Esercizi Matematica 3

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1 Esercizi Matematica 3 Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [1/13]

2 Introduzione Gli esercizi presentati in questo volume, seguono la stessa struttura capitolo, sezione, sottosezione del corrispondente testo di teoria. Gli esercizi non sono distribuiti in ordine rigoroso di difficoltà; si possono trovare prima esercizi più difficili e dopo esercizi più facili; in ogni caso la difficoltà è compatibile con lo sviluppo della teoria nel testo corrispondente. Valgono due sole eccezioni: ci sono esercizi contrassegnati con un asterisco (*) o con due asterischi (**): i primi sono da considerare esercizi difficili e i secondi molto difficili; in ogni caso, come tutti ben sanno, la difficoltà è una pura opinione.

3 Indice I Numeri e Funzioni 1 1 Numeri 1.1 Tipi di numeri Proprietà fondamentali Uguaglianze e disugaglianze Appendici 5.1 Naturali e interi Funzioni Definizioni Grafici Tipi di funzioni Operazioni Proprietà notevoli II Funzioni trascendenti 10 4 Funzioni trascendenti Funzioni esponenziali e logaritmiche Funzioni goniometriche Esercizi riassuntivi sulle funzioni trascendenti III Geometria analitica 19 5 Esercizi di geometria analitica sulle rette 0 IV Contributi 4

4 Parte I Numeri e Funzioni

5 Capitolo 1 Numeri 1.1 Tipi di numeri 1. Proprietà fondamentali 1.3 Uguaglianze e disugaglianze Esercizio Risolvere le disequazioni x 3 + x [ 3 5 ] x 1, x 3 [ ] 1. x + 1 > 3x 5 < x < 3 3. x x 3 < 4 [ 13 ] < x < 7 3. x x 3 < 4 [ 13 ] < x < 7 4. x x 3 9 x 0 [?] 5. 9x + 6x + 1 x [?] 6. x x 8 0 [?] 7. x 10 9x + 6x + 3 < 0 [?] 8. x 4 x 15 0 [?]

6 1.3 Uguaglianze e disugaglianze 3 Esercizio Risolvere le disequazioni. { x 3 + x 9x x 4 10x x x 1 x x 3x + x 1 x x 3 x x x + 3 x + x 3x x 1 ( 3 x ; x = 3) (x > ) x 6x + 5 x 7x (1 x < 3 ; < x 5) (x + 3)(x 4x + 3) x 0 (1 x 3 ma x ) 4x x 3 x 5x 3 < 0 (x < 3 ma x 1) 6. (x 4 1)(x 5 + 3) (x 6 + 1)(x 3 0 (x ; 1 x 1 ; x > 3) 7) 7. 3 x 1 < 8 ( x < 3) 8. x x 6 0 ( < x < ) x x < 1 ( 1 5 < x < 1+ 5 ) x x 0 ( 3 < x 1, 0 x < 7) x 4x > 1 x (x 4, x < 1 ) x 3 x (?) Esercizio Risolvere le disequazioni x3 + 1 > x + 1 (?) x 1 < 3 (?) x x > x (?) x x x (?) x x x x 4x ( 1 x < 3 x 1)

7 1.3 Uguaglianze e disugaglianze 4 Esercizio Risolvere le disequazioni. 1*.. 3. x 4x 1 + x 0 ( < x 1 x ) x 1 x x ( 1 < x 1 ; x > 1) x 1 x x ( 1 < x 1 ; x > 1) 4. x > 3 3x x (0 < x < 1 ; x > ) x > 0 (x < 6 ; 4 < x < ; x > 0) x + x 3 x + 1 > 0 x + 1 x 3 < (x 3 ; 1 < x < 5 4 ) x 1 x 3x + x > 0 ( < x 1 ; x ) 8. x 1 x x 9 0 (x 3 ma x 3) x + 1 x + 3x 0 (0 < x 1 + ) x x + 1 x 1 < (x 1 ; x > 5 3 ) 5 x + x 7 0 (3 x 4) x x + 7 < 0 (x > 9) 13. x x 3x x 16 0 ( 4 < x 0 ; x > 4) 14. x 4 x + 3 < 0 (1 < x < 3) 15. x 3 7 x 1 < 0 (1 < x < 3)

8 Capitolo Appendici

9 .1 Naturali e interi 6.1 Naturali e interi Esercizio.1.1. Per ogni intero n 1 dimostrare che n = Esercizio.1.. Per ogni intero n 1 dimostrare che n(n + 1) (n 1) = n Esercizio.1.3. Per ogni intero n 1 dimostrare che n = 1 n(n + 1)(n + 1) 6 Esercizio.1.4. Per ogni intero n 1 dimostrare che n 3 = n(n + 1)

10 Capitolo 3 Funzioni 3.1 Definizioni Esercizio Sia f(x) = x x definita per x 0; calcolare f(1), f( 1), f(), f(13). Cosa si deduce? 3. Grafici Esercizio Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni. 1. f 1 (x) = x + 3. f (x) = x 1 3. f 3 (x) = 3x f 4 (x) = x 3 5. f 5 (x) = x 6. f 6 (x) = x 1 7. f 7 (x) = x + x 8. f 8 (x) = x + x 9. f 9 (x) = 1 x f 11 (x) = 3 x 13. f 13 (x) = 15. f 15 (x) = { 0 se x 0 1 se x > 0 { x se x < 0 x se x f 10 (x) = 1 x 1. f 1 (x) = x x 14. f 14 (x) = { 0 se x < 0 1 se x > 0 x 3 se x f 16 (x) = 1 se 0 < x < x se x Esercizio 3... Disegnare un grafico approssimato delle funzioni dell esercizio precedente, calcolandone anche alcune immagini per valori arbitrari del campo di esistenza.

11 3.3 Tipi di funzioni 8 Esercizio Data la funzione f : R R, x x 4x la si rappresenti graficamente e si dica se è biiettiva; in caso contrario, renderla tale per x ed indicare con f 1 la restrizione di f così trovata. Determinare l inversa di f 1 e rappresentarla graficamente. Infine, risolvere la disequazione + 4 x x. (f 1 1 : {x R : x 4} {y R : y }, x + 4 x; S : 0 x 4) Esercizio Con riferimento all esercizio precedente, rappresentare graficamente la funzione y = g(x) = f( x) e risolvere la disequazione g( x ) > 3 anche per via grafica. (x < 3 ; 1 < x < 1 ; x > 3) Esercizio Rappresentare graficamente la curva di equazione y = f(x) = (x ) partendo dalla curva base y = x 3 ; determinare, quindi, la funzione inversa f 1 e verificare che f f 1 è la funzione identica. (f 1 (x) = + 3 x 1) 3.3 Tipi di funzioni 3.4 Operazioni

12 3.5 Proprietà notevoli Proprietà notevoli Esercizio Stabilire quali delle funzioni seguenti sono pari, dispari o nessuna delle due. E opportuno considerare prima il campo di esistenza. 1. f 1 (x) = x. f (x) = x 3. f 3 (x) = x 1 4. f 4 (x) = x 3 5. f 5 (x) = x 6. f 6 (x) = 1 x 7. f 7 (x) = x 8. f 8 (x) = x + x Esercizio 3.5. (*). Dimostrare che una funzione definita per tutti i numeri può essere scritta come somma di una funzione pari e una funzione dispari. Suggerimento: considerare la funzione g p (x) = f(x) + f( x) Esercizio Dimostrare che la somma di funzioni dispari è dispari e che la somma di funzioni pari è pari. Esercizio Stabilire nei casi elencati quale sia il tipo della funzione prodotto dimostrando il risultato: prodotto di funzioni pari prodotto di funzioni dispari prodotto di una funzione pari per una funzione dispari

13 Parte II Funzioni trascendenti

14 Capitolo 4 Funzioni trascendenti 4.1 Funzioni esponenziali e logaritmiche Esercizio Tracciare un grafico approssimato delle funzioni. 1. y = x +1. y = x y = x+1 Esercizio Risolvere le equazioni esponenziali. 1. (x 1)(3x ) 5 8x 4 x(3x 1) = 16 x (8 7+x ) 7 x x x 5 x = 0 8x + 4 x = 5 x 4. 9 x+ + 9 x = x x 1 9 x+1 x = 0 6. x 8 4 x = 0 Esercizio Risolvere le equazioni logaritmiche log 3 x = log 1 3 ( 1 3 ) x. log (1 + x) log (1 x) = 1 3. log 1 3x + log 1 3x = 0 4. log 3(x 1) log 9 x + log x 3 = 0 Esercizio Risolvere le disequazioni logaritmiche-esponenziali.

15 4.1 Funzioni esponenziali e logaritmiche 1 1. log 6 (x 1) + log 6 (x ) < 1 ( < x < 4). log 1 (x + ) + log (x ) log 1 (x + 1) (x > ) 3. (log 1 x) + log 1 x 0 (?) 4. ln(3 x ) < 1 (?) Esercizio Risolvere le disequazioni logaritmiche-esponenziali x 81 (x 4). ( ) x < 0 ( ) 5 3. (0, 1) x 100 (x ) 4. 3 x 16 (x 4 5 ) 5. 3 x+1 < 9 ( 1 x < 3) 6. { x 0 3 x + 5 > 0 (x 1) 7. x 1 x 0 (0 x < 3) x 10 3 x + 9 < 0 (0 < x < ) 9. 4 x > 7 (x > log 4 7) x x 1 = 4 x + x 1 (x = log ) ( ) 1 ( ) x x+ 5 > 0 (x < 0) x 81 < 0 ( < x < ) x 5x 5 (x 1) 14. ( ) 9 x 1 < 3 ( 3 x 3) x = x (x = 1 )

16 4.1 Funzioni esponenziali e logaritmiche e x 1 e x 0 (x 0) 17. x+ x+1 x x 1 x = 1 (x = ) x 4 3 x + 3 x 1 0 (x < 1 ; x 0 ma x 1) 3 x ( 1 5) x 3 0 (log < x log 3 ) 0. log x x 1 risolvi graficamente log x + log x = 17 4 (x = 4 ; 4 ) 13. log log 1 (x 3) = 1 (x = 4 ) 3. log 3 x log x 9 = x + 3 ( ) 4. log 1 (x 4x + 3) log 1 (x ) log 1 (x + 1) (x > 3) 5. log log(x 15) < 0 (4 < x < 5) 6. log x (x 1) > 1 (x > 1 ma x 1) Esercizio Risolvere le disequazioni logaritmiche-esponenziali. ) 1. log x ( x (x < 1 ; x > 1). log x ( x + ) x 1 ( ) 3. x x + 1 x 5 x + 4 ( 1 x < ma x 0 ; x 3) 4. (e x 1)(e x 5e x + 3) 0 (x < ln 3 ) x+1 5. log x 1 log 1 x 3x+ x +1 < 0 ( 3 < x < 1 e x > 6. e x e x > 1 (x > ln(1 + )) ln x+ln 5 7. ln(15 4x) (0 < x < 8 7 < x < 15 4 ) 8. log (x 3x + 3) > 0 (x < 1 x > )

17 4.1 Funzioni esponenziali e logaritmiche log x+1 x 1 log 1 (x+4) x 1 < 0 (?) x 9 < 4 ( 1 3 < x < log ) 11. ln x (ln x 1) 1 (?) 1. 5 x log 6 1 < 5 x 1 (?) e x 1 e x 4 1 (?) ln x + 31 ln x 9 > 0 (?) 15. log x ( + x) < 1 (?) 16. (log x )(log x )(log 4x) > 1 (?) 17. log 3 x 4x +3 x + x 5 0 (?)

18 4. Funzioni goniometriche Funzioni goniometriche Esercizio Calcolare il valore delle espressioni. 1. [cos( 3 π α) sin(π α) sin( π + α) cos(π + α)] tan α cot(π + α) (?) sin π cos π 6 sin π 3 ( sin 5 π + cos ) π sin π 1 cos π : cos π sin π 4 sin π + cos π (sin π + cos π) a ( a sin 5 π + b cos 5 π) b ( a cos 5 π + b sin 5 π) a(sin π + cos π) + b(sin 3π + cos 3π) (?) (1) (a + b) Esercizio 4... Tracciare un grafico approssimato delle funzioni. ( π ) 1. y = sin x + 3. y = cos 4 x 3. y = tan x 1 4. y = sin x 1 5. y = cos x y = sin ( x + π 7. y = sin(x π ) y = cos(x + π 3 ) 9. y = sin(x π 3 ) ) Esercizio Calcolare il valore delle espressioni utilizzando le formule degli angoli associati. ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) 1. cos α tan α + sin α cot α ( π ) ( π ) ( π ). sin + α cos + α + cos α cot + α 3. cos α cos (π α) sin (π α) sin(π α) cos(π α) (sin α + cos α) (cos α) (sin α) cos(π + α) 1 + cos(π + α) 1 + cos(π α) sin (π + α) (cot α) Esercizio Verificare le seguenti identità.

19 4. Funzioni goniometriche cos 4 α sin 4 α = cos α sin α tan α + 1 tan α = sec α sin α sin α = cot α cot α 1 sin α sin α sin 3 α cos 3 α sin α cos α = 1 + sin α cos α 4. cos α(tan α + cot α) = cot α 6. tan α 1 tan α 1 = (sin α cos α)( cos α + 1 sin α ) 7. sin 4α sin α = sin 6α sin α 8. cos α β sin α + β = cos α cos β 9. tan 4α = 4 tan α(1 tan α) 1 cot α tan(α β) tan 4 α 6 tan 10. α + 1 cot α + tan(α β) = tan β

20 4. Funzioni goniometriche 17 Esercizio Risolvere le equazioni. 1. sin x cos x = sin x 1. sin x sin x cos x ( 3 + 3) cos x = sin x 3 cos x + 3 = 0 4. sin 3 x + cos 3 x = cos x sin x = 0 6. sin ( π 4 3x) sin x = 0 7. sin x = 1 cos x 8. sin 3x + cos 3x + cos x = 6 Esercizio Risolvere le disequazioni sin x + (1 3) sin x 3 sin x < 0 (?). tan 4 x 9 cos x < 0 ( π 4 +kπ < x < π 4 +kπ ; π 3 +kπ < x < 3 π+kπ ma x π + kπ) 3. sin x + cos x 1 tan x 1 0 (kπ x < d π + kπ ma x π 4 + kπ) 4. arcsin(x 1) 18x 9x + 1 < 0 ( 1 < x < 1 6 ; 1 3 < x < 1)

21 4.3 Esercizi riassuntivi sulle funzioni trascendenti Esercizi riassuntivi sulle funzioni trascendenti Esercizio Determinare il C.E. delle seguenti funzioni reali di variabile reale 1. f(x) = log x 1 (x x 3) (x < 1 ma x ; x > 3 ma x 4). f(x) = log log 1 x (0 < x < 1) 4 3. f(x) = log x 4 x + 3 x (0 < x < 1 ; x > 3) 5. f(x) = x x 4 + 3x (x ma x 0) 6. f(x) = x 4 5x + 4 (x ; 1 x 1 ; x ) 7. f(x) = 8. f(x) = (1 log x) log 1 5 (x ) x + 4 x 4 5 x 1 log x f(x) = log (x + 1) 3 (x 7) 10. f(x) = (x R {0, 1, }) ln x 1 + cos x (x > 0 ma x π + kπ, k Z + ) 11. f(x) = ln(1 sin x) xe sin x ln( sin x + cos x ) 1. f(x) = 3 sin x 4 3 sin x + 3 (x R { π + kπ, k Z} ) (x R ma x π 4 + kπ, kπ, π + kπ con k Z) 13. f(x) = 3 1 x x 6x x x (x R { 1, 3} )

22 Parte III Geometria analitica

23 Capitolo 5 Esercizi di geometria analitica sulle rette Esercizio Rispondere alle seguenti domande, giustificando la risposta: 1. E vero o falso che rette parallele hanno il coefficiente angolare uguale?. E vero o falso che rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare antireciproco? 3. Qual è il coefficiente angolare delle rette parallele all asse delle ascisse? 4. Qual è il coefficiente angolare delle rette parallele all asse delle ordinate? 5. Qual è il coefficiente angolare delle rette parallele alla I bisettrice? 6. Qual è il coefficiente angolare delle rette parallele alla II bisettrice? 7. Due rette perpendicolari possono avere coefficiente angolare opposto? [Attenzione: non tutte le rette hanno coefficiente angolare!] ( ) ( ) 4 4 Esercizio Calcolare la distanza fra i punti A 5, 6 e B 5,. [ AB = 8 ] ( ) 3 Esercizio Scrivere le coordinate del punto medio del segmento di estremi A 4, e B ( 74 ), 6. ( Esercizio Scrivere le coordinate del baricentro del triangolo di vertici A(4, 0), B C ( 0, 3 ). [ M ( 1 )], Esercizio Scrivere l equazione del fascio improprio di rette parallele alla prima bisettrice. 1, 3 ) e [G(1, 1)] [y = x + k]

24 1 Esercizio Dato il punto P ( ) 1, 3 : scrivere l equazione del fascio proprio F P di centro P ( ) 1, 3 ; ( 3 scrivere l equazione della retta del fascio proprio F P passante per Q, scrivere l equazione della retta del fascio proprio F P parallela alla II bisettrice; scrivere l equazione della retta del fascio proprio F P perpendicolare alla retta di equazione y = x. [ ( y + 3 = m x 1 ), y = x 7, y = x 5, y = 1 x 13 ] 4 Esercizio Determinare le rette passanti per il punto A(, 3) e, rispettivamente: parallela all asse x; parallela all asse y; passante per O; passante per B(4, 0); ) ; parallela alla retta di equazione y + x = 0. [..., y = 3 x 6, y = 1 x ] Esercizio Dati i punti A(, ), B(4, ), C(, 5) e D( 4, 1): determinare i punti medi M, N, P e Q rispettivamente di AB, BC, CD e DA; verificare che ABCD è un rettangolo; verificare che MNP Q è un rombo equivalente a metà del rettangolo; calcolare perimetro e area di ABCD e MNP Q. [ p(abcd) = 6 13, A(ABCD) = 6 ] [ p(mnp Q) = 65, A(MNP Q) = 13 ] Esercizio Date le rette r 1 : y = 1 x 1 ed r : y = x 11: determinare il loro punto E di intersezione; determinare i punti A e C sulla retta r 1 di ascissa rispettivamente e 6; determinare i punti B e D sulla retta r di ascissa rispettivamente e 6; verificare che ABCD è un rombo; calcolare perimetro e area di ABCD. [p = 0, A = 0]

25 Esercizio Date le rette r 1 : y = 3 4 x 37 4, r : y = 4 3 x+ 16 3, r 3 : y = 3 4 x ed r 4 : y = 4 3 x 3: determinare il punto di intersezione B fra r 1 ed r ; determinare il punto di intersezione C fra r ed r 3 ; determinare il punto di intersezione D fra r 3 ed r 4 ; determinare il punto di intersezione A fra r 4 ed r 1 ; verificare che ABCD è un rettangolo; calcolare perimetro e area di ABCD. [p = 30, A = 50] Esercizio Dato il punto A(, 3): scrivere l equazione del fascio proprio F di centro A; determinare l equazione della retta r 1 di F parallela alla prima bisettrice; determinare l equazione della retta r di F parallela alla seconda bisettrice; determinare i punti C e B rispettivamente sulle rette r 1 ed r di ascissa 7; verificare che ABC è un triangolo isoscele; calcolare perimetro e area di ABC. [ p = , A = 5 ] Esercizio Dato il fascio improprio F di rette parallele con coefficiente angolare : scrivere l equazione della retta r 1 di F passante per A(1, 5); scrivere l equazione della retta r di F passante per B(6, 5); determinare il punto D sulla r 1 di ascissa 1; determinare il punto C sulla r di ascissa ; verificare che ABCD è un trapezio isoscele; calcolare perimetro e area di ABCD. [ p = , A = 30 ] Esercizio Date la retta r 1 : x y + 5 = 0: determinare i punti B e C sulla r 1 di ascissa rispettivamente 1 e 3; scrivere l equazione del fascio proprio F B di centro B; determinare l equazione della retta r di F B perpendicolare alla r 1 ; scrivere l equazione del fascio proprio F O di centro O; determinare l equazione della retta r 3 di F O parallela alla r 1 ; determinare A = r r 3 ;

26 3 verificare che OABC è un trapezio rettangolo; calcolare perimetro e area di OABC. [ p = , A = 15 ]

27 Parte IV Contributi

28 Contributi e licenza Erica Boatto Algebra I - Algebra II - Insiemi Beniamino Bortelli Grafici Roberto Carrer Coordinatore progetto - Numeri - Funzioni - Integrazione - Matematica 5 Statistica descrittiva Morena De Poli Laboratorio matematica Piero Fantuzzi Algebra I - Algebra II - Insiemi Caterina Fregonese Analisi (Integrazione) - Esercizi Carmen Granzotto Funzioni - Analisi (Integrazione) Franca Gressini Funzioni - Statistica descrittiva - Teoria della probabilità I - Teoria della probabilità II Beatrice Hitthaler Funzioni trascendenti - Geometria analitica - Numeri complessi - Analisi - Matematica 5 Teoria della probabilità I - Teoria della probabilità II Lucia Perissinotto Funzioni trascendenti - Geometria analitica - Numeri complessi - Analisi - Matematica 5 Teoria della probabilità I - Teoria della probabilità II Pietro Sinico Geometria I - Geometria II La presente opera è distribuita secondo le attribuzioni della Creative Commons. La versione corrente è la. In particolare chi vuole redistribuire in qualsiasi modo l opera, deve garantire la presenza della prima di copertina e della intera Parte Contributi composta dai paragrafi: Contributi e licenza. Settembre 01 Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave