Copyrighted. Collezione di esercizi di Analisi Matematica uno Università di Padova Scuola di Ingegneria A.A. 2016/2017 A.
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1 Collezioe di esercizi di Aalisi Matematica uo Uiversità di Padova Scuola di Igegeria A.A. 6/7 A. LANGUASCO Versioe del 9 ovembre 6
2 Versioe del 9 ovembre 6 p. Questo documeto è stato preparato esclusivamete per gli studeti della Facoltà di Igegeria dell Uiversità di Padova. La modifica, la ridistribuzioe e/o la commercializzazioe di questo documeto o di qualche sua parte o è cosetita seza il coseso scritto dell autore. Commeti, critiche, passaggi oscuri, errori di stampa possoo essere segalati al seguete idirizzo Prof. Alessadro Laguasco, Dipartimeto di Matematica, via Trieste 63, 35 Padova. webpage: laguasco@math.uipd.it. Il testo è stato composto per mezzo di LATEX ε, America Mathematical Society. A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p.
3 Sommario Versioe del 9 ovembre 6 p. SOMMARIO Iduzioe, et al. 3. Iduzioe Isiemi Disequazioi Estremi Superiori ed Iferiori Fuzioi Esercizi sui Limiti 6. Limiti di fuzioi Limiti di successioi Esercizi su Cotiuità e Derivabilità di fuzioi di ua variabile reale 4 Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Fuzioi 7 4. Strategia per gli studi di fuzioe Testi di Esercizi sugli studi di fuzioe e limiti Esercizi sul calcolo di Primitive e Itegrali 6 5. Primitive Itegrali defiiti Itegrali impropri (o geeralizzati) Formula di Taylor 3 6. Sviluppi di Maclauri (più usati) Esercizi sulla formula di Taylor Esercizi sulle Serie Numeriche 36 8 Esercizi sulle Equazioi Differeziali Ordiarie 39 9 Esercizi di Riepilogo 4 Formulario 4. Formula di Stirlig Formule trigoometriche Alfabeto greco Sviluppi di Maclauri Alcui limiti otevoli Fuzioi derivate delle fuzioi fodametali Fuzioi primitive delle fuzioi fodametali Sostituzioi immediate Sostituzioi cosigliate A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p.
4 Iduzioe, et al. Versioe del 9 ovembre 6 p. 3 CAPITOLO ESERCIZI SUL PRINCIPIO DI INDUZIONE, INSIEMI, DISEQUAZIONI, Esercizio.. Per quali N si ha che k= k3 = ( k= k)? ESTREMI SUPERIORI E INFERIORI, FUNZIONI. INDUZIONE Esercizio.. Provare che se k= k = (+) 8 allora + k= k = (+3) 8. Si può utilizzare il pricipio di iduzioe per cocludere che k= k = (+) 8 per ogi N? Esercizio.3. Dimostrare per iduzioe che: (.3.) k= k = (+) ; (.3.) k= (k + ) = ( + ) ; (.3.3) (.3.5) k= k =. Esercizio.4. Provare che: k= k = (+)(+) 6 ; (.3.4) k= k3 = (+) (.4.) > per ogi ; (.4.)! per ogi ; (.4.3)! per ogi > 4; (.4.4)! 3 per ogi 6; (.4.5)! > per ogi 4. Esercizio.5. Provare la disuguagliaza di Beroulli: per ogi e > che ( + ) +. Esercizio.6. Provare il biomio di Newto: per ogi e a, b R che (a + b) = ) a k b k. Esercizio.7. Provare per ogi, p che k= k p < p+ p+ < k= k p.. INSIEMI Esercizio.8. Determiare se soo vere o false le segueti relazioi: ( k= k (.8.) Q : N} = Z; (.8.) Z : / Z} = ; (.8.3) Z R : / Z}; (.8.4) R : Q} R : 3 Q}. Esercizio.9. Per quali a, b R si ha che R : a + b > } = R : + (b/a) < }? Esercizio.. Sia a. È vero che a a + per ogi R \ }? Esercizio.. Quali dei segueti isiemi soo o vuoti? (..) A = R : }; (..) B = R : + /}; (..3) C = R : }; (..4) D = R : }; (..5) E = R : si }; (..6) F = R : < }. Esercizio.. Siao A = R : + < }, B k = R : < ; log( ) < k} e C = k R : B k A}. Provare o cofutare le segueti affermazioi: C; C è u itervallo. Esercizio.3. Siao A = Im ( f ) [, + ), dove f () = + +, B = R : a per ogi a A} e C = R : > a per ogi a A}. Provare o cofutare le segueti affermazioi: A; B, C soo vuoti, B, C soo itervalli, B, C soo limitati. 4 ;.3 DISEQUAZIONI Esercizio.4. Risolvere le segueti disequazioi al variare di R: (.4.) ( 5)( + 5) ; (.4.) +3 > ; (.4.3) +3 < ; (.4.4) > ; (.4.5) ( )(+) +7 < ; (.4.6) ( ) ; (.4.7) ( 7) < ; (.4.8) ( 5)( + ) < ; (.4.9) 4 5 > ; 3+ (.4.) < (+) ; (.4.) > ; (.4.) 5 < + ; (.4.3) + 4 < ; 3 + ( ) (.4.4) + > ; (.4.5) + ; (.4.6) +3 > ; (.4.7) 3 +3 ; A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 3
5 Iduzioe, et al. Versioe del 9 ovembre 6 p. 4 (.4.8) < + ; (.4.9) + 3 ; (.4.) 4 ; (.4.) < ; (.4.) < 7 ; (.4.3) ; (.4.4) ; (.4.5) + 4. Esercizio.5. Risolvere le segueti disequazioi al variare di, y R: (.5.) 3 ; (.5.) + y 3 < ; (.5.3) ; (.5.4) 9 + > 3; (.5.5) y ; (.5.6) 3 si + cos < + cos ; (.5.7) + > ; (.5.8) arcsi > π/6; (.5.9) + 3 α (determiare le soluzioi al variare di α R). Esercizio.6. Risolvere le segueti disequazioi al variare di R: (.6.) + / 3 /; (.6.) > + 9; (.6.3) 3 < ; (.6.4) ; (.6.5) > ; (.6.6) si cos > ; (.6.7) si + 3 cos > ; (.6.8) 3 ; (.6.9) log(/3 ) ; (.6.) (cos ) si() > ; (.6.) + si ; (.6.) > ; (.6.3) > ; (.6.4) + 3 > ; 3+ 5 (.6.5) ; (.6.6) cos() si < ; (.6.7) log( ) > log( ); (.6.8) si ; (.6.9) ta, ( π/, π/); (.6.) si si + > si(); (.6.) si(arcsi ) > cos. Esercizio.7. Risolvere le segueti disequazioi al variare di R e del parametro t R: (.7.) + t ; (.7.) + t t; (.7.3) t > /; (.7.4) t t t; (.7.5) (t + t + 3) + t +. Esercizio.8. (.8.) Sia A k = R : k + k }, k R. Per quali k si ha che A k [, + )? (.8.) Sia A t = R : + t < }, t R e B = R : ( + ) < }. Per quali t si ha che A t B? Esercizio.9. Risolvere le segueti disequazioi. (.9.) + ; (.9.) si() cos < ; (.9.3) si + cos ; (.9.4) log + > 4; (.9.5) ; (.9.6) log ( + /) 3; (.9.7) + ; (.9.8) log ( ) > log ( + ); (.9.9) ta ; (.9.) cos >. Risposta: (.9.3): [kπ, π + kπ], k Z; (.9.6): (, ) (/7, + ); (.9.7): (, / ]; (.9.9): [π/4 + kπ, π/ + kπ) ( π/ + kπ, kπ), k Z; (.9.): [kπ, π/ + kπ) (/3 π + kπ, 4/3 π + kπ) (3/ π + kπ, (k + )π], k Z. Esercizio.. Per quali R si ha che arcsi( ) π/4?.4 ESTREMI SUPERIORI ED INFERIORI Esercizio.. Sia A R tale che sup A = + e if A =. È vero che A = R? Esercizio.. Sia A B. È vero che sup A B? Esercizio.3. Provare che se A B allora if A if B e sup A sup B. Esercizio.4. È vero che se a b per ogi a A, b B, allora sup A if B? Esercizio.5. Determiare if, sup, ma, mi (se questi ultimi esistoo) dei segueti isiemi: (.5.) π/ : Q, < }; (.5.) R \ Q; (.5.3) / : (a, b), a b }; (.5.4) + :, }; (.5.5) + : N, > }; (.5.6) : N, }; (.5.7) + : }; (.5.8) : N, }; (.5.9)! : N}. Esercizio.6. Sia A R. Defiiamo A = R : y A t.c. y = }. Provare che if( A) = (sup A) e che sup( A) = (if A). Esercizio.7. Determiare if, sup, ma, mi (se questi ultimi esistoo) dei segueti isiemi: (.7.) : N}; (.7.) } : N; (.7.3) + + : R}; (.7.4) 7 8 : R}. A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 4
6 Iduzioe, et al. Versioe del 9 ovembre 6 p. 5.5 FUNZIONI Esercizio.8. Determiare il domiio delle segueti fuzioi reali di ua variabile reale: (.8.) arccos( 3 / ); (.8.) log si(e ) ; (.8.3) (e + e ) (e /); (.8.4) arcsi( + ); (.8.5) + ; (.8.6) 3 + ta. Esercizio.9. Sia f () = log +. (.9.) Determiare il domio di f e forire ua scrittura semplificata. (.9.) Determiare il sego di f (). Esercizio.3. Disegare u grafico approssimato delle segueti fuzioi. (.3.) f () = ta ; (.3.) f () = ta ; (.3.3) f 3 () = si ; (.3.4) f 4 () = si + ; (.3.5) f 5 () = si( + ); (.3.6) f 6 () = cos. Esercizio.3. Sia f () = log ( ). Si determii l isieme di esisteza ed il sego di f (). Esercizio.3. Sia f () = +. Determiare il più grade itervallo i cui è ivertibile e determiare l iversa. se Esercizio.33. Sia f () =. Stabilire domiio, immagie e ivertibilità. Calcolare l iversa. se > Esercizio.34. Siao f, g : R R due fuzioi mootoe. Cosa si può affermare sulla mootoia di f ± g; f g; f ; /g; f g? Esercizio.35. Determiare quali delle segueti fuzioi soo mootoe e quali soo ivertibili su parti del loro isieme di defiizioe. (.35.) ; (.35.) 3 /; (.35.3) + ; (.35.4) + + ; (.35.5) ++ ; (.35.6) ; (.35.7) /4 ; (.35.8) /9 ; (.35.9) ; (.35.) + ; (.35.) ; (.35.) + 3 ; (.35.3) + 4; (.35.4) / ; (.35.5) ; (.35.6) / ; (.35.7) []; (.35.8) si ; (.35.9) log8 ( ); (.35.) + + log ; (.35.) si( ); (.35.) ta(arcsi ); (.35.3) log + (arcsi ). Esercizio.36. Determiare l isieme di defiizioe di f () = log ( + (4 ) ). f è ivertibile su (, )? Esercizio.37. Disegare u grafico approssimato di f () = arcsi( ). Esercizio.38. Date f () = + +, g() =, h() = log arcta +, determiare gli isiemi i cui soo defiite, idividuare le parti del domiio su cui soo ivertibili ed esplicitare l iversa. Esercizio.39. Date f () = e si, g() = log(+ ). È vero che f () < g() i u opportuo itoro bucato di =? A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 5
7 Esercizi sui Limiti Versioe del 9 ovembre 6 p. 6 CAPITOLO ESERCIZI SUI LIMITI. LIMITI DI FUNZIONI Esercizio.. Sia R e f defiita i u itoro I di. Esiste tra le segueti affermazioi ua che equivale a: per tedete a, f o ammette limite l R? (..) ε >, δ >, I co > δ t.c. f () l ε. (..) ε > t.c. δ >, I, < δ t.c. f () l ε. (..3) ε > t.c. δ >, I, < < δ t.c. f () l ε. Esercizio.. Sia f : (, + ) R. È vero che lim f () = π equivale a: ε >, δ >, t.c. si abbia < < δ se f () π < ε? Esercizio.3. Sia f : [, ] R tale che per ogi (, ) esiste fiito lim f (). Si può dedurre che f è limitata su [, ]? Esercizio.4. Sia f ua fuzioe limitata sia i A che i B. È vero che f è limitata su A B? Esercizio.5. Sia f ua fuzioe limitata i A k, k N. È vero che f è limitata su + k= A k? Esercizio.6. Sia f : R R tale che lim + f () = lim f () = +. Siao A = R : f () > 3}, B = R : f () > }, C = R : f () < }. A, B, C soo limitati? + Esercizio.7. Sia f () =. Determiare: (.7.) il domiio di f ; (.7.) se f è superiormete limitata; (.7.3) se f è iferiormete limitata; (.7.4) se f /[3,+ ) è limitata; (.7.5) se f è mootoa; (.7.6) se esiste lim / f (); (.7.7) se esiste lim f (); (.7.8) se esiste lim + f (); (.7.9) se esiste lim f (). Esercizio.8. Sia a >, a. Dimostrare co la defiizioe di limite che lim log + a = se a > e che lim log + a = + se < a <. Esercizio.9. Sia a >, a. Dimostrare co la defiizioe di limite che lim se < a <. + log a = + se a > e che lim log + a = Esercizio.. Sia a >. Dimostrare, usado la defiizioe di limite, che lim + a = se < a <, che lim + a = se a = e che lim + a = + se a >. Esercizio.. Calcolare, se sistoo, i limiti a + e a delle segueti fuzioi: (..) ; (..) ; (..3) cos ; (..4) ta ; (..5) + ; (..6) si ; (..7) arcta ; (..8) si(/); (..9) / ; (..) + ; (..) +3 + ; (..) si(/) ; (..3) +. Esercizio.. Dopo aver verificato di essere i preseza di puti di accumulazioe per il domiio delle fuzioi coivolte, si calcolio i segueti limiti. (..) lim ; (..) lim + ; (..3) lim ; (..4) lim + ; (..5) lim 3 3 ; (..6) lim ; (..7) lim 3 (3 ) 3 3 ; (..8) lim ; (..9) lim 3 ; (..) lim 3 ; (..) lim 3 ; (..) lim 4 +5 ; (..3) lim + + 5/ 5+ ; +5 (..4) lim /5 5+ ; (..5) lim +5 ( /5) 5+ ; (..6) lim +5 ( /5) + 5+ ; (..7) lim a + a a ; A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 6
8 Esercizi sui Limiti Versioe del 9 ovembre 6 p. 7 a a a +3 (..8) lim ; (..9) lim ; (..) lim ; (..) lim a a a a a a + ; +3 (..) lim ; (..3) lim (..6) lim (..3) lim (..34) lim ( 3) +3 + (..38) lim ; (..7) lim 4 + ; (..3) lim ; (..35) lim ; (..39) lim ( ) 3 ; (..4) lim ; (..8) lim ; (..3) lim ; (..36) lim ; (..4) lim ; (..5) lim + ; ; (..9) lim 4 ; (..33) lim A +B+C + D +E+F ; ; ; (..37) lim ; ; (..4) lim 3+ + ; +( +3) (..4) lim ; (..43) lim ; (..44) lim ; (..45) lim ; ( (..46) lim + ) ( ; (..47) lim ) ( ; (..48) lim + + ) ; + ( (..49) lim + ) ( ; (..5) lim + ). + + Esercizio.3. Sia a >, a, e si cosideri la fuzioe f () = log a. Sia > fissato. Si provi che f () è cotiua i, ossia che lim log a = log a. Esercizio.4. Dopo aver verificato di essere i preseza di puti di accumulazioe per il domiio delle fuzioi coivolte, si calcolio i segueti limiti. (.4.) lim log ( + + 4); (.4.) lim log ( 3 4); (.4.3) lim log 3 3 ; (.4.4) lim (.4.5) lim π/ si ; (.4.6) lim (.4.9) lim e/ ; (.4.) lim + π/4 log(+/) log(ta ); (.4.7) lim + e/ ; (.4.8) lim ; (.4.) lim log(+/) (.4.3) lim ( + b/) ; (.4.4) lim +( + )/ ; (.4.5) lim (.4.7) lim (.4.) lim e cos(3). ; (.4.8) lim cos() ; (.4.9) lim si(4) si(3) + e/ ; / 3 ; ; (.4.) lim ( + + b/) ; + log( + /); (.4.6) lim ; (.4.) lim si(/); + e + ; Suggerimeto: Nei puti (.4.)-(.4.3) si distiguao i tre casi b =, b >, b <. Ioltre, se b, si utilizzi la sostituzioe b/ = /t. Nel puto (.4.4) si utilizzi la sostituzioe t = /. Nel puto (.4.6) si utilizzi la sostituzioe e = t. Nel puto (.4.) si utilizzi la sostituzioe / = t. Esercizio.5. Calcolare, se esistoo, i segueti limiti. (.5.) lim π (.5.5) lim + (.5.) lim (.5.4) lim +cos π ; (.5.) lim si ; (.5.3) lim si ; (.5.6) lim + cos ; (.5.) lim +cos si si() π/ si + ; (.5.7) lim cos((π)/) + ; (.5.) lim ; (.5.4) lim +, ( R); ; (.5.8) lim si(log ) log ta() si ; (.5.9) lim ; (.5.3) lim + si( ); ; log(+) si ; (.5.5) lim + e log ; (.5.6) lim( + ta ) arcta ; (.5.7) lim Esercizio.6. Calcolare, se esistoo, i segueti limiti. (.6.) lim (.6.4) lim (.6.8) lim log(cos ) e si si + +, ( N); (.6.) lim ; (.6.5) lim ta + ; (.6.9) lim 4 si( ) cos( 3 ) e 3 + k p, (p, k N); (.6.3) lim ; (.6.6) lim si si e +3 si(/)+ ; (.6.) lim. 3 +e ; (.6.7) lim log( si ) cos π/ π/. ( cos ) α, (α > ); ; Esercizio.7. Calcolare, se esistoo, i segueti limiti. (+) (.7.) lim α si cos, (α > ); (.7.) lim π/4 log(si ) log(cos ) ; (.7.3) lim ( α), (α > ); (.7.4) lim ( α ), (α > ); (.7.5) lim (.7.8) lim + (cos(α/))α, (α > ); (.7.9) lim π ( cos ) /si. cos 3 si cos ; (.7.6) lim + si ; (.7.7) lim + 4 ; + cos A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 7
9 Esercizi sui Limiti Versioe del 9 ovembre 6 p. 8 Esercizio.8. Calcolare, se esistoo, i segueti limiti. (.8.) lim π +si si ; (.8.) lim cos ( ); (.8.3) lim + +3 si si(). Esercizio.9. Sia f () = si ta. Determiare l ordie di ifiitesimo di f (), per +, rispetto all ifiitesimo campioe. Esercizio.. Determiare l ordie di ifiitesimo di f () = cos, per +, rispetto all ifiitesimo campioe. Esercizio.. Sia f () ua fuzioe tale che: () f () per ogi R; () f () è ifiitesima, per +, di ordie m > rispetto all ifiitesimo campioe. Dimostrare che, per ogi R +, ( f ()) è ifiitesima, per +, di ordie m rispetto all ifiitesimo campioe. Esercizio.. Dimostrare che, se f () è ifiitesimo di ordie 3 e g() di ordie, per +, rispetto all ifiitesimo campioe, allora f () = o(g()) per +. (Ossia f () è ifiitesimo di ordie superiore a g() per + ). Esercizio.3. Determiare l isieme di defiizioe di f () = si(+ ) +ta e calcolare, se esistoo, lim π/4 lim f (), + lim π/4 Esercizio.4. Mediate il pricipio di sostituzioe degli ifiiti o degli ifiitesimi di ordie superiore, si calcolio i segueti limiti: (.4.) lim e lim + log( +) 8 log(+e 4 ) ; (.4.) lim ( 6+9) 3 + (e 9 ) ; (.4.6) lim 3 +( 3)e cos( 3). 4 ; (.4.3) lim 3 +e + 3 +log( 3 ). LIMITI DI SUCCESSIONI ; (.4.4) lim Esercizio.5. Mediate la defiizioe di limite si verifichio i segueti limiti: (.5.) lim lim = 3 ; (.5.3) lim + = Esercizio.6. Calcolare i segueti limiti: (.6.) (.6.4) lim ; (.6.5) lim 3 = + ; (.5.4) lim + Esercizio.7. Calcolare i segueti limiti: (.7.) (.7.4) lim +!+ cos 3 3/ +(+) 4 ; (.7.5) lim lim =; (.6.) lim ; (.6.6) lim lim log log( 7)+log(+3) + log( +3 7) = ; (.5.5) lim + +4 lim ( ) ; (.7.) lim ; (.7.6) lim si( )! + 3 +! log 4 e + (/4)! + cosh()+sih() e + ; (.4.5) = ; (.5.) = ; (.5.6) ; (.6.3) lim ; (.7.3) lim Esercizio.8. Calcolare i segueti limiti (a volte può servire la defiizioe del umero di Nepero e): (.8.) (.8.) lim ( ) lim + ( ) ( ) +3 ; (.8.3) lim + ; (.8.7) lim e ; (.8.8) Esercizio.9. Calcolare i segueti limiti: (.9.) lim + + lim log + 8 ; (.8.4) lim +( ) + (a ) 3 si + si(/) log 4 + (a ); ; (.8.9) lim + ( ) cos ; (.8.5) lim ( ) 3 + si +( ) ; ; + 7 ; + log + 8 ( ) lim +3 ; + 4! ; (.8.6) log( + /) + e si + (/3) log (.9.) lim ; si + 3/ (.9.3) lim + a cos 3 si( 3 ) + si (a > ); A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 8
10 Esercizi sui Limiti Versioe del 9 ovembre 6 p a (.9.4) lim + (a > ). + 5 A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 9
11 Esercizi su Cotiuità e Derivabilità di fuzioi di ua variabile reale Versioe del 9 ovembre 6 p. CAPITOLO 3 ESERCIZI SU CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE Esercizio 3.. Dire se esiste o meo ua fuzioe f : (, ) R, ivertibile, tale che lim y + f (y) =. I caso affermativo, ua tale fuzioe può essere cotiua i (, )? cos( + λ) se Esercizio 3.. Sia f λ () = e / se >. (3..) Per quali λ R la fuzioe f λ è cotiua dove defiita? (3..) Per quali λ R la fuzioe f λ è ivertibile per ogi [, ]? Per tali valori, esplicitare l iversa. Esercizio 3.3. Per quali a R la fuzioe seguete è cotiua? f () = cos((π)/) se [, ) log( + a) se [, ]. ae 3 + se < Esercizio 3.4. Per quali a, b, c R la fuzioe seguete è cotiua? f () = b se = a 3 + b + c se >. e a + b se Esercizio 3.5. Per quali a, b R la fuzioe seguete è cotiua? f () = arcta(/) se <. Esercizio 3.6. Per quali a, b R la fuzioe seguete è cotiua? f () = si se < a si + b se. Esercizio 3.7. Prolugare per cotiuità, se possibile, le segueti fuzioi: e / se < (3.7.) f () = si se > ; (3.7.) g() = arcta(/); (3.7.3) h() = 3 (3.7.4) l() = si(3) si() ; (3.7.5) m() = ; (3.7.6) () = si( ) si(/). Esercizio 3.8. Prolugare per cotiuità, se possibile, le segueti fuzioi: (3.8.) ta ; (3.8.) si(cot ); (3.8.3) ; (3.8.4) ; (3.8.5) +e / 4e / 3 /. ; Esercizio 3.9. I oguo dei sottelecati casi, è possibile determiare fuzioi cotiue su R? (3.9.) lim f () o esiste e f () = ; (3.9.) lim f () = ; (3.9.3) lim f () =, lim f () = ; (3.9.4) lim f () = + = lim f (). + Esercizio 3.. Siao f, g due fuzioi cotiue i [a, b] e sia c (a, b). Determiare ua codizioe ecessaria e sufficiete f () se [a, c] perché la fuzioe h() = sia cotiua i [a, b]. g() se [c, b] Esercizio 3.. (3..) Sia f () = puto. /si(a) se [ π/, π/] \ }. Dire se esiste a > tale che f sia cotiua el 3 se = A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p.
12 Esercizi su Cotiuità e Derivabilità di fuzioi di ua variabile reale Versioe del 9 ovembre 6 p. + + a se > (3..) Sia f () = b si se π/. Per quali a, b R la fuzioe f () è cotiua el puto? Per quali [] se < π/ a, b R la fuzioe f () è cotiua el puto π/? Esercizio 3.. Se f è derivabile i, quali delle segueti affermazioi soo vere? (3..) f f (h) f ( ( ) = lim ) h h ; (3..) f f (h) f ( ( ) = lim ) h h ; (3..3) f f ( ( ) = lim ) f ( h) h h ; (3..4) f f ( ( ) = lim +t) f ( ) t t. Esercizio 3.3. È vero che: (3.3.) se f è derivabile i allora f è derivabile i? (3.3.) se ( f ) 3 è derivabile i allora f è cotiua i? (3.3.3) se f è derivabile i R e lim + f () =, allora lim + f () =? (3.3.4) se f è derivabile i R e lim + f () =, allora esiste fiito lim + f ()? Esercizio 3.4. Sia data f : R R tale che esistao K > e α > per cui f ( ) f ( ) K α per ogi, R. Calcolare f () per ogi R. Esercizio 3.5. Calcolare, mediate la defiizioe, la derivata (se e dove esiste) di: si, si, si, si(/), +. e / si se > Esercizio 3.6. Sia g() ua fuzioe defiita su (, ] tale che f () = sia derivabile i R. Si calcolio g() se g() e g (). Esercizio 3.7. Discutere la derivabilità delle segueti fuzioi [a, b, c R; N]. si(/) se (3.7.) se = ; (3.7.) se +e / se = ; (3.7.3) [] + []; se < (3.7.4) log( ) se < / ; (3.7.5) se c a + b se > c ; (3.7.6) / se > c a + b se c ; si se c (3.7.7) a + b se > c ; (3.7.8) e a + b se arcta(/) se < ; (3.7.9) 3 + arcta(b ) cos se < log( + a) se ; (3.7.) arcsi( si cos ); (3.7.) arccos( cos cos ). Esercizio 3.8. Calcolare la derivata (se e dove esiste) di: (3.8.) arcsi( + ); (3.8.) ((π/) arcta ); (3.8.3) log(log ); (3.8.4) 3 ; (3.8.5) log ; (3.8.6) arcta(/); (3.8.7) + ; (3.8.8) arcta( ); (3.8.9) ta( + arcta(/)); (3.8.) ta + arcta(/); (3.8.) e ; (3.8.) si cos si ; (3.8.3) arcsi. Esercizio 3.9. Calcolare la derivata (se e dove esiste) di: (3.9.) arcta(/); (3.9.) arcsi(cos ); (3.9.3) arcta( + ); (3.9.4) arccos( ); (3.9.5) ; (3.9.6) 4 si + ; (3.9.7) ( ) cos ; (3.9.8) si cos ; (3.9.9) ( + si(3))/ta ; (3.9.) (3.9.4) si(/) ; (3.9.) + ; (3.9.) + ; (3.9.3) si(si(cos )); (si ) 4 +(cos ) 3 arcsi( ); (3.9.5) log( + ); (3.9.6) log(si ); (3.9.7) e / ; (3.9.8) / ; (3.9.9) arcsi(e +3 ); (3.9.) (si ) cos( + ); (3.9.) (si ) cos ; (3.9.) arcta( 5 si ). Esercizio 3.. (3..) Sia f () = 3 defiita i [/6, + ). Calcolare la derivata della fuzioe iversa di f ei puti 7 e 6. Stessa domada cosiderado come domiio di f l itervallo (, /6]. (3..) Sia f () = + log + e defiita i (, + ). Calcolare la derivata della fuzioe iversa di f el puto + e. (3..3) Sia f () = arcta(/) e sia g(y), defiita i (, + ), la sua fuzioe iversa. Scrivere l equazioe della retta tagete al grafico di g el puto π/4. A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p.
13 Esercizi su Cotiuità e Derivabilità di fuzioi di ua variabile reale Versioe del 9 ovembre 6 p. Esercizio 3.. Studiare cotiuità e derivabilità di: (3..) e 3 ; (3..) arcsi( + ); (3..3) arcta( ); (3..4) e (/) log() ; (3..5) arcta( ); (3..6) si( arccos ); (3..7) cos(arcsi + 3); (3..8) cos(4 arcta ); + (3..9) + 3 (+) ; (3..) 3 3 ; (3..) ( +) ( ) + ; (3..) log log ; (3..3) + ; si (3..4) 3 cos() ; (3..5) si cos + ; (3..6) ; (3..7) si (3..8) cos ; (3..9) (ta )si ; (3..) + cos. Esercizio 3.. Per quali a, b R la seguete fuzioe è derivabile i R? f () = (+si ) (si )( si ) ; si se < a si + b se. log(+ si k Esercizio 3.3. Per quali, k N la seguete fuzioe è derivabile i? f () = (si ) ) se se =. Esercizio 3.4. Discutere cotiuità e derivabilità delle segueti fuzioi. se < 4 4 (3.4.) log( ) se se ; (3.4.) ( )( +) 4/5 se = ; + se > (3.4.3) + si 4 ; (3.4.4) cos ; (3.4.5) +si si. log( ) b( ) se > Esercizio 3.5. Sia g() = a se = arcta( c ) se <. (3.5.a) Determiare, se esistoo, a R e b e c tali che g sia cotiua i R. (3.5.b) Determiare, se esistoo, a R e b e c tali che g sia derivabile i. Suggerimeto: Se ecessario, è cosetito utilizzare il teorema di de l Hôpital. arcta( + ) se > Esercizio 3.6. Sia g() = a se = log(+b( ) ) se <. ( ) (3.6.a) Determiare, se esistoo, a R e b > tali che g sia cotiua i R. (3.6.b) Determiare, se esistoo, a R e b > tali che g sia derivabile i. arcta u u Suggerimeto: se ecessario, è possibile usare i segueti: lim u = u 3 3, lim u log(+u) u = u. arcta( + + ) se < Esercizio 3.7. Sia g() = c se = log(+)+a+b arcta se >. (3.7.a) Determiare, se esistoo, a, b, c R tali che g sia cotiua i R. (3.7.b) Determiare, se esistoo, a, b, c R tali che g sia derivabile i R. Suggerimeto: se ecessario, è possibile utilizzare il Teorema di de l Hôpital per calcolare i limiti richiesti el puto (3.7.b). Esercizio 3.8. Sia f () =. (3.8.) Si dimostri, usado la defiizioe di derivata, che f o è derivabile é i é i. (3.8.) Si scriva f () come fuzioe defiita per casi. (3.8.3) Si scriva f (), ei casi i cui essa esiste, come fuzioe defiita per casi. A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p.
14 Esercizi su Cotiuità e Derivabilità di fuzioi di ua variabile reale Versioe del 9 ovembre 6 p. 3 log(a + ) se > Esercizio 3.9. Sia f () = b se =, dove a >, b, c R. c e /(+) se <, (3.9.) Si spieghi perché f () è cotiua i (, + ) ed i (, ) \ }. (3.9.) Si dica per quali a >, b, c R, se e esistoo, f () è cotiua i e, per tali valori di a, b, c, si scriva f (). (3.9.3) Si scriva f () per > e per <,. (3.9.4) Utilizzado la defiizioe di derivata prima e il Teorema di de L Hôpital, si calcoli per quali a >, b, c R, se e esistoo, esiste f () e, per tali valori di a, b, c, si scriva f (). Esercizio 3.3. Sia g() = cos(a) se < b + a, dove a, b R \ }. se (3.3.) Si spieghi perché g() è cotiua i (, + ) ed i (, ). (3.3.) Si determii per quali a, b R \ }, se e esistoo, g() è cotiua i. (3.3.3) Per i valori di a, b determiati el puto precedete, si scriva g () per > e per <. (3.3.4) Per quali valori di a, b, se e esistoo, g() è derivabile i tutto il suo isieme di defiizioe? log( +a) se > Esercizio 3.3. Sia g() = b se = (c + ), dove a > e b, c R. + se < (3.3.) Per quali valori di a > e b, c R si ha che g() è cotiua i? Ed i R? (3.3.) Per quali valori di a > e b, c R si ha che g() è derivabile i? Ed i R? (3.3.3) Per i valori di a, b, c determiati el puto precedete, si scrivao g() e g (). Esercizio 3.3. Sia g() = c cos(e (+π/) ) (+π/) ae si(+π/) b (+π/) se < π/ se = π/ se > π/. (3.3.a) Determiare a, b, c R tali che g sia cotiua i R. (3.3.b) Classificare, per a, b, c R opportui, il tipo di discotiuità di g el puto π/. Esercizio (3.33.a) Data h() = log si esibisca, se è possibile, ua fuzioe h : (, + ) R tale che h () = h() per ogi >,, e che h sia derivabile el puto. (3.33.b) I caso di risposta affermativa alla domada precedete, si calcoli h () e si studi la cotiuità di h () per ogi >. (3.33.c) Data u() = cos( ), calcolare u () e risolvere l equazioe u () = dove essa ha seso. e si si a arcta se > Esercizio Sia, per ogi a, b, c R, data la fuzioe g() = b se = arcta ( ) +c se <. arcta t (3.34.a) Dopo aver provato che lim t t =, si determii per quali a, b, c R, si ha che g è cotiua i R. (3.34.b) Per quali a, b, c R si ha che g è derivabile i R? (3.34.c) Per quali a, b, c R, calcolare, dove esiste, g (). (3.34.d) Risolvere, per ogi a, b, c R e per ogi <, la disequazioe g (). Suggerimeto: Nello svolgimeto può essere utile sapere che lim t (e t t )/t = /. + + se > Esercizio Sia, per ogi a, b, c R, data la fuzioe g() = c se = a +b(+) se <. + A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 3
15 Esercizi su Cotiuità e Derivabilità di fuzioi di ua variabile reale Versioe del 9 ovembre 6 p. 4 (3.35.a) Per quali a, b, c R, si ha che g è cotiua i? (3.35.b) Determiare, per ogi a, b, c R, l isieme di derivabilità di g. (3.35.c) Calcolare, dove esiste, g (). Risolvere, per a = b = e c R, l equazioe g () =. (3.35.d) È vero che, per a >, c > e < b < 4a, si ha g() > per ogi R? f () f () ( ) Esercizio (3.36.a) Sia f : R R tale che lim =. Calcolare, se esiste, f (). (3.36.b) Data f : R R, si iterpreti geometricamete la quatità opportue codizioi perché tale limite esista). f (+h) f ( h) h (3.36.c) Stabilire gli itervalli di ivertibilità della fuzioe f : (, + ) R, f () = cos. e se e calcoli il limite per h (poedo Calcolare, seza determiare l espressioe della fuzioe iversa, quato vale, se esiste, ( f ) ( /). + + se > Esercizio Sia, per ogi a, b, c R, data la fuzioe g() = c se = a +b(+) se <. + (3.37.a) Per quali a, b, c R, si ha che g è cotiua i? (3.37.b) Determiare, per ogi a, b, c R, l isieme di derivabilità di g. (3.37.c) Calcolare, dove esiste, g (). Risolvere, per a = b = e c R, l equazioe g () =. (3.37.d) è vero che, per a >, c > e < b < 4a, si ha g() > per ogi R? / se (, ) Esercizio Sia data la fuzioe h() = + se (, 3). (3.38.a) La fuzioe h è ivertibile? Se si, la sua fuzioe iversa h è cotiua el suo isieme di defiizioe? (3.38.b) Determiare, se esiste, ua fuzioe g defiita e cotiua per ogi (, 3) tale che g () = f () per ogi (, ) (, 3). (3.38.c) Determiare, se esiste, ua fuzioe g defiita e cotiua per ogi (, 3), derivabile el puto e tale che g () = f () per ogi (, ) (, 3). (3.38.d) Provare che o esistoo poliomi di secodo grado p() tali che p() = lim h(), p() = lim h(), e p +() = /, + p () =. log( si + ) se > Esercizio Sia, per ogi a, b R, data la fuzioe f () = + a + b se se <. + (3.39.a) Per quali a, b R, se esistoo, si ha che f è cotiua i R? (3.39.b) Per quali a, b R, se esistoo, si ha che f è derivabile el puto =? (3.39.c) Provare che o esistoo a, b R tali che f sia derivabile sia el puto = che el puto =. si(( )) se > a+b Esercizio 3.4. Sia, per ogi a, b R, data la fuzioe f () = se + arccos( ) se <. + (3.4.a) Calcolare, se esiste, lim + f (). (3.4.b) Per quali a, b R, se esistoo, si ha che f è cotiua sia i che i? (3.4.c) Calcolare, se esistoo, lim + f () e lim f (). (3.4.d) Calcolare lim cos(log ) (log )( ). A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 4
16 Esercizi su Cotiuità e Derivabilità di fuzioi di ua variabile reale Versioe del 9 ovembre 6 p. 5 cos( ) se > ( ) Esercizio 3.4. Sia, per ogi a, b R, data la fuzioe f () = a +b + se arcsi( + ) se <. (3.4.a) Calcolare, se esiste, lim + f (). + (3.4.b) Per quali a, b R, se esistoo, si ha che f è cotiua sia i che i? (3.4.c) Calcolare, se esistoo, lim + f () e lim f (). (3.4.d) Calcolare lim si(log( )). si(arcta ) se < Esercizio 3.4. Sia, per ogi a, b R, data la fuzioe f () = a + b se < <, dove co [t] si è deotata la parte [] se itera di t. (3.4.a) Qual è l isieme di defiizioe di f ()? (3.4.b) Calcolare, se esiste, lim f (). (3.4.c) Per quali a, b R si ha che f è prolugabile per cotiuità i? (3.4.d) Per quali a, b R si ha che f è cotiua i? (3.4.e) Sia g() il prolugameto cotiuo i di f () di cui al puto (3.4.c). Per quali a, b R si ha che g è cotiua i R? (3.4.f) Calcolare, se esistoo, lim + f () e lim f (). e /( 4) se < < Esercizio Si cosideri la fuzioe così defiita: f () = si( π ) + k se oppure. (3.43.a) Per quale valore di k R, f è cotiua? (3.43.b) Per il valore di k determiato i (a) si studi la derivabilità di f. e /(4 ) se < oppure > Esercizio Si cosideri la fuzioe così defiita: f () = si( π ) + k se,. (3.44.a) Per quale valore di k R, f è cotiua? (3.44.b) Per il valore di k determiato i (3.44.a) si studi la derivabilità di f. a + e se < Esercizio Si cosideri, per a e b i R, la fuzioe f : R R così defiita: f () = Determiare, se +b se. possibile, i valori di a, b R per cui f risulta cotiua e derivabile el puto =. ( ) arcta e e Esercizio Si cosideri la fuzioe f () = + se [, ] log( + si ) se [, 3]. (3.46.a) Verificare che f è ivertibile. (3.46.b) Calcolare la derivata dell iversa i y = log(5 + si(5). Esercizio Per ogi a, b R sia data la fuzioe f () = a e cos + se > + b se. (3.47.a) Per quali a, b R, se esistoo, si ha che f è cotiua el proprio domiio? (3.47.b) Per quali a, b R, se esistoo, si ha che f è derivabile el proprio domiio? Esercizio Calcolare, se esiste, f e / se (), dove f è data da: f () = se =. A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 5
17 Esercizi su Cotiuità e Derivabilità di fuzioi di ua variabile reale Versioe del 9 ovembre 6 p. 6 Esercizio Calcolare, se esiste, f (), dove f è data da: f () = tah( ) se se =. Esercizio 3.5. Data f () = + arcta, si idividui il puto c che verifica il Teorema di Lagrage per f ell itervallo [, ]. Esercizio 3.5. Determiare ua fuzioe f () tale che f () =, f () =, lim + Esercizio 3.5. Determiare ua fuzioe f () tale che f () =, f () =, lim f () = e esiste lim f (). + f () = e lim + f () = +. Esercizio Determiare ua fuzioe f () tale che essa sia crescete i (, ), f () =, f () = e lim f () =. Esercizio Sia f () defiita e derivabile i [a, + ) e tale che lim + ( f () f ()) = l R. È vero che lim + f () = l e che lim + f () =? Esercizio Sia f () defiita e derivabile i [, ] [3, 4] e tale che f () = i (, ) (3, 4). È vero che f è costate? Esercizio Esistoo fuzioi f () derivabili su R tali che (3.56.a) f () per ogi R, f () = e f () =? (3.56.b) f () per ogi R, f () = e f () =? Esercizio Calcolare, se esistoo, i segueti limiti utilizzado evetualmete il teorema di de l Hôpital. (3.57.) lim(/) (/si ); (3.57.) lim(/( ) ) (/log ); (3.57.3) lim( + ) /ta ; (3.57.4) lim (3.57.8) lim si e 3 ; (3.57.5) lim ; (3.57.9) lim si si( ) a log(e e a ) ; (3.57.6) lim ta arcta( 3 ) log( a) ; (3.57.) lim (cot ). π ; (3.57.7) lim log ; ( ) Esercizio È vataggioso utilizzare il teorema di de l Hôpital per calcolare i segueti limiti? (3.58.) lim +si + +cos ; (3.58.) lim + e / ; (3.58.3) lim si(/) si ; (3.58.4) lim +si cos + e si (+si cos ). Esercizio Per quali valori di α, β si possoo calcolare i segueti limiti co il teorema di de l Hôpital? (3.59.) lim si α ; (3.59.) lim 3 + α e β ; (3.59.3) lim α log(si ); (3.59.4) lim e α/ +. A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 6
18 Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Fuzioi Versioe del 9 ovembre 6 p. 7 CAPITOLO 4 ESERCIZI SUI LIMITI E SULLO STUDIO DI FUNZIONI 4. STRATEGIA PER GLI STUDI DI FUNZIONE Descriviamo la strategia ecessaria per lo studio dell adameto di f : A R, A R. I passi da fare soo i segueti. ) Determiazioe del domiio: Data la legge che defiisce f, va determiato il domiio di defiizioe di f ossia l isieme massimale Dom( f ) su cui f può essere valutata. ) Periodicità, simmetrie e sego: determiare le evetuali periodicità e simmetrie di f e, quado possibile, il suo sego e i suoi puti di azzerameto. Determiare, se esiste, l itersezioe del grafico di f co l asse delle ordiate (ossia calcolare f (), posto che Dom( f )). 3) Limiti rilevati: determiare i puti di accumulazioe, sia bilateri che uilateri, del domiio Dom( f ) ed i limiti di f i tali puti di accumulazioe. Dedurre evetuali cosegueze sulla o esisteza di puti di massimo o miimo globale. Determiare evetuali asitoti verticali, orizzotali ed obliqui. 4) Cotiuità e Derivabilità: determiare i puti del domiio Dom( f ) i cui f è cotiua e quelli i cui f è derivabile (ossia determiare gli isiemi Dom( f ) cot e Dom( f ) der ). Classificare i puti di discotiuità e di o derivabilità di f. 5) Mootòia: determiare i puti del domiio Dom( f ) i cui f è strettamete mootòa; determiare i puti stazioari di f ossia i puti del domiio Dom( f ) i cui f è derivabile e f () =. 6) Estremi locali e globali: determiare tra i puti stazioari e i puti di o derivabilità di f quali soo gli puti di estremo locale. Accertarsi dell esisteza di estremi globali, ad esempio verificado se è applicabile il Teorema di Weierstraß; determiare tra i puti stazioari e i puti di o derivabilità di f gli estremi globali e i corrispettivi puti di estremo globale. 7) Covessità: determiare i puti del domiio Dom( f ) di f i cui è covessa e quelli i cui è cocava. Determiare ache gli evetuali puti di flesso di f. 8) Adameto qualitativo: utilizzare tutte le iformazioi ricavate precedetemete per disegare u adameto qualitativo della fuzioe. Esercizio 4.. Sia data la fuzioe f () = TESTI DI ESERCIZI SUGLI STUDI DI FUNZIONE E LIMITI (4..) Si determii il campo di esisteza e le evetuali simmetrie di f (). (4..) Si determii il sego di f () e le sue itersezioi co gli assi coordiati. (4..3) Si determiio i limiti agli estremi del campo di esisteza e gli evetuali asitoti di f (). (4..4) Si determii il sego della derivata prima f () e gli itervalli di mootoia di f (). (4..5) Si determiio gli evetuali puti di massimo e di miimo locale e globale. (4..6) Si determii la derivata secoda f () e se e studi il sego. (4..7) Si disegi u grafico approssimato di f (). (4..8) Si determii l immagie di f (). (4..9) Determiare il umero di soluzioi dell equazioe f () = utilizzado il grafico di f (). Esercizio 4.. Sia data la fuzioe f () = + +. (4..) Si determii il campo di esisteza e le evetuali simmetrie di f (). (4..) Si determii il sego di f () e le sue itersezioi co gli assi coordiati. A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 7
19 Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Fuzioi Versioe del 9 ovembre 6 p. 8 (4..3) Si determiio i limiti agli estremi del campo di esisteza e gli evetuali asitoti di f (). (4..4) Si determii il sego della derivata prima f () e gli itervalli di mootoia di f (). (4..5) Si determiio gli evetuali puti di massimo e di miimo locale e globale. (4..6) Si determii la derivata secoda f () e se e studi il sego. (4..7) Si disegi u grafico approssimato di f (). Esercizio 4.3. Studiare le segueti fuzioi determiado, ove o diversamete specificato: (i) il campo di esisteza ed evetuali simmetrie; (ii) il sego ed evetuali itersezioi co gli assi coordiati. (iii) i limiti agli estremi del campo di esisteza e gli evetuali asitoti di f (). (iv) il sego della derivata prima f () e gli itervalli di mootoia di f (). (v) gli evetuali puti di massimo e di miimo locale e globale. (vi) la cocavità e la covessità di f () mediate il sego della sua derivata secoda. (vii) u grafico approssimato di f (). (4.3.) f () = ; (4.3.) f () = [studiado espressamete la derivabilità di f ()]; (4.3.3) f 3 () = / ; (4.3.4) f 4 () = arcta + ; (4.3.5) f 5 () = + [studiado espressamete la derivabilità di f 5 (); otare che per, il grafico di f 5 () è ua retta]; (4.3.6) f 6 () = log( + /) + + [si salti il puto (ii); il sego adrà dedotto alla fie dello studio di fuzioe]. Esercizio 4.4. Studiare le segueti fuzioi determiado: (i) il campo di esisteza ed evetuali simmetrie; (ii) il sego ed evetuali itersezioi co gli assi coordiati. (iii) i limiti agli estremi del campo di esisteza e gli evetuali asitoti di f (). (iv) il sego della derivata prima f () e gli itervalli di mootoia di f (). (v) gli evetuali puti di massimo e di miimo locale e globale. (vi) u grafico approssimato di f (). (4.4.) f () = ; (4.4.) f () = arcsi( ); (4.4.3) f 3 () = arcsi( + ); (4.4.4) f 4 () = log / ; (4.4.5) f 5 () = eta e ta + ; (4.4.6) f 6 () = e /si. Esercizio 4.5. Sia f () = + log. (4.5.a) Determiare il campo di esisteza, le evetuali simmetrie, i limiti sigificativi di f. (4.5.b) Si studi la cotiuità di f e la derivabilità di f () e si calcoli, dove esiste, f (). A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 8
20 Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Fuzioi Versioe del 9 ovembre 6 p. 9 (4.5.c) I quati puti del proprio domiio f () si azzera? f ha massimi relativi e/o miimi relativi? f ha massimi assoluti e/o miimi assoluti? Esercizio 4.6. Sia f () = + log +. (4.6.a) Determiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie, i limiti sigificativi di f. (4.6.b) Si studi la cotiuità di f. f è prolugabile per cotiuità el puto? (4.6.c) Si studi la derivabilità di f () e si calcoli, dove esiste, f (). (4.6.d) Provare che f ha massimi relativi e miimi relativi. f ha massimi assoluti e/o miimi assoluti? Esercizio 4.7. Sia f () = arcta log( + ). (4.7.a) Determiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie, i limiti sigificativi di f. (4.7.b) Si studi la cotiuità e la derivabilità di f (). (4.7.c) Calcolare, ove esiste, f (). (4.7.d) Provare che f o ha é massimi relativi é miimi relativi. f ha massimi assoluti e/o miimi assoluti? Esercizio 4.8. Determiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie, i limiti sigificativi di f, evetuali asitoti, gli isiemi di cotiuità e di derivabilità, cresceza e decresceza, evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti, u grafico approssimato di f () = e. Stesse domade per g() = 4 e +. I etrambi i casi o è richiesto lo studio della covessità. Esercizio 4.9. Sia f () = e log. (4.9.a) Determiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie, i limiti sigificativi di f. (4.9.b) Determiare gli isiemi di cotiuità e di derivabilità di f (). (4.9.c) Risolvere, dove ha seso, la disequazioe f () >. (4.9.d) È vero che f o ha massimi assoluti? È vero che f ha miimi assoluti? Suggerimeto: si cosiglia, prima di procedere a studiare i limiti sigificativi, di riscrivere f () come fuzioe defiita per casi ( elimiado cioé i valori assoluti) Esercizio 4.. Sia f () = log( + + e + ). (4..a) Determiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie. (4..b) Determiare i limiti agli estremi del domiio ed evetuali asitoti. (4..c) Determiare l isieme di cotiuità ed l isieme di derivabilità di f. (4..d) Determiare gli evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti. (4..e) Disegare u grafico approssimato di f. (4..f) (facoltativo) Studiare cocavità e covessità di f. Esercizio 4.. Sia f () = (cos )e /cos. (4..a) Determiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie. (4..b) Determiare i limiti agli estremi del domiio ed evetuali asitoti. (4..c) Determiare l isieme di cotiuità ed l isieme di derivabilità di f. (4..d) Determiare gli evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti. (4..e) Disegare u grafico approssimato di f. [No è richiesto lo studio della covessità]. Esercizio 4.. Sia f () = arcta( + + log( )). (4..a) Determiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie. (4..b) Determiare i limiti agli estremi del domiio ed evetuali asitoti. A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 9
21 Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Fuzioi Versioe del 9 ovembre 6 p. (4..c) Determiare l isieme di cotiuità ed l isieme di derivabilità di f. (4..d) Determiare gli evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti. (4..e) Disegare u grafico approssimato di f. [No è richiesto lo studio della covessità]. Esercizio 4.3. Sia f () = log 3 4. (4.3.a) Determiare il domio di f ed i limiti di f agli estremi del domiio. (4.3.b) Risolvere, dove ha seso, f () > log( ). (4.3.c) Determiare l isieme di cotiuità ed l isieme di derivabilità di f. (4.3.d) Calcolare f () dove esiste. Esercizio 4.4. Sia f () = log arcta( + ). (4.4.a) Determiare il domio di f. Determiare il suo isieme di cotiuità ed il suo isieme di derivabilità. Calcolare f () dove esiste. (4.4.b) Calcolare lim f (), lim + f (), lim f (), lim + f (). (4.4.c) f è superiormete limitata? f è iferiormete limitata? (4.4.d) f ha massimi assoluti? f ha miimi assoluti? Esercizio 4.5. Sia g() = ta arcta( + ). (4.5.a) Determiare il domiio e la parità di g. (4.5.b) Determiare l isieme di cotiuità di g. (4.5.c) Determiare se g è derivabile el puto =. Dedurre la derivabilità o meo di g el puto = e calcolare l isieme di derivabilità di g. (4.5.d) Scrivere, se esiste, l equazioe della retta tagete al grafico della fuzioe g el puto di ascissa uguale a. Stessa domada per il puto di ascissa uguale a. Suggerimeto: dal puto (4.5.c) i poi è coveiete semplificare il modulo e riscrivere quidi g come fuzioe defiita per casi. Esercizio 4.6. Sia data la fuzioe h() = (arcta( (4.6.a) Determiare il domiio della fuzioe h(). (4.6.b) Calcolare, se esiste, lim h(). (4.6.c) Calcolare, se esiste, lim / h(). (4.6.d) Calcolare, se esiste, lim h(). + )) /. Esercizio 4.7. Sia data la fuzioe g() = +. (4.7.a) Determiare il domiio della fuzioe g(). (4.7.b) Calcolare, se esiste, lim + g(). (4.7.c) g() è fuzioe pari? g() è fuzioe dispari? (4.7.d) Calcolare, se esiste, lim g(). Suggerimeto: provare ad utilizzare i puti (4.7.a) e (4.7.c). Esercizio 4.8. Sia data la fuzioe h() = log(arccos( + )). (4.8.a) Determiare il domiio della fuzioe h(). (4.8.b) Calcolare, se esiste, lim h(). (4.8.c) Calcolare, se esiste, lim / h(). A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p.
22 Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Fuzioi Versioe del 9 ovembre 6 p. (4.8.d) Calcolare, se esiste, lim h(). Esercizio 4.9. Sia data la fuzioe g() = (4.9.a) Determiare il domiio della fuzioe g(). (4.9.b) Calcolare, se esiste, lim + g(). (4.9.c) g() è fuzioe pari? g() è fuzioe dispari? (4.9.d) Calcolare, se esiste, lim g(). Suggerimeto: provare ad utilizzare i puti (4.9.a) e (4.9.c). Esercizio 4.. Sia, per R, data la fuzioe g() = ([ ]), dove co [t] si deota la parte itera di t. (4..a) Determiare il domiio, l immagie e il grafico della fuzioe g(). (4..b) g() è crescete? g() è decrescete? g() è iiettiva? (4..c) Disegare l adameto del grafico di g(). Esercizio 4.. Sia data, per [ π, 3π ), la fuzioe f () = (cos si )+si cos. (4..a) Determiare il domiio della fuzioe f (). si 3 (4..b) Per quali Dom f si ha f () <? Per quali Dom f si ha f () =? Esercizio 4.. Sia E = } 3 + : R. Si provi che (4..a) E è limitato? Quali soo sup E e if E? (4..b) E ha massimo? Se si, qual è? E ha miimo? Se si, qual è? per ogi R. Esercizio 4.3. Sia data, per R, la fuzioe g() = ([ + ]), dove co [t] si è deotata la parte itera di t. (4.3.a) Determiare il domiio, l immagie e il grafico della fuzioe g(). (4.3.b) g() è crescete? g() è decrescete? g() è iiettiva? (4.3.c) Disegare l adameto del grafico di g(). Esercizio 4.4. Sia data, per [ π, 3π si +cos ), la fuzioe f () =. (4.4.a) Determiare il domiio della fuzioe f (). cos (4.4.b) Per quali Dom f si ha f () >? Per quali Dom f si ha f () =? Esercizio 4.5. Sia E = 4 } + : R. Si provi che per ogi R. (4.5.a) E è limitato? Quali soo sup E e if E? (4.5.b) E ha massimo? Se si, qual è? E ha miimo? Se si, qual è? Esercizio 4.6. Sia data la fuzioe f () = log si cos cos 3. (4.6.a) Trovare il campo di esisteza della fuzioe f (). (4.6.b) Provare che f () per ogi apparteete al campo di esisteza. Per quali si ha f () =? (4.6.c) Calcolare lim f (). Ha seso valutare lim f ()? π/ Esercizio 4.7. Sia data la fuzioe f () = log cos si si 3. (4.7.a) Trovare il campo di esisteza della fuzioe f (). (4.7.b) Provare che f () per ogi apparteete al campo di esisteza. Per quali si ha f () =? A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p.
23 Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Fuzioi Versioe del 9 ovembre 6 p. (4.7.c) Calcolare lim f (). Ha seso valutare lim f ()? π/ Esercizio 4.8. Sia f () = e. (4.8.a) Studiare il campo di esisteza di f (), il sego, gli evetuali asitoti, la derivabilità (per determiare evetuali massimi e/o miimi assoluti e/o relativi), la covessità e gli evetuali flessi di f (). Suggerimeto: Studiare i particolare la derivabilità di f () ei puti i cui si aulla l argometo del valore assoluto). (4.8.b) Disegare il grafico approssimato di f (). Esercizio 4.9. Sia f () = ( + ) log( 3). (4.9.a) Studiare il campo di esisteza di f (), evetuali simmetrie, la cotiuità, i limiti sigificativi, gli evetuali asitoti, la derivabilità (per determiare la cresceza ed evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti), la covessità e gli evetuali flessi di f (). Disegare il grafico approssimato di f (). (4.9.b) Decidere qual è il sego di f () e le evetuali itersezioi del grafico di f () co l asse. Esercizio 4.3. Sia f () = e ( /). (4.3.a) Studiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie, i limiti sigificativi, gli evetuali asitoti, la derivabilità (per determiare la cresceza ed evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti), la covessità e gli evetuali flessi di f (). (4.3.b) Disegare il grafico approssimato di f (). Esercizio 4.3. Sia f () = e /. (4.3.a) Studiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie, i limiti sigificativi, gli evetuali asitoti, la derivabilità (per determiare la cresceza ed evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti), la covessità e gli evetuali flessi di f (). (4.3.b) Disegare il grafico approssimato di f (). Esercizio 4.3. Sia f () = log + +. (4.3.a) Studiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie, i limiti sigificativi, gli evetuali asitoti, la derivabilità (per determiare la cresceza ed evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti), la covessità e gli evetuali flessi di f (). (4.3.b) Disegare il grafico approssimato di f (). Esercizio Sia f () = arcta( + ). (4.33.a) Studiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie, i limiti sigificativi, gli evetuali asitoti, la derivabilità (per determiare la cresceza ed evetuali massimi e miimi relativi), la covessità e gli evetuali flessi di f (). (4.33.b) Dire se f () ammette massimo assoluto e/o miimo assoluto. f () è limitata? (4.33.c) Disegare il grafico approssimato di f (). Esercizio Sia f () = log( e ). (4.34.a) Studiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie, i limiti sigificativi, gli evetuali asitoti, la derivabilità, la cresceza e gli evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti, la covessità e gli evetuali flessi di f (). Suggerimeto: Dopo aver determiato il campo di esisteza si scriva f () elimiado il valore assoluto e facedo le opportue semplificazioi. (4.34.b) Disegare il grafico approssimato di f (). Esercizio Sia data la fuzioe g() = log( si cos +(cos cos ) si si + ). (4.35.a) Determiare il domiio di f () limitadosi a cosiderare l isieme [, π). (4.35.b) Risolvere, per ogi [, π), f () < log( si si + ). A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p.
24 Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Fuzioi Versioe del 9 ovembre 6 p. 3 (4.35.c) Risolvere, per ogi [, π), f () = log( si si + ). Esercizio Sia, per ogi a, b R, data la fuzioe f () = (4.36.a) Qual è l isieme di defiizioe di f ()? (4.36.b) Calcolare, se esiste, lim f (). si(cos ) se < + b se < < π/ se π/. a π π si (4.36.c) Per quali a, b R si ha che f è prolugabile per cotiuità i? (4.36.d) Per quali a, b R si ha che f è cotiua i π/? (4.36.e) Sia g() il prolugameto cotiuo i di f () di cui al puto (4.36.c). Per quali a, b R si ha che g è cotiua i R? (4.36.f) Calcolare, se esistoo, lim + f () e lim f (). Esercizio Sia data la fuzioe g() = log( cos si +( cos ) si cos + ). (4.37.a) Determiare il domiio di f () limitadosi a cosiderare l isieme [, π). (4.37.b) Risolvere, per ogi [, π), la disequazioe f () < log( (4.37.c) Risolvere, per ogi [, π), f () = log( si cos + ). Esercizio Sia data la fuzioe f () = log(3 + ) si cos + ). (4.38.a) Studiare il campo di esisteza di f (), gli evetuali asitoti, la derivabilità (per determiare evetuali massimi e/o miimi assoluti e/o relativi), la covessità e gli evetuali flessi. (4.38.b) Disegare il grafico approssimato di f (). Esercizio Sia f () = arcta( log ). (4.39.a) Studiare il campo di esisteza, il sego, le evetuali simmetrie, le itersezioi co gli assi, i limiti sigificativi, gli evetuali asitoti, la derivata prima f () (per determiare la cresceza ed evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti), covessità e flessi. (4.39.b) Disegare il grafico approssimato di f (). Esercizio 4.4. Si cosideri la fuzioe f () = e. (4.4.a) Se e determii il campo di esisteza, le evetuali simmetrie, il sego e le itersezioi co gli assi, limiti otevoli ed asitoti; si studi la derivabilità di f e se e cerchio gli evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti, attraverso lo studio di f (); si studi la covessità e flessi di f. (4.4.b) Se e tracci u grafico approssimato. Esercizio 4.4. Si cosideri la fuzioe f () = e. (4.4.a) Se e determii il campo di esisteza, le evetuali simmetrie, il sego e le itersezioi co gli assi, limiti otevoli ed asitoti; si studi la derivabilità di f e se e cerchio gli evetuali massimi e miimi relativi ed assoluti, attraverso lo studio di f (); si studi la covessità e flessi di f. (4.4.b) Se e tracci u grafico approssimato. Esercizio 4.4. Si cosideri la fuzioe f () = + e /. (4.4.a) Se e determii il campo di esisteza, le evetuali simmetrie, il sego e le itersezioi co gli assi, limiti otevoli ed asitoti, cresceza, decresceza e massimi e miimi relativi ed assoluti evetuali, attraverso lo studio di f (), covessità e flessi. (4.4.b) Se e tracci u grafico approssimato. Esercizio Si cosideri la fuzioe f () = + e /. A. Laguasco Ogi forma di commercializzazioe o redistribuzioe è vietata p. 3
Esercizi proposti. f(x), f(x), f(x), f(x + 1), f(x) + 1. x 2 x 1 se x 1, 4 x se x > 1 2, 2).
Esercizi proposti 1. Risolvere la disequazioe + 1.. Disegare i grafici di a) y = 1 + + 3 ; b) y = 1 ; c) y = log 10 + 1). 3. Si cosideri la fuzioe f) = ; disegare i grafici di f), f), f), f + 1), f) +
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