Analisi Matematica I

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1 Esercizi di Analisi Matematica I Università degli Studi di Tor Vergata - Roma Facoltà di Ingegneria Corsi di Laurea: Ingegneria Civile, Medica, dei Modelli e dei Sistemi a cura di Ciolli Fabio I testi di esonero e d esame sono riferiti ai corsi della Prof.ssa R. Dal Passo (ogni suggerimento e correzione a: ciolli@mat.uniroma.it) a.a. 003/004

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3 Indice Elementi di base 3. Disequazioni razionali intere Disequazioni razionali fratte Disequazioni irrazionali Disequazioni con valori assoluti Disequazioni esponenziali e logaritmiche Disequazioni goniometriche Limitatezza di insiemi numerici Funzioni di una variabile 9. Insieme di definizione di funzioni Invertibilità di funzioni Composizione qualitativa di funzioni Limiti di funzioni di una variabile 5 3. Verifiche della definizione di limite Calcolo di limiti Studio di funzioni di una variabile 3 4. Asintoti Continuità e derivabilità Invertibilità e derivata dell inversa

4 INDICE 4.4 Punti critici Monotonia Polinomi di Taylor e Mac Laurin Uso dei polinomi di Taylor per il calcolo dei limiti Continuità uniforme Prove scritte Analisi matematica /I 3 5. Primo Esonero Analisi matematica /I Altri esercizi Prova finale Analisi matematica /I Altri esercizi Integrali di funzioni di una variabile e Serie numeriche Integrali indefiniti immediati Integrali indefiniti per sostituzione Integrali indefiniti per parti Integrali definiti Integrali impropri Serie numeriche Funzioni di più variabili Insiemi in più dimensioni Limiti in più dimensioni Funzioni di più variabili Sviluppi di Taylor di funzioni di più variabili Concavità/convessità Primo Esonero Analisi matematica I/ Prova finale Analisi matematica I/

5 INDICE

6 Capitolo Elementi di base. Disequazioni razionali intere E.I.. Determinare la soluzione delle seguenti disequazioni per R. ( )( 4) > 0. [ <, > 4]. ( )( 3)( + ) < 0. [ < <, > 3]. Disequazioni razionali fratte E.I.. Determinare la soluzione delle seguenti disequazioni per R < [ < 0, 3 < < 5, > 7] [ 8 < < 6] < 0. [ < 3, 3 < <, > ] 6. ( a)( b) a 0, a > b > 0. [ < a, b < a, > a].3 Disequazioni irrazionali E.I.3. Determinare la soluzione delle seguenti disequazioni per R 7. 3 > [ 3] 3

7 4. Elementi di base 8. 8 < [, 7] 9. <. [ ] 0. + < [ 6]. 3 8 > [nessuna soluzione].. [ 5+ 5 ] [ ] 4. 4 <. [ < 6] >. [ < 9, > 7] <. [ 7 ] <. [R] <. [ 5+ 7 < < ] <. [0 < 4 ].4 Disequazioni con valori assoluti E.I.4. Determinare la soluzione delle seguenti disequazioni per R 0.. [{ } { 4}]. < [R] [R] [{ } { } { 3 7 }] 4. + < 3. [{ < < 5 }] 5. 3 <. [{ < + 3} { > + }].5 Disequazioni esponenziali e logaritmiche E.I.5. Determinare la soluzione delle seguenti disequazioni per R

8 .6 Disequazioni goniometriche < 8. [ < log 3 log 08 ] ( 7) 4 5 ( 7) + > 0. [ < 7 log 3 log 5, > 7 ] 8. log 3 ( ) >. [R] 9. log 5 ( 7 + ) < 0. [ < < 7 5, 7+ 5 < < 5] 30. log 0 ( + 4) > log 0 (3 + 0). [ 0 3 < <, > 3] < 0. [0 < < ] > + 5. [0 < < ] 33. log 0 (3 + 4) log 0 7 <. [ 0 < < ].6 Disequazioni goniometriche E.I.6. Determinare la soluzione delle seguenti disequazioni per R 34. sin cos > 0. [ π 3 + kπ < < π + kπ, π + kπ < < 5 3π + kπ, k Z] 35. cos + 3 sin. [ π 6 + kπ 5 6π + kπ, k Z] tan 4 3 tan + 3 > 0. [ π + kπ < < π 6 + kπ, π 3 + kπ < < π + kπ, k Z] 37. log a ( sin ) < 0, a >. [ 6 π + kπ < < 6 π + kπ, 5 6 π + kπ < < 7 6π + kπ, k Z] cos + sin 3 > 0. [impossibile] cos( + π 6 ) 3 cos + 0. [ 7 6 π + kπ π 6 + kπ, k Z] cos 40. sin. [ π 6 + kπ 5 6 π + kπ, 7 6 π + kπ 6 π + kπ, k Z] tan 4. cot <. [kπ < < π 6 + kπ, 5 6π + kπ < < π + kπ, k Z].7 Limitatezza di insiemi numerici E.I.7. Studiare la limitatezza dei seguenti insiemi numerici, determinando per ognuno di essi sup, inf, ma, min ed eseguendo la verifica della definizione 4. A = {, n N}. [inf A = 0, ma A = ] n +

9 6. Elementi di base 43. A = { ( )n n +, n N}. [min A = 3, ma A = ] 44. A = { + 3, R, > 3}. [inf A =, sup A = + ] 45. A = { +, R, < }. [inf A =, sup A = ] 46. A = { nm n +m, (n, m) N N \ {(0, 0)}}. [min A = 0, ma A = ] 47. A = { nm n +m, (n, m) N \ {0}}. [inf A = 0, ma A = ] 48. A = { n+m n m, n, m N, n m}. [inf A =, sup A = + ] 49. A = { n m + m n, n, m N \ {0}}. [inf A =, sup A = + ] E.I.8. Studiare la limitatezza dei seguenti insiemi numerici, determinando per ognuno di essi sup, inf, ma, min. 50. A = { 3n+ n+, n N \ {0}}. [min A = 4 3, sup A = 3] 5. A = {, n N \ {0}}. [min A = + n 3, sup A = ] 5. A = { n n!+, n N \ {0}}. [inf A = 0, ma A = 4 3 ] log n! 53. A = { n!, n N}. [min A = 0, ma A = log ] n 54. A = { +), n N}. 55. A = { sin(n π [inf A =, sup A = + ] n n+, n N \ {0}}. [min A = n +, sup A = 0] A = { ( ) n n n+3 5, n N}. [min A = 5, sup A = 6 5 ] 57. A = { n + sin(n π ), n N}. [min A = 0, sup A = + ] 58. A = {sin((n + ) π ) n+, n N}. [min A =, ma A = ] E.I.9. Stabilire se i seguenti insiemi di numeri reali sono limitati; trovarne il sup e inf, ma e min, se esistono. 59. A = { +n, n N, n }. [inf A = 0, ma A = 3 ] 60. A = { R : + > }. [A = (, ) (, + ); inf A =, sup A = ] 6. A = { R : < }. [min A =, sup A = 8 3 ] 6. A = { R : log(sin ) R}. [A = { π + kπ, k Z}; inf A =, sup A = + ] 63. A = { R : 3 + < 9}. [min A =, sup A = ]

10 .7 Limitatezza di insiemi numerici A = { R : 5 < }. [min A = 3, sup A = 3 ] 65. A = { ( )n n, n N \ {0}}. [min A =, ma A = ] 4 n+, n N, n pari 66. A =. [inf A = 0, ma A = 4] n+, n N, n dispari 67. Costruire un insieme infinito attraverso una successione non monotona che abbia 0 come inf e come sup. 68. Calcolare inf e sup delle aree delle superfici dei rettangoli aventi perimetro uguale a 4a, dove a è un numero reale positivo o nullo.

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12 Capitolo Funzioni di una variabile. Insieme di definizione di funzioni E.II.. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni e studiare la limitatezza di tali insiemi. Disegnare inoltre un grafico qualitativo delle funzioni stesse. 69. f() =. 70. f() = f() = f() = log ( ). 73. f() = 6 log 3 ( ). 74. f() = log ( 5). 75. f() = log 3 ( + ) log f() = log 3 ( + ). 77. f() = log 3 ( + ) log 9 ( + ) f() = f() = log 5 (6 4 6 ). 80. f() = cos( + ). 9

13 0. Funzioni di una variabile 8. f() = cos( + ). 8. f() = (cos( + ) ) f() = sin +cos. 84. f() = log 3 (sin + cos ). 85. f() = log 3 (sin + cos ). 86. f() = log 3(sin + cos ). 87. f() = arccos( + ). 88. f() = arcsin( + ). 89. f() = (log 4 (sin )). 90. f() = [ 4 log 7 ( +) ( + )]. 9. Indicando con D l insieme di definizione per ognuna delle funzioni dell esercizio E.II., si determini l insieme dei suoi punti interni D e l insieme dei suoi punti di frontiera D. Dire inoltre se tali insiemi sono aperti o chiusi e studiarne la limitatezza. 9. Determinare l insieme immagine im f per ciascuna delle funzioni f nell esercizio E.II. ed il sottoinsieme dei suoi punti di accumulazione. 93. Date le funzioni f, g : A R R, dimostrare le seguenti implicazioni:. f, g crescenti = f + g crescente;. f, g decrescenti = f + g decrescente; 3. f crescente e g strettamente crescente = f + g strettamente crescente; 4. f decrescente e g strettamente decrescente = f + g strettamente decrescente. 94. Determinare sotto quali condizioni vale la seguente implicazione: f, g crescenti (decrescenti) = f g crescente (decrescente). 95. Esibire un esempio che mostri come il risultato dell esercizio 94 sia in generale falso, ovvero senza ulteriori ipotesi.

14 . Insieme di definizione di funzioni 96. Dimostrare che se f : A R R è invertibile, allora. f crescente (decrescente) = f crescente (decrescente). 97. Sia f : A R R tale che 0 / f(a). Dimostrare che se f è crescente allora f è...? 98. Siano f, g : A R R delle funzioni iniettive. La funzione f + g è invertibile? 99. Siano f : X Y e g : V W e sia inoltre f(x) V. Se f e g sono invertibili, la loro funzione composta f g è invertibile? 00. Dare tre esempi di funzioni f : X X tali che f f. 0. Sia g : R + {0} R il cui grafico è e sia f : (, ) R con grafico Disegnare un grafico qualitativo di f g e di g f.

15 . Funzioni di una variabile. Invertibilità di funzioni E.II.. Studiare l invertibilità delle seguenti funzioni nel loro insieme di definizione. 0. f() = f() = + log. 04. f() = + log 3 ( + ). 05. f() = f() = +. se > 07. f() = al variare di a R. + a se + a se f() = al variare di a R. se > 0 3 se 09. f() = al variare di a R. a se <. 0. Siano f : X Y e g : V W due funzioni invertibili per le quali sia ben definita la funzione composta g f. Dette f e g rispettivamente le loro inverse, dimostrare che (g f) = f g. E.II.3. Dopo aver verificato che le seguenti funzioni sono invertibili, determinarne l inversa, precisandone il dominio.. f() = +.. f() = ( ), f() = log ( 3 ). 4. f() = f() = e + e f() = sin 3 ( ), f() = arccos(log ).

16 .3 Composizione qualitativa di funzioni 3 8. f() = tan( 3 + ), π < 3 + < 3 π. 9. f() = arctan( 3 + ). 0. f() = arcsin( + ), < 0..3 Composizione qualitativa di funzioni. Sia f : R R una funzione con grafico Disegnare un grafico qualitativo di: f(), f + (), f (), f( ), f( + ), f( ), f(), f( + ), f( 3), f(), f( ), + f(), f( ), f(), f(), log 3 f(), f(), 4f(), 4 f(), arctan f(), arctan f().

17 4. Funzioni di una variabile. Come per l esercizio per la funzione f : (, 4 ) R con grafico Disegnare inoltre: tan(f()), arcsin(f()), arccos(f()), f( ), f( ). 3. Come per l esercizio per la funzione f : R R con grafico Disegnare inoltre: cot(f()), arcsin(f()), arccos(f()), f( ), f(( ) ).

18 Capitolo 3 Limiti di funzioni di una variabile 3. Verifiche della definizione di limite E.III.. Verificare la definizione di limite nei seguenti casi 4. lim =. 5. lim + = lim 3 + = lim = lim 0 = lim lim 3 = lim π sin =. 3. lim π tan = lim + [] = lim [] =. 35. lim 0 + log = lim =. 37. lim + sin = 0. 5

19 6 3. Limiti di funzioni di una variabile 3. Calcolo di limiti E.III.. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti 38. lim lim lim 0 sin cos. [ 9 ] [0] [] 4. lim [0] 4. lim + +. [] 43. lim + log (+ ) log 3. [ log 3] sin 44. lim lim [ 4 7 ] [0] 46. lim lim lim 0 sin cos lim 0 sin cos. [+ ] [0] [ ] [+ ] 50. lim π sin lim 0 sin +cos. [0] 5. lim + log 4 ( + ). [0] log 53. lim 3 (+) 0. [log 3 e] log (cos ) 54. lim 0. [log 4 e] 55. lim +(sin ) log. [0] 56. lim lim + log lim + 3 log 3 (log ). [+ ] E.III.3. Determinare dominio ed immagine delle seguenti funzioni, precisando se sono periodiche, pari o dispari. [] [0] [0]

20 3. Calcolo di limiti f() = sin + cos. 60. f() = log 3 (sin 3 cos 3 ). 6. f() = log ( sin + cos ). sin +cos 6. f() = 4 sin cos. 63. f() = sin 3 cos. 64. f() = α sin 3, al variare di α R. 65. f() = arcsin( +e e 3 ). 66. f() = 4 tan ( + ) tan( + ) f() = f() = arctan 5 5. E.III.4. Disegnare un grafico qualitativo delle funzioni studiate nei precedenti esercizi 59, 6, 64, 67 e 68. E.III.5. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti 69. lim + ( + 5). [6] lim + [log( + ) log ]. [] 7. lim + ( lim 0 log(cos ) sin. ) + 3. [e ] 73. lim 0 +(sin ) +3 log. [] 74. lim 0 log(+sin ) sin + log. [ ] 75. lim 0 e 3 e 3 sin. [e 3 ] 76. lim 0 sin( + ). [0] log(+)+sin lim 0 ( ). [9] lim 0 e +log(+ 5 sin 3 ) 3 5 [ 4 ]. [ ] sin( 79. lim 5 3 ) +. 4 [0]

21 8 3. Limiti di funzioni di una variabile E.III.6. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti 80. lim cos( ) log. [ ] 8. lim (sin π 4 ) log(3 ). [] 8. lim. 83. lim 0 + log. [] [e] 84. lim + ( cos ) + cos. [] 85. lim 0 + ( ) log. [] 86. lim + [(e + ) cos( )]. [+ ] 87. lim + [(e ) cos( )]. [ 3 ] 88. lim 3 e (3 ) +e(4 3 cos( 3)) 5 e 4 cos( 3). [ e ] 89. lim + (sin ) log( + e + + ). [log ] 90. lim + log 0 ( ++) [sin( + log0 ( 3 ++) )]. [( 3 )0 ] arcsin 9. lim 0. cos 4 [ 4] 9. lim 0 ( + sin ) arctan. [e] E.III.7. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti 93. lim + +sin +log(+e ). [ ] 94. lim + ( 4 e + sin( ) + ) + 4. [e ] ( lim 3 ) log( ) + arctan. [ 3 π ] 96. lim arctan π + π. [0] + log (+) 97. lim arctan π + (+) π. [ ] 98. lim lim 0 + e + + log + log(e +e )+ e. [+ ] sin cos +e cos arcsin. [ 4 ] ( 00. lim +) tan( ) sin 3 ( ). [0] cos( )

22 3. Calcolo di limiti 9 0. lim (cos 3 )+sin e +. [+ ] (e ) 0. lim (cos 3 )+sin [] 03. lim e + (e ) log log +log log(+ log ). [0] 04. lim e 3 e cos( ) + log(sin( π )). [( e π ) ] E.III.8. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti 05. lim 0 + ; lim 0 + ; lim 0 +. [; 0; ] n {}}{ lim 0 +. [ se n è pari, 0 se n è dispari] ( ) 07. lim ( sin(π)(e e ) )log. [] cos 08. lim e + ( 4 ) log + +. [ ] 09. lim 0 + sin(e cos + sin + sin ). [ 7 sin 4 ] e 0. lim cos + sin 3 + sin [+ ]. lim 0 + sin 3 + sin cos tan ( ). [6] log( cos )( cos ). lim sin 0. [ e sin ] 3. lim 0 log(cos )( +3+) +e cos 4. lim 0 [(sin + ) log(sin + )]. [] +3. [0] log( 5. lim e 4 +)+sin3 ( ) +. [ log( +3 3 ) ] E.III.9. Disporre in ordine di infinito (infinitesimo) crescente le seguenti funzioni e successioni, dopo aver determinato l ordine di infinito (infinitesimo), se esiste. 6. Per + : a) e, b) log, c) log, d). [d, b, c, a. Ord.: d=] sin 7. Per n + : a) n, b) n!, c) n n, d) ( 3 )n. [a, d, b, c] 8. Per + : a), b) log, c) log, d) log +. [b, d, c, a. Ord.: d=]

23 0 3. Limiti di funzioni di una variabile 9. Per 0 + : a) log, b), c) 3 cos arcsin, d) (log ) arcsin. 0. Per 0 + : a) log, b) log log, c) log, d) log(+). [a, c, d, b. Ord.: b=, c= 6 ] [b, a, c, d. Ord.: d=]. Per + : a) e ( ), b) 0 cos( ), c) sin 3 3, d) log 0 ( ).. Per + : a), b), ( ) 3 ( ) 4 3 log( ) [c, d, b, a. Ord.: b=, c= 3 ] c) e sin( ), d) ( ) 3. Per 0 + : a) arctan, b) cos log, c), d) sin [a, b, c, d. Ord.: a= 3 ] [d, c, b, a. Ord.: a=, d= 3 4 ] E.III.0. Disporre in ordine di infinito (infinitesimo) crescente le seguenti funzioni e successioni, dopo aver determinato l ordine di infinito (infinitesimo), se esiste. 4. Per + : a), b) log( e 3 ), c) +, d) ( + )+ log. [c, d, a, b. Ord.: a=, b=3, c=] 5. Per n + : a) n n +, b) n log n, c) log n n, d) n! (n+)! (n )!. [c, d, b, a. Ord.: a= 3, d=] 6. Per n + : a) ( n n ), b) n( 3 + n n), c) (cos( n3 n ) ) n+, d) n n. [a, b, c, d. Ord.: b=] 7. Per 0 + : a) ( cos ), b) log( + ), c) log, d) sin( log( + )) log. log(+sin 4 ) [c, b, d, a. Ord.: a=, b=] 8. Per + : a) log( cos ), sin b), 00 c) log( + ), d) log00 ( + ). [d, a, c, b. Ord.: a=] ( 3) 9. Per 3 + : a) (e (3 )(+) 3 ) sin( 3) 9 4, b) sin 3 ( 3), c) ( 3) 3 log( ), d) ( 3) 3 log 0 ( 3). [d, b, a, c. Ord.: a= 3 4, b=3, c=4] 30. Per 0 + : a) log( + ), b) +, c) ( )5, d) 3 log 0. [b, c, d, b. Ord.: a=3, b=, c= 5 ]

24 3. Calcolo di limiti 3. Per 0 + : a) arctan, b) ( cos ) log(+ ), c) log( + )e, d) sin( 3 log ). [a, c, b, d. Ord.: a= 3, b=] E.III.. Calcolare il limite delle seguenti successioni 3. lim n + e n n n. [+ ] e 33. lim n 3 n +. n n +e n 34. lim n + n +n 3 n+sin n 4 +n 5 +n 6. [ 4 ] 35. lim (+log n) n +. [0] n 36. lim n + (log(n + ) log n log(n + )) + n. [ ] [0] 37. lim n + n 3 n 4 n. [0] E.III.. Calcolare il limite delle seguenti successioni n 38. lim n + (n + ) sin n. [] 39. lim n + n n (n!)!. 40. lim n + n n!. [0] [+ ] 4. lim n + log n 4. lim n + ( + n! n+ n+ n ) (n ) n n n n+ n. [] (n+)!. [ e e] 43. lim n + n + arcsin(e n + ). [0] n +n 44. lim n + ( + cos n cos n ) (arcsin n )n. [] 45. lim n + ( n +n 3 +3 n+n+n 3 e n ) n. [] 46. lim n + n 6 +e n log n + n4 arcsin n n n n!+e n3. [] 47. lim n + n n e n. [e] 48. lim n n + e n + sin( π n). [e] 49. lim n + n + sin n. [non esiste] 50. Sia {a n } una successione a termini positivi tale che lim log a n 0. n + a n+

25 3. Limiti di funzioni di una variabile Produrre almeno due controesempi che mostrino come da questa relazione non sia possibile dedurre che lim a n = + n + Dire inoltre sotto quali ipotesi ulteriori sarebbe valido il risultato. 5. Usando il teorema del confronto, dimostrare che lim n + n + + n n + n = Sia {a n } una successione a termini positivi. Provare che a n+ lim = r R + {0} lim n + a n n + n an = r Utilizzare la successione a n = e n + sin( π n) + per dimostrare che in generale non vale il viceversa. 53. Provare, esibendo un controesempio, che se {a n } è una successione a termini non negativi, allora lim a a n n = l lim n + n + l n = Dimostrare inoltre che se lim n a n n = l > allora a n + per n +.

26 Capitolo 4 Studio di funzioni di una variabile 4. Asintoti E.IV.. Determinare gli eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per le seguenti funzioni, dopo aver precisato l insieme di definizione. Calcolare inoltre i limiti di ciascuna funzione nei punti di frontiera del proprio dominio. 54. f() = f() = ( ). 56. f() = f() = log( + ). 58. f() = f() =. 60. f() = arcsin f() = e (log ( )+log(3 3)+). 6. f() = log( 3e + e ). 63. f() = e. 64. f() = 65. f() = cos +. log 3+log

27 4 4. Studio di funzioni di una variabile 66. f() = arctan. (Si usi la formula arctan + arctan = π, > 0). 67. f() = + log. 68. f() = log + +log. 69. f() = 4 e. 4. Continuità e derivabilità E.IV.. Determinare l insieme di definizione e di continuità delle seguenti funzioni. 70. f() = [], [], >. 7. f() = [] + []. 7. f() = 4 sin. 73. f() = sin(log ) log. 74. f() = sin(cot ), kπ, k Z 0, = kπ, k Z. 75. Determinare a R tale che la seguente funzione risulti continua + f() =, a, =. 76. Dire se può applicarsi il Teorema di Weierstass sull esistenza degli estremi alla funzione f() =, 0 <, < 3. E.IV.3. Determinare l insieme di continuità e di derivabilità delle seguenti funzioni e calcolare la loro derivata. 77. f() = tan. 78. f() = e e.

28 4.3 Invertibilità e derivata dell inversa f() = f() = f() = f() = 83. f() = f() = (arcsin ) f() = e sin. 86. f() = arctan( ). 87. f() = log tan. 88. f() = arcsin( + ). 89. f() = arcsin( ). 90. f() = e. 9. f() = arccos(3). 9. f() = log. 93. f() = log 3 log(). E.IV.4. Come in E.IV.3 per le funzioni degli esercizi E.IV., E.II., E.II.3. E.IV.5. Come in E.IV.3 per le funzioni seguenti. 94. f() = + e. 95. f() = + 4 arctan. 96. f() = cos. 97. f() = log( ). 4.3 Invertibilità e derivata dell inversa E.IV.6. Verificare l invertibilità delle seguenti funzioni e determinare l insieme di derivabilità delle inverse.

29 6 4. Studio di funzioni di una variabile 98. f() = + log. 99. f() = + e f() = + log( + ). 30. f() = + sin. 30. f() = + arctan f() = 5 cos Detta g la funzione inversa corrispondente a ciascuna funzione nell esercizio E.IV.6, calcolare: g (), g (), g ( + log ), g ( π + ), g ( + π 4 ), g (0). Scrivere inoltre l equazione della retta tangente passante per essi Utilizzare il teorema del valor medio per dimostrare sin sin y y,, y R. 4.4 Punti critici E.IV.7. Determinare gli eventuali punti critici delle seguenti funzioni f() = f() = f() = log f() = e. 30. f() = + log. 3. f() = log. 3. f() = f() = ( + ). 34. f() = e ( 3 + (3 8)). 35. f() = (( ) 6 ) log.

30 4.5 Monotonia Monotonia E.IV.8. Determinare gli intervalli di monotonia delle funzioni nell esercizio E.IV Polinomi di Taylor e Mac Laurin E.IV.9. Determinare il polinomio di Mac Laurin delle seguenti funzioni fino all ordine indicato. 36. f() = sin( ), all ordine f() = +, all ordine f() = log( + 3 ), all ordine f() = sin (), all ordine f() = e +, all ordine 5. E.IV.0. Determinare il polinomio di Taylor, di centro 0 e fino all ordine indicato, delle seguenti funzioni. 3. f() = e, 0 =, all ordine f() = cos, 0 = 3, all ordine f() = log( + ), 0 =, all ordine Determinare il polinomio di Mac Laurin, di ordine 4 per la funzione f() = log( + sin ). E.IV.. Determinare il polinomio di Mac Laurin, di ordine 5 per le funzioni seguenti. 35. f() = ( + )e. 36. f() = sin + cos. 37. f() = (sin ) log( + ). 4.7 Uso dei polinomi di Taylor per il calcolo dei limiti E.IV.. Calcolare i seguenti limiti.

31 8 4. Studio di funzioni di una variabile ) 38. lim (e +. [ 3 ] 39. lim lim + e sin +cos e4. [ 5 log(+ ) 4 ] + log ( ( log cos( ) ) ). [+ ] 33. lim 5 + log + ( [ ) π π 4 ] log arctan π

32 4.8 Continuità uniforme Continuità uniforme 33. Verificare, attraverso la definizione, che f() = non è una funzione uniformemente continua su X = [, + ) Stabilire se f() = arctan è una funzione uniformemente continua quando rispettivamente definita sui seguenti domini: X a = (0, + ); X b = (, + ); X c = [, + ); X d = (, ) (, + ) Verificare se f() = log risulta essere una funzione lipschitziana sul dominio X = [, + ). E.IV.3. Verificare se le seguenti funzioni risultano essere uniformemente continue sul loro dominio di definizione e, 0 f() = 0, = 0. sin +, < 0 f() = log[e( + )], f() = sin(e sin ) E.IV.4. Per ognuna delle funzioni di seguito determinare a R in modo che esse risultino continue e verificare se con tale a le stesse risultano essere uniformemente continue su tutto il loro dominio di definizione a(e ), < f() = e, f() = log + e ( ), > a, = + π 4 arctan, <.

33 30 4. Studio di funzioni di una variabile , 0 f() = a log(+), > 0. sin, > 0 log(+)+ f() = a, = 0 (e + ) =, < 0.

34 Capitolo 5 Prove scritte Analisi matematica /I 3

35 3 5. Prove scritte Analisi matematica /I 5. Primo Esonero Analisi matematica /I I esonero Analisi Matematica /I. A.A. 000/00 ) Determinare il dominio e l immagine della seguente funzione Si chiede inoltre di: ( f() = log ) log 40. a) determinare sup /ma, inf /min del dominio di f; b) determinare sup f/ma f, inf f/min f; c) scrivere la definizione di punto di accumulazione di un insieme A R; d) determinare l insieme dei punti di accumulazione del dominio di f; e) disegnare un grafico qualitativo di f. ) Calcolare il seguente limite: ( lim 3( ( ) cos + ) ) ( log log + ). FACOLTATIVO. Studiare la limitatezza e determinare l insieme dei punti di accumulazione del seguente insieme: { ( ) n n A = n + 3 }, n N. 5

36 5. Primo Esonero Analisi matematica /I 33 I esonero Analisi Matematica /I. A.A. 00/00 ) Determinare il dominio e l immagine della seguente funzione Si chiede inoltre di: f() = ( log e + 3 ). a) determinare l insieme dei punti di accumulazione del dominio di f; b) disegnare un grafico qualitativo di f. ) Calcolare il seguente limite: e + ( log( + 3) ) lim log + sin 4 + arctan 3) Studiare la limitatezza e determinare l insieme dei punti di accumulazione del seguente insieme: A = {( ) n n+, n N }. FACOLTATIVO. seguente funzione: Determinare i valori di a R + per i quali risulta invertibile la f a () = 4 (arctan + ), a + a, >.

37 34 5. Prove scritte Analisi matematica /I I esonero Analisi Matematica /I. A.A. 00/003 ) Studiare la limitatezza e determinare, dopo aver dato la definizione di punto di accumulazione, il derivato del seguente insieme: A = { n 3 4n + ( sin( π + nπ)) n 3 n + }, n N ( 3, 0 ]. ) Determinare il dominio e l immagine della seguente funzione Si chiede inoltre di determinare: a) sup /ma, inf /min del dominio di f; b) sup f/ma f, inf f/min f; ( log f() = arccos ). 4 log c) l insieme dei punti di accumulazione del dominio di f; d) disegnare un grafico qualitativo di f. 3) Calcolare il seguente limite: lim + (e 3 ) log ( ( ) sin + ( 3 log( + 5) log + e 4 ) 4 ) log cos ( ) FACOLTATIVO. Studiare l invertibilità della seguente funzione al variare di α R\{0}: + e + arctan, < 0 f α () = α, 0. α(+)

38 5. Primo Esonero Analisi matematica /I 35 I esonero Analisi Matematica /I A.A. 003/004 ) Determinare il dominio e l immagine della seguente funzione e disegnare un grafico qualitativo. f() = log ( e + 4 e + 3 ) 3 ) Determinare inf /min, sup /ma e l insieme derivato di A = { arctan ( n ( ) n n 3 n 3 + ) } { }, n N arctan. 3) Calcolare il seguente limite: lim 0 + [ ] cos(sin ) sin log [( e ) log ] + 0 e. 4) Verificare, utilizzando la definizione, che lim n + n n + = +.

39 36 5. Prove scritte Analisi matematica /I 5.. Altri esercizi. Verificare, applicando la definizione di limite, che lim 7 + = 6.. Verificare, utilizzando la definizione, che n + lim n + n + 5 =. 3. Calcolare i seguenti limiti: lim 0 ( log( + ) + (e 6 ) e 4 ) log e cos + 3 log e lim ) 0 ( log( + 3 ) e ( ( log + cos lim + lim 0 + lim [ + sin ( e )] sin lim 0 + ) ) ) 3 e8 log ( + e + 4 e log [( + 5 sin ) log 4]. [ ] cos(e ) (sin ) + 7 e log [( tan + ) log 5]. [ + sin ( cos )] (e ) log [( cos( ) ) log 3] 4. + e Studiare la limitatezza e determinare l insieme dei punti di accumulazione del seguente insieme: A = { ( ) n( ) n, } n N.

40 5. Primo Esonero Analisi matematica /I Studiare la limitatezza e determinare, dopo aver dato la definizione di punto di accumulazione, il derivato del seguente insieme: A = { n 4 + 5n 3 cos(nπ) n 4 n Studiare la limitatezza dell insieme A = { ( arcsin ( ) n precisando sup /ma, inf /min. Inoltre: n n + }, n N ( 8, 3 ]. ) } { π }, n N 4,. a) dare la definizione di punto di accumulazione; b) determinare gli eventuali punti di accumulazione di A; utilizzare la definizione di punto di accumulazione per verificare il risultato. 7. Studiare la limitatezza, precisando sup /ma, inf /min, e determinare i punti di accumulazione di: A = { } { } n + +, n N 0, 3 (, ]. 8. Studiare la limitatezza del seguente insieme, precisando sup /ma, inf /min, e l insieme dei suoi punti di accumulazione: A = { } { 4 } + 4, (, 3) n +, n N R. 9. Studiare la limitatezza dell insieme che segue, precisando il l eventuale sup /ma, inf /min : Inoltre: A = { } ( ) n e ( )n+ n, n N. a) dare la caratterizzazione dell estremo superiore di un sottoinsieme di R; b) determinare gli eventuali punti di accumulazione di A, come sottoinsieme di R; utilizzare la definizione di punto di accumulazione per verificare il risultato.

41 38 5. Prove scritte Analisi matematica /I 0. Determinare inf /min, sup /ma e l insieme derivato di A = { arctan ( ( ) n n 4 3 n 4 n 4 + ) } { }, n N arctan( ).. Determinare il dominio e l immagine della seguente funzione Si chiede inoltre di determinare: ( log( ) f() = arcsin ). 3 log( ) + 3 a) sup /ma, inf /min del dominio di f; b) sup f/ma f, inf f/min f; c) l insieme dei punti di accumulazione del dominio di f; d) disegnare un grafico qualitativo di f.. Determinare il dominio e l immagine della seguente funzione f() = log e disegnare un grafico qualitativo. ( 3e +4 9 e +4 9 ) 4 3. Determinare i valori di a R + per i quali risulta invertibile la seguente funzione: 4 (arctan + ), a a, <.

42 5. Prova finale Analisi matematica /I Prova finale Analisi matematica /I Prova scritta del Analisi Matematica /I. A.A. 00/00 ) Studiare la funzione: f() = log ( ) e e + 6 +, precisando: dominio, eventuali asintoti, punti di estremo, punti angolosi, cuspidi, intervalli di monotonia, intervalli di convessità/concavità, flessi. Disegnare un grafico qualitativo. ) Calcolare il seguente limite: lim 0 + (+) cos + + e ) 5 log 9 + ( + + sin FACOLTATIVO. invertibile: Determinare per quali valori di γ R la seguente funzione è f γ () = Per tali valori determinare il dominio di f γ e γ +, , < 4. ( ). ( e di Calcolare infine f γ f γ ) ( 7). RECUPERO. sup /ma, inf /min : Inoltre: Studiare la limitatezza del seguente insieme, precisando l eventuale A = { ( ) } { } arctan ( ) n n +, n N, 3. a) dare la definizione di punto di accumulazione; b) determinare gli eventuali punti di accumulazione di A; utilizzare la definizione di punto di accumulazione per verificare il risultato.

43 40 5. Prove scritte Analisi matematica /I Prova scritta del Analisi Matematica /I. A.A. 00/00 ) Studiare la funzione: ( ( ) f() = 4 arctan + log. ) + Si richiede anche lo studio della concavità/convessità. Disegnare un grafico qualitativo. ) Determinare il polinomio di Mac Laurin di ordine 7 di ( ) f() = log + sin( 3 ). 3) Determinare, se esiste, l ordine di infinitesimo per 0 + di: f() = e 3 6 sin 6 cos +. 4) Studiare la limitatezza, precisando sup /ma, inf /min, e determinare i punti di accumulazione di: A = { } { } n +, n N 0, 6 [4, 6). 5) Dare un esempio di funzione invertibile, continua ma non strettamente monotona. PARTE FACOLTATIVA. 6) Studiare, al variare di a R +, l invertibilità di: 3 a, f a () = 5 π arctan e e 5, <. ( ) (0). Determinare dom fa, Im fa e fa 7) Calcolare lim 0 + g() ϕ() dove f è la funzione definita nell esercizio 3) e g() = 0 3 (e log ) cos + sin( 3 + ).

44 5. Prova finale Analisi matematica /I 4 Prova scritta del Analisi Matematica /I. A.A. 00/00 ) Studiare, senza calcolare la derivata seconda, la seguente funzione: f() = ( ) ( ). Disegnare un grafico qualitativo. ) Calcolare il seguente limite: e log + sin( 3 ) 6 cos( ) lim. 0 + log( + arctan ) 3) Studiare la limitatezza del seguente insieme, precisando sup /ma, inf /min, e l insieme dei suoi punti di accumulazione: A = { } { } +, (, ) n +, n N R. 4) Determinare il polinomio di Mac Laurin di ordine 5 di f() = e + 3.

45 4 5. Prove scritte Analisi matematica /I Prova scritta del Analisi Matematica /I. A.A. 00/00 ) Studiare la seguente funzione: f() = e. Precisare tutte le sue caratteristiche e disegnare un grafico qualitativo. ) Dopo aver dato la definizione di ordine d infinitesimo, determinarlo per 0 +, per la funzione: f() = ( + ) + cos ( 4 ) e 4 + log + sin ( ). 3) Determinare i valori di a R per i quali risulta invertibile la funzione seguente: ( Calcolare, se esiste, a + a + 4, 0 f a () = ( ) π arctan + e, < 0. f a ) ( ( π arctan ) + e ). 4) Determinare sup /ma, inf /min, e l insieme dei punti di accumulazione dell insieme: E = { n + ( π ) } n + sin + nπ, n = 0,,,... (, ].

46 5. Prova finale Analisi matematica /I 43 II prova esonero Analisi Matematica /I. A.A. 00/003 ) Studiare la seguente funzione e disegnare un grafico qualitativo: f() = e. Si chiede di precisare: intervalli di monotonia, punti di estremo, punti angolosi, cuspidi, asintoti. Determinare l equazione della retta tangente nel punto (4, f(4)). ) Calcolare il seguente limite: ( lim 4 sin cos + 5 log ) e 3. 3) Determinare il polinomio di Mac Laurin all ordine 7 di: ( Calcolare, se esiste, f a f() = sin(sin( )) ) ( ( π arctan ) + e ). 4) Determinare i valori di γ R per i quali è invertibile la funzione seguente: + log( + ), < < 0 f γ () = e + γ, 0. ( ) ( ) Calcolare, se esiste, (e ). RECUPERO. sup /ma, inf /min : Inoltre: f γ Studiare la limitatezza del seguente insieme, precisando l eventuale A = ( ) { ( ) n ( ) n n + } e, n N. a) dare la caratterizzazione dell estremo superiore di un sottoinsieme di R; b) determinare gli eventuali punti di accumulazione di A, come sottoinsieme di R; utilizzare la definizione di punto di accumulazione per verificare il risultato.

47 44 5. Prove scritte Analisi matematica /I Prova scritta del Analisi Matematica /I. A.A. 00/003 ) Studiare la funzione: ( e e ) f() = log e 4. Disegnare un grafico qualitativo. Si chiede di precisare eventuali asintoti, ma /min, intervalli di monotonia, punti angolosi, cuspidi. ) Calcolare il seguente limite: ( cos lim + cos ) 4 sin 3 e +. 3) Verificare, applicando al definizione di limite, che lim n + n + n + =. 4) Sia α R e f α () = arctan + +, 0 e + α, < 0. Determinare i valori di α per i quali: a) f α è invertibile; b) f α è derivabile in. ( Calcolare in tali valori f α ) ( π 4 + ).

48 5. Prova finale Analisi matematica /I 45 Prova scritta del febbraio 003 Analisi Matematica /I. A.A. 00/003 ) Studiare la seguente funzione e disegnare un grafico qualitativo: f() = Si chiede di precisare: intervalli di monotonia, punti di estremo, punti angolosi, cuspidi, asintoti. Determinare l equazione della retta tangente nel punto (, f()). ) Calcolare il seguente limite: ( ( )) ( e log + log e lim + +3 ) + e log ) Verificare, applicando al definizione di limite, che lim 5 =. 3 4) Studiare, al variare di α R, l invertibilità della seguente funzione 3 + α 3α, f α () = 3 e, < ( Determinare l insieme di derivabilità di fα, se esiste, e calcolare f α ) ( ) 7 3 e.

49 46 5. Prove scritte Analisi matematica /I Prova scritta del Analisi Matematica /I. A.A. 00/003 ) Studiare la seguente funzione (senza calcolare f ): f() = 3. precisando dominio, eventuali asintoti, punti di estremo, punti angolosi, cuspidi, intervalli di monotonia. Disegnare un grafico qualitativo. ) Verificare, applicando al definizione di limite, che lim + + =. 3) Determinare i valori di α R tali che la seguente funzione risulti invertibile: e α +, 0 f α () = α arctan, < 0. Per tali valori, determinare il dominio di f α 4) Calcolare il seguente limite: lim 0 + ( e f a (+) cos + + e )[( ( 3 log 0 + sin + ). Calcolare, se esiste, ( ) ]. f 5 ) ( e+ 5 ).

50 5. Prova finale Analisi matematica /I 47 Prova scritta del Analisi Matematica /I. A.A. 00/003 ) Studiare la seguente funzione : f() = ( + ) ( + ) 3, precisando dominio, eventuali asintoti, punti di estremo, punti angolosi, cuspidi, intervalli di monotonia. Non si richiede il calcolo di f. Disegnare un grafico qualitativo. ) Verificare, usando la definizione, che lim + 4 =. 3) Determinare i valori di α R tali che la seguente funzione risulti invertibile: + 3α log(e ), 0 f α () = α arctan +, > 0. ( Per tali valori, determinare il dominio di fα e ( ) ) Calcolare, se esiste, ( + 3 log(e + ). f f a ). 4) Calcolare il seguente limite: lim + (e + log ( + ) ( sin + )( + ( ) log ) + 3 ).

51 48 5. Prove scritte Analisi matematica /I Prova scritta del Analisi Matematica /I. A.A. 00/003 ) Studiare la seguente funzione (senza calcolare f ): f() = 3. precisando dominio, eventuali asintoti, punti di estremo, punti angolosi, cuspidi, intervalli di monotonia. Disegnare un grafico qualitativo. ) Verificare, applicando al definizione di limite, che lim + + =. 3) Determinare i valori di α R tali che la seguente funzione risulti invertibile: e α +, 0 f α () = α arctan, < 0. Per tali valori, determinare il dominio di f α 4) Calcolare il seguente limite: lim 0 + ( e f a (+) cos + + e )[( ( 3 log 0 + sin + ). Calcolare, se esiste, ( ) ]. f 5 ) ( e+ 5 ).

52 5. Prova finale Analisi matematica /I 49 Prova scritta del Analisi Matematica /I. A.A. 004/005 ) Verificare, usando la definizione, che lim 3 9 = +. ) Studiare la seguente funzione e disegnare un grafico qualitativo (non si richiede lo studio della derivata seconda) ( e 5 5 ) f() = log. e 5 6 3) Calcolare il seguente limite: e (cos4 ) + lim 6 + e [ ] ( + + sin ) 8 5 log. 4) Determinare, motivando le affermazioni, sup/ma, inf/min del seguente insieme A R: A = { } 5n! { n n, n N, n R : } 6 > + 7. Determinare inoltre gli eventuali punti di accumulazione di A. 5) Determinare per quali valori di a R risulta invertibile la seguente funzione: ( 4) arctan( + 4), < a f a () = ( 4)( ), a. Determinare il dominio di f a, se esiste, e di (fa ). Calcolare inoltre, se esiste, (f5 ) ( 0).

53 50 5. Prove scritte Analisi matematica /I 5.. Altri esercizi. Studiare la funzione: ( ) f() = log 3e 8e , precisando: dominio, eventuali asintoti, punti di estremo, punti angolosi, cuspidi, intervalli di monotonia, intervalli di convessità/concavità, flessi. Disegnare un grafico qualitativo.. Studiare la funzione: ( f() = 9 arctan + log ) ( + ). Si richiede anche lo studio della concavità/convessità. Disegnare un grafico qualitativo. 3. Studiare, senza calcolare la derivata seconda, la seguente funzione: f() = ( 6 + 8) ( 6 + 8). Disegnare un grafico qualitativo. 4. Studiare la seguente funzione e disegnare un grafico qualitativo: f() = e. Si chiede di precisare: intervalli di monotonia, punti di estremo, punti angolosi, cuspidi, asintoti. Determinare l equazione della retta tangente nel punto (4, f(4)). 5. Studiare la seguente funzione e disegnare un grafico qualitativo: f() = 3 3. Si chiede di precisare: intervalli di monotonia, punti di estremo, punti angolosi, cuspidi, asintoti. Determinare l equazione della retta tangente nel punto (, f()).

54 5. Prova finale Analisi matematica /I 5 6. Calcolare i seguenti limiti: ( lim ( 3 log 0 ) + 4 e (+) + cos )(( + + sin ) ). 5 (e 4 + log + 3 ) 3+log(+ +3 cos ) +3 lim cos sin 5 e lim + log lim cos ( 8 e [ ( lim sin ) + sin ( ( )) + arctan log + ( log e ( ( ) e sin (+) )] e cos + log 6. ) + e log0 )( e + 7. Determinare il polinomio di Mac Laurin di ordine 5 di ). ( f() = log + sin ). 8. Determinare il polinomio di Mac Laurin di ordine 5 di f() = log( ). 9. Determinare il polinomio di Mac Laurin all ordine 4 di: ( ( ) ) f() = log log Determinare, se esiste, l ordine di infinitesimo per 0 + di: f() = + cos sin 5 e.. Studiare, al variare di α R, l invertibilità della seguente funzione 3 + α α, f α () = + e 3, < ( Determinare l insieme di derivabilità di fα, se esiste, e calcolare f α ) ( 4 + e 7 6 ).

55 5 5. Prove scritte Analisi matematica /I. Determinare per quali valori di γ R la seguente funzione è invertibile: e γ +, 8 f γ () = , < 8. ( Per tali valori determinare il dominio di fγ e di ( ) ( ) Calcolare infine. f γ 4 f γ ).

56 Capitolo 6 Integrali di funzioni di una variabile e Serie numeriche 6. Integrali indefiniti immediati E.VI.. Calcolare i seguenti integrali indefiniti d. [4 4 + c] q d, q R +. [ 3 (3q) 3 + c] 344. (a 3 3 ) 3 d, a R. [a 9 5 a a c] 345. P n () d, P n () = n k=0 a k k, a k R. [ n a k k=0 k+ k+ + c] 346. n k=0 α ke βk d, α k, β k R, β k 0. [ n α k k=0 β k e βk + c] 347. n k=0 α k sin β k d, α k, β k R, β k 0. [ n α k k=0 β k cos β k + c] d. [ 3 + log + c] d. [ c] 350. a+ d, a R. [a arcsin + + c] d. [ arctan + c] 35. tan d. [tan + c] 353. cot d. [ cot + c] 53

57 54 6. Integrali di funzioni di una variabile e Serie numeriche (+ ) d. [ + arctan + c] 355. sin cos d. [ cos + c] d. [ c] 357. n a n a d, a R. [ n n + a n n n + a n + + an + c] 358. d. [tan cot + c] sin cos 359. cos sin +cos d. [cos + sin + c] 360. sin d. [ ( sin ) + c] 36. cos 3 d. [ sin 3 + c] 36. d. [ tan sin cos cot + c] 6. Integrali indefiniti per sostituzione E.VI.. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, ad esempio utilizzando il metodo di sostituzione della variabile sin cos d. [ 3 (sin ) 3 + c] 364. d. [log + c] 365. a + d, a R +. [ a arctan a + c] 366. d, a R +. [ a a a log a+ + c] 367. a a+ d, a R +. [a arcsin a + a + c] e d. [log + e + c] +e 369. d, a, b a b R+ [ b b arcsin a + c] 370. d. [ + c] d. [ arctan 7 + c] 37. sin α cos d, α. [ α+ sinα+ + c] 373. e +e d. [arctan e + c] 374. cos(log ) d. [sin(log ) + c]

58 6.3 Integrali indefiniti per parti d. [( arctan ) + c] 376. ( ) 3 d. [log ( ) + c] 377. d, a 0. [ a 4 4 arcsin + c] a 378. cot sin α d, α R+. [ α sin α + c] 379. a d, a 0. [ a arctan a + c] 380. a d, a R. [ a a arccos a + c] 38. a+b c+d d, a, b, c, d R, c 0. [ c [a(c + d) + (bc ad) log c + d ] + cost.] 38. e e d. [ 3 (e ) 3 + e + + c] 383. tan log(cos ) d. [ log log(cos ) + c] 384. (a+)(a ) d, a 0. [ a a a+ + c] 385. sin cos d. [log tan + c] 386. sin d cos d. [log sin +cos + c] +sin [log cos + c] 388. (a+) d, a R + [ a arctan a + c] 389. a + d, a R. [log a c] 390. (a + ) (a + ) (a + ) (a + ) n+ d, a 0. [ a a + + c] d, a 0. [ a 4 ( d, a 0. [ a 6 ( 3 a (a + ) a + 3 ) + c] (a + ) 3 5 ) + c] (a + ) 5 d, a 0, n N. [utilizzare i risultati degli esercizi precedenti] 6.3 Integrali indefiniti per parti E.VI.3. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, ad esempio utilizzando il metodo di integrazione per parti log 3 d. [ (log + ) + c]

59 56 6. Integrali di funzioni di una variabile e Serie numeriche 395. sin 3 d. [ 3 (sin cos + cos ) + c] 396. sin 4 d. [ sin + 3 sin 4 + c] 397. sin 5 d. [ cos + 3 cos3 5 cos5 + c] 398. sin e d. [ (sin e + cos e ) + c] arctan d. [ 4 4 arctan + 3 ( 3 arctan ) + c] 400. log α d, α R. [ logα+ α+ + c, α 0; log + c, α = 0; log log + c, α = ] 40. e d. [e e + c] 40. e d. [e ( + ) + c] 403. n e d, n N. [e ( n n n + n(n ) n + ( ) n n!) + c] 404. sin d. [ cos + sin + c] 405. cos d. [ sin + cos + c] 406. sin d. [ cos + sin + cos + c] 407. cos d. [ cos + sin + cos + c] 408. I n = n sin d, n N, n >. [Detto I = cos d, I n = n cos + ni n = = n cos + n( n cos + (n )( n cos + + cos d)... )] 409. I n = n cos d, n N, n >. [Detto I = sin d, I n = n sin ni n = = n sin n( n sin (n )( n sin sin d)... )] 40. sin d. [ ( sin cos + + sin ) + c] 4. d. [ ( + arcsin ) + c] 4. arcsin d. [ arcsin + 4 ( arcsin )) + c] 43. d. [ tan + log cos + c] cos 44. arcsin d. [ arcsin + arcsin + c] 45. e arcsin d. [ earcsin ( + ) + c] 46. q sin p cos q d, p, q R, p q. [ sin p sin q + p cos p cos q + c] q p q p

60 6.3 Integrali indefiniti per parti a d, a R. [ ( + a + a log + a + + c] 48. e sin d. [ e (sin cos ) + c] 49. e cos d. [ e (sin + cos ) + c] 40. e α sin d, α R. [ α + eα (α sin cos ) + c] 4. e α cos d, α R. [ α + eα (sin + α cos ) + c] 4. e α sin β d, (α, β) R, (α, β) (0, 0). [ α +β e α (α sin β β cos β) + c] 43. e α cos β d, (α, β) R, (α, β) (0, 0). [ α +β e α (β sin β + α cos β) + c] 44. e cos n d, n N. [Si usi il risultato dell esercizio 43 e la formula: [ n cos n = n ] ( n k=0 k) cos(n k), n dispari ) + ] ) cos(n k), n pari] n ( nn 45. e sin n d, n N. [ n n k=0 [Si usi il risultato dell esercizio 4 e la formula: [ n sin n = n ] k=0 ( )[ n k]( n k) sin(n k), n dispari ) + [ n n ] k=0 ( )[ n k]( n k) cos(n k), n pari] n ( nn 46. I m,n = sin m cos n d, m, n Z. [Si ottengono le seguenti formule di riduzione equivalenti: ( n k I m,n = sinm cos n+ n+ + m n+ I m,n+ = sinm+ cos n m+ + n m+ I m+,n = = sinm+ cos n+ m+ + m+n+ m+ I m+,n = sinm+ cos n+ n+ + m+n+ n+ I m,n+] 47. e α sin m β d, α, β R, m Z. [utilizzare i risultati degli esercizi precedenti] 48. e α cos n β d, α, β R, n Z. [utilizzare i risultati degli esercizi precedenti] E.VI.4. Calcolare i seguenti integrali indefiniti d. [ ( 3) (+) 5 log 3 5( 3) log + + c] ( )( ) 3 d. [ log + log + ( ) 5 ( ) + c] d. [ log + 5 log 3 log + + c]

61 58 6. Integrali di funzioni di una variabile e Serie numeriche 43. ( +)( ) d. [ ( log( + ) arctan + log ) + c] d. [ log( + ) + arctan + c] d. [ ( ) + log log + c] d. [ 4 log log log ( )( +5) d arctan c] d ( ) (+5) d ( +)( ++) d ( +) d. 44. ( 3 +) d. 44. ( +) d d tan tan 3 + d sin cos + sin d sin m cos n d, m, n N cos m sin n d, m, n N d d tan tan d cos d. 6.4 Integrali definiti E.VI.5. Calcolare i seguenti integrali definiti: d.

62 6.4 Integrali definiti d. + d sin3 cos d π 0 sin 3 cos d π π π π 459. π 0 sin d e e sin d. [ π 4 + log ] sin cos d. [ π 4 ] [ 4 9 ] log d. [ e e ] e e d. cos( t+ ) log(sin ( t+ )+4) dt. ( t+ ) (+sin( t+ )) π 0 sin n d, n N π 0 sin n cos m d, n, m N. E.VI.6. Calcolare gli integrali definiti delle funzioni indicate f() d, f() = +, 4, < <, f() d, f() d, f() = f() = +4, 0 +, > 0 sin, > 0 cos, < Calcolare l area della superficie compresa tra i grafici delle curve di equazione y = 3 ed y = Calcolare l area della superficie compresa i grafici delle curve di equazione y = + + ed y =.

63 60 6. Integrali di funzioni di una variabile e Serie numeriche 6.5 Integrali impropri E.VI.7. Mostrare la convergenza o divergenza dei seguenti integrali impropri 470. d. (Calcolare, se esiste, il valore). [π] 47. ln 3 0 e 3 d. [ ] 47. I = ln α (ln ) a+ d, α R. [α >, I a+. α <, I = +. α =, I = ] ( 4) ln( 3) d. [divergente] cos( π ) 3 5 d. [convergente] ((ln )( 5 + )) 5 sin log (+) 3 d. d. [divergente] [convergente] e e d. [convergente] 478. π 0 e sin d. [convergente] m+e d, m inr +. [convergente] d. (ln ) ( 3 +) [convergente] E.VI.8. Discutere l integrabilità in senso improprio dei seguenti integrali log(t+) t 3 +t+ dt. log t ( t) 5 4 t dt. t(t +) ln(+ t) dt. [convergente] [convergente] [divergente] sin( y ) (y ) dy. [divergente] log(+ ) arctan d. e y y+arctan(y 4 ) dy. [divergente] [convergente] e ( 3) 3 ( ) d. [convergente] e ( 4) (+ ) 3 d. [divergente] (y 3) 3 (y ) dy. [divergente]

64 6.5 Integrali impropri ( ) d. [convergente] log(3+ 4 ) ( 3) 3 4 ( ) log ( ) Se I a = + a d Se I a = + d. e ( 3) ( ) [convergente] [divergente] d, trovare a R tale che I a < +. [a > 3] dy (+y) (y+) a dy, trovare a R tale che I a < +. Calcolare inoltre I. [a >. I = + ln 3 ] E.VI.9. Determinare i valori di α R per i quali risultano convergere i seguenti integrali impropri (tan ) α ln(+sin ) d. [α > 0] arctan( α ) + d. [α > ] cos +3 α + d. arctan(+7) ln α ( ) [α < ] d. [α > ] ln α (+ ) + d. [α > ] sin( ) α 3 d. [ α > 3 ] ( cos 3 ) α α d. [α > ] (arctan ) α ( + 3) α d. [sempre divergente] (e + α + ) d. [sempre divergente] arctan( +3) (+) α (+) d. [0 < α < ] arctan( )α ( + 3) α d. [ 4 < α < 0] e t (t 3) α dt. [α < ] t (sin t ) α t ln α (t+) dt. [sempre divergente] (e sin ) α (e +) d. [α < ] α e d. [α > 0] (e ) α ln(+) d. [α > ]

65 6 6. Integrali di funzioni di una variabile e Serie numeriche ln α+ ( 3) e 4 d. Calcolare inoltre per α =. [α > 3. π] sin( ) + ( sin ) α d. [0 < α < 3 ] 3+ sin ( ) 3 (+) 4α d. [α > 6 ] ln(+ α ) 3 d. [α > ] ( log ) α + ( ) 3 d. [α > ] E.VI.0. Determinare per quali α e β convergono i seguenti integrali ln α sin π β d. [β <, β α < ] e α+ β + d. [α < 0, β 0] (arctan ) α d. [β >, β α < ] β (+cos ) 6.6 Serie numeriche E.VI.. Determinare il carattere delle seguenti serie numeriche. 59. k= k+. [divergente] k 50. k= k= k k+log k. k=. k log k ( log(log k) log k 53. (k!) k= (k)!. [divergente] [convergente] ) k. [convergente] [convergente] 54. k= k e k. [convergente] 55. k= ( k + k) log( + k ). [convergente] 56. k= ( k + k). [divergente] 57. k= ( + sin 3 k )( e k ). [convergente] 58. k= (e k cos k + ). [convergente] 59. k=, α R. [α > 0 convergente] 3+e αk 530. k k=, α > 0. [α > 0 convergente] 4+e αk

66 6.6 Serie numeriche k= e(cos k )k. [convergente] 53. k= ( 5 9 cos k )k k= [log( k ) α 3 k ]. [convergente] [α = 3 convergente] 534. k= (k sin k )k3. [convergente] E.VI.. Determinare la natura delle seguenti serie 535. k= ( ) k k. [convergente] k= ( 3 5+cos k )k. [convergente] 537. k= 6 3 n + ( )n+ 4 n. Calcolare, se possibile, la somma. [converge a 3 3 ] 538. n= n n e n. [convergente] 539. k= ( )n + n+ n (log n) +, R. [ < < convergente] E.VI.3. Determinare la natura delle seguenti serie al variare del parametro α k=4 k ( k )kα. [α R] 54. n α (+) n n= (n)!, R. [convergente per ogni α, R] 54. n= n( ( + ) n α 4 ) n= n 8 (n log n) 0 n α. [α > convergente] [α 0 convergente] 544. n= nα [(n 4 5n ) 4 (n 3 3n) 3 ]. [α < 0 convergente] 545. Trovare i valori di α reale per i quali le due serie seguenti hanno lo stesso carattere. + n= (e(nα n ) ), n= log( + nα ). [α ] 546. Si studi il carattere della serie n= 3( )n 3 αn al variare del parametro reale α. Si calcoli inoltre la sua somma dopo aver calcolato quella delle serie n= 3 3αn ed n= 3 3(n+)α. [converge per α < 0 al valore 9+3 α 3( 3 α ) ] E.VI.4. Discutere la convergenza semplice ed assoluta delle serie seguenti n=0 arctan n+. [convergente, semp. e ass.] 548. n=0 ( α α+3 )n log n. [α < 3, α > semp., α < 3, α ass.] 549. k= ( )k (e k 4 ) α. [α > 0 semp., α > 4 ass.]

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68 Capitolo 7 Funzioni di più variabili 7. Insiemi in più dimensioni E.VII.. Rappresentare graficamente i seguenti insiemi A = {(, y) R : ( ) y < }. 55. A = {(, y) R : 3 = y }. 55. A = {(, y) R : 4 + y 8 + y}. Calcolare l area della superficie individuata dall insieme A A = {(, y) R : y } A = {(, y) R : y log 3 y} A = {(, y) R : +y < 3} A = {(, y) R : + y < } A = {(, y) R : + y, y < sin }. Calcolare l area della superficie individuata dall insieme A A = {(, y) R : 3 y <, (y + 3 ) < 0} A = {(, y, z) R 3 : + y + z, z > } A = {(, y, z) R 3 : + y z 3}. 56. A = {(, y, z) R 3 : z = + y }. 65

69 66 7. Funzioni di più variabili 56. A = {(, y, z) R 3 : sin y 0, y sin 0, + y π }. Calcolare l area della superficie individuata dall intersezione dell insieme A ed un qualsiasi piano z = costante. 7. Limiti in più dimensioni E.VII.. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti lim +y (,y) (,). ( ) +(y ) 564. lim (,y) (3,4) log( 6+y) 3 + y 4 3. [ ] [ ] 565. lim (,y) (,) cos( y) + y. [0] 566. lim (,y) (,0) y( ) 3 ( ) 6 +y. [ ] 567. lim (,y) (0,0) + +y +y. [+ ] 568. lim (,y) (0,0) ++y. [+ ] 569. lim (,y) (0,0) y +y. [ ] 570. lim (,y) (0,0) ( + y 4 ) log + y. [0] 57. lim ( +y +z ) +y +z + y +y +z. [] 57. lim (,y) (0,0) f(, y), dove f(, y) =, se + (y ), 0, se y > 0 e + (y ) >,, se y 0. [ ] 573. lim (,y) (,) (+y)( ) sin( y) + +y lim (,y) (,) y tan(+y) + +y ( y) lim (,y) y 4 +y +.