Analisi Matematica I DISEQUAZIONI Risposte Pagina Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 1

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1 Analisi Matematica I DISEQUAZIONI Risposte Pagina Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. A [, 0] B (, ] [0, 3) C (3, + ) D (, + ) L insieme delle soluzioni della disequazione x log(x+) x 3 0è: Esercizio. L insieme delle soluzioni della disequazione x x 6 > 0è: A (, 3) B (3, + ) C R \ [ 3, 3] D ( 3, 3) Esercizio 3. L insieme delle soluzioni della disequazione x >xè: A (, 0) (0, ) B R \{0} C (0, ) D (, 0) Esercizio 4. A ( 3, ] B (, ) C [, + ) D ( 3, ] [, + ) L insieme delle soluzioni della disequazione e x x+3 è: Esercizio 5. L insieme delle soluzioni della disequazione x +x > è: A (, 0) B R \{ } C [0, + ) D [0, ]

2 Analisi Matematica I DISEQUAZIONI Risposte Pagina Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. L insieme delle soluzioni della disequazione x > è: A (, ) (, 0) (0, + ) B (, + ) C (, ) D (, ) (0, + ) Esercizio. L insieme delle soluzioni della disequazione x 4 x 0è: A (, ] {0} [, + ) B (, ] [, + ) C [, ] D R Esercizio 3. L insieme delle soluzioni della disequazione x x è: A (, 0] B R C [0, + ) D (0, + ) Esercizio 4. L insieme delle soluzioni della disequazione log (x ) < è: A (0, ) (, + e) B (, ) (, + e) C ( e, ) (, + e) D (, + e) Esercizio 5. L insieme delle soluzioni della disequazione sin 5x + cos 5x è: A [0, 0π] B R C [0, 7] D [ 0, 5 π]

3 Analisi Matematica I DOMINI DI FUNZIONE Risposte Pagina Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Il dominio della funzione f(x) = x + x 3è: A [, 3] B (, 3) C R \{3} D Esercizio. Il dominio della funzione f(x) =log( x x)è: A [, ] B [0, + ) C (0, ) D [0, ) Esercizio 3. Il dominio della funzione f(x) = A (, ] B (, 3) [, 3) C (3, + ) D [, 3) 8 x 3 x 9 è: Esercizio 4. Il dominio della funzione f(x) = ex 3e x e 3x è: A (log 3, + ) B R \{3} C R \{log 3} D [0, 3] Esercizio 5. Il dominio della funzione f(x) = 4 x 3 x è: A (, 3] {0} [3, + ) B ( 3, 3) C (, 3] [3, + ) D [0, 3)

4 Analisi Matematica I DOMINI DI FUNZIONE Risposte Pagina Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Il dominio della funzione f(x) = 3x 4x + è A (, 3] [, + ); B (, 3) (, + ); C [0, + ); D (, ] [ 3, + ). Esercizio. Il dominio della funzione f(x) =log x x +3 è A (, 3) B R \{, 3} C (3, + ) D (, ) Esercizio 3. Il dominio della funzione f(x) = x x è A [, ]; B (, ); C (, ]; D [0, + ). Esercizio 4. Il dominio della funzione f(x) = log (x 3) log (x +) è A (0, + ); B (, + ); C (, 3); D (3, + ). Esercizio 5. Il dominio della funzione f(x) = log (3x ) log (x 3) è A ( 3, ) (, + ); B ( 3, + ) ; C ( 3, 3 ) ; D (0, ) (, + ).

5 Analisi Matematica I FUNZIONI ELEMENTARI Risposte Versione Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Sia f(x) =sinx, g(x) =log x. La funzione g(f (x)) è A log(sin x); B log sin x ; C log(sin x ); D sin log x. Esercizio. Sia f(x) =sin(log x ). Questa funzione è A pari; B dispari; C periodica; D crescente Esercizio 3. Sia f(x) = tan x, g(x) =x. La funzione f(g(x)) è A pari; B dispari; C crescente; D periodica. Esercizio 4. Sia f(x) = log sin x. Questa funzione è A periodica di periodo π; B periodica di periodo π; C dispari; D crescente. Esercizio 5. Sia f(x) =sinx +log x, g(x) =e x. La funzione g(f(x)) è A e sin x x ; B e x log[sin x]; C e (sin x)log x ; D xe sin x.

6 Analisi Matematica I FUNZIONI ELEMENTARI Risposte Versione Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Sia f(x) =sinx, g(x) =logx. La funzione g(f (x)) è A 4 log sin x; B log sin x ; C 4log sin x ; D sin log x. Esercizio. Sia f(x) = tan sin x. Questa funzione è A pari; B dispari; C periodica; D crescente Esercizio 3. Sia f(x) = tan x, g(x) =x3. La funzione f(g(x)) è A pari; B dispari; C crescente; D periodica. Esercizio 4. Sia f(x) =e tan x. Questa funzione è A periodica di periodo π/3; B periodica di periodo π; C dispari; D crescente. Esercizio 5. Sia f(x) =sinx +log x 3, g(x) =e x. La funzione g(f(x)) è A e sin x x 3 ; B e x 3 log sin x; C e (sin x)log x3 ; D x 3 e sin x.

7 Analisi Matematica I FUNZIONI ELEMENTARI Risposte Versione Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 3 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Sia f(x) =sinx, g(x) =e x. La funzione g(f (x)) è A e sin x ; B e sin x ; C e sin x ; D e sinx. Esercizio. Sia f(x) =x log sin x. Questa funzione è A pari; B dispari; C periodica; D crescente Esercizio 3. Sia f(x) = arctan x, g(x) =x 7. La funzione f(g(x)) è A pari; B decrescente; C crescente; D periodica. Esercizio 4. Sia f(x) = arctan sin x. Questa funzione è A periodica di periodo π; B periodica di periodo π; C pari; D crescente. Esercizio 5. Sia f(x) =sinx +logx 3, g(x) =e x. La funzione g(f(x)) è A e sin x x 3 ; B e x 3 log(sin x); C e sin x x 3 ; D xe sin x 3.

8 Analisi Matematica I FUNZIONI ELEMENTARI Risposte Versione Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 4 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Sia f(x) =sinx, g(x) =e x x. La funzione g(f(x)) è A esin x e x ; B e (sin x/ sin x) ; C e sin x sin x; D esin x e sin x. Esercizio. Sia f(x) = arcsin (sin x 5 ). Questa funzione è A pari; B dispari; C periodica; D decrescente Esercizio 3. Sia f(x) = arctan x, g(x) =x 3. La funzione f(g(x)) è A pari; B dispari; C decrescente; D periodica. Esercizio 4. Sia f(x) = log(sin x). Questa funzione è A periodica di periodo π; B periodica di periodo π; C dispari; D crescente. Esercizio 5. Sia f(x) =cosx + log tan x, g(x) =e x. La funzione g(f(x)) è A e cos x tan x; B e tan x log cos x; C e cos x tan x ; D (cos x)e tan x.

9 Analisi Matematica I FUNZIONI ELEMENTARI Risposte Versione Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Sia f(x) =arcsinx, g(x) =e x. La funzione g(f (x)) è A e (arcsin x) ; B e arcsin x ; C e arcsin x ; D e arcsin x. Esercizio. Sia f(x) = log(arccos x ). Questa funzione è A pari; B dispari; C periodica; D crescente Esercizio 3. Sia f(x) = arctan x, g(x) =coshx. La funzione f(g(x)) è A pari; B dispari; C crescente; D periodica. Esercizio 4. Sia f(x) = arctan (sinh x). Questa funzione è A periodica di periodo π; B periodica di periodo π; C crescente; D pari. Esercizio 5. Sia f(x) =sinx + log(cos 3 x), g(x) =e x. La funzione g(f(x)) è A e sin x cos 3 x; B e cos3 x log sin x; C e sin x cos x 3 ; D (cos x)e sin x 3.

10 Analisi Matematica I FUNZIONI ELEMENTARI Risposte Versione Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 6 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Sia f(x) =arcsin x, g(x) =e x. La funzione f(g(x)) è A arcsin (e x / ); B e arcsin x ; C arcsin (e x ); D arcsin (e x ). Esercizio. Sia f(x) =x 3 log(arccos x ). Questa funzione è A pari; B dispari; C periodica; D crescente Esercizio 3. Sia f(x) = arctan x, g(x) =cosh x. La funzione f(g(x)) è A pari; B dispari; C crescente; D periodica. Esercizio 4. Sia f(x) = x arctan (sinh x). Questa funzione è A periodica di periodo π; B periodica di periodo π; C crescente; D dispari. Esercizio 5. Sia f(x) =sinhx + log(cos 3 x), g(x) =e x. La funzione g(f(x)) è A e sinh x cos 3 x; B e cos3 x log(sinh x); C e sinh x cos x 3 ; D cos xe sinh x 3.

11 Analisi Matematica I FUNZIONI ELEMENTARI Risposte Versione Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 7 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Sia f(x) = x, g(x) =sinx + x. Allora, f(g(x)) è A sin x + x ; B sin x + x ; C sin x + x ; D sin x + x. Esercizio. Sia f(x) =e x + x +,g(x) = x. Allora, f(g(x)) è uguale a A e x + x ; B e x + x ; C e x + x +; D e x + x +. Esercizio 3. Sia f(x) =sinx + x, g(x) =e x. Allora, f(g(x)) è A x +sine x ; B e x +sinx; C e x +sine x ; D sin (e x + x). Esercizio 4. Sia f(x) =sinx + x, g(x) =e x. Allora, g(f(x)) è A e sin x + e x ; B e sin x ; C e sin x+x ; D e sin x + x. Esercizio 5. La funzione f(x) =+ x A è iniettiva B è monotona sul suo dominio C è limitata sul suo dominio D è inferiormente limitata sul suo dominio.

12 Analisi Matematica I FUNZIONI ELEMENTARI Risposte Versione Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 8 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Sia f(x) = x +3. Allora f ([, )) è uguale a A [, ) B ( 5, 4] [, ) C [4, 5) D (, ) Esercizio. Sia f(x) =3 log(x + ). Allora f([0, ]) è uguale a A [3 log, 3] B [3, + ) C (, 3) D (, 3 log ) Esercizio 3. Sia f(x) =e x. L insieme f ([, 3)) è A [ +log3, ) (, + log 3]; B ( log 4, ] [, log 4); C ( +log3, ] [, + log 3); D [ +log3, ] [, + log 3]. Esercizio 4. Sia f(x) =x e g(x) =x.siaf(x) =f(g(x)). Allora, F ([4, 5]) è A (6, 5]; B (6, 5); C ( 6, 5); D [6,5]. Esercizio 5. Se f(x) =3x + allora A f (x) = x 3 3 B f (x) =x +3 C f (x) =x 3 D f (x) non esiste

13 Analisi Matematica I PROPRIETÀ QUALITATIVE DELLE FUNZIONI E GRAFICI AVVERTENZA: In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Sono date le funzioni Allora, per ogni x R: A sgn x = U( x) U(x) B sgn x = x x sgn x = { se x>0 0 se x =0 se x<0 e U(x) = { se x 0 0 se x<0 C sgn x = U(x) U( x) D sgn x =U(x) Esercizio. Sia f(x) = sin 3x. Allora, nell intervallo [ π,π ] la funzione f(x) ha: A esattamente 7 zeri B esattamente 3 zeri C un unico zero D esattamente 5 zeri Esercizio 3. Sia f(x) =x cos x Allora: A esiste almeno un x 0 R tale che f(x 0 )=0 B esistono punti a, b tali che 0 <a<be f(x) è decrescente nell intervallo [a, b] C f(x) ha un punto di massimo per x =0 D f(x) ha un punto di minimo per x =0 Esercizio 4. Sia f(x) = x. Allora: A f(x) ha tre punti di minimo assoluto B f(x) non ha punti di massimo o di minimo C f(x) ha un unico punto di minimo D f(x) ha due punti di massimo assoluto

14 Esercizio 5. Sia f(x) =(x )(x 4). Allora: A la restrizione di f(x) all intervallo (, ) è invertibile B la restrizione di f(x) all intervallo [, ) è invertibile C la restrizione di f(x) all intervallo [, + ) è invertibile D la restrizione di f(x) all intervallo [0, ] è invertibile Esercizio 6. Sia f(x) = x + x + x 3 Allora: A f(x) ha esattamente due zeri B f(x) è decrescente sul suo dominio C f(x) ha almeno un punto stazionario D f(x) ha un asintoto obliquo Esercizio 7. Siano f(x) = cosh x e g(x) = sinh x. Allora: A esiste un punto x 0 R tale che f(x 0 )=g(x 0 ) B f(x) eg(x) sono asintotiche per x + C f(x)+g(x) ha un minimo per x =0 D f (x)+g (x) è limitata Esercizio 8. Sia f(x) = (sgn x) (sin x). Allora: A f(x) è periodica B f(x) ha un punto angoloso in x =0 C f(x) ha una discontinuità di prima specie in x =0 D il limite di f(x) perx 0 non esiste Esercizio 9. Sia f(x) = Allora: { e /x se x 0 /e se x =0 A f(x) ha un punto di massimo relativo in x =0 B f(x) ha un punto di massimo assoluto in x =0 C f(x) ha una discontinuità di prima specie in x =0 D f(x) ha un punto di minimo assoluto in x =0

15 Analisi Matematica I LIMITI AVVERTENZA: In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Il limite lim x + x + x 3 x 4 + x 3 cos x A è0; B è+ ; C è; D Non esiste. Esercizio. Il limite A è0; B è+ ; C è/; D è3 Esercizio 3. Il limite A è+ ; B è0; C è3/4; D non esiste. Esercizio 4. Il limite A è+; B è ; C è0; D non esiste. Esercizio 5. Il limite x +(sinx)/x +3 lim x + x +3sinx + lim t + 3e t + e t 4e t + e t x + e x lim x + e x x e x + x 4 lim x e x x 5 A è0; B è ; C è+ ; D non esiste.

16 Analisi Matematica I LIMITI Esercizio 6. Data la funzione f(x) = sin x log( + x), x A lim f(x) =+ B lim f(x) =0 C lim f(x) = D lim f(x) = x 0 x 0 x 0 x 0 Esercizio 7. Data la funzione f(x) = sin x ex+ x, A lim f(x) = ; B lim f(x) =0; C lim f(x) =; D lim f(x) = e. x 0 x 0 x 0 x 0 Esercizio 8. Data la funzione f(x) = log( + x ) x + arctan x x + e x, A lim f(x) = ; B lim f(x) =0; C lim f(x) =; D lim f(x) = x x x x. Esercizio 9. Data la funzione f(x) = log( + x) x +sinx x + e x, A lim f(x) =+ ; B lim f(x) =0; x + x + C il lim f(x) non esiste; D lim f(x) = x + x +. Esercizio 0. Data la funzione f(x) = x + x x +sinx 3x, + A lim f(x) =+ ; B lim f(x) =0; x + x + C il lim f(x) non esiste; D lim f(x) = x + x + 3. Esercizio. Data la funzione f(x) = x(ex 4 ) xe x + e x, A lim f(x) =+ ; B lim f(x) =0; x + x + C il lim f(x) =; D lim f(x) = x + x +. Esercizio. Per x, la funzione f(x) = log( + x ) x + arctan x x + e x A è un infinito; B è un infinitesimo; C ha limite uguale a ; D ha limite uguale a.

17 Analisi Matematica I LIMITI Esercizio 3. Data la funzione f(x) =(x ) sin ( ), x A lim f(x) =+ ; B lim f(x) =0; x x C il lim x f(x) non esiste; D lim x f(x) =. Esercizio 4. Data la funzione f(x) = 3sin(x ) e x, A lim f(x) =+ ; B lim f(x) non esiste; x x C il lim x f(x) =0; D lim x f(x) = 3. cos(x 5) Esercizio 5. Data la funzione f(x) =, (x 5) 8 5 A lim f(x) =+ ; B lim f(x) non esiste; x 5 x 5 C il lim x 5 f(x) =0; D lim x 5 f(x) =. Esercizio 6. Data la funzione f(x) =x(5 + sin x +cosx), A lim f(x) =+ ; B lim f(x) =0; x + x + C il lim f(x) non esiste; D lim f(x) =7. x + x + sin 3x Esercizio 7. lim = se: x 0 g(x) A g(x) =3x; B g(x) =3x ; C g(x) =x; D g(x) =9x. Esercizio 8. Per x 3, la funzione f(x) = cos(x 3) A ha lo stesso ordine di infinitesimo di (x 3) ; B ha ordine di infinitesimo superiore a (x 3) ; C ha ordine di infinitesimo inferiore a (x 3) ; D ha ordine di infinitesimo non confrontabile con (x 3). Esercizio 9. Data la funzione f(x) = tan 5x x, A lim f(x) =+ ; B lim f(x) =0; C lim f(x) =5; D lim f(x) = 5. x 0 x 0 x 0 x 0 Esercizio 0. Data la funzione f(x) = arctan 3(x +), x + A lim f(x) =0; B lim f(x) =; C lim f(x) =3; D lim f(x) =+. x x x x

18 Analisi Matematica I TEORIA DEI LIMITI AVVERTENZA: In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Siano f (x), f (x) due funzioni tali che lim x + (f (x)+f (x)) = 5. Allora: A lim x + f (x) = e lim x + f (x) =3. B x 0 tale che sia f (x) chef (x) sono limitate nell intervallo [x 0, + ) C x 0 : x >x 0 i {, } : f i (x) > 0 D I limiti per x + sia di f (x) che di f (x) esistono finiti. Esercizio. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, tale che dom f = R. Se lim x 0 f(x) = 0, allora: A lim x 0 f(x) =+. B f(0) = 0 C f(x) =x + o(x) perx 0 D esiste un intorno dell origine sul quale f(x) è limitata Esercizio 3. È data una funzione y = f(x) tale che e x f(x) x per x [, ] \{0}. Allora: A f(x) è limitata sull insieme [, ] \{0} B lim x 0 f(x) = C f(x) > 0perx [, ] \{0} D il limite di f(x) perx 0 esiste finito sin x x Esercizio 4. Data la funzione reale di variabile reale y = f(x), se per ogni x 0, allora: x + x +3 f(x) x + x + A f(x) è limitata sull intervallo [0, + ) B lim x + f(x) = 3 C x 0 tale che x [x 0, + ) siha f(x) D il limite di f(x) perx + esiste finito.

19 Esercizio 5. Data la funzione reale di variabile reale y = f(x), se per ogni x R, allora: + sin x f(x) 4 + sin x A il limite di f(x) perx + non esiste B f(x) è periodica C f(x) > 0 per ogni x R D lim x + f(x) =3 Esercizio 6. Se f = o(g) eg = o(h) perx 0, allora: A f = o(h) perx 0 B f = o(h )perx 0 C f + g = o(h) perx 0 D f e g sono infinitesime per x 0 Esercizio 7. Siano f e g funzioni infinitesime per x 0, allora: A f g = o(g) perx 0 B f g = o(f) perx 0 C f + g = o(f) =o(g) perx 0 D f g = o(f) =o(g) perx 0 Esercizio 8. Sia g una funzione infinitesima per x 0. Se f = o(x) perx 0, allora: A f + g = o(x) perx 0 B f g = o(g) perx 0 C g f = o() per x 0 D f g = o() per x 0

20 Analisi Matematica I CONTINUITÀ AVVERTENZA: In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. L affermazione f(x) è continua in x 0 dom f significa che: A δ >0 ε >0 tale che se x dom f, x x 0 <εallora f(x) f(x 0 ) <δ B lim x x 0 f(x) = lim x x + f(x) 0 C ε >0 δ >0 tale che se x dom f, x x 0 <ɛallora f(x) f(x 0 ) <δ D δ >0 tale che ε >0, se x dom f, x x 0 <δallora f(x) f(x 0 ) <ε x Esercizio. Sia f(x) = x 3 per x 0 + x 0 per x =0. Allora: A f è continua nel punto x =0 B f ha una discontinuità di prima specie (salto) nel punto x =0 C f ha una discontinuità eliminabile nel punto x 0 D f è un infinitesimo per x 0 Esercizio 3. I valori dei parametri α,β R per i quali la funzione f(x) = suo intero dominio sono: { αx + β per x (x α) per x > è continua sul A ogni α R e ogni β R B ogni α R, eβ = α C ogni α R, eβ = 3α + α D α =0,β = Esercizio 4. Sia f(x) = Allora: { sin x se x Q cos x se x R \ Q. A la funzione ammette un unico zero per x =0 B f(x) è periodica di periodo π C f(x) è discontinua in ogni x R D esistono punti in cui f(x) è continua

21 Esercizio 5. Se la funzione y = f(x) è continua nel punto x 0, allora: A /f(x) è continua nel punto x 0 B f(x) è continua nel punto x 0 C sgn ( f(x) ) è continua nel punto x 0 D f(x) è continua nel punto x 0 Esercizio 6. A proposito della funzione y = f(x) si hanno le seguenti informazioni. f(x) è definita e continua per ogni x R. lim x f(x) = 3 e lim x + f(x) =3 3. f( ) = 3 e f() = 3. Allora: A f(x) ha almeno tre zeri B f(x) ha esattamente tre zeri C f(x) haalpiù tre zeri D f(0) = 0 Esercizio 7. Si considerino le funzioni f(x) = log x e g(x) =αx. Allora: A α R i grafici di f e g hanno intersezione vuota B α R i grafici di f e g si intersecano in almeno un punto C α R tale che i grafici di f e g si intersecano in almeno due punti D esiste un unico valore di α R per cui i grafici di f e g si intersecano in un unico punto Esercizio 8. Sia f una funzione reale di variabile reale, sia I un intervallo, I dom f, e siano dati due punti a, b I, con a<b. A Se f è continua su (a, b) allora esistono almeno un punto di massimo e almeno un punto di minimo di f su [a, b] B Se f è limitata su [a, b] allora esistono almeno un punto di massimo e almeno un punto di minimo di f su [a, b] C Se f è monotona su [a, b], allora esistono un punto di massimo e un punto di minimo di f su [a, b] D Se f(a) =f(b) allora esiste almeno un punto di estremo (massimo o minimo) di f su [a, b]

22 Analisi Matematica I CALCOLO DI DERIVATE Risposte Pagina Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. La funzione f(x) =5e x +3x+ A non è derivabile; B ha derivata f (x) =(5x +5x + 0)e x +3x+ ; C ha derivata f (x) = (0x + 5)e x +3x+ ; D ha derivata f (x) =5e x +3x+. Esercizio. La funzione f(x) = 3 x A è derivabile solo per x>0; B ha derivata f (x) = 3 x; C ha derivata f (x) = 3 x; D non è derivabile per x =0. 3 Esercizio 3. La funzione f(x) =log A +x ; C ha derivata +x B +x ; x +x ; D x +x. Esercizio 4. Sia f : R R una funzione derivabile tre volte e x si abbia che f (x) > 0, allora: A f è monotona; C f è sicuramente limitata; B f ha punti di massimo o minimo; D f è sicuramente concava. Esercizio 5. Sia f : R R una funzione derivabile tale che x R, f (x) < 0, allora A ammette un punto di massimo; C ammette un punto di minimo; B è decrescente; D è sicuramente concava.

23 Analisi Matematica I CALCOLO DI DERIVATE Risposte Pagina Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 Esercizio 6. La derivata della funzione f(x) =+ x 7 è tale che: A f (0) = ; B f (0) = ; C f (0) = ; D f non è derivabile in x =0. Esercizio 7. La derivata di f(x) =lnx x èlaseguente: A f (x) = x + x ; B f (x) =0; C f (x) = x ; D f (x) = ln x. x Esercizio 8. La derivata di f(x) = arctan x è la seguente: +x A f (x) =0; B f (x) = +x ; C f (x) = (x +) ( + x ) ; D f (x) = tan x arctan x. Esercizio 9. La funzione f(x) =sinlnx è tale che: A f (x) = cos x sin x ; B f (x) = x sin x ; C f (x) =coslnx; D f (x) = cos ln x. x Esercizio 0. La funzione f(x) =ln( x 5 ) è tale che: A f (0) = 5 ; B f (0) = ln ; C f (0) = 5 ln ; D f (0) = 5.

24 Analisi Matematica I DERIVABILITÀ E PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI DERIVABILI AVVERTENZA: In ogni esercizio una sola risposta è corretta. { Esercizio. Sia f(x) = x + sin x per x 0 x per x =0. Allora, la derivata di f(x) nel punto x =0: A esiste ed è uguale a 0 B esiste ed è uguale a C esiste ed è uguale a D non esiste Esercizio. Sia f(x) una funzione definita per ogni x R, tale che f(x) sinh x. Allora: A f(x) è continua per x =0 B f(x) è derivabile per x =0 C f(x) è limitata in R D f(x) è continua per ogni x R Esercizio 3. Sia f(x) una funzione definita in un intorno completo I del punto x 0 = 0. Sotto quale delle seguenti ipotesi è possibile dedurre che f (0) esiste? A f(x) ha un punto di massimo nel punto x 0 =0 B f(x) è continua nel punto x 0 =0 C f (x) esiste per ogni x I \{0} e lim x 0 f (x) = lim x 0 + f (x) D f(x) cosh x per ogni x I Esercizio 4. La funzione y = f(x) è derivabile nel punto x 0. Sulla base di questa unica informazione, possiamo dedurre che: A f(x) è derivabile nel punto x 0 B e f(x) è derivabile nel punto x 0 C f(x) è derivabile nel punto x 0 D f(f(x)) è derivabile nel punto x 0

25 Esercizio 5. A proposito delle tre funzioni f,g,h si hanno le seguenti informazioni. dom f = dom g = dom h = R e f(r) =g(r) =h(r) =R.. f,g,h sono tutte funzioni di classe C su R 3. detta ϕ = f g h, sihaϕ (x) > 0 per ogni x R. Allora: A almeno una tra le funzioni f,g,h è crescente sull intero dominio R B tutte e tre le funioni f,g,h sono crescenti sull intero dominio R C almeno due tra le funzioni f,g,h sono crescenti sull intero dominio R D almeno una tra le funzioni f,g,h è decrescente sull intero dominio R Esercizio 6. Sia I un intervallo e siano a, b I, con a<b. Sia f una funzione definita su I e derivabile nell intervallo (a, b). Allora: A Se esiste un x 0 (a, b) tale che f (x 0 ) = 0 allora esiste un punto di estremo (massimo o minimo) di f in [a, b] B Se esiste un punto di massimo di f in [a, b], allora esiste un x 0 (a, b) tale che f (x 0 )=0 C Se a<c<d<besistono almeno un punto di massimo e almeno un punto di minimo di f in [c, d] D Se f(a) =f(b) allora esiste un x 0 (a, b) tale che f (x 0 )=0 Esercizio 7. Sia y = f(x) una funzione reale di variabile reale, con dom f = R, derivabile in ogni punto x R. Allora: A Se f è pari allora esiste x 0 tale che f (x 0 ) > 0 B Se f è dispari allora per ogni a>0 esiste b>0 tale che af (b) =f(a) C Se f è limitata allora anche f è limitata D Se f è limitata allora anche f è limitata Esercizio 8. Sia y = f(x) una funzione reale di variabile reale, con dom f = R, derivabile in ogni punto dell intervallo (, ). Allora: A Se f è pari allora f (0) = 0 B Se f è dispari allora f (0) = 0 C Se f( ) = f() allora esiste x 0 (, ) tale che f (x 0 )=0 D Se f( ) = f() allora esiste x 0 (, ) tale che f (x 0 )=f()

26 Esercizio 9. Sono date tre funzioni f,g,h tali che, per x 0, si ha: f(x) =x + o(x ) g(x) =x + x + o(x ) h(x) =x x 3 + o(x 3 ). Allora, la parte principale di ϕ(x) =f(x)g(x) h(x) perx 0 A è uguale a x x 3 B è uguale a 3x C è uguale a 3x 3 D non si può determinare in base alle informazioni disponibili Esercizio 0. Sia f(x) definita e derivabile per ogni x R. Supponiamo inoltre che sia lim x f(x) = lim x + f(x) (assumendo che questi limiti esistano, finiti o infiniti). Allora: A f(x) è pari B f(x) è limitata C x 0 tale che f (x 0 )=0 D lim x f (x) = lim x + f (x) 3

27 Analisi Matematica I PRIMITIVE Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 Es. 6 Es. 7 Es. 8 Es. 9 Es. 0 Risposte: AVVERTENZA: In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Scrivere la lettera che contrassegna la risposta scelta nello spazio in alto a destra. Quindi verificare l esattezza delle risposte. Esercizio. Sia f(x) = A F (x) =log((x ) ) B F (x) = C F (x) = x x x x D F (x) =log (x ). Una primitiva di f(x) perx>è: (x ) x + Esercizio. Sia f(x) = (x,esiaf(x) laprimitivadif(x) sull intervallo (0, + ) tale che F () = /. + x) Allora, A F (x) = x+ x B F (x) = x +x C F (x) = x +x x +x D F (x) =log x +x + 3 Esercizio 3. Sia f(x) = x(+log x). Una primitiva di f(x) perx>è: A F (x) = log( + log x) B F (x) = (log x) log( + log x) C F (x) =log(x( + log x)) D F (x) =logx + log( + log x) Esercizio 4. Sia f(x) = tg x cos x. Una primitiva di f(x) per π <x< π è: A F (x) = cos x B F (x) =log(cos x) C F (x) =+ cos x D F (x) =tg (x)

28 Analisi Matematica I PRIMITIVE Esercizio 5. Sia f(x) =x 3 e x. Allora: A una primitiva di f(x) sur è F (x) = x4 4 ex3 /3 B una primitiva di f(x) sur è F (x) = x e x e x C una primitiva di f(x) sur è F (x) =3x e x +x 4 e x D una primitiva di f(x) sur è F (x) = x4 4 ex Esercizio 6. Sia f(x) =xarctg x. Allora, una primitiva di f(x) sur è: A F (x) = arctg x + B F (x) = x +x x +x +arctgx C F (x) = x arctg x + xarctg x + log( + x ) D F (x) = x + arctg x x 3 Esercizio 7. Sia f(x) = x. Allora una primitiva di f(x) perx>è: x A F (x) = 3 4 arctg ( ) x B F (x) = 4x (x x ) C F (x) =log( x) log( x ) D F (x) =log x x+ Esercizio 8. Sia f(x) = x. Allora una primitiva di f(x) sur è: +x A F (x) = ( + x ) / B F (x) =log +x x C F (x) = +x D F (x) =x( + x ) / Esercizio 9. Sia f(x) =x cos(x ). Una primitiva di f(x) sur è: A F (x) = cos(x ) B F (x) =sin(x ) C F (x) =sin x D F (x) =cos x Esercizio 0. Sia f(x) =e x +e x. Una primitiva di f(x) sur è: A F (x) = 3 ( + ex ) 3 B F (x) = 3 ( + ex ) /3 C F (x) = +e x D F (x) = ex +e x

29 Analisi Matematica I TEORIA DELL INTEGRAZIONE AVVERTENZA: In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. Sia F (x) una primitiva di f(x) su un intervallo I, eg(x) una primitiva di g(x) =f(x) + sullo stesso intervallo I. Allora: A La funzione ϕ 3 (x) =F (x) G(x) è costante su I B La funzione ϕ (x) =F (x) G(x) x è costante su I C La funzione ϕ (x) =F (x) G(x)+x è costante su I D F (x) =G (x) per ogni x I Esercizio. Sia F (x) una primitiva di f(x). Allora una primitiva di g(x) =F (x)f(x) è: A G(x) = f (x) B G(x) = F (x) C G(x) =(F f)(x) D G(x) =(f F )(x) Esercizio 3. Sia f una funzione continua su R, e sia F una primitiva di f su R. Allora: A Se f è dispari allora F è pari B Se f è pari anche F è pari C Se f è dispari anche F è dispari D Se f è periodica anche F è periodica Esercizio 4. Sia f 3 (x) una primitiva di f (x), e f (x) una primitiva di f (x) su un dato intervallo aperto I. Allora: A f (x)f (x) dx = f (x)f 3 (x) f 3 (x)f (x) dx B f (x)f 3 (x) dx = f (x)f 3 (x) f (x) dx C f (x)f 3 (x) dx = f 3 (x)f (x) f (x)f (x) dx D f (x)f (x) dx = f (x) f (x)f 3 (x) dx Esercizio 5. Sia f una funzione continua su R e sia a>0. Sia c la media integrale di f tra a e a. Allora: A Se f è periodica di periodo a, allora c =0 B Se f è dispari, allora c =0 C Se f è pari, allora c>0 D La media integrale di f tra a e a e uguale a c.

30 Esercizio 6. Sia f(x) una funzione continua su R e sia F (x) la primitiva di f(x) sur tale che F (0) =. Sia ϕ(x) =F (x) x f(t) dt. Allora: 0 A ϕ(x) = per ogni x R B ϕ(x) è una primitiva di f(x) sur C ϕ(x) = 0 per ogni x R D ϕ(x) =x Esercizio 7. Sia f(x) una funzione continua su R. Allora, G(x) = 0 f(t) dt è una primitiva di: x A g(x) = f( x) B g(x) = f(x) C g(x) =f( x) D g(x) =f(x) Esercizio 8. Sia y = f(x) una funzione tale che:. f(x) è definita e continua per ogni x. f(x) 0 per ogni x 3. l integrale improprio + f(x) dx converge. Allora: A l integrale improprio + dx converge f(x) B l integrale improprio + f(x ) dx converge C l integrale improprio + f(x) dx converge D l integrale improprio + f(log x) dx converge e

31 Analisi Matematica. NUMERI COMPLESSI Esercizio. Nel campo dei numeri complessi l equazione z 3 = ha esattamente A tre soluzioni, date da, cos 3 π + i sin 3 π,cos4 3 π + i sin 4 3 π; B tre soluzioni, date da, cos 3 π i sin π 3,cosπ 3 i sin π 3 ; C tre soluzioni, date da, i, i; D una soluzione, z =. Esercizio. Sia z = a + ib, a, b R, un numero complesso. La parte immaginaria di z+ z è uguale a A ib+ ib ; B 0; C i D b (a ) b ; b (a ) +b. Esercizio 3. Il numero i 7 + i 33 è uguale a A 0; B i 60 ; C i; D i. Esercizio 4. Se il numero complesso z ha modulo r e argomento ϕ e il numero complesso w ha modulo ρ e argomento θ, allora A l argomento di z + w è uguale a ϕ + θ; B l argomento di z w è uguale a ϕ + θ; C il modulo di z + w è uguale a r + ρ; D l argomento di z w è uguale a ϕ θ. Esercizio 5. Sia z = a + ib, a, b R, un numero complesso. La parte reale di e ize z è uguale a A e a cos b; B e a b ; C e a cos b; D e a b cos(a b). Esercizio 6. Se z =+3i, allora z è uguale a A 5 + i; C i ; B i; C i ; D i.

32 Analisi Matematica. NUMERI COMPLESSI Esercizio 7. Il modulo e un argomento del numero z = e i sono rispettivamente A e e; B e; C e ei; D e. Esercizio 8. La forma trigonometrica del numero complesso z = 3 i 3 è A 3 ( cos 5 4 π + i sin 5 4 π) ; B 3 ( cos π 4 + i sin π 4 ) ; C 3 ( cos π 4 + i sin π 4 ) ; D e i 5π 4. Esercizio 9. Il numero complesso ( 3 i)( + 3 i) è uguale a A 3; B 7 4 ; C i 3; D 4. 5+i Esercizio 0. Il numero complesso e 4 π è uguale a A cos ( 5+ 4 π) + i sin ( 5+ 4 π) ; B e 5 cos 4 π + ie 5 sin 4 π; C e 5 cos 5 4 π + ie 5 sin 5 4 π; D e 5( cos 4 π i sin 4 π).

33 Analisi Matematica I EQUAZIONI DIFFERENZIALI AVVERTENZA: In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio. È data l equazione differenziale y = y y. Allora: A la soluzione y(x) tale che y(0) = è definita nell insieme (, log ) ( log, + ) B la soluzione y(x) tale che y(0) = è definita per ogni x R C la soluzione y(x) tale che y(0) = / è definita per ogni x R D non ci sono soluzioni costanti Esercizio. È data l equazione differenziale y = Allora: A y = log x è una soluzione per x>0 B y = log x è una soluzione per x> C y = log x è una soluzione per x 0 D non esistono soluzioni definite nell intervallo (0, ) y x log x Esercizio 3. È data l equazione differenziale y = y + yx + x Allora: A l equazione è a variabili separabili B l equazione è lineare C esistono soluzioni costanti D esistono soluzioni crescenti

34 Esercizio 4. Sia u = f(t) la soluzione del problema { u u =0 () u(0) = u (0) = e si consideri il problema () { x +3x +x = f(t) x(0) = x (0) = 6. Allora, la soluzione del problema () è: A x = f(t) 6 B x = e t C x = e t + e t e t D x =3f(t) Esercizio 5. Sia data l equazione differenziale Allora, il suo integrale generale è: x 7x +x =6e t A x = Ae 3t + Be 4t +6e t, A, B R B x = Ae 3t + Be 4t + e t, A, B R C x = Ae 3t + Be 4t + e t, A, B R D x = Ae 3t + Be 4t, A, B R Esercizio 6. Sia data l equazione differenziale Allora: x +x = sin t A tutte le soluzioni sono periodiche B esistono soluzioni non limitate C x = sin t è una soluzione per t R D l equazione presenta risonanza

35 Disequazioni Quesiti pag. Risposta Quesiti pag B C A D A Risposta D A C C B Domini di funzione Quesiti pag Quesiti pag Risposta D D B C A Risposta A B C D A Funzioni elementari Quesiti vers Quesiti vers Risposta A A A B A Risposta C A B B A Quesiti vers.3 Risposta Quesiti vers.5 Risposta Quesiti vers.7 Risposta Quesiti vers A B C B A Risposta D B B B A Quesiti vers A A A D A Risposta A B A D A Quesiti vers A C C C A Risposta B A C D A Proprietà qualitative e grafici Quesito Risposta C A D A C A B B A Limiti Quesito Risposta Quesito Risposta A C C B A B A D B A C B B D C A D B D C Teoria dei limiti Quesito Risposta C D A A C C D B Continuità Quesito Risposta A B D D B A C C Derivate Quesiti pag. Risposta Quesiti pag C D C A B Risposta B A C D D Derivabilità Quesito Risposta B A D B A C B A C C

36 Primitive Quesito Risposta B A A C B D D A B A Integrazione Quesito Risposta C B A B B A C B Numeri complessi Quesito Risposta A D A B D C D A B C Equazioni differenziali Quesito Risposta C B D A B C