Sesta esercitazione di Fisica I Fluidodinamica 1 PROBLEMI RISOLTI

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1 Sesta esercitazione di Fisica I Fluidodinamica 1 PROBLEMI RISOLTI 1. Un secchio colmo d'acqua pesa complessivamente 2 kg. Se è pesato mentre è sotto un rubinetto con una portata di 0.5 litri/s ed è raggiunto dall'acqua ad una velocità di 10 m/s, il suo peso apparente sarà approssimativamente di (A) 22.5 kg (B) 2.5 kg (C) 25 kg (D) 28 kg (E) 29.8 kg Soluzione. L impulso trasferito quando una massa m raggiunge dall alto il secchio è mv in quanto la componente verticale si annulla nell impatto (e la componente orizzontale della velocità in uscita dal secchio è in media nulla). Tale impulso si scrive anche m 2 5 F t = mv F = v = 0.5 kg 10 m/s = 5 N = kg 0.5kg t 9.8 Per definizione, la portata è la massa m (di 0.5 kg, corrispondente a mezzo litro) divisa per il tempo (un secondo). La forza dovuta all impulso trasferito è indipendente da g e si somma alla forza di gravità di 2 kg peso (risposta B). 2. Sulla parete di un contenitore colmo d'acqua alto cinque metri vi sono fori orizzontali alle quote di 1 m (P 1 ), di 2 m (P 2 ), di m (P ) e 4 m (P 4 ) dal suolo. La massima distanza orizzontale dalla parete raggiunta al suolo dagli zampilli vale circa (A) 4.90 m (B) 4.47 m (C) 4.00 m (D).46 m (E) 2.8 m Soluzione. Posto h 0 = 5m e indicata con h la quota di un qualunque punto, la velocità orizzontale d uscita è legata al dislivello (h 0 h) dal pelo dell acqua da v= 2g( h0 h) mentre il tempo di caduta si ricava da h=gt 2 /2. La distanza orizzontale d è perciò 2h d = v t = 2g( h0 h) = 2 ( h0 h) h 4.90m g per il punto P 2 e P. La gittata massima di 5 m si ha per h=2.5 m. 5 m 4 m P 4 P m P 2 m 2 P 1 m 1. In un'arteria orizzontale di diametro 0.5 cm il sangue entra ad una velocità massima di 20 cm/s. Qual'è la velocità del sangue (sempre in cm/s) in un punto della stessa arteria dove una placca arteriosclerotica riduce il lume ad un diametro di 0.2 cm? (A) 20 (B) 50 (C) 100 (D) 125 (E) 200 Soluzione. La sezione del vaso si riduce come il quadrato del diametro, ossia di un fattore (0.5/0.2) 2 =6.25; la velocità aumenta di un uguale fattore poiché il prodotto della sezione per velocità deve rimanere costante. Perciò v = 20 cm/s 6.25 = 125 cm/s. 4. La forza di attrito in regime laminare che si esercita su di una sfera di raggio r in moto con velocità v in un fluido di viscosità η è F=6πηr v. Una pallina di alluminio (peso specifico 2.7) con r = 1mm cadendo nell'acqua (η= N s/m 2 ) raggiungerebbe in regime laminare una velocità di regime di (A) 4.62 m/s (B).1 m/s (C) 0.8 m/s (D) 15 m/s (E) 9.8 cm/s Soluzione. La forza peso sulla pallina Vρ palla g, meno la sua spinta di Archimede, Vρ acqua g, deve essere uguale all attrito in regime stazionario 1

2 Sesta esercitazione di Fisica I Fluidodinamica 2 πr 2 g r g = 6πηrv v = 9 ( ρ ρ ) 4 2 palla ( ρ ) acqua palla ρacqua η 4.62m/s 5. Una bolla di sapone ha raggio di 5 cm e la soluzione con cui è fatta ha una tensione superficiale τ=0.0 N/m. La sovrapressione al suo interno vale (A) 1.2 Pa (B) 2.4 Pa () 4.8 Pa (D) 6.0 Pa (E) indeterminata Soluzione. Si applica la formula di Laplace tenendo conto che la bolla di sapone ha due superfici 4 τ libere, aventi praticamente lo stesso raggio p = = 2.4 Pa r 6. A 10 km sul livello del mare la pressione atmosferica è di circa 210 mm Hg. Un aereo vola a questa quota con la cabina passeggeri mantenuta alla pressione di 760 mm Hg = 101 kpa. Su un finestrino di 0 cm x 20 cm si esercita una forza di (A) 490 N (B) 7 kg (C) 41 kg (D) 44.7 kg (E) 447 N Soluzione. La forza si ottiene moltiplicando la differenza di pressione ai lati del finestrino per la sua superficie: F = p S = ( ) N 7. La forza di attrito viscoso che si esercita su di una sfera di raggio r in moto con velocità v in un fluido di viscosità è F=6πηr v. Un corpuscolo di raggio R = 1(10 6 ) m e peso specifico di 1.02 si trova a d = 10 cm dall'asse di rotazione di una centrifuga che compie 20 giri al secondo (ν=20 Hz). Se l asse di rotazione è verticale e la centrifuga contiene una soluzione acquosa diluita (densità 1000kg/m, η = 10 Pa s) la velocità di spostamento radiale del corpuscolo vale (A) 2.2 µ/s (B) 22µ/s (C) 4 µ/s (D) 7.0(10 6 ) m/s (E) 9.8 mm/s Soluzione. In un sistema di riferimento solidale con il corpuscolo, questo è sottoposto alla forza di attrito e a due coppie di forze: la forza di gravità verticale e la corrispondente (e opposta) spinta di Archimede; la forza centrifuga radiale e la corrispondente (e opposta) spinta di Archimede. Le forze verticali sono proporzionali a g, quelle radiali alla accelerazione centrifuga a c : a = ω d = 4π ν d 1.58(10 ) m/s che, nel nostro caso, è molto maggiore di g. c Indicato con V il volume della sfera ( V = 4πR / ), con µ c la densità del corpuscolo (1020 kg/m ), con µ a la densità dell acqua (1000 kg/m ), otteniamo la forza attiva radiale (diretta verso la periferia della centrifuga) moltiplicando per la differenza tra massa del corpuscolo e massa dell acqua spostata. La velocità di spostamento radiale in regime stazionario si ottiene eguagliando tale forza con quella di attrito viscoso: R ( ) ( µ c µ a ) ac πr µ 6 v v 7.02(10 6 c µ a ac = πηr = ) m/s 9 η Questo esercizio illustra la funzione della centrifuga nel ridurre i tempi di sedimentazione che si avrebbero in presenza del solo campo gravitazionale: tali tempi sono inversamente proporzionali alla velocità v, e sono tanto maggiori quanto è minore la differenza di densità corpuscolo/acqua e quanto è minore il quadrato del raggio del corpuscolo. Per ridurre questi tempi si può aumentare l accelerazione a cui il corpuscolo è sottoposto ponendolo in una centrifuga dove si raggiungono facilmente accelerazioni centinaia di volte maggiori di g. 2

3 Sesta esercitazione di Fisica I Fluidodinamica PROBLEMI PROPOSTI E SVOLTI DA 1. Il volume di liquido di densità relativa 1. che, in assenza di attriti, esce al secondo da un foro di diametro 5 cm posto 2 metri sotto il pelo del liquido nel recipiente che lo contiene è di circa (A) 2.1 m /min (B) 69 litri/s (C) 5000 cm /s (D) 12 litri/s (E) 50 m /h 2. Se i vasi sanguinei potessero essere considerati come semplici tubi, la differenza di pressione del sangue tra piedi e testa di un uomo alto 1.80 m sarebbe di (peso specifico del sangue = 1.06, g = 9.8 m/s 2 ) (A) 0.2 atm. (B) 27 mm Hg (C) 55 mm Hg (D)18. 7 kpa (E) 17.6 kpa. L'acqua scorre senza attriti in un tubo e fuoriesce al ritmo di cm /s. Quando il tubo ha un diametro di 0.5 cm la velocità dell'acqua in cm/s è di circa (A).82 (B) 12 (C) 1.4 (D) 15. (E) non determ. 4. L'acqua che esce da una canna con una sezione di 0.75 cm 2 raggiunge una altezza di 2.5 metri quando il getto è diretto verso l'alto. L'acqua esce dalla canna ad una velocità di circa (A) 4.95 m/s (B).71 m/s (C) m/s (D) 7.0 m/s (E) 9. m/s 5. Un getto d'acqua orizzontale di litri/s e velocità 6 m /s colpisce al busto una persona in piedi e defluisce come da disegno. La forza esercitata dal getto sulla persona è di (A) 18 N (B) kg (C) 6 kg (D) 9.8 N (E) 9.8 kg v= 6 m/s 6. Due vasi comunicanti contengono mercurio (densità kg/m ) ed uno dei seguenti liquidi Liquido H 2 O olio benzene CCl 4 H 2 SO 4 sol densità (kg/m ) Rispetto alla superficie di separazione, l altezza della superficie libera del mercurio h Hg è di 1 cm mentre quella della superficie libera del liquido, h x, è di cm. Il liquido incognito è (A) H 2 O (B) olio (C) benzene (D) CCl 4 (E) H 2 SO 4 sol h Hg h x

4 Sesta esercitazione di Fisica I Fluidodinamica 4 7. La tensione superficiale di una bolla di sapone è τ = 40(10 ) J/m 2. Il lavoro fatto per portare la bolla di sapone da un raggio di 1 cm ad un raggio di 2 cm è pari a circa (A) 0. mj (B) 1.5 mj (C) 2.5 mj (D) 10 mj (E) 8. Un recipiente a forma di parallelepipedo e con area di base uguale a 1 m 2 contiene 4000 kg di acqua (densità = 1000 kg/m ) è appoggiato ad un altezza di 5 m dal suolo. Sul suo fondo vi è un buco di sezione S 1 =1 cm 2 da cui fuoriesce un getto d acqua. Quando questo getto d acqua raggiunge il suolo, la sua sezione è diventata uguale a S 2. Il rapporto S 2 /S 1 vale circa (A) 0.67 (B) 0.5 (C) 0.4 (D) 0.8 (E) 9. Da un condotto orizzontale di 10 cm di diametro posto 5 m sotto il pelo dell'acqua di un bacino idroelettrico vengono prelevati 40 litri d'acqua al secondo. La pressione all'imbocco del condotto é maggiore di quella alla superficie del bacino di circa (A) 20 kpa (B) 6 kpa (C) 42 kpa (D) 46 kpa (E) 49 kpa 10. Una gocciolina di mercurio (densità relativa 1.6) di raggio 0.1 mm é lasciata cadere in acqua avente una viscositá di 8(10-4 ) Pa s. La gocciolina raggiungerá una velocitá di regime pari a circa (A) 0.27 mm/s (B) 0.62 mm/s (C) 4.0 cm/s (D) 7.0 cm/s (E) 0.4 m/s 11. L acqua esce da un rubinetto con sezione di 1 cm 2 ed una velocità diretta verso il basso di.0 m/s. L acqua subisce una accelerazione g = 9.8 m/s 2 e dopo 50 cm la sezione del getto d acqua è di (A) 0.69 cm 2 (B) 0. cm 2 (C) 0.5 cm 2 (D) 1.0 cm 2 (E) 0.49 cm Se il rubinetto del problema precedente è collocato all esterno e sul fondo di un grosso cilindro contenente acqua, qual è la distanza tra pelo dell acqua nel cilindro e il suo fondo? (A) 0.92 m (B) 0.46 m (C) 4.9 m (D) 9.8 m (E) 1. Un granello di sabbia del fiume ha una densità di 2 kg/litro e un raggio di 0.0 mm. Se la viscosità dell acqua è di Pa s, la velocità con cui il granello si muove verso il fondo di un grande lago in cui il fiume sbocca è di circa (in mm/s) (A).14 (B) 1.41 (C) 0.87 (D)0.98 (E) Un tubo per l'acqua orientato verso l'alto manda lo zampillo a m di altezza. Se l'orifizio del tubo ha una sezione di 2 cm 2 la portata del tubo é pari a (in litri / s) (A) 0.78 (B) 1.0 (C) 1.5 (D) 1.9 (E) 4

5 Sesta esercitazione di Fisica I Fluidodinamica Un tubo di Venturi alimentato ad acqua (densità 1 kg/litro) ha una differenza di pressione di 0 kpa tra un punto normale di condotto, di sezione 100 cm 2, e la strozzatura, di sezione 1 cm 2. La velocità dell acqua in un punto del condotto a sezione maggiore è di circa (A) 0.61 m/s (B) 0.78 m/s (C).14 m/s (D) 9.8 m/s (E) m/s 16. Una goccia di mercurio (densità 1.6 kg/litro) di diametro 0.05 mm scende in un liquido con densità 2 kg/litro con una velocità di mm/s. La viscosità del liquido é di, in Pa s (A) (B) (C) 0.50 (D) 0.76 (E) 5.27(10 - ) 17. Un idrante manda un getto d acqua di 0 litri/s su un gruppo di manifestanti. Se l acqua dall idrante fuoriesce alla velocità di 20 m/s e se l acqua è prelevata da un fiume che ha il pelo dell acqua sei metri sotto il livello dell idrante, la potenza erogata dalla pompa dell idrante in assenza di attriti è pari a (A) 1764 W (B) 6000 W (C) 7764 W (D) 9000 W (E) W 18. In un condotto orizzontale di sezione S 1 =10 cm 2 fluisce benzina (densità 0.85 kg/litro) e vi è un tubicino verticale monometrico dove la benzina raggiunge il livello di h 1 =112 cm dal suolo. Il condotto ha una strozzatura dove la sua sezione si riduce a S 2 =5 cm 2 e dove un tubicino verticale monometrico segna un altezza di h 2 =100 cm dal suolo. La velocità della benzina in un punto del condotto h a sezione S 1 vale circa in m/s 1 h 2 (A) 0.17 (B) (C) 0.14 S S 2 1 (D) (E) Un fluido viscoso scorre orizzontalmente in un condotto lungo un metro e di diametro 2 cm che alimenta quattro condotti posti in parallelo e lunghi un metro, ciascuno con 1 cm di diametro. Se la caduta di pressione lungo uno dei condotti paralleli è di 1 kpa, la caduta di pressione lungo il condotto di alimentazione è (A)125 Pa (B) 1 kpa (C) 4 kpa (D) 8 kpa (E) 20. Il volume di liquido di densità relativa 1. che, in assenza di attriti, esce al secondo da un foro di diametro 5 cm posto 2 metri sotto il pelo del liquido nel recipiente che lo contiene è di circa (A) 2.1 m /min (B) 69 litri/s (C) 5000 cm /s (D) 12 litri/s (E) 50 m / h 5

6 Sesta esercitazione di Fisica I Fluidodinamica La sezione di un condotto orizzontale con una portata di 0 litri d acqua al minuto è di 10 cm 2 in A e di 5 cm 2 in B. Si trascurino gli attriti e si segnino con SI le affermazioni vere e con NO quelle false. (A) la velocità dell acqua in A è quadrupla che in B (B) la pressione in A è di 75 Pa più alta che in B (C) la differenza di pressione tra A e B è proporzionale alla portata (D) la differenza di pressione tra A e B è un quarto della pressione atmosferica (E) la portata del condotto è la stessa in A e in B 22. Il condotto di alimentazione di una centrale idroelettrica inizia con un tubo orizzontale con una sezione di 1 m 2 che è sommerso 20.4 m sotto il pelo dell acqua del bacino. Quando la portata del condotto è di 10 m /s, la pressione idrostatica nel tubo vale circa (in atmosfere) (A) 1 (B) 2 (C) (D) 4 (E) 2. Se la densità dell aria è di 1.25 kg/m e si può assumere che la velocità dell aria sotto un aereo di 5 tonnellate con apertura alare di 8 m 2 sia nulla, la velocità di decollo è stimata essere dell ordine di (A)10 m/s (B) 100 m/s (C) 50 m/s (D) 200 m/s (E) 400 m/s 24. Un getto d acqua zampilla da una canna con attrito trascurabile e raggiunge i due metri di altezza quando è diretta verso l alto. Se la portata della canna è di 5 litri/minuto, il diametro della canna è (A) 0.2 cm (B) 0.1 cm (C) 0.5 cm (D) 0.67 cm (E) 0.41 cm 6

7 Sesta esercitazione di Fisica I Fluidodinamica 7 Sesta Esercitazione: Dinamica dei Fluidi Esercizio Risposta 1 (D) 12 litri/s 2 (D) 18.7 kpa (D) 15. cm/s 4 (D) 7.0 m/s 5 (A) 18 N 6 (C) benzene 7 (A) 0. mj 8 (A) (B) 6 kpa 10 (E) 4. cm/s 11 (A) 0.69 cm 2 12 (B) 0.46 m 1 (E) 1.96 mm/s 14 (C) 1.5 litri/s 15 (E) 7.75 (10-2 ) m/s 16 (E) 5.27 (10 - ) Pa s 17 (A) 1764 W 18 (E) m/s 19 (E) 250 Pa litri/s 21 (B) e (E) SI, le altre NO 22 (B) 2 atm 2 (B) 100 m/s 24 (E) 0.41 cm 7