Corso di Economia Pubblica Giuseppe De Feo Esercitazione 3

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1 Corso di Economia Pubblica Giuseppe De Feo Esercitazione Giuseppe De Feo Esercizio Joe the Farmer ha una ricchezza monetaria pari a Euro e deve decidere se comprare 000 mucche al prezzo di 600 Euro ciascuna sapendo che dopo un anno le potrà rivendere a 000 Euro si assuma per semplicità che non vi sono costi di gestione della fattoria). Ma egli corre il rischio di perdere tutte le mucche se il virus della mucca pazza si diffonde nella sua fattoria. Si stima che c è il 0% di probabilità di un tale evento. Tuttavia Joe ha un alternativa. Può decidere di comprare 5000 pecore ad un prezzo di 0 Euro ciascuna che potrà rivendere in un anno ad un prezzo di 00 Euro l una si assuma ancora che non ci siano costi di gestione della fattoria). Purtroppo, però se il virus della pecora triste si diffonde nel suo gregge perderà tutte le pecore. Anche in questo caso, si stima che la probabilità di un tale evento sia del 0%. Le preferenze di Joe possono essere rappresentata dalla funzione di utilità Ux) = x. a) Si dimostri che Joe è avverso al rischio Soluzione. Joe è avverso al rischio poiché la sua funzione di utilità è concava, ovvero ha utilità marginale decrescente. Inoltre possiamo illustrare lo stesso punto paragonando l utilità del valore atteso di una lotteria e l utilità attesa della stessa lotteria. b) Qual è l utilità del valore atteso della ricchezza e qual è l utilità attesa di Joe se egli compra le 000 mucche? Perché i due valori sono diversi? Si dimostri che Joe è indifferente tra comprare 000 mucche o 5000 pecore. Soluzione. L utilità del valore atteso della ricchezza è mentre l utilità attesa è UEV = 0., 000, = 4.6 EU., 000, = 00 Queste sono diverse UEV > EU) perché Joe è avverso al rischio. Esattamente gli stessi valori sono ottenuti se Joe compra 5000 pecore. c) Supponendo che la mucca pazza non colpisca le pecore e che le mucche siano immuni alla pecora triste, si mostri che Joe preferisce acquistare 500 mucche e 500 pecore invece di 000 mucche o 5000 pecore. Soluzione. Se Joe diversifica il rischio, il valore atteso della ricchezza non cambia, ma cambia invece l utilità attesa che dipende dal rischio. Infatti c è una probabilità pari a

2 .. =. di ottenere una ricchezza paria a Euro senza malattie; una probabilità pari a. 0.. di ottenere una ricchezza di Euro poiché una delle malattie si manifesta; c è infine una probabilità pari a di perdere tutto quando entrambe le malattie si manifestano. Quindi il valore atteso della ricchezza è pari a = Euro come prima, mentre l utilità del valore atteso della ricchezza è UEV = 00, 000 = 4.6. L utilità attesa è invece: EU = 7.. Questo dimostra che diversificare l investimento riduce il rischio e aumenta l utilità attesa di un individuo avverso al rischio, ma non cambia il valore atteso della lotteria. Esercizio Secondo un indagine dell US Census bureau, metà degli uomini USA gruppo A) ha una probabilità del 75% di vivere più di 70 anni, mentre per un altra metà gruppo B) la stessa probabilità è solo il 50%. Si assuma che le spese necessarie per vivere più di settant anni siano pari a Euro per tutti gli individui. Si assuma inoltre che compagnie private offrano schemi assicurativi pensioni) che coprano completamente i costi di vivere più di 70 anni. Gli individui che appartengono al gruppo A sono disposti a pagare euro per questo contratto, mentre gli individui appartenenti al gruppo B valutano questo contratto solo.000 euro. a) Gli uomini americani sono tutti avversi al rischio? Si spieghi il perché. b) Si assuma che le imprese assicurative siano in grado di accertare con precisione il gruppo a cui appartiene ciascun individuo. Quali sono i prezzi che i membri dei due gruppi pagano in concorrenza perfetta? Chi acquisterà il contratto assicurativo? c) Si assuma ora che le imprese non siano in grado di selezionere gli individui a seconda del gruppo di appartenenza e quindi offrono un unico contratto assicurativo. Si mostri che il mercato è inefficiente e si spieghi il perché. d) Si spieghi se questo sia un caso di selezione avversa o di azzardo morale e si discutano i possibili interventi governativi per aumentare l efficienza del settore. Soluzione. a) They are risk averse because the willingness to pay is larger than the expected cost $5, 000 and $, 000 versus $0, 000 and $0, 000 for groups A and B, respectively). b) By competitive equilibrium price we mean a price equal to the expected cost of the contract. When a precise risk assessment is possible the firms will charge a price equal to $0, 000 to individuals belonging to group A and $0, 000 to those belonging to group B. All US males will buy the contract offered to them since their willingness to pay is larger than the price.

3 c) If risk assessment is not possible any insurance firm way think of offering the contract to a price not lower than the expect cost across population, that is $5, 000. However, at that price group B individuals will not buy the contract. So the expected cost for any individual who will buy the contract at that price is $0, 000 and thus the firm will make losses. The price should increase to $0, 000 to break even. This is the competitive equilibrium price but it is inefficient since half of the population group B) does not buy any contract even though each of them was prepared to pay more than the expected cost of their insurance contract. Not all the gains from trade are exploited. They would buy the contract at a price not higher than $, 000 but no firm would offer such contract than will attract all individuals from both groups with an expected cost of $5, 000 because they would make losses. d) This is a case of adverse selection: a pre-contractual asymmetry of information is in place since individuals have different willingness to pay since they know their individual chance of outliving 70 while insurance firms know only the distribution in the population of these chances. The inefficiency arises because individuals belonging to group A who have a higher expected cost would pretend to belong to group B to pay a lower price. The effect is that no contract would be offered to group B individuals. Compulsory insurance at a price of $5, 000 might be a possible way of increasing the surplus generated in the market but it will not be Pareto improving since group B individuals will be forced t pay a price higher than their willingness to pay and would in turn subsidise group A individuals. Esercizio Si considerino due individui identici, le cui preferenze sono descritte dalla funzione di utilità Ux) = x, e che massimizzano ciascuno la propria utilità attesa. Ciascun agente possiede solo un asset che paga 00 euro con una probabilità del 50% oppure zero con una probabilità del 50%. I due asset sono indipendenti, cioè il rendimento di ciascuno è indipendente dal rendimento dell altro. a) Quanto sarebbero disposti a pagare i due individui per avere un assicurazione che integra la differenza tra ciò che paga l asset e 00 euro? [Si noti che la disponibiltà a pagare è il prezzo tale che l utilità attesa dell asset senza assicurazione è pari all utilità attesa dell asset con assicurazione] b) I due individui potrebbero, però anche optare per formare un fondo comune mettendo insieme i loro due asset e ripartendo gli introiti totali per due. Dimostra che il nuovo asset la quota individuale del fondo comune) è diverso dall asset originario ed ha un rischio minore. [Si calcolino i pagamenti possibili e la probabilità con cui avvengono, il valore atteso e la varianza, e si confrontino con quelli dell asset originario] c) Si analizzi ora la disponibilità a pagare per l assicurazione di cui al punto a) ora che i due individui hanno formato il fondo comune. Si calcoli la nuova disponibilità a pagare e si spieghi il motivo per cui questa cambia. Soluzione.

4 . An agent is willing to pay at most a price equal to the difference between 00 and the certainty equivalent CE) to the risky asset. The certainty equivalent is the certain payoff that is indifferent to the risky asset for the agent. That is, it is the some of money that gives the same expected utility of the risky asset. So, in order to answer the question we need to: i) compute the expected utility of the risky asset; ii) compute the certainty equivalent; and iii) obtain the willingness to pay for the insurance contract from the difference 00 CE. i) the expected utility from the asset is: ii) the certainty equivalent is such that: EUA).5U00) + 0.5U0).5 00 = 5 CE = EUA) = 5 = CE = 5 = 5 iii) the willingness to pay is equal to 00 CE 0 5 = 75 An agent is willing to pay up to 75 to get rid of the risk and get always paid 00. An alternative way of deriving the willingness to pay it to solve the following equation: U00 F ).5U00) + 0.5U0) by finding the value of F. That is: 00 F = F = F = 5 F = 75.. The two agents pool their risky assets in the mutual fund so that they receive half of the sum of the realizations. Recalling that the two assets are independent, the mutual fund will get: 00 with a chance of 5%. In fact the probability that both assets pay 00 is equal to the product of the probabilities that each asset pays 00. This is or 5%. 00 with a chance of 50%. There are two cases in which the mutual fund receives 00. The first case is when the first asset pays 00 and the second asset pays 0; the probability of this outcome is The second case is when the second asset pays 00 while the first asset pays 0; the probability of this outcome is again 0.5. Therefore, the probability that one and only one asset pays 00 is then or 50%. finally the last possible outcome occurs when no asset pays 00 and the mutual funds receiver 0. This outcome occurs with a chance of 5%. 4

5 Now, since the new asset is equal to half of the mutual fund, it pays: 00 with a chance of 5%; 50 with a chance of 50%; 0 with a chance of 5%. The new asset is different because it is less risky than the previous one, even though it has the same expected payoff 50). It is less risky because the spread of the probability distribution around the mean is smaller.. Agents would accept the mutual asset proposal only if it gives a higher expected utility with respect to the risky asset. From point one, we know that EUA) = 5 whereas the expected utility of the mutual fund EUMF) is: EUMF ).5U00) + 0.5U50) + 0.5U0) =.5 + ) 6.04 So, the new asset has larger expected utility and is preferred by both agents. 4. The availability of a safer alternative will of course change the willingness to pay for the insurance policy. As before, to compute it we need first to compute the certainty equivalent: CE = 6.04 = CE = Therefore the willingness to pay for the insurance contract drops to = 6.5. The alternative way of deriving the willingness to pay it to solve the following equation: U00 F ).5U00) + 0.5U50) + 0.5U0) by finding the value of F. That is: 00 F F =.5 + ) F = F = 6.5. Esercizio 4 Si ipotizzi che Vanessa ed Olimpia possiedano una ricchezza pari a 00 euro. Entrambe corrono il rischio di perdere tutta la loro ricchezza con una probabilità del 0% e che vogliano assicurarsi. Le loro preferenze sono rappresentate dalle seguenti funzioni di utilità: Ux) = x V x) = x per Vanessa; per Olimpia. 5

6 a) Qual è la copertura assicurativa che ciascuna di esse acquisterà se il premio assicurativo è pari a 0 centesimi per euro di copertura? b) Come cambia la scenta se il premio assicurativo è invece di 0 centesimi per euro di copertura? Soluzione. First of all we can compare the risk aversion of Vanessa and Olimpia using the Arrow-Prat coefficient of risk-aversion that for the utility function at hand is xu U x α α) x α) = αx α) = α α) x α) αx α) = α So, the risk-aversion coefficient is for Vanessa and risk averse than Vanessa. for Olimpia. Therefore, Olimpia is more. The choice about how much insurance to buy for the two consumers will maximize their expected utility given the price of 0p per pound of coverage C). Let s start with Vanessa. Her expected utility when she buys C units of coverage is: EU J C) + 0. C 0.C) or = 00 0 ) ) 0 C C The level of coverage that maximizes the EU can be found by using the FOC for EU maximization: EU J C = C 00 0 C ) C C C 0 C ) 0 By raising at the power of both LHS and RHS of the equation we get: 0 C 0 0 C C 0 So, the level of coverage that maximizes Vanessa s EU is C=00; i.e., full coverage. Notice that with C she will buy no insurance Notice that the result from the FOC is a maximum necessarily as the Second Order Condition EU J C < 0 always holds. 6

7 As for Olimpia, his expected utility of buying C of coverage is: and the First Order Condition is: EU F C EU F C) + 0. C 0.C) or = 00 ) ) 0 0 C C = C 00 0 C C + 00 = 00 0 C ) C 0 C ) 0 By raising at the power of both LHS and RHS of the equation we get: 0 C 0 0 C C 0 Therefore, as Vanessa, Olimpia will buy full insurance he insures his whole wealth against the risk of loss) when the insurance premium is actuarially fair.. Things would change if the insurance premium is above the fair price. If it is 0p per the EU of buying C of coverage for Vanessa becomes: EU J C) + 0. C 0.C) or = 00 0 ) ) 0 C C The FOC for EU maximization for Vanessa is: EU J C = C 0 C 00 0 C ) C + = 00 = C ) 00 0 C 00 0 C C ) 0 7

8 By raising at the power of both LHS and RHS of the equation we get: 0 C = ) C 0 C = C ) 64 + C = ) C = 600 C = So, the level of coverage that maximizes Vanessa s EU when the premium is 0p per is C =.5, much less than full coverage. Turning to Olimpia, his EU of buying C of coverage is: EU F = 0 The FOC for EU maximization for Olimpia is: EU J C = C 0 C 00 ) ) 0 C C 00 0 C ) C + = 00 = C ) 00 0 C 00 0 C C ) 0

9 By raising at the power of both LHS and RHS of the equation we get: ) 0 C = 00 ) 4 0 C ) 4 0 C = 00 ) 0 C ) 00 0 C = 0 ) C 0 C = 00 0 ) 7 C 0 C C ) C ) C 0 7 C 0 7 Therefore the results can be summarized as follows: i) When the premium is actuarially fair, all the risk-averse individuals buy full coverage; ii) When the premium charged by insurance companies is higher than the fair premium, all risk-averse individuals would buy less than full coverage; iii) When the premium is larger than the fair premium, the higher the risk aversion, the larger the coverage bought by the individual. Esercizio 5 di utilità Si assuma che le preferenze di Marco possono essere descritte dalla funzione Ux) = x. a) Si dimostri che Marco è avverso al rischio e si descrivano le altre possibili attitudini al rischio. Si ipotizzi che tutta la ricchezza di Marco sia costituita da una proprietà immobiliare il cui valore è stimato il milione di euro, che però ha una probabilità del 0% di essere completamente distrutta da un incendio. b) Si calcoli l utilità del valore atteso e l utilità attesa della proprietà di Marco. Perché sono diverse? c) Si dimostri che, se sul mercato è disponibile solo un contratto che offre copertura assicurativa totale, Marco è disposto a pagare fino a 0000 euro per tale contratto.

10 d) Si consideri ora che Marco possa scegliere il livello di copertura assicurativa da acquistare. Si mostri che, se il premio assicurativo è di 5 centesimi per euro di copertura, Marco acquista 45.7 euro di copertura assicurativa. Si spieghi inoltre perché se il prezzo fosse stato di 0 centesimi per euro di copertura, Marco avrebbe assicurato la suo proprietà per un ammontare pari al il suo valore reale. Soluzione.. He is risk averse since the utility function had decreasing marginal utility. Also a comparison between the utility of the expected value of a lottery and the expected utility of the same lottery may be used to illustrate the point by showing that the former is higher than the latter.. The utility of expected value is UEV = 0., 000, = 4.6 EU., 000, = 00 They differuev > EU) because Marco is risk averse.. Marco is willing to pay at most a price equal to the difference between m and the certainty equivalent CE) to the risky asset. The certainty equivalent is the certain payoff that is indifferent to the risky asset for Marco; that is: CE = 00; CE = 0, 000 The willingness to pay is therefore, 000, 000 0, 000 = 0, When Marco can choose the level of coverage, his EU of buying C of coverage when the price is 5p per pound is: EU = 0 = 0 m 5 ) 00 C m 0 C + 0 ) + 0 C C ) 00 C ) 0

11 The FOC for EU maximization is: EU C = 0 0 = m 0 C m C m 0 C 7 = 7 m 0 C = ) C C 7 0 C 0 C m 0 C = 7 40 C 70 C =, 000, C =, 000, C = 7, 000, 000 = With a fair price equal to 0p per pound the complete insurance theorem would apply and therefore risk-averse Marco would have insured his property for its full value.