Esercitazione 7 del corso di Statistica 2

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1 Esercitazione 7 de corso di Statistica Prof. Domenico Vistocco Dott.ssa Paoa Costantini 9 Giugno 008 Esercizio La distribuzione dei pesi dei pesi pacchetti per confezionare per confezionare e caramee, in grammi, prodotti da un azienda, ha una distribuzione Normae con scarto quadratico medio pari a 7. Per stimare i peso medio si estrae un campione di 0 pacchetti ottenendo i pesi seguenti: 70, 80, 7, 7, 83, 8, 75, 78, 85, 84 Si vuoe costruire un intervao di confidenza a 90%. La stima puntuae dea media è µ 77,9. Souzione Per costruire un intervao di confidenza a iveo -α è necessario determinare que vaore z α tae che a probabiità che z assuma vaore ne intervao (-z α ; z α ) sia uguae a -α, per cui avremo P(-z α z z α ) 0,90. La funzione di ripartizione di una v.c. Normae standardizzata in z α vae -α, cioè φ(z α ) -α. Ne nostro caso α 0,0, per cui α 0,05. I vaore z α è tae che φ(0,05) -0,050,95 e dae tavoe risuta che z 0,05,645. Di conseguenza o stimatore per intervao è L stimatore L X,645 7 X +, Sostituendo i vaore osservato dea media campionaria x 77, 9 si ottiene a stima de intervao. Gi estremi sono: 77,9, ,9 +, ,6 0 8,54 Procedendo in modo anaogo è possibie ottenere intervao di confidenza a 95%. In questo caso P(-z α z z α ) 0,95, con α 0,05 e α 0,05.

2 φ(z α ) -α, cioè φ(0,05) -0,050,975 e dae tavoe risuta che z 0,05,96. Gi estremi de nostro intervao saranno: 77,9, ,56 77,9 +, ,4 Infine determiniamo intervao di confidenza a 99%. In questo caso P(-z α z z α ) 0,99, con α 0,0 e α 0,005. φ(z α ) -α, cioè φ(0,005) -0,0050,995 e dae tavoe risuta che z 0,005,575. Gi estremi de nostro intervao saranno: 77,9, , 77,9 +, ,6 -α 0,90 74,6 -α 0,95 8,54 73,56 8,4 -α 0,99 7, 77,9 83,6 A aumentare de iveo di confidenza aumenta a unghezza degi intervai. Ora supponiamo che daa stessa popoazione di pesi di sacchetti per confezionare caramee, si estraggono campioni di numerosità diversa, ad esempio: n0, n5, n60. Assumiamo per sempicità che a stima puntuae dea media sia sempre a stessa, x 77,9 per i diversi vaori di n. Per n0 sappiamo che intervao di confidenza a 95% è (73,56;8,4); per n5 avremo: 77,9, ,9 +, , ,64 Per n 60 avremo gi estremi:

3 77,9, ,9 +, , ,67 n 0 73,56 8,4 n 5 75,5 80,64 n 60 70,3 77,9 79,67 A aumentare dea numerosità campionaria, a parità di iveo di confidenza, si riduce a unghezza degi intervai in quanto vi è un minore grado di incertezza. Aumentando n si raccogie una maggiore quantità di informazioni e ciò consente una stima più precisa. Esercizio n. In una città sono svote periodicamente indagini per verificare qua è a spesa media mensie dee famigie in generi aimentari. In un indagine di quache anno fa o scarto quadratico medio dea spesa aimentare è risutato pari a 0. Ora si intende ripetere indagine e si vuoe determinare n affinché a media campionaria non disti daa media effettiva di otre 0 con probabiità 0,95. Souzione Si può richiedere che o stimatore x non disti da parametro µ di un ammontare superiore a ε>0. La quantità ε è un errore ritenuto toerabie per gi scopi de indagine e varia in funzione de contesto in cui si opera. La probabiità con a quae si vuoe raggiungere obiettivo desiderato è - α 0,95, per cui avremo che α 0,05 e α 0,05. Per determinare n dobbiamo individuare i vaore z 0,05, tae che a funzione di ripartizione di una v.c. Normae standardizzata in z 0,05 sia pari a φ(0,05) -0,050,975 e dae tavoe risuta che z 0,05,96. Cacoiamo n appicando a formua:

4 n σ z α ε Sapendo che ε è a quantità di errore ritenuta toerabie (0 ne nostro caso) e utiizzando 0 come approssimazione di σ si ottiene a numerosità necessaria per effettuare indagine secondo i vincoi previsti n, ,3 38 Per ogni numerosità campionaria non inferiore a 38, a probabiità che a media campionaria non disti daa media effettiva di otre 0 euro è ameno 0,95. Esercizio n. 3 Si vuoe stimare i numero medio di km per itro di carburante percorsi da un particoare fuori strada su percorso misto. In un indagine precedente o σ è risutato pari a 3 km. Determinare a numerosità campionaria affinché a media campionaria non disti daa media dea popoazione di otre 0,5 km con probabiità 0,90. Souzione α 0,0 e α 0,05 φ(0,05) -0,050,95 e dae tavoe risuta che z 0,05,645. n,645,3 0,5 8,6 9 Per ogni numerosità campionaria non inferiore a 9, a probabiità che a media campionaria non disti daa media effettiva di otre 0,5 km è ameno 0,90. Esercizio n 4 Voendo stimare a media di una popoazione distribuita in modo normae e con varianza non nota, si estrae da essa un campione di prefissata numerosità e di esso si cacoa a media e a varianza campionaria corretta.

5 Supponiamo che a perdita di peso di n 6 pezzi di metao, dopo un certo intervao di tempo sia di 3,4 grammi, con una varianza pari a 0,464. Costruire un intervao di confidenza a 99% per a media dea perdita di peso di metao. Souzione I probema posto consiste nea stima per intervai dea media dea popoazione di cui non si conoscer a varianza, sua base di un campione di piccoe dimensioni (n6). Lo stimatore per intervao dea media di una popoazione normae, con varianza incognita, a iveo di confidenza - α ha estremi: L L X t X + t ; α ; α n STIMATORE n Poiché a numerosità campionaria è n6, a media campionaria studentizzata ha una distribuzione t di Student con 5 gradi di ibertà. Per costruire intervao di confidenza è necessario determinare i vaore t5,0, 005 tae che a v.c. t 5 assuma vaori maggiori con probabiità α 0,005. Dae tavoe risuta t 5,0, 005,947, pertanto a stima per intervao sarà: 3,4,947 0,68 3,4 +,947 0,68 6 6,9 3,9 I tempo medio per a perdita di peso de metao è compreso tra,9e 3,9 grammi, a iveo di confidenza de 99%. Esercizio n 5 Una società teefonica vuoe stimare i tempo medio che intercorre fra i momento ne quae sono segnaati i guasti e queo in cui avviene a riparazione. Si assume che itempi si distribuiscono in modo normae. In un campione casuae di 6 richieste di assistenza, a media è risutata x 47 e o scarto quadratico medio è risutato σ ˆ. Si vuoe costruire un intervao di confidenza a 95%. Souzione Lo stimatore per intervao dea media di una popoazione normae, con varianza incognita, a iveo di confidenza - α ha estremi: L L X t X + t ; α ; α n STIMATORE n Poiché a numerosità campionaria è n6, a media campionaria studentizzata ha una distribuzione t di Student con 5 gradi di ibertà. Per costruire intervao di confidenza è

6 necessario determinare i vaore t5,0, 05 tae che a v.c. t 5 assuma vaori maggiori con probabiità α 0,05. Dae tavoe risuta t 5,0, 05,3, pertanto a stima per intervao sarà: 47,3 47 +, ,6 53,39 I tempo medio per e riparazioni è compreso tra (40,6; 53,39) minuti, a iveo di confidenza de 95%.