (2.8) INDETERMINAZIONE DI B ( B Uncetainty ) La misua di campo nel modello a dipolo contiene un notevole livello di indeteminazione geneato dalle ipotesi di base su cui si fonda. Anzitutto l ipotesi che un ago magnetico possa essee schematizzato come l insieme di due monopoli di segno opposto, distanziati igidamente di una lunghezza l. L inesistenza di monopoli magnetici ende inconsistente tale modellizzazione che, pealto, è stata esclusa sino dal 190. Inolte, sotto il pofilo speimentale, la posizione del vettoe Momento è l/2 (l = lunghezza ago magnetico) solo nel caso di isotopia del campo B. Infatti se è F 1 la foza agente sul polo nod dell ago ed F 2 la foza agente sul polo sud, la posizione del vettoe momento ispetta la elazione F 1 x = F 2 y ( x+y = l) (FIG 2.1).

5 B F 1 x F 2 y B FIG. 2.1 La conoscenza di x ed y compoteebbe la conoscenza del valoe di F 1 ed F 2, quindi, sostanzialmente, del valoe di B agli estemi polai valoe coispondente esattamente al paameto che si intende misuae. Il modello a spia pesenta indeteminazione nella localizzazione del punto in cui si intende ilevae il campo. Infatti l esatto posizionamento di Φ è ottenibile solo facendo tendee a zeo l aea della spia S (Fig.2.0) lasciando pealto inalteato il podotto IS. S 0 situazione non fisicamente eale. lim I = (.1) Infine la misua di B tamite l azione esecitata dal campo magnetico su di una caica q in movimento con velocità v ( Legge di Loentz) pesuppone la misua con pecisione abitaia sia della posizione della caica che della sua velocità istantanea. Tale situazione è esa impossibile dal pincipio di Indeteminazione di Heisenbeg che, come ben noto, stabilisce che: dove: h σ x. σ p 4π (.2) σ x = deviazione standad di posizione σ p = deviazione standad quantità di moto (velocità pe massa costante) h = costante di Planck che, nel caso in esame, supposte costanti massa e caica del copo di pova, dìviene:

6 F h σ x.σ( ) B 4π (.) CONCLUSIONE ( Conclusion) Dopo l avvento di magneti pemanenti in tee ae, l inteesse al compotamento di copi immesi in un campo magnetico, si è esteso olte i limiti del puo inteesse scientifico. Pe conto il calcolo, sia teoico che speimentale, del valoe del loo potee magnetico, ossia, in temini maggiomente coetti, del loo momento di dipolo, compota un definito livello di indeteminazione. BIBLIOGRFIA (Refeences) Paolo Mazzoldi, Massimo Nigo; Cesae Voci, Fisica Volume II, 2ª ed., EdiSES, Coado Mencuccini, Vittoio Silvestini, Fisica 2. Elettomagnetismo-ottica, ª ed., Liguoi Chales A. Bau, Moden Poblems in Classical Electodynamics, Oxfod Univesity Pess, John David Jackson, Classical Electodynamics, ª ed., New Yok, Wiley, Kimball A. Milton, Theoetical and expeimental status of magnetic monopoles ( in Repots on Pogess in Physics, Yakov M. Shni, Magnetic Monopoles, Spinge Velag, Il moto dei pianeti intono al Sole: una lezione inedita di Richad Feynmann Goodstein Ed. Zanichelli Max Planck: l'inizio della nuova fisica. Convegno intenazionale, Roma, 6 dicembe 2000.

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