8 Linee di trasmissione nel dominio del tempo

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1 8 Linee di trasmissione nel dominio del tempo Introduzione La trasmissione d informazioni a distanza radiocollegamento) che utilizza la propagazione libera del campo elettromagnetico e.m.) è molto diffusa in ambito navale, avionico e terrestre, nella teleradiodiffusione terrestre e da satellite, e in molteplici settori come le telecomunicazioni spaziali, il telerilevamento, i sistemi radar e radioaiuto alla navigazione aerea e navale, i sistemi di telefonia cellulare e di comunicazione mobile. Le motivazioni di tale diffusione sono da ricercare nella semplicità d installazione e nella possibilità di realizzare dei collegamenti in altro modo impossibili si pensi ai ponti radio in regioni montuose e in regioni con clima particolarmente ostile). D altra parte il radiocollegamento presenta problemi legati all inquinamento elettromagnetico, al rendimento di potenza molto basso e alla forte dipendenza del collegamento dalle condizioni ambientali e meteorologiche che spesso non sono controllabili per esempio nebbia, pioggia). Da ciò discende la necessità di realizzare delle strutture fisiche capaci di convogliare il campo e.m. lungo determinati percorsi che collegano il trasmettitore con il ricevitore. Se il mezzo materiale usato è omogeneo non vi è nessun motivo fisico che consenta il trasporto di energia lungo un determinato percorso. L unico modo per obbligare il campo a propagarsi in una direzione ben determinata consiste nell introdurre opportune discontinuità all interno del mezzo materiale, la cui natura fisica dipende dalla frequenza in gioco: uno o più conduttori a frequenze fino a quelle delle microonde, oppure due o più dielettrici alle frequenze ottiche. Risulta quindi evidente che la propagazione del campo e.m. convogliato all interno di opportune strutture rappresenta uno degli aspetti essenziali dell elettromagnetismo. A tale scopo, è di fondamentale importanza illustrare le differenti tecniche di analisi utilizzate per affrontare uno studio sistematico della propagazione delle onde elettromagnetiche in strutture guidanti. Tale studio è inoltre necessario sia per individuare le problematiche comuni a tutti i sistemi di comunicazioni elettriche su portante fisico sia per comprendere quali potrebbero essere gli accorgimenti tecnici da prendere per incrementare le prestazioni del sistema di trasmissione. 8.1 Strutture guidanti Nelle differenti applicazioni pratiche sono impiegate svariate tipologie di strutture guidanti a uno o più conduttori e la scelta di un tipo rispetto ad un altro è dettata da particolari esigenze di costi, di peso, di ingombri, di compatibilità con altri dispositivi 159

2 8.1. Strutture guidanti 160 Figura 8.1: Tipiche strutture guidanti a) linea bifilare, b) cavo coassiale, c) guida d onda metallica, d) microstriscia. ecc. Alle basse frequenze la struttura più diffusa per trasmettere l energia elettromagnetica è costituita da due o più conduttori metallici paralleli, Figura 8.1a) linee bifilari o multifilari) che collegano il trasmettitore al ricevitore. In essa la trasmissione avviene attraverso lo spazio esterno ai fili che, con la loro presenza conformano il campo elettromagnetico in modo che la potenza erogata dalle sorgenti sia trasferita sui carichi. Esse sono usate per la trasmissione di segnali telefonici, la trasmissione e la distribuzione dell energia elettrica e per la trasmissione di segnali digitali a basso bit rate. Tipici esempi sono le linee aeree usate per il trasporto dell energia elettrica e il doppino di rame utilizzato per la telefonia e per la realizzazione di reti informatiche di area locale LAN). In questo tipo di strutture, dette aperte, è presente il fenomeno della radiazione, cioè una dispersione dell energia prodotta dal generatore nello spazio circostante in direzione trasversale a quella di propagazione). Tale comportamento provoca effetti minimi alle basse frequenze e quando le dimensioni del circuito sono trascurabili rispetto alla lunghezza d onda, ed effetti di importanza crescente al crescere della frequenza. Il fenomeno della radiazione è indesiderato, non solo per la perdita di efficienza della trasmissione energetica, ma anche perché genera interferenze tra apparati elettrici ed elettronici differenti. Inoltre, per potenze di emissione particolarmente elevate come nel caso dei radar e delle stazioni radio base), la radiazione può costituire un pericolo per le persone e le cose prossime alla zona di emissione. La soluzione più intuitiva che consente di limitare fortemente questi problemi consiste nel realizzare opportune strutture capaci di confinare il campo elettromagnetico all interno di un tubo metallico che funge da schermo. E per questa ragione che alle radiofrequenze le linee aeree sono sostituite dai cavi coassiali, Figura 8.1b), cioè strutture composte da un conduttore centrale coassiale con una calza metallica concentrica in cui l intercapedine tra i due conduttori è riempita parzialmente o totalmente da dielettrico. Essi sono usati sia per la trasmissione di segnali analogici a banda larga, come ad esempio il segnale televisivo, sia per trasmissioni digitali ad elevato bit rate. Nella banda delle microonde e delle onde millimetriche tipicamente per frequenze maggiori di alcune decine di GHz) le strutture cilindriche costituite da semplici tubi metallici, Figura 8.1c), sono invece preferite alle strutture coassiali a causa delle migliori proprietà elet-

3 8.2. Circuiti a parametri concentrati e distribuiti 161 triche e meccaniche. Di queste, quella a sezione rettangolare e circolare sono largamente usate nelle applicazioni ad elevata potenza e per accoppiare i ricevitori e i trasmettitori alle antenne. Il fenomeno della radiazione può anche essere reso trascurabile utilizzando strutture aperte in cui il campo e.m. decresce rapidamente al di fuori di esse. Tipici esempi sono le strutture di tipo planare, come le microstrisce, rappresentate in Figura 8.1d), costituite da una striscia di materiale conduttore depositato su un substrato dielettrico metallizzato sulla faccia posteriore. Visto il loro ridotto peso, ingombro e costo tali strutture guidanti sono largamente impiegate in tutte quelle applicazioni non particolarmente sensibili alle maggiori perdite. In particolare esse sono usate prevalentemente per realizzare elementi reattivi nella banda delle microonde e per effettuare i collegamenti all interno di circuiti elettronici per applicazioni ad elevata frequenza in tratti che non superano qualche centimetro. 8.2 Circuiti a parametri concentrati e distribuiti Nei circuiti elettrici ed elettronici si utilizzano sempre dei fili che possono essere cavi coassiali, linee bifilari, microstrisce, ecc..) per trasmettere i segnali in diversi punti e collegare tra loro i vari componenti secondo una configurazione desiderata. Di conseguenza, nello studio teorico di questi circuiti si dovrebbe considerare che l energia prodotta da una generica sorgente si propaga da un punto all altro del collegamento con una velocità finita. E quindi evidente che potrebbe essere necessario analizzare sia da un punto di vista teorico sia applicativo l impatto della lunghezza l del collegamento sul funzionamento dell intero sistema. E noto che un campo e.m. variabile nel tempo può essere rappresentato dalla sovrapposizione di campi sinusoidali con frequenza compresa all interno di una certa banda. Gli effetti generati dal collegamento dipendono quindi dalla sua lunghezza l e dalla frequenza f del segnale emesso dalla sorgente. Nell ipotesi in cui la tensione ai terminali d ingresso del collegamento vari nel tempo con legge V g t) = V in t) = V 0 cos ωt, dove ω = 2πf è la frequenza angolare, si avrà che la tensione ai terminali d uscita è ritardata nel tempo rispetto a quella d ingresso di una quantità pari al ritardo di propagazione l/c c è la velocità della luce nel mezzo). Se il mezzo fisico che costituisce il collegamento è senza perdite e non introduce distorsioni comportamento lineare) si può scrivere: V out t) = V g t l ) c = V 0 cos [ ω t l c )] 8.1) cioé il segnale d uscita ha la stessa ampiezza del segnale d ingresso e uno sfasamento la cui entità è fornita dal fattore di fase ωl c = 2π fl c = 2π l λ 8.2) dove λ è la lunghezza d onda del segnale. Pertanto, la dimensione l della struttura con cui il campo e.m. interagisce deve essere confrontata con la lunghezza d onda, visto che la lunghezza elettrica l/λ individua differenti regimi di funzionamento.

4 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 162 Quando è verificata la condizione l/λ 1 il regime di funzionamento è detto quasistatico. In questa condizione la lunghezza d onda è molto più grande delle dimensioni del circuito ed è possibile trascurare il ritardo di propagazione causato dal collegamento. Infatti, confrontando la tensione d uscita V out e d ingresso V in al tempo t = 0, quando l = 10 cm, f = 1 khz e c = m/s, si ha ωl/c e cioé V out = Vin. Si vede quindi che, ai fini pratici, i terminali d ingresso e d uscita possono considerarsi coincidenti. In tale condizione, i circuiti sono detti a parametri concentrati e il modello impiegato per la loro analisi considera come variabili elettriche la differenza di potenziale ai capi della linea e la corrente elettrica che fluisce nei conduttori, e le leggi di Kirchoff per ricavare il modello matematico. Tali grandezze, anche se definite a rigore solo nel caso stazionario, sono comunemente usate anche nel caso in cui le dimensioni della rete sono molto piccole rispetto alla lunghezza d onda. Pertanto, il sistema e.m. può essere descritto in termini di tensione e corrente finché il ritardo di propagazione è trascurabile rispetto al periodo delle oscillazioni. Nel caso in cui la linea è costituita da una tratta di cavo telefonico lungo l = 30 km, il fattore di fase è ωl/c 0.42 e quindi V out = 0.91 Vin. Quando l/λ 1 la connessione è di dimensioni non trascurabili rispetto alla lunghezza d onda e perciò non è più possibile ignorare lo sfasamento causato dalla propagazione delle onde e.m.. In queste condizioni di funzionamento, la linea non può più essere considerata come un insieme di fili di collegamento ma deve essere vista come un circuito a parametri distribuiti. In tali circuiti la modellizzazione avviene per mezzo di tensioni e correnti che dipendono dal tempo e da una coordinata spaziale che individua la posizione sulla linea. 8.3 Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione La linea di trasmissione è una struttura guidante cilindrica che consente la propagazione di onde e.m. di tipo TEM Trasverse ElettroMagnetiche) e cioé caratterizzate da avere componenti di campo elettrico e magnetico diverse da zero sul piano trasversale alla direzione di propagazione. Non è detto, però, che le equazioni di Maxwell insieme alle condizioni al contorno imposte sui conduttori della linea di trasmissione ammettano una soluzione di tipo TEM. Infatti, affinché possa esistere un campo e.m. di tipo TEM è necessario che siano soddisfatti i seguenti requisiti: sistema di conduttori elettrici aventi conducibilità infinita metallo perfetto) in modo che, pur scorrendo una corrente superficiale, la componente del campo e.m. lungo la direzione di propagazione sia nulla; conduttori elettrici immersi in un mezzo omogeneo; sezione trasversale non semplicemente connessa o equivalentemente che il contorno sia costituito da almeno due conduttori; le generatrici dei conduttori elettrici devono essere fra loro parallele. Un esempio significativo di linea di trasmissione TEM è il cavo coassiale. Infatti, in tale struttura le linee di campo elettrico sono radiali mentre quelle di campo magnetico

5 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 163 formano delle circonferenze nella regione compresa tra i due conduttori, e quindi non esistono i componenti longitudinali di campo e.m.. Altri esempi sono la linea bifilare e la linea a piani metallici paralleli. Inoltre, anche se il campo e.m. presente su una linea a microstriscia non ha esattamente le caratteristiche di un onda TEM, essa può essere comunque inclusa tra le linee TEM visto che i componenti longitudinali del campo e.m. sono molto più piccoli dei componenti trasversali. Da un punto di vista circuitale, una linea di trasmissione può essere assimilata ad una rete a due porte dove ciascuna porta è composta da due terminali: una porta è detta di trasmissione l altra di ricezione. La sorgente, che può essere per esempio un oscillatore controllato in tensione VCO) o un amplificatore, è collegata alla porta di trasmissione. Il circuito collegato alla porta di ricezione è invece un semplice carico che può essere per esempio un antenna. Le equazioni che regolano la propagazione del campo e.m. lungo una linea di trasmissione possono essere ricavate direttamente dalle equazioni di Maxwell. In generale, esse hanno dimensioni trasversali piccole rispetto alla lunghezza d onda, ma con lunghezza che può essere anche molto grande. Quindi, mentre una rete a parametri concentrati è modellizzata come puntiforme, una linea di trasmissione è un sistema unidimensionale in cui le varie grandezze elettriche dipendono dal tempo e dalla coordinata spaziale che descrive la posizione lungo la linea. Essa è quindi equivalente a un circuito a parametri distribuiti per sottolineare il fatto che l energia elettromagnetica, oltre ad essere immagazzinata nei componenti reattivi induttori e condensatori), è immagazzinata anche nello spazio che circonda i conduttori della linea, che risulta avere una induttanza e una capacità per unità di lunghezza. Nel caso in cui esistano soluzioni delle equazioni di Maxwell di tipo TEM è possibile dimostrare che esse sono suscettibili di una descrizione circuitale, nel senso che è possibile trasformare le equazioni relative ai campi elettrico e magnetico in equazioni a cui devono soddisfare la tensione, v, ai capi della linea e la corrente, i, circolante sui suoi conduttori. Questo tipo di modello presenta l indubbio vantaggio di agire su grandezze scalari monodimensionali e la possibilità di misurare, almeno in linea d principio, direttamente la tensione tra i due conduttori tramite un voltmetro e la corrente mediante un amperometro. L approccio utilizzato per analizzare una linea di trasmissione consiste nell orientare la linea lungo la direzione longitudinale asse z) e scomporre i campi nelle rispettive componenti trasversali, che si indicheranno con ili pedice t, e longitudinali, che si indicheranno con il pedice z. In queste ipotesi, l operatore può essere scomposto come = t z = t z ẑ e per i mezzi lineari, omogenei, isotropi, senza perdite e in assenza di sorgenti le equazioni di Maxwell da considerare sono ) t z ẑ t ) z ẑ E t E z ẑ) = µ H t µ H z ẑ H t H z ẑ) = ϵ E t ϵ E z ẑ

6 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 164 da cui e t E } {{ } t lungo z t H } {{ } t lungo z t E z ẑ z ẑ E t) } {{ } sul piano trasverso t H z ẑ z ẑ H t) } {{ } sul piano trasverso = µ H t } {{ } sul piano trasverso = ϵ E t } {{ } sul piano trasverso µ H z ẑ } {{ } lungo z ϵ E z ẑ } {{ } lungo z Raccogliendo separatamente i termini trasversali e quelli longitudinali si ha z ẑ E t) = ẑ t E z µ H t t E t = µ H z ẑ z ẑ H t) = ẑ t H z ϵ E t t H t = ϵ E z ẑ e nel caso di onde TEM E z = H z = 0) si ottiene z ẑ E t) = µ H t 8.3) z ẑ H t) = ϵ E t 8.4) t E t = 0 8.5) t H t = 0 8.6) Visto che la struttura è invariante lungo l asse z è plausibile supporre che i campi trasversali possano essere espressi come il prodotto di due funzioni, una delle sole coordinate trasversali e l altra della sola coordinata longitudinale e del tempo E t = vz, t)e H t = iz, t)h Pertanto, sostituendo tali equazioni nelle 8.3) 8.6) si ricava vz, t) iz, t) ẑ e) = µ h z iz, t) vz, t) ẑ h) = ϵ e z vz, t) t e = 0 iz, t) t h = 0

7 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 165 e considerando che vz, t) e iz, t) non possono essere nulli si ottiene vz, t) iz, t) ẑ e) = µ h z iz, t) vz, t) ẑ h) = ϵ e z t e = 0 t h = 0 Dalle ultime due equazioni si osserva che essendo e e h irrotazionali essi possono essere espressi come gradienti di opportune funzioni potenziali e = t ϕ e h = t ψ. Essendo inoltre il vettore e anche solenoidale si ha che ϕ = 2 ϕ = 0 cioé il potenziale ϕ soddisfa l equazione di Laplace. Dalla prima equazione si desume che i vettori ẑ e e h sono paralleli e cioé ẑ e = Ah con A costante arbitraria. Inoltre, si ha anche ẑ ẑ e) = e = Aẑ h. Pertanto, sostituendo quanto ottenuto nelle equazioni rivacate in precedenza si ricava in definitiva vz, t) z iz, t) = ϵa z e = t ϕ = µ iz, t) A h = t ψ vz, t) 8.7) 8.8) 8.9) 8.10) Se la costante arbitraria A è scelta in modo tale che v rappresenti la differenza di potenziale tra i due conduttori delle linea di trasmissione e i la corrente trasportata da un conduttore si ha che µa è una induttanza per unità di lunghezza e ϵa una capacità per unità di lunghezza. Infatti, nell ipotesi che i conduttori della linea siano perfetti e considerando che il e è un campo elettrostatico si avrà che P2 P 1 E t ˆτdl = v P2 P 1 e ˆτdl = v P2 P 1 ϕ ˆτdl = v P2 P 1 ϕ l dl = v [ϕp 2) ϕp 1 )] dove P 1 e P 2 sono due punti arbitrari presi rispettivamente sui conduttori della linea, ˆτ è il versore tangente al cammino d integrazione. Affinchè l integrale del campo elettrico tra P 1 e P 2 sia uguale a v si deve imporre ϕp 2 ) ϕp 1 ) = 1 e una scelta possibile è ϕp 2 ) = 0 V e ϕp 1 ) = 1 V. Il conduttore che ha tutti i suoi punti a potenziale nullo si dice conduttore di riferimento o di terra o di ritorno. Si osservi che con questa scelta il campo e assume le dimensioni dell inverso di una lunghezza.

8 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 166 Essendo i conduttori dei metalli perfetti si avrà che le loro superfici sono equiponteziali. Inoltre, al loro interno non può circolare nessuna corrente e pertanto le uniche correnti assiali che possono circolare sono localizzate sulla superficie dei conduttori. La circuitazione del campo magnetico lungo un genico contorno che racchiude un conduttore della linea è data da Γ H t ˆτdl = i A Γ ẑ e ˆτdl = i A Γ t ϕ ˆτ ẑ) dl = i A Γ t ϕ ˆndl = i A dove ˆn è il versore normale al cammino d integrazione. Quindi, affinchè l integrale del campo magnetico sia uguale alla corrente i è necessario che ϕ A = dl 8.11) n Γ Γ ϕ n dl Si noti che A può essere determinata solo dopo aver specificato la sezione trasversale della guida d onda. Inoltre, si osservi che anche h ha le dimensioni dell inverso di una lunghezza. La trattazione effettuata evisenzia che il problema tridimensionale e vettoriale relativo alla propagazione di un onda TEM lungo una linea di trasmissione può essere ricondotto ad un problema unidimensionale in cui sono coinvolte le grandezze scalari v e i che hanno rispettivamente le dimensioni di una tendsione e di una corrente. Le equazioni 8.7) 8.8) richiamano il circuito equivalente a parametri concentrati mostrato in Figura 8.2. In particolare, suddividendo la linea in tratti infinitesimi di lunghezza z si rappresenta ciascun tratto mediante un circuito equivalente formato, nel caso di assenza di perdite, da condensatori e induttori. Per ricavare il circuito equivalente del tratto elementare z di linea, si osservi che se nei conduttori fluisce una corrente essa genera un campo magnetico le cui linee di campo circondano i conduttori stessi considerati perfetti). Tale campo, genera un flusso di induzione autoconcatenato attraverso una superficie appoggiata ai conduttori. Il coefficiente di proporzionalità tra corrente e flusso è, per definizione, l induttanza del tratto di linea, che scriviamo L z per evidenziare la dipendenza lineare del flusso dalla lunghezza z. Di conseguenza, L, misurata in H/m, è l induttanza per unità di lunghezza della linea. Ancora, i due conduttori affacciati costituiscono un condensatore con capacità C z, essendo C la capacità per unità di lunghezza della linea, misurata in F/m. Tale modello equivalente è applicabile a tutte le linee di trasmissione TEM visto che esse si differenziano tra loro solo per gli elementi L e C: infatti, i valori di tali elementi circuitali dipendono dai parametri geometrici e costitutivi della linea di trasmissione. Utilizzando le leggi di Kirchhoff e facendo tendere z a zero si ottengono le equazioni delle linee di trasmissione o dei telegrafisti: vz z, t) vz, t) lim z 0 z lim z 0 iz z, t) iz, t) z iz, t) = L = L vz, t)

9 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 167 iz,t) L z iz z,t) vz,t) C z vz z,t) Figura 8.2: Circuito equivalente di un tratto z di linea di trasmissione. da cui vz, t) iz, t) C iz, t) L vz, t) = 0 = ) 8.13) Le 8.12) 8.13) sono delle equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine accoppiate che devono essere completate da opportune condizioni iniziali e al contorno. Generalmente il circuito più semplice che comprende una linea di trasmissione è quello schematizzato in Figura 8.3. E chiaro quindi che le condizioni al contorno devono essere per ogni t 0: et) R g i0, t) = v0, t) 8.14) vl, t) = R L il, t) 8.15) dove et) è una funzione causale assegnata. Inoltre, all istante iniziale t = 0) si specifica lo stato degli elementi reattivi per ogni 0 z L: vz, 0) = v 0 z) 8.16) iz, 0) = i 0 z) 8.17) dove generalmente v 0 z) e i 0 z) sono nulli in virtù del fatto che a t = 0 la linea è scarica. In definitiva, si può dire che le 8.12) 8.13) costituiscono un sistema omogeneo e che, nel caso di una linea scarica, il sistema è eccitato dalla condizione al contorno in z = 0. In realtà, non sempre la linea è eccitata solo alle due estremità. Infatti, nei problemi di compatibilità elettromagnetica è sovente lo studio di una linea investita da un campo elettromagnetico il quale può essere modellizzato da un insieme di generatori di corrente e di tensione distribuiti lungo la linea con una determinata densità per unità di lunghezza. Questi ultimi costituiscono un termine forzante per il sistema 8.12) 8.13) il quale diventa di conseguenza non omogeneo. Pertanto, la soluzione del problema complessivo è fornita dalla somma tra la soluzione del sistema omogeneo associato e una soluzione particolare del sistema non omogeneo. Nel seguito sarà fissata l attenzione sul primo tipo di soluzione che è comune ad entrambi i tipi di problema.

10 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 168 R g et) R L 0 L Figura 8.3: Semplice schema circuitale comprendente una linea di trasmissione. z Derivando la 8.12) rispetto a z e la 8.13) rispetto a t si ottiene: 2 vz, t) z 2 L 2 iz, t) 8.18) z 2 iz, t) C 2 vz, t) z ) se inoltre iz, t) è una funzione regolare le due derivate miste sono uguali e quindi si ottiene: 2 vz, t) z 2 LC 2 vz, t) ) La 8.20) è conosciuta come equazione delle onde perché le sue soluzioni sono delle onde che si propagano con la velocità di fase = 1/ LC. Inoltre, visto che la corrente e la tensione lungo la linea sono correlate tra loro, è necessario che la 8.20) sia associata alla 8.12) o alla 8.13) per ricavare la corrente. In particolare, la soluzione generale delle onde di tensione è data dalla combinazione lineare di due modi propri del sistema chiamati onda progressiva, v i z, t), e onda regressiva, v r z, t): v z, t) = V f t z ) V f t z ) = v i z, t) v r z, t) 8.21) dove sono state usate le ampiezze costanti V e V e i simboli f e f per indicare due funzioni arbitrarie. Sostituendo la 8.21) nella 8.12) è possibile ricavare la corrente come: iz, t) = 1 vz, t) iz, t) = 1 vz, t) dt 8.22) L z L z Posto ξ = t z/ e η = t z/ si ottiene e quindi vz, t) z ξ z = 1 = V f ξ η z = 1 ξ z V f η = V f ξ V f η η z 8.23)

11 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 169 Dalla sostituzione della 8.23) nella 8.22) si ottiene in definitiva: i z, t) = 1 [ V f L ξ dξ V ] f η dη = 1 [ V f t z ) V f t z )] Z c = i i z, t) i r z, t) = v i z, t) Z c v r z, t) Z c 8.24) dove l impedenza caratteristica Z c della linea è fornita dalla relazione: 1 LC C = L L = L = Y c = 1 Z c da cui Z c = L C 8.25) Si noti che lo stato elettrico della linea dipende da z e t solo attraverso le combinazioni t z/ ) e t z/ ) che è l unico vincolo imposto dall equazione d onda. Inoltre, l arbitrarietà delle funzioni f e f è rimossa quando si costruisce una soluzione particolare che soddisfa le condizioni al contorno. Si supponga di avere una linea di trasmissione di lunghezza infinita alla quale è collegato il generatore di tensione reale, rappresentato in Figura 8.3, che produce una tensione et). Se la linea è scarica, all istante t = 0 la tensione e la corrente su tutta la linea sono nulle. All istante t = 0 il generatore applica in corrispondenza della sezione z = 0 una differenza di potenziale che si propaga lungo la linea. Inoltre, essendo la linea infinitamente lunga, è lecito ipotizzare la propagazione della sola onda progressiva. In tale situazione la corrente fornita dal generatore è i0, t) = i g = V f t)/z c, la quale sostituita nella condizione al contorno 8.14) fornisce le relazioni: e t) = V f t) 1 R ) g V f t) = Z c Z c Z c R g e t) f t) = et) 8.26) V = Z c Z c R g 8.27) In questo modo, la funzione f è determinata in quanto, a meno di un fattore di scala, assume un andamento temporale uguale a quello del generatore. La soluzione dell onda di tensione per z > 0 si ottiene sostituendo l argomento t con t z/ : ) Z c v z, t) = v i z, t) = e t zvf 8.28) Z c R g

12 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 170 R g et) v i z,t) Z c Figura 8.4: Circuito equivalente con linea di trasmissione infinitamente lunga. a cui, tramite la 8.24), corrisponde l onda di corrente: ) 1 i z, t) = i i z, t) = e t zvf Z c R g 8.29) In definitiva, per una linea di trasmissione infinitamente lunga, la tensione in ogni punto della linea coincide, istante per istante, con la partizione della tensione erogata dal generatore calcolata usando il circuito equivalente a parametri concentrati mostrato in Figura 8.4. L impedenza di una linea infinitamente lunga non dipende dal tipo di terminazione e di conseguenza vale sempre Z c, considerazione che consente di giustificare le 8.26)-8.27). Si osservi inoltre, che indicando con τ il tempo che impiega il segnale per propagarsi da z = 0 a z = l, il circuito di Figura 8.4 è utilizzabile anche nel caso di linea di trasmissione con lunghezza finita ma solo per t τ, poiché in questo caso l eventuale eco di ritorno si ha solo a t = τ: infatti, prima di questo istante di tempo non si può sapere se la linea è infinita oppure no. Nel caso della linea di trasmissione collegata come in Figura 8.3, le condizioni al contorno in z = l sono: vl, t) = v L = R L i L il, t) = i L 8.30) e se la linea di trasmissione è collegata ad un carico R L che differisce dall impedenza caratteristica Z c, è necessario considerare in z = l anche l onda riflessa. Più precisamente le onde di tensione e di corrente incidenti sono: v i l, t) = V f t l ) Z c = e t l Z c R g = V e t l ) ) 8.31) i i l, t) = 1 Z c v i l, t) 8.32) Visto che le 8.30) sono funzioni lineari è chiaro che le onde di tensione e di corrente riflesse devono avere la stessa dipendenza temporale delle onde incidenti e perciò assumono

13 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 171 la forma: v r z, t) = V e t l l z ) = V e t z 2l ) 8.33) i r z, t) = 1 Z c v r z, t) 8.34) da cui si osserva che l argomento, oltre al fattore t z/, contiene anche un fattore di ritardo tale che a z = l l onda riflessa ha la forma et l/ ). A z = l devono inoltre essere soddisfatte le condizioni 8.30) e quindi: da cui V e t l ) V e t l ) V V V V = R L Z c = V V ) e t l ) = R L V V ) e t l ) Z c Γ L = V V = I I = R L Z c R L Z c 8.35) dove il rapporto tra l ampiezza dell onda di tensione riflessa e incidente, Γ L, è chiamato coefficiente di riflessione. Si osservi che l unica condizione che assicura Γ L = 0 assenza dell onda riflessa) è R L = Z C la potenza dell onda incidente è completamente assorbita dal carico). Le considerazioni appena fatte possono essere applicate anche quando l onda di tensione riflessa giunge al generatore. In particolare, l onda riflessa sarà completamente assorbita dal generatore, se la resistenza interna del generatore è uguale all impedenza caratteristica della linea, e nuovamente riflessa in avanti, se R g Z C. Inoltre, in presenza di variazioni il generatore di tensione si comporta come un corto circuito perché, dovendo fornire in z = 0 sempre la stessa tensione imposta dalla??), ogni eventuale onda riflessa ritrasmessa in avanti deve essere compensata dal generatore stesso. Di conseguenza, il coefficiente di riflessione del generatore, Γ g, vale: Γ g = R g Z c R g Z c 8.36) L onda ritrasmessa in avanti sarà nuovamente riflessa dal carico e quindi con il trascorrere del tempo saranno presenti sulla linea di trasmissione una moltitudine di onde progressive e regressive. Tale fenomeno è di particolare importanza nella trattazione di segnali a larga banda in quanto contribuisce complessivamente a determinare la risposta in transitorio

14 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 172 della linea di trasmissione. L insieme di queste onde può essere descritto dalla seguente relazione: ) vz, t) = V e t zvf Γ L V e t z 2l ) U t l ) Γ g Γ L V e t z 2l ) U t 2l ) Γ g Γ 2 LV e t z 4l ) U t 3l ) Γ 2 gγ 2 LV e t z 4l ) U t 4l ) ) dove V = Z c /R g Z c ) e Ut α) è la funzione gradino che è uguale a zero per t < α e uguale a 1 per t α. Esplicitando la 8.37) nelle sezioni z = 0 e z = l e ponendo τ = l/ si ha: v 0, t) = V [ e t) Γ L 1 Γ g ) e t 2τ) Γ g Γ 2 L 1 Γ g ) e t 4τ)... ] [ ] = V et) 1 Γ g )Γ L Γ g Γ L ) n e t 2n 1)τ) 8.38) n=0 v l, t) = V 1 Γ L ) [ e t τ) Γ g Γ L e t 3τ) Γ 2 gγ 2 Le t 5τ)... ] = V 1 Γ L ) Γ g Γ L ) n e t 2n 1) τ) 8.39) n=0 Si osservi che anche se la soluzione generale è data in termini di una serie infinita, nella realtà si è interessati solo a calcolare la tensione e corrente all interno di una certa finestra di osservazione. Quindi, fissato un tempo t t max, vi è solo un numero finito di termini che dà contributo Diagramma a traliccio Sulla base delle interpretazioni date è possibile tracciare un diagramma spazio-temporale, detto diagramma a traliccio, utile per determinare l andamento della tensione e della corrente nel caso di carico non adattato. La posizione lungo la linea di trasmissione è riportata sull asse orizzontale ed il tempo sull asse verticale. Come mostrato in Figura 8.5, il grafo è composto da una linea a zig-zag che rimbalza tra la sezione z = 0 e z = l. Ogni cambio di direzione corrisponde ad una riflessione. L ampiezza di ogni segnale riflesso si calcola moltiplicando l ampiezza del segnale incidente per il coefficiente di riflessione alla porta in cui avviene la riflessione. I coefficienti di riflessione sono indicati sul diagramma in corrispondenza degli istanti di tempo in cui avvengono le diverse riflessioni. La sequenza temporale inizia in corrispondenza del collegamento tra la linea di trasmissione e la sorgente avente resistenza interna R g. Se la tensione a vuoto del generatore

15 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 173 R g et) Γ g Γ L R L Γ = 1 g V 2 ) e t z 1 0 l V z Γ L V T 2T t 1 4T Γ Γ g Γ Γ 2 g L V L V 2 2 g L V Γ Γ 3T t Figura 8.5: Diagramma a traliccio per la tensione lungo la linea di trasmissione. è un gradino di ampiezza V 0, ai morsetti esterni del generatore è presente un gradino di tensione di ampiezza V 0 V = V 0 [Z c / Z c R g )] = V 0 1 Γ g ) /2. Il fronte di salita si propaga con velocità e all istante t = τ raggiunge il carico, dove è generato un segnale riflesso il cui fronte di salita ha ampiezza V 1 = V 0 V Γ L e viaggia verso la sorgente con la stessa velocità. A t = 2τ il segnale riflesso giunge a z = 0 dove è generato un nuovo segnale che si propaga verso il carico e che ha ampiezza V 2 = V 0 V Γ L Γ g. Il processo continua avanti e indietro all infinito, anche se ad ogni riflessione l ampiezza dell impulso che si somma tende a zero in quanto Γ L e Γ g sono minori di uno. I fenomeni appena descritti sono analiticamente sintetizzati all interno della 8.37). In particolare in corrispondenza delle sezioni terminali è possibile usare le 8.38) e 8.39) ed essendo et α) = V 0 si ottiene: [ ] v 0, t) = V V Γ g ) Γ L Γ g Γ L ) n 8.40) v l, t) = V V 0 1 Γ L ) n=0 Γ g Γ L ) n 8.41) Essendo Γ L Γ g < 1 la serie Γ g Γ L ) n converge al valore 1/1 Γ g Γ L ). Utilizzando tale n=0 n=0

16 8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione 174 risultato è possibile verificare la relazione: 1 1 Γ g ) Γ L Γ g Γ L ) n = 1 Γ L ) Γ g Γ L ) n n=0 e usando le 8.35)-8.36) si ottiene l equazione: 1 Γ L ) n=0 Γ g Γ L ) n = 1 Γ L = R L R g Z c ) 1 Γ g Γ L Z c R L R g ) n=0 Sostituendo quanto ottenuto nelle??)-??) si ottiene quindi: v 0, ) = v l, ) = V V 0 R L R g Z c ) Z c R L R g ) Z c R L R g Z c ) = V 0 R g Z c Z c R L R g ) v = V 0 R L R L R g 8.42) In definitiva per t, cioè quando il transitorio è terminato, i valori di tensione asintotici, v, in z = 0 e z = l sono uguali a quelli ottenuti applicando la teoria dei circuiti a parametri concentrati linea di trasmissione equivalente a un semplice filo). E intuitivo che il tempo impiegato dalla tensione a raggiungere un valore prossimo a quello asintotico è tanto più elevato quanto più è elevato il tempo τ impiegato da un generico fronte d onda ad attraversare la linea, e di conseguenza dalla lunghezza della linea stessa, e dai valori dei coefficienti di riflessione Γ L e Γ g. Se invece la tensione a vuoto del generatore è un segnale di durata finita T 0, in funzione della lunghezza l della linea, e quindi del tempo di transito τ, si possono verificare due condizioni diverse: condizione di riverbero, τ < T 0 /2, quando durante le riflessioni successive si ha una parziale sovrapposizione dei segnali; condizione di echi multipli, τ > T 0 /2, quando durante le riflessioni successive non si ha sovrapposizione di segnale. Essendo la 8.37) una relazione di carattere generale è chiaro che il diagramma a traliccio può essere utilizzato per determinare la tensione complessiva in un qualsiasi punto z 1 della linea e a un qualsiasi istante di tempo t 1. Infatti, come mostrato in Figura 8.5, una volta tracciato il segmento parallelo all asse dei tempi passante per z 1 e terminante a t 1 è possibile determinare la tensione complessiva in z 1 all istante t 1 sommando le tensioni relative a tutti i tratti obliqui che il segmento interseca nell intervallo di tempo 0 t 1. Inoltre la variazione nel tempo della tensione in un generico punto z è ricavabile tracciando i valori di tensione complessiva lungo la linea verticale che passa per z. Seguendo un procedimento simile a quello descritto per la tensione totale vz, t) è possibile

17 8.4. Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate 175 R g et) Γ g Γ L R L Γ I = 1 2Z c g ) e t z 1 0 l I Γ L I T z 2T t 1 Γ Γ g L I Γ Γ 2 g L I 3T 4T 2 2 g L I Γ Γ t Figura 8.6: Diagramma a traliccio per la corrente lungo la linea di trasmissione. ricavare il diagramma a traliccio per la corrente totale iz, t), considerando che, in base alle equazioni 8.32) e 8.34), la corrente riflessa è legata a quella incidente mediante il coefficiente di riflessione invertito di segno. In Figura 8.6 è rappresentato il diagramma a traliccio per la corrente lungo la linea di trasmissione Anche per la corrente il fenomeno della riflessione multipla prosegue all infinito e il valore di corrente asintotico,i, può essere ricavato dal valore di tensione asintotico tramite la relazione: i = v R L = V 0 R g R L 8.43) 8.4 Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate Come detto in precedenza la presenza di terminazioni non adattate alla linea di trasmissione in corrispondenza delle sezioni z = 0 R g Z c ) e/o z = l R L Z c ) comporta la comparsa di una serie di onde riflesse che perturbano, anche sostanzialmente, lo stato elettrico della linea stessa rispetto al caso di adattamento completo. In questi casi, al fine di prevenire dei malfunzionamenti alle sezioni del carico e del generatore, è indispensabile studiare il transitorio di tensione e di corrente. Si consideri per esempio il tipico collegamento mostrato in Figura 8.3, e si supponga di calcolare la risposta al gradino di tensione Ut) di ampiezza V 0 = 2V et) = 2Ut)) nel caso in cui l uscita è chiusa in circuito aperto R L = ) e il generatore è adattato alla linea di trasmissio-

18 8.4. Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate 176 R g =50 Ω R g =50 Ω V 0 Ut) 0 1 RL= V 0 Ut) 0 1 RL= V V = ns t 0 l=30 cm z a) V V 1 ns I V 0 = 2Z c 2 ns t 0 l=30 cm z I I b) 1 ns Figura 8.7: a) diagramma a traliccio per le tensioni e b) per le correnti lungo una linea di trasmissione avente impedenza caratteristica Z c = 50 Ω e chiusa sulle impedenze R L = e R g = 50 Ω. ne R g = Z c ). Le caratteristiche fisiche e geometriche della linea di trasmissione sono l = 30 cm, R g = 50 Ω, ϵ = ϵ 0, L = nh/m, C = pf/m. In queste ipotesi di lavoro è possibile ricavare tramite la 8.25) una impedenza caratteristica della linea pari a Z c = 50 Ω, e il tempo di propagazione lungo la linea di trasmissione è τ = 1 ns. In Figura 8.7a) e 8.7b) sono riportati rispettivamente i diagrammi a traliccio della corrente e della tensione. Essi presentano solo due rami in virtù del fatto che il generatore è adattato alla linea di trasmissione. Inizialmente, dalle 8.27) si ricava che la tensione al terminale d ingresso della linea è uguale a 1 V. Per istanti di tempo vicini a t = 0 sulla linea è presente solo l onda incidente. Quando all istante t = 1 ns l onda incidente raggiunge il terminale d uscita il circuito aperto non è in grado di soddisfare la condizione al contorno, che richiede una corrente nulla, a meno che non sia generata un onda riflessa tale che i r z, t) = i i z, t) a cui corrisponde v r z, t) = v i z, t). Infatti essendo Γ L = 1 la tensione dell onda riflessa è uguale a quella dell onda incidente e le onde di corrente si compensano in modo tale che la corrente totale d uscita sia nulla. Pertanto, l ampiezza della tensione risultante al carico è un gradino di tensione con ampiezza 2 V, il doppio dell ampiezza dell onda incidente. L onda riflessa impiega 1 ns per raggiungere il generatore e pertanto all istante t = 2 ns la tensione dell onda riflessa e quella dell onda incidente si sommano all ingresso della linea di trasmissione e danno un ampiezza totale di 2 V. Infine, essendo dalla 8.36) Γ g = 0 il generatore adattato alla linea di trasmissione), l onda riflessa è completamente assorbita dalla resistenza interna del generatore e quindi non c è nessuna ulteriore riflessione. In Figura 8.8 è riportata l evoluzione temporale della tensione alle due sezioni terminali della linea di trasmissione. Le funzioni analitiche che individuano gli andamenti temporali illustrati in Figura 8.8 possono essere facilmente ricavati dal diagramma a traliccio mostrato in Figura 8.7 o dalle 8.38) e 8.39): v 0, t) = Ut) Ut 2τ) v l, t) = 2Ut τ)

19 8.4. Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate Tensione al carico Tensione ingresso guida Tensione generatore Tensione [V] Tempo [s] x 10 9 Figura 8.8: Evoluzione temporale della tensione ai capi del carico linea continua), all ingresso della linea di trasmissione linea tratteggiata), e del generatore linea punteggiata) nel caso in cui R L = e R g = 50 Ω Si osservi che l adattamento di impedenza in corrispondenza di z = 0 implica una durata del transitorio di solo 2 ns. Quando il carico è costituito da un corto circuito la tensione sul carico è ovviamente nulla e pertanto affinché tale condizione al contorno possa essere soddisfatta è necessario che sia presente anche un onda di tensione riflessa avente la stessa ampiezza dell onda di tensione incidente ma con segno opposto. Infatti solo in questo modo la tensione totale al carico è nulla, condizione che tra l altro può essere ricavata osservando che in corrispondenza della sezione z = l si ha Γ L = 1. Quando invece all istante t = 2 ns l onda riflessa raggiunge l ingresso della linea di trasmissione, compensa la tensione dell onda incidente e quindi la tensione totale va a zero anche in questa sezione. In Figura 8.9 sono riportati i diagrammi a traliccio per la tensione e la corrente mentre in Figura 8.10 è rappresentata l evoluzione temporale della tensione all ingresso e all uscita della linea di trasmissione e del generatore. Anche in questo caso è possibile ricavare le funzioni analitiche che individuano gli andamenti temporali mostrati in Figura 8.10 o riferendosi al relativo diagramma a traliccio o utilizzando le equazioni 8.38) e 8.39): v 0, t) = Ut) Ut 2τ) vl, t) = 0 Anche in questo caso la condizione R g = Z c assicura che dopo i primi 2 ns si ha il funzionamento a regime. In Figura 8.11a) e 8.11b) sono invece riportati rispettivamente i diagrammi a traliccio per la tensione e la corrente relativi ad una configuarazione in cui il

20 8.4. Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate 178 R g =50 Ω R g =50 Ω V 0 Ut) 0 1 RL=0 V 0 Ut) 0 1 RL=0 V V = ns t 0 l=30 cm z a) V V 1 ns I V 0 = 2Z c 2 ns t 0 l=30 cm z I I b) 1 ns Figura 8.9: a) diagramma a traliccio per le tensioni e b) per le correnti lungo una linea di trasmissione avente impedenza caratteristica Z c = 50 Ω e chiusa sulle impedenze R L = 0 e R g = 50 Ω Tensione al carico Tensione ingresso guida Tensione generatore Tensione [V] Tempo [s] x 10 9 Figura 8.10: Evoluzione temporale della tensione all uscita della linea di trasmissione linea continua), all ingresso della linea di trasmissione linea trattteggiata), e del generatore linea punteggiata) nel caso in cui R L = 0.