Proprietà del Sistema Solare

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1 Unità Didattica 5 Questa unità descive le popietà dei pianeti dei Sistema Solae e dei sistemi planetai in genee, la teoia di fomazione di un sistema planetaio e infine la iceca di sistemi planetai attono a stelle divese dal Sole. Sistemi Planetai Popietà del Sistema Solae Le obite dei pianeti giacciono tutte sullo stesso piano con piccole deviazioni, in paticolae del pianeta più vicino al Sole, Mecuio. U.A km A.L. 0 5 km/s s km pc.6 A.L km Il Sole uota su se stesso con un peiodo medio attono ad una ventina di gioni, coispondente ad una velocità tangenziale equatoiale di cica km/s. I pianeti uotano attono al Sole nello stesso veso e le obite sono quasi igoosamente cicolai, con l eccezione di Mecuio. Anche Mate ha un obita con un ellitticità appezzabile. I pianeti a loo volta uotano attono al popio asse che pe la maggioanza dei pianeti è quasi pependicolae al piano dell obita. Eccezioni impotanti sono quella di Venee, che ha un moto etogado, e di Uano, che ha l asse di otazione quasi paallelo a quello dell obita.

2 D TS T Tea M Tea TS =.5 x 0 8 km = U.A. Tea = 65 gioni = 8760 oe =.5 x 0 7 sec Tea = 6 x 0 4 kg Mecuio T PI Venee PI > T PE PI > PE M PI PI < M PE Tea Mate Pianeti inteni o teesti < 50 milioni di km D Pianeti esteni o gioviani > 700 milioni di km D Una egolaità impotante nel sistema solae è la netta sepaazione dei pianeti in due famiglie pincipali con distanze dal Sole e popietà fisiche distinte. I 4 pianeti più vicini al Sole (Mecuio, Venee, la Tea e Mate), detti anche pianeti teesti, si tovano tutti ento cica 50 milioni di chilometi dal Sole, mente il successivo, Giove, è ad una distanza supeioe ai 700 milioni di chilometi. I pianeti esteni (Giove, Satuno, Uano, Nettuno) vengono chiamati anche pianeti giovani e si distinguono non solo pe la distanza, ma anche pe la più bassa tempeatua che ne consegue, pe la gande dimensione e pe la densità notevolmente infeioe a quella dei pianeti teesti. I valoi supeficiali di tempeatua dei pianeti misuabili da Tea vanno da cica 00 C di Mecuio, nella pate ivolta al Sole, a cica 50 C di Plutone. La distibuzione delle masse dei pianeti segue un andamento caatteistico, con piccole masse, paagonabili a quella teeste, pe i 4 pianeti più vicini al Sole, mente i pianeti più lontani hanno tutti masse di divesi odini di gandezza supeioi. Un alta diffeenza impotante ta le due famiglie è la densità. Molto elevata pe quelli teesti (ta e 5 volte la densità dell acqua), a quella dei pianeti gioviani che è paagonabile all acqua.

3 Le Leggi di Kepleo ed il Teoema del Viiale Kepleo tascose tanto tempo studiando, con i dati di Tycho, l obita di Mate, che ivelava essee tutt alto che una ciconfeenza. Alcuni punti del cechio non collimavano con i dati di Tycho: Kepleo ilevò uno scostamento di 8 di aco dalle ossevazioni di Bahe. L ellisse è una sezione conica, il cui contono è il isultato del taglio tasvesale di un cono cicolae. La foma di questo contono dipende dall inclinazione del taglio ispetto alla base del cono. La foma ottenuta è cicolae se, e solo se, il taglio viene effettuato paallelamente alla base del cono. Pe Kepleo ciò significava che la possibilità che un pianeta pecoesse un obita cicolae ea paticamente nulla. Tutti i pianeti si muovono su obite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi x a a y b c b c b O a e b a F F Il segmento che collega un pianeta al Sole descive aee uguali in tempi uguali ΔA Δt cost Questa legge espime la costanza della velocità aeolae. Quando il pianeta si sposta da a, il aggio Sole-pianeta descive un aea identica a quella descitta quando si sposta da a 4. Il tempo pe pecoee l aco - è identico a quello necessaio pe pecoee l aco -4. Di conseguenza, andando da a 4 la velocità obitale del pianeta è più elevata. 4

4 v Se consideiamo l angolo infinitesimo, l aea spazzata dal aggio Solepianeta può essee appossimata all aea di un tiangolo di base. E facilmente dimostabile che la velocità aeolae è di fatto popozionale al momento angolae obitale del pianeta. E poiché in un sistema isolato il momento angolae si conseva, si ottiene che la velocità aeolae è costante. ΔA Δ Δt Δt L mv Δ Δt ω In un sistema isolato il momento angolae si conseva e il secondo membo è una costante L ΔA Δt m(v sinθ) L m m v m ω m ω Il quadato del peiodo di qualunque pianeta è popozionale al cubo della sua distanza media dal Sole F F c g ma c Mm G mω F g ω T R T F c π T GM 4π k Mm G π T k mω GM ω GM La teza legge di Kepleo è facilmente dimostabile consideando che un pianeta in obita è caatteizzato dall equilibio fa due foze: la foza centipeta (F c) e la foza di gavità (F g). Indicando con M la massa del Sole, con m la massa di un pianeta, con la velocità angolae del pianeta e con la distanza Sole-pianeta, nell ipotesi di obita cicolae, il appoto fa il cubo della distanza e il quadato del peiodo obitale (T) è una costante che peò dipende dalla massa centale (M). Mm G Mm G Mm G Mm G mω mv 0 mv mω m ω 0 mv Patendo adesso dall equilibio fa foza di attazione gavitazionale e foza centipeta, e sviluppando questo uguaglianza, con una seie di passaggi matematici si ottiene un espessione nota come Teoema di Viiale, che lega l enegia potenziale gavitazionale all enegia cinetica del sistema. U K 0 Teoema del Viiale 4

5 L obita di Mecuio una confema della Relatività Geneale Il peielio di Mecuio pecessa ad una velocità di 574 /secolo Se consideiamo l influenza l di Venee (78 /secolo) + Giove (5 /secolo) + Tea (90 /secolo) + gli alti pianeti (0 /secolo) si ottiene: ω N 5"/secolo Mancano 4 /secolo! Secondo la Relatività Geneale, la coezione da appotae alla misua della velocità di avanzamento del peielio di un pianeta vale: Nel caso di Mecuio: P = 0.4 anni = 7.57 x 0 6 sec a = 0.87 U.A.. = 5.8 x 0 0 m e = 0.06 Da cui si ottiene: ω RG ω RG 6π G M Pa(- e )c 4" /secolo I satelliti di Giove La misua della velocità della luce G G T T Olaf Rome ( ) 676) km/s Studiando i satelliti di Giove scopeti da Galileo ed in paticolae del satellite Io, Rome si accose che i loo peiodi di ivoluzione attono al pianeta sembavano non essee costanti nel coso dell'anno. In teoia, il peiodo dei satelliti dovebbe essee costante, e quindi il fatto che il peiodo dei quatto satelliti galileiani vaiasse ea un assudo. Inolte questo peiodo si accociava quando la Tea si avvicinava a Giove e si allungava 6 mesi dopo, quando ea in allontanamento. L'intepetazione di Rome fu la seguente: la luce si popaga con velocità finita, pe cui, nella fase in cui la Tea è in avvicinamento, dopo che un satellite ha compiuto una ivoluzione attono a Giove, la Tea intecetta la luce in aivo da una distanza minoe, pe cui il tutto appae come se l'obita sia stata effettuata in meno tempo. Il vicevesa accade con la Tea in allontanamento. La stima di Rome fu di 5000 Km/s. L eoe che commise fu causato da non avee un oologio peciso e un telescopio abbastanza potente pe ossevae il tansito di Io con pecisione, e di non conoscee il peiodo obitale veo di Io e la distanza Tea-Sole con pecisione. 5

6 P IO = 4h 7m 4s Con misue pecise si può veificae che p vale appossimativamente 5 sec. Da cui si ottiene la velocita della luce. Quando la Tea si avvicina a Giove P < P IO Quando la Tea si allontana da Giove P > P IO P IO v T ob km P oss P IO P c ΔP km/s Spettoscopia dei pianeti Titano Rhea Satuno Satuno G-V G-band band 400 H 486 Na I 589 H 656 Ca K K 94 Ca H H Mg I I 575 Na 656 I 589 In alto è appesentato lo spetto nel visibile di Satuno. In basso invece lo spetto di una stella di tipo spettale G-V, quindi simile al Sole. Sono poi indicate le pincipali ighe in assobimento pesenti nello spetto della stella. 6

7 Anelli G-V G-band band 400 H 486 Na I 589 H 656 Ca K K 94 Ca H H Mg I I 575 Na 656 I 589 In questo caso, in alto è ipotato lo spetto degli anelli di Satuno. Satuno G V G-band band 400 H 486 Na I 589 H 656 Ca K K 94 Ca H H Mg I I 575 Na I CH4 779 CH4 699 Anelli G V Pe un miglioe confonto, la foma dello spetto di Satuno, dei suoi anelli e della stella è stata imossa. E chiaamente ossevabile una pefetta coincidenza fa lo spetto degli anelli e della stella, mente ci sono diffeenze significative fa Satuno e la stella olte i 6000 Å, dove compaiono laghe stuttue in assobimento povocate dalla pesenza di metano e ammoniaca. Se ne deduce quindi che il pianeta è caatteizzato da pesenza di un atmosfea, mente gli anelli iflettono la luce del Sole (almeno nella egione di spetto elettomagnetico consideata). G-band band 400 H 486 Na I 589 H 656 Ca K K 94 Ca H H Mg I I 575 Na I Titano Lo spetto in alto è quello del satellite più gande di Satuno, cioè Titano. Anche in questo caso si notano le bande molecolai in assobimento, ad indicae che Titano ha un atmosfea. Titano G V 7

8 Satuno Confonto fa lo spetto di Satuno e di Titano. C è una quasi pefetta sovapposizione. Titano Rhea Rhea G V G-band band 400 H 486 Na I 589 H 656 Ca K K 94 Ca H H Mg I I 575 Na I Lo spetto in alto è quello del satellite Rhea. Il confonto con la stella di tipo solae indica chiaamente che la luce poveniente dal satellite è essenzialmente luce del Sole iflessa. Nube Fomazione del Sistema Solae Nucleo Disco Pianeta Stella Si itiene oggi che le stelle si fomino dalla contazione gavitazionale di gandi nubi di gas di tempeatua sufficientemente bassa da pemettee la pevalenza della foza gavitazionale su quella della pessione intena del gas. Il pocesso, una volta avviato pocede a velocità cescente, supesonica, con il gas in caduta libea veso il cento. La situazione di equilibio viene aggiunta quando la densità del gas e la sua tempeatua sono sufficienti pe opposi alla foza gavitazionale. Comunque il gas continua a pedee enegia pe iaggiamento e la contazione posegue, ma in tempi scala molto maggioi. Si foma così un copo centale sfeico di alta tempeatua, mente nella pate estena la contazione pota ad un elevata velocità di otazione (pe via della consevazione del momento della quantità di moto) e quindi all appiattimento del sistema in un disco. Dalla dispesione attuale dei pianeti ispetto al piano dell eclittica si stima che lo spessoe del disco peplanetaio fosse dell odine di un decimo di unità astonomica. Non c è ancoa accodo cica la tempeatua di questo disco, mente si stima che la massa del disco fosse cica masse solai. 8

9 Nube intestellae sistema planetaio pc 50 AU t >0 7 y Stella di Sequenza Pincipale 00 AU collasso gavitazionale jet Stella T Taui t = y AU potostella Disco di accescimento t = y La tempeatua del disco nella sua pate più intena è più alta che nella pate estena. Sulla base dell equilibio temico ta enegia icevuta dal Sole e pesa pe iaggiamento, si stima che il gas alla distanza della Tea dal Sole 4.6 miliadi di anni fa avebbe dovuto avee una tempeatua compesa ta cica 00 K fino a 600 K. La tempeatua nella pate estena del disco, in possimità dell obita di Plutone, avebbe invece aggiunto pochi gadi al di sopa dello zeo assoluto. Si può facilmente dimostae che solo i composti più efattai come ossidi di feo possono condensae alla distanza di Mecuio, mente nell obita teeste possono condensae anche feo e nickel metallici olte ai silicati, feldspati e alla tiolite. E impotante notae che i ghiacci d acqua non possono condensae nell obita teeste. Questo pocesso può avvenie solo molto più lontano dal Sole, in possimità dell obita di Giove, dall evapoazione dei ghiacci dai nuclei di comete duante il loo avvicinamento al Sole. Il limite di condensazione dell acqua è pobabilmente attono a.5 U.A.. Una pova che il modello di condensazione è coetto in pima appossimazione è la densità decescente dei pianeti del sistema solae mano a mano che ci si allontana dal Sole. Gli ossidi di feo e il feo metallico infatti hanno un peso specifico supeioe ai silicati, e questi a loo volta supeioe a quello dei ghiacci d acqua o di metano. FORMAZIONE DEI PROTOPIANETI condensazione del gas in paticelle solide (gani) aggegazione di gani di paticelle solide fino alla fomazione di planetesimi di dimensioni attono al chilometo agglomeazione dei planetesimi in potopianeti Acquisizione di gas dal mezzo inteplanetaio e/o poduzione di gas da impatti successivi Fomazione dell atmosfea Uno dei punti più citici nella fomazione del sistema solae è l aggegazione dei gani fino a aggiungee le dimensioni dei planetesimi attaveso una seie di uti. Sebbene la densità delle paticelle solide sia abbastanza alta in questa fase occoe un meccanismo fisico tale da favoie l aggegazione piuttosto della distuzione a seguito degli uti. Le simulazioni al calcolatoe mostano che un disco otante di planetesimi tende a ompesi in una seie di anelli e questi in una seie di nubi. Anche la cescita dei planetesimi fino alla fomazione di potopianeti ichiede condizioni di collisioni paticolai. La velocità di impatto deve essee bassa, non molto supeioe alla velocità di fuga del cescente planetesimo, inolte i mateiali devono avee delle popietà coesive. Quando un potopianeta è cesciuto abbastanza, pe aggegazione di planetesimi, può anche cattuae del gas diettamente dal mezzo inteplanetaio e ceasi un atmosfea. Anche gli impatti successivi possono, pe eosione del suolo, podue del gas e contibuie alla ceazione di un atmosfea. Pianeti di dimensione supeioe ad un centinaio di chilometi accolgono sufficiente mateiale da podue un consideevole iscaldamento delle occe pe decadimento degli isotopi adioattivi. Il iscaldamento può fondee le occe del pianeta e mantenee lo stato di 9

10 fusione pe un peiodo sufficiente da pemettee la diffeenziazione del mateiale inteno, cioè la sepaazione ta mateiali pesanti (feo e nickel) veso l inteno e mateiali leggei, come i silicati, veso l esteno. ELIMINAZIONE DELLA NUBE RESIDUA Stella in fase T Taui ( anni) Vento stellae con v = km/s Il gas e le paticelle con diameto infeioe a una decina di centimeti vengono eliminate dal sistema potoplanetaio Subito dopo la fomazione dei pianeti la nebulosa solae conteneva ancoa una notevole quantità di polvei e gas. Questo mateiale deve essee stato espulso, non solo peché oggi non lo si osseva, ma anche peché la sua pesenza a lungo andae avebbe potato alla distuzione dei pianeti stessi facendoli spialeggiae veso il Sole ad opea di un meccanismo di fenamento. E possibile che questo sia successo in un pimo tempo e che un numeo non facilmente stimabile di pianeti sia pecipitato nel Sole. Cetamente la nube è stata ipulita in un epoca molto lontana. Uno dei meccanismi poposti è il vento solae duante la fase detta di T Taui. Le stelle in fase di T Taui sono stelle giovani, con un età di cica anni, di massa simile a quella solae, che pesentano un intenso vento stellae, con velocità dell odine di km/sec e intensità cica 0 8 volte quella solae. Questo vento è in gado di eliminae apidamente tutto il gas da un sistema potoplanetaio ed anche le paticelle con diameto infeioe ad una decina di centimeti. Pe copi di dimensione supeioe pevale invece l attazione del campo gavitazionale solae. E difficile dae una stima pecisa di quando questa fase può essee teminata, ma è ceto che i pianeti e satelliti del sistema solae inteno mostano tacce di intenso bombadamento meteoico nei pimi 500 milioni di anni cica. Poi il fenomeno è sceso apidamente. 0

11 La iceca di pianeti extasolai Uno dei settoi dell astonomia modena più ilevanti nel possimo futuo è sicuamente la iceca di pianeti e/o sistemi planetai attono a stelle divese dal Sole. Sono i cosiddetti pianeti extasolai o exoplanets. D = 8 U.A. = 4 4 Questi schemi sevono a compendee il poblema fondamentale nella iceca di pianeti extasolai. A una distanza 8 volte supeioe a quella della Tea dal Sole, i pianeti del Sistema Solae sono ancoa ben visibili. D = 56 U.A. = 4 A una distanza di 56 U.A., olte l obita di Plutone, i pianeti inteni cominciano a non essee più visibili. Il Sole ha una dimensione angolae di 4 secondi d aco.

12 D = 00 U.A. = 0 Allontanandosi ancoa anche i pianeti esteni diventano via via meno visibili. D = 000 U.A. = D = 0.07 A.L. =

13 D = 0. A.L. Alla distanza di /0 di anno-luce, il Sistema Solae saebbe completamente immeso nella luce del Sole e quindi isulteebbe invisibile. Se consideiamo che la stella più vicino al Sole si tova a cica 4 anniluce, è facile capie che in nessun caso possiamo ossevae sistemi planetai attono ad alte stelle. Sono necessaie delle tecniche paticolai pe ilevae la pesenza di pianeti. Tecnica spettoscopica: le velocità adiali La tecnica delle velocità adiali pevede l utilizzo della spettoscopia e si basa sulla misua dello spostamento delle ighe spettali della stella. Infatti, la pesenza di un pianeta massiccio o di un sistema planetaio causa uno spostamento del baicento del sistema, che divesamente si dovebbe tovae nel cento della stella. La stella quindi non solo uota attono al suo asse, ma anche attono al baicento del sistema planetaio. Gazie all effetto Dopple, questo movimento continuo di avvicinamento e di allontanamento dall ossevatoe si iflette in oscillazioni delle ighe spettali. La misua di queste oscillazioni si può convetie in velocità. m m v v ω v m m m m G m ω m m v v Consideiamo in questo caso due masse m e m, con m > m, che obitano attono al baicento comune. Dall uguaglianza fa acceleazione centipeta del sistema e acceleazione di gavità, dall espessione della velocità cicolae delle due masse e dalla elazione fa velocità e massa, è possibile icavae masse e velocità di un ipotetico sistema stella-pianeta. Dimostazione M* ω G mpsini v* sini ω M m M P * v v * P *

14 Esempio di spostamento della iga spettale H 656 Å in funzione dell obita della stella. Quando la stella si allontana dall ossevatoe, la iga si sposta a lunghezze d onda maggioi, mente quando si avvicina si sposta a lunghezze d onda minoi. M* ω G mpsin i v* sin i ω M 5 Peg: pimo pianeta * ω π m Psin i v* sin i v* sin i G T G Ripotando in un gafico la velocità adiale in funzione del tempo, si ottiene una cuva sinusoidale da cui si può icavae il peiodo T dell obita della stella. Con questa tecnica è stato scopeto il pimo pianeta extasolae attono alla stella 5 Pegasi nel 995. Si noti che le velocità misuate sono dell odine delle decine di m/sec. T Michel Mayo & Didie Queloz: 995 Ossevatoio dell Alta Povenza (.8m) Tecnica fotometica: i tansiti Alta tecnica usata pe ivelae pianeti extasolai è il cosiddetto metodo dei tansiti. In sostanza si tatta di monitoae una stella misuandone la magnitudine in funzione del tempo. Il passaggio di un pianeta davanti alla stella poduce un effetto di eclissi che fa vaiae il flusso di enegia emesso dalla stella. Ovviamente questo metodo non può funzionae in stelle vaiabili o con instabilità atmosfeiche. 4

15 9 000 km km Esempio Sole-Giove Angolo Solido m' f' Δm m f f D oss.5log.5log oss >> D SG giove giove giove πr D πr R f' f oss D R f giove giove oss giove giove Immaginiamo di ossevae il Sole a gande distanza e consideiamo il tansito di Giove. Se calcoliamo l angolo solido sotteso dal disco del Sole e dal disco di Giove e ne facciamo il appoto, toviamo che il tansito di Giove iduce il flusso di enegia del Sole di una quantità vicina al %. In temini di magnitudini, questo significa che la magnitudine del Sole vaia di 0.0 quando Giove si tova davanti al disco solae. In senso più geneale, un pianeta di tipo gioviano poduce vaiazioni dell odine dei centesimi di magnitudine della stella duante il tansito. In questo esempio vediamo la cuva di luce del pianeta TES-, che si tova nella costellazione della Lia e dista dalla Tea cica 500 anni-luce. La sua stella è di tipo K0 ed è di mag.8. Il pianeta ha una massa di cica 0.75 masse gioviane e un diameto cica 8% più lago di Giove. Il peiodo obitale del pianeta, che si tova a una distanza di cica 0.04 U.A., è di gioni. m = 0.0 mag 750 km km Δm tea R R tea D oss oss >> D SG.5log tea Vediamo oa cosa accadebbe nel caso di un tansito di un pianeta teeste. Il appoto fa gli angoli solidi sottesi dalla Tea e dal Sole, convetito in magnitudine come fatto nel caso di Giove, significa una vaiazione di un decimillesimo di magnitudine. E chiao che pe pote ivelae un pianeta di taglia teeste attono a una stella, è necessaia un ossevazione fotometica estemamente pecisa, che al momento attuale isulta molto difficile. Esempio Sole-Tea 5

16 8 pianeti (0/008) 8 pianeti (0/008) Finoa sono stati scopeti 8 pianeti extasolai. I gafici qui ipotati mostano che la maggio pate dei pianeti hanno peiodo obitale di qualche decina di gioni, velocità obitale infeioe ai 00 m/sec, massa compese fa e 5 masse gioviane e distanza dalla stella infeioe a 4 U.A. Si tatta quindi pe la maggio pate di pianeti gioviani molto vicini alla loo stella. Sistema Extasolae Sistema Extasolae Sistema Solae 6

17 45 46 Teestial inne-obit planets based on thei tansits: About 50 planets if most have R ~.0 Re About 85 planets if most have R ~. Re About 640 planets if most have R ~. Re (O possibly some combination of the above) About % of the cases with two o moe planets pe system Giant inne planets based on the modulation of thei eflected light: About 870 planets with peiods less than one week Giant planets based on thei tansits: About 5 inne-obit planets along with albedos fo 00 of these planets Densities fo 5 of the inne-obit planets,, and About 0 oute-obit obit planets. Systems ae expected with two o moe teestial planets seen in tansit in o nea the HZ. Moe than one planet pe system can be detected when a planetay system with small elative obital inclinations is viewed nea eithe node of the intesection of the obital planes.. The chance of seeing a second planet is % when one planet has aleady been found (Koch and Boucki,, 994) fo systems having simila spacing and inclinations as the Venus-Eath analog. If binay stas do not have planets, then the numbe of systems expected is about 46% less

18 Dalla definizione di baicento di un sistema di due copi di massa m ed m : m m e da cui : m m ( ) m m m m m e quindi : oppue con M massa totale del sistema. m m M Uguagliamo adesso la Foza Centipeta a quella Gavitazionale: mm Fc Fg G m v e tenendo conto che : v avemo : T m 4 m 4 G cioè : G T T m 4 m 4 G da cui poi M T M GT, : 4 m m che è : m m ovveo : G T G 48 Di conseguenza: m m v v e m m m v Applicando ciò ad un sistema Stella + Pianeta (in cui la massa del pianeta è tascuabile, ispetto a quella della stella): M G mp sin i v sin i M m M p v v p Ritono 49 8

19 ANGOLO SOLIDO, adiante e steadiante. L'angolo solido è la natuale estensione a te dimensioni del consueto angolo piano; come nel caso piano in cui due ette incidenti in un punto deteminano un angolo piano, così nello spazio tidimensionale te o più piani che si incontano in un punto deteminano una egione detta angolo solido. Come nel caso dell'angolo piano, ci si pone il poblema, anche nello spazio, di come misuae un angolo solido; a tale scopo basta icodae che l'unità di misua più usata pe il caso piano è il adiante. Ricodiamone bevemente la costuzione: basta consideae una ciconfeenza di aggio abitaio centata nel vetice dell'angolo e ossevae che il appoto ta la lunghezza dell'aco sotteso dall'angolo e il aggio della ciconfeenza non dipende dal aggio della ciconfeenza stessa, ma solo dall'apetua dell'angolo, ed è quindi una buona definizione di misua (dimensionale) dell'angolo dato, detta appunto misua in adianti. L R adiante ad ad angolo piatto ad ad R R 50 Rifacciamo le stesse consideazioni anche nel caso dell'angolo solido; tacciamo quindi una sfea centata nel punto di intesezione dei piani che deteminano l'angolo solido in questione, e consideiamo il appoto ta la supeficie sfeica intecettata S ed R, essendo R il aggio della sfea (pe questione di omogeneità una supeficie va divisa pe una distanza al quadato, se vogliamo che la misua dell'angolo sia un numeo puo). Si dimosta che anche in questo caso tale appoto non dipende dal aggio della sfea, ed è dunque una buona definizione di misua dell'angolo solido, detta steadiante. A 4 R steadiante s angolo solido gio 4 s R R Ritono 5 9