Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2008/2009. Prof. M.

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1 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma algerica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono: % D %D & œ!. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo en in evidenza il grafico di. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)

2 Prima prova in itinere di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Tema kb" k œ / ". Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: lim BÄ_ B $B Œ B &B ablogb. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per B Ä B!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di B œ B!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminaile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in ase alla sola stima asintotica. È $ B Š / " sinb œ B " à B! œ!þ

3 Prima prova in itinere di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Tema 5. Derivata della funzione inversa. Sia œ B logb. Provare che 0 è invertiile nell'intervallo Š ß_. È/ w. Detta la funzione inversa di 0 su questo intervallo, calcolare a/ Þ " 6. Studio di funzione mediante derivate. Sia "ÎaB" œ B/ Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti.. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. c. Calcolare la derivata seconda e, in modo da saperne semplificare l'espressione trovata studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.

4 Prima prova in itinere di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Tema

5 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma algerica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono: D %D & œ!. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo en in evidenza il grafico di. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)

6 Prima prova in itinere di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Tema œ klogabk

7 Prima prova in itinere di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Tema. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: ˆ lim cos ˆ È$ ˆ È$ B " BB BÄ! ShaB Cha$B. Stime all'infinito e asintoto oliquo. Dare una stima asintotica di per B Ä _ ; stailire quindi se 0 possiede un asintoto oliquo, in caso affermativo determinandolo. $ÎaB" œ / a$b"

9 Prima prova in itinere di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Tema 5. Derivata e punti di non derivailità. Della seguente funzione si chiede di:. determinare l'insieme di definizione;. calcolare la derivata, ove esiste ( non è richiesto di semplificarla né di studiarne il segno);. individuare e studiare gli eventuali punti di non derivailità (cioè i punti in cui 0 è definita ma 0 w no, e dire se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0 B œ B arcsin a B È"B 6. Studio di funzione mediante derivate. Sia œ B È$ B"Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti. Stima asintotica all'infinito e nei punti in cui la funzione si annulla.. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. c. Calcolare la derivata seconda e, in modo da saperne semplificare l'espressione trovata studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso. 5

10 Prima prova in itinere di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Tema 6

11 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma algerica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono: È % D a"d œ!þ. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo en in evidenza il grafico di. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) À

12 Prima prova in itinere di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Tema œ ¹ tanš B ¹ % N.B. Essendo la funzione periodica, è sufficiente tracciare il grafico su un solo periodoþ. Limiti di successioni. Stailire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati cosa8 + 8 œ logš sin Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per B Ä B!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di B œ B!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminaile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in ase alla sola stima asintotica. ˆ k / B k " È$ B œ à B! œ! logk"bk

13 Prima prova in itinere di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Tema 5. Derivata della funzione inversa. Sia "ÎB œ B/. Provare che 0 è invertiile nell'intervallo a_ß!.. Detta la funzione inversa di 0 su questo intervallo, calcolare Š Þ w È / 6. Studio di funzione mediante derivate. Sia œ a$b / "ÎB Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti.. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. c. Calcolare la derivata seconda e, in modo da saperne semplificare l'espressione trovata studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.

15 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma algerica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono: % ) ad " " È$ œ!þ. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo en in evidenza il grafico di. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) È $ œ "kbk

16 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema. Limiti di successioni. Stailire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati. 8 8x + 8 œ 8 8. Stime all'infinito e asintoto oliquo. Dare una stima asintotica di per B Ä _ ; stailire quindi se 0 possiede un asintoto oliquo, in caso affermativo determinandolo. œ È $ )B$ $B "

17 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema 5. Derivata e punti di non derivailità. Della seguente funzione si chiede di:. determinare l'insieme di definizione;. calcolare la derivata, ove esiste ( non è richiesto di semplificarla né di studiarne il segno);. individuare e studiare gli eventuali punti di non derivailità (cioè i punti in cui 0 è definita ma 0 w no, e dire se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). œ kloga"bk B " 6. Studio di funzione mediante derivate. Sia Î$ œ B ab Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti. Stima asintotica all'infinito e nei punti in cui la funzione si annulla.. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. c. Calcolare la derivata seconda e, in modo da saperne semplificare l'espressione trovata studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.

18 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema

19 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma algerica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono: % D %D & œ! D œ È * œ $ œ œ & D œ È " "ß œ " à È a Le soluzioni sono. D œ È & $ß% & œ Ê a " Þ. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo en in evidenza il grafico di. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) kb" k œ / "

20 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: e il limite cercato è lim BÄ_ B $B Œ B &B log B $B ablogb ablogb Š ab œ / B &B / Þ B $B a B µ B " B &B œ B 8B µ )B B &B B œ )ß ) / Þ. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per B Ä B!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di B œ B!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminaile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in ase alla sola stima asintotica. B œ! punto di flesso a tangente verticale. È $ B Š / " sinb œ B " à B! œ!þ È$ B B µ œ È$ B B log log Derivata della funzione inversa. Sia œ B logb. Provare che 0 è invertiile nell'intervallo Š ß_. È/ w. Detta la funzione inversa di 0 su questo intervallo, calcolare a/ Þ ". 0 w ab œ BlogBB œ B a log B" ā! per B ā "Î È/. " / Quindi in Š È ß_ la funzione è strettamente crescente, e perciò invertiile.

21 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema. B log B œ / per B œ /Þ Dunque 0 a/ œ / à ˆ / œ /à w " " " ˆ / œ œ œ Þ 0 wa/ B a logb" $/ 6. Studio di funzione mediante derivate. Sia "ÎaB" œ B/ Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti.. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. c. Calcolare la derivata seconda e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso. a. Insieme di definizione: B Á "Þ "ÎaB" Per B Ä " ß0aB µ / Ä œ _! B œ " asintoto verticale per B Ä " Þ Per B Ä _ß0aB µ B Ä _ con crescita lineare. Cerchiamo eventuali asintoti oliqui: ÎBœ/ " B œ B ˆ / "Î a B" " µ B Ä "Þ B" Quindi C œ B" è asintoto oliquo per B Ä _Þ. per B "ÎaB" 0 w "ÎaB" B / ab œ / " œ B $B"! ab" ab" ˆ $ È& $ È& ßB Ÿ. Quindi: $ È& $ È& B œ punto di minimo relativo; B œ punto di massimo relativo.

22 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema c. ww "ÎaB" " B $B" ab$ ab" ab" ab $B" 0 ab œ / œ % ab" ab" ab" "ÎaB" ab $B" B &B$B 'B œ / œ % $ ab" ab" "ÎaB" œ / B $B" B" B" œ % ab" ˆ ˆ a a "ÎaB" œ / $B! B % ab" a per. $ B œ Î$ punto di flesso a tangente oliqua. La funzione è concava verso l'alto per B ā " e per Î$ B "Þ

23 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma algerica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono: D %D & œ! D œ BCà abc %abc& œ! B C %C& œ! œ BC%B œ! BaC œ! Ê B œ! oppure C œ à Se Quindi le soluzioni sono, e cioè: B œ!ß C %C& œ! C œ "àc œ &à Se C œ ßB %)& œ! B œ È(Þ dà: dà: D " œ àd œ &àd œ È $ (àd% œ È(Þ. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo en in evidenza il grafico di. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) œ klogabk

24 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: ˆ lim cos ˆ È$ ˆ È$ B " BB BÄ! ShaB Cha$B " Î$ "Î$ B B " µ œ Þ B %. Stime all'infinito e asintoto oliquo. Dare una stima asintotica di per B Ä _ ; stailire quindi se 0 possiede un asintoto oliquo, in caso affermativo determinandolo. $ÎaB" œ / a$b" µ $Bà $B œ ˆ $ÎaB" / " $ÎaB" $B/ à ˆ / $Î a B" $ " $B / $Î a B" µ $B Ä *à Ä "à B" $B Ä "! e la funzione ha asintoto oliquo C œ $B"!Þ 5. Derivata e punti di non derivailità. Della seguente funzione si chiede di:. determinare l'insieme di definizione;. calcolare la derivata, ove esiste ( non è richiesto di semplificarla né di studiarne il segno);. individuare e studiare gli eventuali punti di non derivailità (cioè i punti in cui 0 è definita ma 0 w no, e dire se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale,

25 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema di discontinuità...). 0 B œ B arcsin a B È"B

26 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema. La funzione è definita per B c"ß" d.. 0 w ab œ Š arcsinb B B arcsinb È"B È"B È "B "B definita per B Á ".. Per B Ä " ß0 w ab Ä _, perciò i punti B œ ", di non derivailità, sono punti d'arresto a tangente verticale. 6. Studio di funzione mediante derivate. Sia œ B È$ B"Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti. Stima asintotica all'infinito e nei punti in cui la funzione si annulla.. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. c. Calcolare la derivata seconda e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso. a. Insieme di definizione: Þ "Î$ Per B Ä _ß0aB µ B Ä _ con crescita sopralineare. œ! per B œ!ßb œ "Þ Per B Ä "ß0aB µ È $ B", quindi B œ " è punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Per B Ä!ß0aB µ B, quindi B œ! è un punto di minimo relativo. per. 0 w ab œ BÈ $ B 'BaB" B B a(b' B" œ œ! Î$ Î$ Î$ $ ab" $ ab" $ ab" B!ßB Ÿ 'Î(. Quindi:, B œ! punto di minimo relativo; B œ ' ( punto di massimo relativo. c. Studio il segno di 0 ww : Î$ a(b 'B a"%b' $ ab" "Î$ ww ab" 0 ab œ œ %Î$ * ab" œ $ (B "!B$ œ "%B a a(b 'B %B* Þ &Î$ &Î$ * ab" * ab"

27 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema "$ È "$ È "%B %B*! per B Ÿ àb à "% "% &Î$ ab"! per B "ß dunque: "$ È "$ È 0 ww ab! per Ÿ B "àb ß "% "% ed in questi intervalli la funzione è concava verso l'altoþ B œ " $ È punti di flesso a tangente oliqua; "% B œ " punto di flesso a tangente verticale

28 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma algerica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono: È % D a"d œ!þ Posto D œ acos* sin*, si ha: % " D œ D È % acosa% * sina% * œ Š cosš * sinš * % % Quindi le soluzioni sono 6, e cioè: œ % œ %* œ * 5 œ œ!ß œ " 5 * œ per 5 œ!ß"ßß$ß%þ! & D œ!à D œ cosœ 5 sinœ 5 per 5 œ!ß"ßß$ß%þ! &! &. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo en in evidenza il grafico di. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) À œ ¹ tanš B ¹ % N.B. Essendo la funzione periodica, è sufficiente tracciare il grafico su un solo periodoþ %

29 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema 5 - p p p. Limiti di successioni. Stailire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati cosa8 + 8 œ logš sin. 8 8 cosa8 " º º 8 Ÿ 8 Ä!, e per il teorema del confronto cosa8 8 Ä!à logš sin sin Ä _ perché Ä!. 8 8 Perciò + 8 Ä _ß per il teorema sull'aritmetizzazione parziale di _.. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per B Ä B!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di B œ B!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminaile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in ase alla sola stima asintotica. ˆ k / B k " È$ B œ à B! œ! logk"bk $ kbkèb œ È$ B È$ µ sgnab œ kbk B B œ! punto di cuspide

30 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema 5. Derivata della funzione inversa. Sia "ÎB œ B/. Provare che 0 è invertiile nell'intervallo a_ß!.. Detta la funzione inversa di 0 su questo intervallo, calcolare Š Þ w È /. w "ÎB B "ÎB B" 0 ab œ / Š " œ / ā! B! B ā "Þ B Œ per e B Quindi in a_ß! la funzione è strettamente crescente, e perciò invertiile.. "ÎB B/ œ B œ Þ È/ per Dunque 0a œ à œ à È/ È/ w " " œ œ œ /Þ / È È 0 w a /"ÎBˆ B" $ B ÎBœ 6. Studio di funzione mediante derivate. Sia œ a$b / "ÎB Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti.. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. c. Calcolare la derivata seconda e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso. a. Insieme di definizione: B Á!Þ "ÎB Per B Ä! ß0aB µ / Ä œ _! B œ! asintoto verticale per B Ä! Þ Per B Ä _ß0aB µ $B Ä _ con crescita lineare. Cerchiamo eventuali asintoti oliqui: $B œ $Bˆ "ÎB "ÎB / " / à

31 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema "ÎB " / Ä à$b ˆ "ÎB / " µ $B œ $ß quindi $B Ä & B e C œ $B& è asintoto oliquo per B Ä _Þ. 0 w "ÎB "ÎB a$b / ab œ / Œ$ œ $B $B! B ˆ B per B B œ c. $ È$$ $ È$$ ' ßB Ÿ '. Quindi: $ È$$ $ È$$ punto di minimo relativo; B œ punto di massimo relativo. ' ' ww "ÎB " $B $B a6b$ B B a$b $B 0 ab œ / Œ œ B B B% "ÎB a$b $B a$b %B œ / Œ œ B% œ / "ÎB (B! B B % a per (. B œ Î( punto di flesso a tangente oliqua. La funzione è concava verso l'alto per B ā! e per Î( B!Þ

32 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 008/009. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni (in forma algerica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono: Le soluzioni sono. % ) ad " " È$ œ!þ È % " " $ " % % ad " œ œ ŒcosŒ sinœ % % $ $ " D " œ œ!ß"ßß$þ È Š cosš $ sinš $, per " " È$ " È$ " D"ß œ " àd$ß% œ " Þ È È " È$ È$ " D"ß œ " à D$ß% œ " Þ È È È È. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo en in evidenza il grafico di. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) È $ œ "kbk

33 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema. Limiti di successioni. Stailire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati. 8 8x + 8 œ 8 8 Successione a termini positivi, applichiamo il criterio del rapporto " 8 œ 8" 8" x 8 8 8" 8 8 a a œ œ 8 œ Ä " 8" 8" 8" 8 Œ 8x 8" 8" " 8. a a ˆ " / Quindi, per il criterio del rapporto, + Ä!Þ 8. Stime all'infinito e asintoto oliquo. Dare una stima asintotica di per B Ä _ ; stailire quindi se 0 possiede un asintoto oliquo, in caso affermativo determinandolo. œ È $ )B$ $B " µ Bà 8 8 $ " " $ " B œ B Ê $ " " )B )B µ B µ $ $ Œ )B )B$ e la funzione ha asintoto oliquo " µ B $ $ " œ ß )B % " C œ B Þ % 5. Derivata e punti di non derivailità. Della seguente funzione si chiede di:. determinare l'insieme di definizione;. calcolare la derivata, ove esiste ( non è richiesto di semplificarla né di studiarne il segno);. individuare e studiare gli eventuali punti di non derivailità (cioè i punti in cui 0 è definita ma 0 w no, e dire se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). œ kloga"bk B ". La funzione è definita per B ā ".. Poiché loga"b ā! per B ā!ß sgnaloga"b œ sgn ab, e 0 w ab œ "B "B sgnabb kloga"bk, a"b definita per B Á!.

34 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema. Per B Ä! ß0 w ab Ä ", perciò il punto B œ!, di non derivailità, è angoloso. 6. Studio di funzione mediante derivate. Sia Î$ œ B ab Þ Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico. a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti. Stima asintotica all'infinito e nei punti in cui la funzione si annulla.. Calcolare la derivata prima e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo. c. Calcolare la derivata seconda e semplificare l'espressione trovata, in modo da saperne studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso. a. Insieme di definizione: Þ Î$ Per B Ä _ß0aB µ B Ä _ con crescita sopralineare. œ! per B œ!ßb œ Þ Per B Ä ß0aB µ % a B Î$, quindi B œ è punto di cuspide. Î$ Per B Ä!ß0aB µ B, quindi B œ! è un punto di minimo relativo.. 0 w Î$ B 'B abb %B a$ B ab œ BaB œ œ! "Î$ "Î$ "Î$ $ ab $ ab $ ab per! Ÿ B Ÿ $ÎàB ā. Quindi: c. B œ!ßb œ punti di minimo relativo; B œ $Î punto di massimo relativo. "Î$ a$b B a$ % B $ ab Î$ ww ab 0 ab œ % œ Î$ * ab $ a$ % B ab a$b B ) a&b "&B* œ % œ! %Î$ %Î$ * ab * ab per: "&$ È& "$ È & &B "&B*! per B Ÿ àb à "! "! ed in questi intervalli la funzione è concava verso l'altoþ

35 Prima prova in itin. di Analisi per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 008/09. Svolgimento Tema B œ "& $ È& punti di flesso a tangente oliqua Þ "!