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1 1 Appello sessione estiva 2009/ 2010 (tassi equivalenti - ammortamento) 1 Parte Rispondere ai seguenti distinti quesiti in A) e in B). A) Il capitale C=10000 è stato impiegato in capitalizzazione composta semestrale, al tasso semestrale di interesse i 1/ 2 = 0,01 dal 1/1/2009 al 1/7/ ) Determinare il montante prodotto al 1/7/ ) Determinare il valore dei seguenti tassi equivalenti al tasso suddetto ( i 1/ 2 = 0,01) per la durata di impiego dal 1/1/2009 al 1/7/2010: - tasso annuo i della capitalizzazione composta annua, convenzione esponenziale, - tasso annuo î della capitalizzazione composta annua, convenzione mista, - tasso annuo i* della capitalizzazione semplice. B) Il capitale A=20000 è stato prestato il 1/1/2009 e viene ammortizzato con 6 rate annue posticipate costanti al tasso annuo del 4%. 3) Stendere il piano d ammortamento. Il 1/1/2013, subito dopo il versamento della rata ivi dovuta, determinare valore del prestito e l usufrutto nelle seguenti ipotesi: 4) è dato il tasso annuo di interesse della capitalizzazione composta annua i=0,05; è data la legge di capitalizzazione continua ad intensità annua di annua di interesse δ=0,06; 5) sono dati i tassi annui spot (tempo misurato in anni a partire dal 1/1/2013) i 0 (0,1)= 0,053, i 0 (0,2)=0,048. Soluzione 1) M 1/ 7 /10 = ( ) 3 =10303,01 ( 1,01) 3 = ( 1+ i) 1,5 1+ i = ( 1,01) 2 2) ( 1,01) 3 = 1+ ˆ i ( ) ( 1,01) 3 = i* ˆ % i ' & ( 1,01) 3 =1+ 3 ˆ i + 1 ˆ i i* = 0,02020 i = 0,0201 ˆ 3,02 non accett. i = 0,02007 Sì ˆ i = 0, ) R = = 3815,23 0,04 Anno z Rata Quota interessi Quota capitale Debito estinto Debito residuo , , , , ,23 679, , , , ,23 553, , , , ,23 423, , , , ,23 287, , , , ,23 146, , , ) V 1/1/13 = 3815,23a 2 0,05 = 7094,09 [ ] = 6976,85 V 1/1/13 = 3815,23 e 0,06 + e 0,06 2 5) V 1/1/13 = 3815,23 ( 1,053) 1 + ( 1,048) 2 & % '( = 7096,95 U 1/1/13 = 287,84( 1,053) ,74 1,048 U 1/1/13 = 287,84( 1,05) ,74( 1,05) 2 = 407,21 ( ) 2 =406,96 U 1/1/13 = 287,84e 0, ,74e 0,06 2 =401,21

2 7 ) Appello 03/06/2009 (valutazione rendite -titoli) 1 parte Si consideri la seguente rendita: cinque rate semestrali di ammontare R=500 (prima rata disponibile il 1 /1/09). Determinarne il valore al 1 /1/11 nelle distinte ipotesi: 1) capitalizzazione composta annua a tasso semestrale di interesse = 0,02; 2) convenzione di c/c bancario (con capitalizzazione a fine anno) al tasso annuo di interesse i=0,04. 0,01 3) capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse ( s) = (l'istante iniziale di 1+ 0,01s questa legge è il 1 /1/09). Oggi 1 gennaio 2009 (tempo 0) è disponibile il titoloa di valore nominale C=100, che dà diritto a cedole annuali di ammontare Ci=3 e rimborso alla pari il 1 /1/2013 (prima cedola disponibile il 1 /1/ 2010); il suo prezzo (valore) oggi è 98: _ /1/09 1/1/10 1/1/11 1/3/11 1/1/12 1/1/13 4) Determinare il tasso di effettivo rendimento del titolo A acquistato oggi e trattenuto fino al rimborso; 5) ipotesi di struttura piatta al tasso annuo i=0,04, determinare il dietimo e il corso secco del titoloa alla data 1 marzo SOLUZIONE 7 ) ( 1) 1) = 500s 5 0,02 = 2602,02 2) 3) S 1/ 1/ 11 ( 2) S 1/1/11 ( t) = e ( 2) ( t) 1+0,02 ln = e ( 3) S 1/1/11 ( = 500 ( 1,04) ,04 % + * ' +1-1,04 ) &, t 0, ,01s ds = ln( 1+ 0,01s) 1+0,01t 1+ 0,02 = 1+ 0,01t = 500 e ( 2 ) ( 2) ( 0,5) 2 & + e + e % ( ( ) + 500* ,04 ) [ ] 0 t = ln 1+ 0,01t ( ) 1 ( ) + e 2 ( ) ( ) 1,5 _ /1/09 1/1/10 1/1/11 1/3/11 1/1/12 1/1/ ) 98=3 a 4 0, x ( ) x 1 = = 0, s 4 x x 3 = s 4 x2 = 0, x = s 4 x i 1 2 % + ' +1- = 2601,2 &, ( ) ' +1 ) = 2524,876. ( 100 x 2 = = 0, s 4 x 1 x = 0, ) Dietimo=3 =0,5 Corso secco= , ( ) 10 : x 0 = 3 98 = 0, ( ) % , & ' ( =98,2734

3 Appello del 17/06/2009 (ammortamento a rate semestrali costanti-mercato ) Si risponda ai seguenti distinti quesiti. -Oggi si contrae il debito A=1000 euro e si decide di ammortizzarlo in 5 anni al tasso annuo i=0,03 in capitalizzazione composta (convenzione esponenziale) con 10 rate semestrali posticipate costanti, si chiede di determinare: 1) il tasso semestrale equivalente al tasso annuo i=0,03 e il tasso nominale convertibile 2 volte l anno j(2); 2) la rata semestrale costante e il debito residuo subito dopo il versamento della sesta rata semestrale; 3) supponiamo che dopo il versamento della sesta rata non si sia più in grado di versare le rate successive. Si chiede di determinare quale capitale iniziale, al tempo 0, (A ) si è ammortizzato con il versamento delle sole 6 prime rate. -Oggi il 1 /01/09 (tempo 0) sono disponibili in un mercato coerente i seguenti 2 titoli: Primo titolo senza cedole (z.c.b.) con valore nominale 100, prezzo oggi 98 e rimborso alla pari il 1 /01/10; Secondo titolo con cedole (c.b.) con valore nominale 100, cedole annue posticipate ciascuna di ammontare 2, prezzo oggi 97 e rimborso alla pari il 1 /01/11; si misuri il tempo in anni a partire dal 1 /01/09, si chiede di: 4) determinare il tasso annuo spot i 0 (0,1) e il tasso annuo spot i 0 (0,2); 5)il tasso anuo forward i 0 (1,2). SOLUZIONE ) 1) 1+0,03=(1+i 1/2 ) 2 da cui i 1/2 0,01489 j(2)=0,01489x2=0, ) 1000=R a 10 0,01489 da cui R=108,37099 D 3 anni =108,37099 a 4 0,01489 =417,815 3) A =108,37099 a 6 0,01489 =617,64 4) 98(1+i 0 (0,1))=100 da cui i 0 (0,1))=0,0204, 97=2(1+ i 0 (0,1)) (1+ i 0 (0,2)) -2 =2x98/ /(1+ i 0 (0,2)) -2 da cui i 0 (0,2)=0, ) (1+ i 0 (0,2)) 2 =(1+ i 0 (0,1)) (1+ i 0 (1,2)) cioè (1+ 0,03596) = 98 (1+ i 0(1,2)) da cui i 0 (1,2)=0,05176

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5 Appello del 1 luglio 2009 (costituzione, ammortamento) 1 parte Devo costituire il capitale C=1000 per la scadenza 1 /1/2012. Per la costituzione utilizzo 3 rate annue (1 rata versata il 1 /1/2010). Determinare il valore di ciascuna rata nelle distinte ipotesi: 1) le rate sono costanti in regime di capitalizzazione composta annua al tasso annuo i=0,04; 2) le rate sono ciascuna il doppio della precedente (cioè R 1, R 2 =2 R 1, R 3 =2 R 2 =4 R 1 ) in regime di capitalizzazione composta annua al tasso annuo i=0,04; 3) le rate sono costanti in regime di capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse s ( ) = 0,04 + 0,02s (l'istante iniziale di questa legge è il 1 /1/10). Devo ammortizzare il debito A=889 mediante il versamento di 3 rate annue posticipate costanti al tasso annuo i=0,04. 4) Determinare il valore delle rate e delle quote capitale; 5) subito dopo il versamento della prima rata, determinare il valore del prestito e la nuda proprietà al tasso annuo di valutazione i=0,05. Soluzione 1) 1000 = R (1) s 3 R (1) = 320,35 0,04 2) 1000 = R 1 ( 1+ 0,04) 2 + 2R 1 ( 1+ 0,04) + 4R 1 R 1 =139,63 R 2 = 279,26 R 3 = 558,53 t ' 3) ( t) = ( 0,04 + 0,02s)ds = & 0,04s + 0,02 s2 ) = 0,04t + 0,01t 2, 0 % 2 ( = R ( 3) e ( 2) + e ( 2) ( 1) +1 ( ) e 0,08+0,04 0,08+0,04-0,04+0,01 + e ( ) +1 ( ) = R 3 ( ) R 3 4) 889 = R (4) a 3 R (4) = 320,35 0,04 C z = ( 1,04) z1 C 1 = 284,79 C 2 = 296,18 C 3 = 308,03 0,04 5) V = 320,35a 2 0,05 = A = 296,18( 1 + 0,05) ,03( 1+ 0,05) 2 = 561,87 t ( ) = 312,5

6 APPELLO (Capitalizzazioni, ammortamento) A) Si risponda ai seguenti distinti quesiti. Primo quesito. Si versino 100 euro il 1 /04/2010. Determinare il montante al 31/12/2012: 1) in regime di interesse semplice e in regime di capitalizzazione composta annua convenzione esponenziale al tasso annuo di interesse del 3% rispettivamente; 2) in regime di conto corrente bancario (capitalizzazione degli interessi il 31/12 di ciascun anno solare) al tasso annuo di interesse del 3%; 3) in regime di capitalizzazione continua a tasso annuo istantaneo di interessa ρ(s)=0,1+0,02s, l istante iniziale di tale legge è il 1 /01/2010. Secondo quesito. Il debito A= 200 euro è ammortizzato in 8 anni con un ammortamento francese a tasso annuo di interesse i=0,05. 4) Si chiede di determinare il valore della rata costante e compilare la quinta riga del piano di ammortamento. 5) Supponiamo che dopo il versamento della quinta rata non si paghino più le ultime 3 rate di ammortamento previste dall ammortamento francese, si chiede di: dire a quanto ammonta il debito ancora da estinguere in tale data (cioè alla fine del quinto anno). Tale debito residuo è ammortizzato negli ultimi 3 anni con un ammortamento americano, determinare le ultime 3 rate di ammortamento, e determinare la sesta, la settima e l ottava riga del piano di ammortamento così modificato (il tasso di interesse annuo è sempre i=0,05). SOLUZIONE 1) M 1 = , %% '' =108,25 && ( ) 2+ 9 M 2 = ,03 12 =108,46 2) M 3 = ,03 9 % ' 1+ 0,03 12& 3) ( ) 2 =108,47 [ ] (t) = ( 0,1+ 0,02s)ds = 0,1s + 0,01s 2 t = 0,1t + 0,01t 2 M 4 =100 e t 0 0 (3) 3 ' & 0,3+0,090,1 3 % 12 ( 12 0,01 3 & 2 % ( 12 ' e ) =100 4) 200=R a 8 0,05 da cui R=30,94; D 4 =30,94 a 4 0,05 =109,71 z R D z I z C z 4 109, ,94 84,25 5,48 25,45 =143,96 5) D 5 =84,25; R* 6 =R* 7 =84,25x0,05=4,21 R* 8 =84,25+4,21=88,46 z R* z D* z I* z C* z 6 4,21 84,25 4, ,21 84,25 4, ,46 0 4,21 84,25

7 APPELLO (Capitalizzazioni, ammortamento) B) Si risponda ai seguenti distinti quesiti. Primo quesito. Si versino 300 euro il 1 /03/2010. Determinare il montante al 31/12/2012: 1) in regime di interesse semplice e in regime di capitalizzazione composta annua convenzione esponenziale al tasso annuo di interesse del 4% rispettivamente; 2) in regime di conto corrente bancario (capitalizzazione degli interessi il 31/12 di ciascun anno solare) al tasso annuo di interesse del 4%; 3) in regime di capitalizzazione continua a tasso annuo istantaneo di interesse ρ(s)=0,03s 2, l istante iniziale di tale legge è il 1 /01/2010. Secondo quesito. Il debito A= 600 euro è ammortizzato in 6 anni con un ammortamento a quote di capitale costanti a tasso annuo di interesse del 4%. 4) Si chiede di determinare il valore della quota di capitale e compilare la terza riga del piano di ammortamento. 5) Supponiamo che dopo il versamento della terza rata non si paghino più le ultime 3 rate di ammortamento previste dall ammortamento a quote di capitale costanti, si chiede di: dire a quanto ammonta il debito ancora da estinguere in tale data (cioè alla fine del terzo anno). Tale debito residuo è ammortizzato negli ultimi 3 anni con un ammortamento americano, determinare le ultime 3 rate di ammortamento, e determinare la quarta, la quinta e l sesta riga del piano di ammortamento così modificato (il tasso di interesse annuo è sempre del 4%). SOLUZIONE 1) M 1 = , %% '' =334 && ( ) 2+10 M 2 = ,04 12 =335,26 2) M 3 = ,04 10 % ' 1+ 0,04 12& 3) t (t) = ( 0,03s 2 )ds = [ 0,01s 3 ] 0= 0,01t 3 M 4 =300 e 600 4) C= 6 =100; 2 0 (3) 2 ' & % 12 ( ( ) 2 =335,296 ) =100 e 0,270,01 2 & 3 % ( 12 ' B 2 = 100=200, D 2 = =400, z=1 =392,97 z C D z I z R z ) D 3 =300; R* 4 =R* 5 =300x0,04=12 R* 6 =300+12=312 z R* z D* z I* z C* z

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9 Appello 15 gennaio Fattore di capitalizzazione Ammortamento Rispondere ai seguenti distinti quesiti A) e B). A) E data la funzione così definita: (*) ( ) = 1+ a t 2 2 t 1 2 f t 1,t 2 ( ( )), 0 t 1 t 2, a costante. Si misuri il tempo in anni a partire dal 1 /1/ ) Determinare per quali valori della costante a f ( t 1,t 2 ) può essere un fattore di capitalizzazione da t 1 a t 2. Assunto tale fattore di capitalizzazione, determinare il valore di a sapendo che il capitale C 1 =100 impiegato il 1 /1/2010 produce il montante M=132 il 1 /1/ ) Si consideri sempre il fattore di capitalizzazione (*) e si assuma a=0,02 in esso. Il capitale C 2 =800 è disponibile il 1 /1/2012. Determinare il valore di C 2 alla data 1 /1/2014. B) Il 1 gennaio 2004 ho prestato il capitale A=70000 con l'accordo di ammortamento mediante 7 rate annue posticipate a quote di capitale costanti al tasso della capitalizzazione composta annua i=0,06. 3) Scrivere le prime quattro righe del piano d ammortamento; 4) determinare la nuda proprietà il 1 gennaio 2008 nelle distinte ipotesi: - al tasso annuo di interesse i=0,06 della capitalizzazione composta annua, - al tasso semestrale di interesse i 1 / 2 = 0,04 della capitalizzazione composta semestrale. 5) Subito dopo il versamento della quarta rata si decide di cambiare il tipo di ammortamento completando l ammortamento mediante il versamento di 3 rate annue posticipate costanti (prima rata versata il 1 gennaio 2009) di ammontare R ciascuna. Determinare il valore di R sapendo che il tasso annuo è sempre i=0,06. Soluzione 1) ( ) = 1+a t 1 2 t 1 2 f t 1,t 1 ( ( )) = 1 Sì ; f ( t 1,t 2 ) = a2t 2 > 0 per t 2 > 0 a > 0 t 2 è adatta se è a > f ( 0,4) = ( 1+ a( 16 0) ) = 132 a = 0,02 2) f ( t 1,t 2 ) = 1+0,02 t 2 2 ( ( 2 t 1 )) V 1 / 1/ 2014 = 800 f ( 2,4) = 800( 1+0,02( 16 4) ) = 992 3) Quota capitale: C = = Anno z Quota capitale Debito estinto Debito Quota Rata residuo interessi ) A 4;0,07 = 10000a 3 0,06= 26730,12 1+ i = ( 1+ 0,04) 2 i = 0,0816 5) D 4 = R = ,06 = 11223,294 A 4;0,0816 = 10000a 3 0,0816 = 25696,749

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11 3 Appello sessione estiva 2009/ 2010 (capitalizzazione continua - ammortamento) 1 Parte A) Si consideri la legge di capitalizzazione continua definita dalla seguente intensità annua di interesse: (*) ( s) = 0,03s 2 + 0,01 s 0: 1) determinare il fattore logaritmico di capitalizzazione ϕ(t) da 0 a t, t>0, ( ) = e t 2 ( )( t 1 ) da 2) determinare il fattore di capitalizzazione f t 1,t 2 t 1 a t 2, 0 t 1 t 2 ; 3) si misuri il tempo in anni a partire dal 1/1/2010 e si consideri sempre la legge di capitalizzazione definita dalla (*): - determinare il montante prodotto alla data 1/1/2012 dal capitale C 1 =100 impiegato il 1/1/2010; -- determinare il montante prodotto alla data 1/1/2012 dal capitale C 2 = 200impiegato il 1/7/2010. B) Il capitale A=1000 è ammortizzato in 20 anni al tasso della capitalizzazione composta annua i=0,04 con ammortamento a quote di capitale costanti: 4) scrivere le prime 4 righe del piano d ammortamento; 5) determinare la nuda proprietà subito dopo il versamento della quarta rata nelle seguenti distinte ipotesi: ^ tasso della capitalizzazione composta annua i 1 = 0,05, ^^ tasso annuo di interesse effettivo corrispondente al tasso annuo nominale convertbile 2 volte l anno j ( 2) = 0,06. Soluzione A) 1) B) 2) 3) t ( ) = s t ( ) = e t 2 f t 1,t 2 M 1 =100f 0,2 M 2 = 200f 1 2,2 % ' = & ( )( t 1 ) = t 0 ( )ds = 0,03s 2 t 0( + 0,01)ds = 0,03s 2 % ( + 0,01)ds = 0,03 ( 0 3 s3 + 0,01s & ' ) * e 0,01 ( t 2 3 +t 2 )0,01( t 3 1 +t 1 ) ; ( ) = 100e 0,01( 8+2)0, , e ( )0, & % 2 ' ( ) =110,517 ( = 219,657 t 0 = 0,01( t 3 + t) ; 4) C = = 50 Anno z Quota capitale Debito estinto Debito residuo Quota interessi Rata ) A 4;0,05 = 50a 16 0,05 = 541,888 i 1 = 0,06 = 0,03 tasso annuo effettivo 2 2 A 4;0,0609 = 50a 16 = 502,186 0,0609 i = 1+ 0,03 ( ) 2 1= 0,0609

12 1 ) Appello 16/12/2008 (ammortamento -mercato) Rispondere ad entrambi i quesiti A) e B). A) Il prestito di Euro contratto oggi 1/1/2008, tempo 0, è rimborsabile in 20 anni al tasso annuo del 5% della capitalizzazione composta con un ammortamento francese; si chiede di: 1) determinare le rate e il debito residuo alla fine del diciasettesimo anno, cioè D 17 ; 2) compilare le ultime 3 righe del piano di ammortamento; 3) determinare il valore del prestito alla fine del diciottesimo anno, cioè V 18, al tasso annuo istantaneo di valutazione *= 0,07. B) Oggi, tempo zero, sul mercato vi sono 2 titoli, entrambi con valore di rimborso pari al valore nominale =100: - zcb 1 scadente tra un anno, prezzo oggi 97,04; - zcb 2 scadente tra due anni, prezzo oggi 95,26. Determinare, in ipotesi di mercato coerente: 4) i tassi annui spot i0(0,1), i0(0,2) e il tasso annuo forward i0(1,2). (Facoltativo: se i fattori di capitalizzazione f0(0,1) e f0(0,2) sono quelli determinati al punto 4) e f0(1,2) è uguale a 100/97, il mercato è coerente? Motivare la risposta). Se la struttura del mercato è quella sopra definita al punto 4), determinare: 5) il prezzo oggi (tempo zero) di un titolo cb, titolo con cedole annue posticipate= 7, di vita residua 2 anni e valore di rimborso pari al valore nominale=100. SOLUZIONE 1 ) 1) =R a 20 0,05 da cui R=40.121,29; D 17=R a ,05 = ,22; 2) z R D z I z C z , , , , , , , , , ,75 3) 1+i*= e * =e 0,07 da cui i*=0,0725; V 18;7 =R a 2 0,0725=72.289,43. 4) 97,04(1+i 0 (0,1))=100 da cui i 0 (0,1)=0, , 95,26(1+ i 0 (0,2)) 2 =100 da cui i 0 (0,2)=0,024577, 100 f 0 (0,2)=f 0 (0,1) f 0 (1,2) cioè 95,26 = ,04 (1+ i 0(1,2)) da cui i 0 (1,2)=, ; [FAC: il mercato non è coerente perché f 0 (0,2)f 0 (0,1)f 0 (1,2) infatti 1,050421,06237]. 5) V(0)= 7 97,04 95, =108, , ,04 97 cioè

13 2 ) Appello 18/12/2008 (costituzione- titoli) Vengono versate 4 rate annue costanti (prima rata versata il 1 /1/2009) per costituire il capitale C=1.000 alla data 1 /1/2012. Per la costituzione si utilizza, alternativamente: a) il tasso annuo della capitalizzazione composta annua i=0,04 oppure b) il tasso annuo nominale convertibile 4 volte l anno j(4)=0,08 oppure c) la legge di capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse ( s) = 0,03 (l istante iniziale di questa legge è il il 1 /1/2009). 1 0,03s Determinare l ammontare delle rate: 1) nel caso a) e nel caso b); 2) nel caso c). 3) Se nel caso a) si versano regolarmente le prime 2 rate, non si versa la 3 rata e si completa la costituzione versando ancora soltanto un ultima rata di ammontare R il 1 /1/2012, determinare il valor di R. Il 1 /1/2007 è stato emesso un titolo di valore nominale 100 che dà diritto a cedole annue posticipate al tasso annuo nominale i=0,03 e al rimborso alla pari il 1 /1/2011: _ /1/07 1/1/08 1/10/08 1/1/09 1/1/10 1/1/11 Oggi è il 1 /10/2008. Fissato il tasso annuo di valutazione i*=0,04, determinare oggi: 4) l ammontare di ciascuna cedola e il valore del titolo; 5) il dietimo e il corso secco del titolo. SOLUZIONE 2 ) 1) a)r (a) s 4 0,04 =1000 da cui R(a) =235,49, b)i 1/4 =0,08/4=0,02, R (b) (1,02) 12 + R (b) 81,02) 8 + R (b) (1,02) 4 + R (b) =1.000, da cui R (b) =221,1268; t 0,03 2) (t) = ds = [ ln(1 0,03s) ] 0 t = ln(1 0.03t) 1 0,03s 0 R (c) e ( 3) + e ( 3) ( 1) + e ( 3) ( 2) ' +1 %& () =1.000, da cui R(c) =238,219; 3) R (a) s 2 0,04 (1,04)2 + R =1000, da cui R =480,399. 4) Ci=100x0,03=3; V=3(1,04) -3/12 +3(1,04) -(1+3/12) +103(1,04) -(2+3/12) =100,1273; 5) (p)= (9/12)=3x9/12=2,25, S=3x3/12(1,04) -3/12 +3(1,04) -(1+3/12) +103(1,04) -(2+3/12) =97,89926.

14 3 ) Appello 14/01/2009 (leggi di capitalizzazione/sconto ammortamento/costituzione) E data la funzione così definita: 2 t1 2 & () f ( t 1, t 2 ) = e a % t 2 ( ', 0 ) t1 ) t 2, a costante. Si misuri il tempo in anni a partire dal 1 /1/ ) Determinare per quali valori di a la quantità capitalizzazione da t 1 a t 2. f( t 1,t 2 ) è adatta ad esprimere un fattore di Si ponga a = 0,03 in (). 2) * Stabilire se il fattore di capitalizzazione (), con a = 0,03, definisce una legge di capitalizzazione scindibile o non scindibile; ** Scrivere la legge di capitalizzazione definita da (), con a = 0,03, esprimente il montante in t 2 del capitale C impiegato in t 1. 3) Il capitale C1=200 è impiegato il 1 /5/2009 e il capitale C2=100 è impiegato il 1 /5/2010. Assunto il fattore di capitalizzazione (), con a = 0,03, o il fattore di sconto della legge di sconto coniugata di (), determinare il valore di C1 e il valore di C2 alla data 1 /1/2010. E data una rendita di 5 rate semestrali costanti di ammontare R=20 ciascuna (1 rata disponibile il 1 /7/09). Determinare: 4) il debito A (contratto il 1 /1/2009) che tale rendita ammortizza al tasso semestrale i 1/ 2 = 0,03 della capitalizzazione composta semestrale; 5) il capitale C che tale rendita costituisce alla data 1 /1/2012 allo stesso tasso semestrale i 1/ 2 = 0,03 della capitalizzazione composta semestrale. SOLUZIONE 3 ) 1) f ( t 1, t 1 ) = e a ( 0 ) =1 sì, f t 1, t 2 t 2 esprimere un fattore di capitalizzazione a > 0. 2) * f ( t 1,z)f z, t 2 è scindibile; ** ( ) = e 0,03 % z ( ) = 2at 2 e a % t 2 2 t1 2 & ' ( 0,03 t 2 e 2 z 2 & % ( C, t 1,t 2 ) = Cf ( t 1,t 2 ) = Ce 0,03 % t 2 & 2 t1 2 ' ) ( & 2 t1 2 ' ( ) > 0 per & ' ( 0,03 % z 2 t 2 = e 1 +t2 2 z 2 ' ( 0,03 % t 2 = e 2 t1 2 ( ' = f ( t1,t 2 ),0 ) t 1 ) z ) t 2 t 2 0 a > 0 è adatta ad & ( 3) V C 1) 4 = 200f 12,1 % ' = 200e & ( V C 2) 1 =100 f 1, 16 =100 % ' 12& e 0, ( 4 % 2 % ' ' 12 & ' & 1 0,03 16 % 2 % ' (1 2 ' 12 & ' & = 205,4051 = 97,6937 4) A = 20a 5 0,03= 91, ) C = 20s 5 0,03 =109,368 oppure C= A( 1,03) 6 =109,368.

15 4 ) Appello 27/01/09 (rendite-costituzione) Si considerino le seguenti rendite: rendita A: /01/09 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/ rendita B:..... ; 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/13 01/01/14 si chiede di: 1) determinare il valore all 01/01/09 della rendita A e della rendita B nell'ipotesi di capitalizzazione composta annua al tasso annuo di interesse i=0,05; 2) determinare il valore all 01/01/09 della rendita A se è assegnato il tasso annuo di sconto d=0,04 in regime di sconto commerciale; 3) trovare il valore all 01/01/11 rispettivamente della rendita A e della rendita B se è assegnato il tasso annuo nominale convertibile 2 volte l'anno j(2)=0,04. Oggi l 01/01/09 decido di costituire il capitale C per l'1/1/2013 versando la rendita A in regime di capitalizzazione composta annua a tasso annuo i=0,05: si chiede di 4) determinare C e determinare il fondo costituito all 01/01/11; 5) supponiamo che l 01/01/2011, dopo il versamento della rata qui dovuta, si sospendano tutti i successivi versamenti, e se dall 1/1/2011, in poi, il tasso di interesse cambia e diventa il tasso annuo istanteneo di interesse =0,09 del regime della capitalizzazione continua

16 5 ) Appello 11/02/09 (ammortamento-valore prestito-tassi spot e forward) A) Il 1 gennaio 2001 ho prestato il capitale A= con l'accordo di ammortamento mediante 10 rate annue posticipate costanti al tasso della capitalizzazione composta annua i=0,08. 1) Determinare l ammontare di ciascuna rata e scrivere le prime tre righe del piano d ammortamento; 2) determinare il valore del prestito il 1 gennaio 2009 al tasso annuo di interesse i=0,05 della capitalizzazione composta annua; 3) determinare il valore del prestito il 1 ottobre 2009 al tasso annuo di interesse i=0,05 della capitalizzazione composta annua-convenzione esponenziale. B) Oggi 1 /1/2009 sono presenti sul mercato i seguenti due titoli: il Titolo I senza cedole (z.c.b.) con valore nominale 100, prezzo oggi 96 e rimborso alla pari il 1 /1/2010, il Titolo II senza cedole (z.c.b.) con valore nominale 100, prezzo oggi 91 e rimborso alla pari il 1 /1/2011, Si misuri il tempo in anni a partire dal 1 /1/ ) Determinare i tassi annui spot i 0 ( 0,1) e i 0 ( 0,2) definiti rispettivamente dai Titoli I e II e, in ipotesi di mercato coerente, determinare il tasso i 0 ( 1,2 ) ; 5) assunta la struttura sopra determinata, trovare il valore oggi 1 /1/2009: 5.1) di un titolo che dà diritto a cedole annuali di ammontare 2 euro ciascuna (prima cedola disponibile il 1 /1/2010) e al rimborso di 100 euro il 1 /1/2011; 5.2) del prestito considerato in A). SOLUZIONE 5 ) A) _ /1/01 1/1/02 1/1/03 1/1/04 1/1/05 1/1/06 1/1/07 1/10/08 1/1/09 1/1/10 1/1/11 R R R R R R R R R R 1) R= ,08=1490,295 z R I z C z B z D z , , , , , , , , , , , , , ,026 2) V 1/1/09;0,05 = 1490,295 a 2 0,05 =2771,07 3) V 1/10/09;0,05 = 1490,295(1,05) -3/ ,295(1,05) - (1+3/12) =2874,3489 B) _... 1/1/09 1/1/10 1/1/ ) 96(1+i 0 (0,1)) = 100 i 0 (0,1) = 0, (1+i 0 (0,2)) 2 = 100 i 0 (0,2) = 0,0483 (1+i 0 (0,2)) 2 = (1+i 0 (0,1)) (1+i 0 (1,2)) 5) _... 1/1/09 1/1/10 1/1/ V Titolo = 2(1+i 0 (0,1)) (1+i 0 (0,2)) -2 = 94, = (1+i 0(1,2)) i 0 (1,2) = 0,0549 V Prestito = 1490,295(1+i 0 (0,1)) ,295 (1+i 0 (0,2)) -2 = 2786,8516

17 6 ) Appello 23/04/09 (ammortamenti uniforme e americano-duration) Il prestito di A= % contratto oggi, tempo 0, è rimborsabile in 8 anni con rate posticipate, al tasso annuo del 4% della capitalizzazione composta nei seguenti modi alternativi: A) con ammortamento uniforme (cioè a quote di capitale costanti); B) con ammortamento americano; Nel caso A) determinare: 1) le quote capitali, il debito estinto e il debito residuo alla fine del 5 anno; 2) la prima e l ultima rata. Nel caso B) determinare: 3) le rate e il debito estinto e il debito residuo alla fine del 5 anno; 4) determinare il valore del prestito alla fine del 5 anno al tasso annuo di valutazione del 4%. Oggi tempo 0, è emesso un titolo coupon bond, di durata 3 anni, di valore nominale 100, cedole annue posticipate Ci=5, valore di rimborso pari al valore nominale. Si chiede di determinare: 5) la Duration oggi di tale titolo se è assegnato il tasso annuo di valutazione i*=0,04. SOLUZIONE 6 ) )C= = B 5 =62500x5=312500, D 5 = = )R z =A( 1 n + i i n (z 1))R 1=500000( ,04)=82500, 1 R 8 =500000( 8 3)R 1 = =R 7 =20000, R 8 = =520000, B 5 =0, D 5 = ) V 5 =D 5 = ,04 + 0,04 (8 1))= )D(0;0,04)= 5x1(1,04) 1 + 5x2(1,04) x3(1,04) 3 5(1,04) 1 + 5(1,04) (1,04) 3 =2,8614

18 Appello (costituzione capitale valutazione titoli-volatilità) II 1 Parte Rispondere ai seguenti distinti quesiti A) e B). A) Si consideri una rendita a rate annue costanti di ammontare R (1 rata disponibile il 1 /1/2010 e ultima rata disponibile il 1 /1/2013; si utilizza tale rendita per costituire il capitale C=10000 per il 1 /1/2013. Determinare il valore di R nelle seguenti distinte ipotesi: 1) capitalizzazione composta annua al tasso annuo i=0,04; 2) capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse ( s) = 0, ,03s (l istante iniziale di tale legge è il 1 /1/2009). 3) Ipotizziamo che per la costituzione si utilizzi l ipotesi in 1). Supponiamo di versare soltanto le prime 2 rate di ammontare R e di sospendere i restanti versamenti. Sapendo che il tasso della capitalizzazione composta annua è sempre del 4%, determinare: 3.1) il fondo costituito alla data 1 /1/2011; 3.2) il capitale costituito alla data 1 /1/2013 mediante il versamento delle suddette sole prime 2 rate. B) Al tempo 0 acquisto un titolo di credito che mi dà diritto ad incassare i capitali R 1 =40 e R 2 =1040 rispettivamente tra 1 anno e tra 2 anni. In ipotesi di struttura piatta al tasso annuo di interesse i*=0,03: 4) determinare, al tempo 0, il valore del titolo ; 5) determinare, al tempo 0, la variazione relativa del valore del titolo se il tasso passa da i*=0,03 a i*+di*=0,032. Che segno ha la variazione relativa? Perché? Soluzione 1) = Rs 4 0,04 R = 2354,90 2) ( t) = t 0, ,03s ds = ln 1+ 0,03s 0 e ( t) ( s) = e ( ) 0 t ln( 1+0,03t)ln ( 1+0,03s ) = = Re ( 4) ( 1) + Re ( 4) 2 = ln( 1+ 0,03t) 1+ 0,03t 1+ 0,03s ( ) + Re ( 4) ( 3) + Re = R 1,12 1,03 + 1,12 1,06 + 1,12 1,09 + 1,12 % 1,12& ' R=2397,436 3) F 1/ 1 / 11 = 2354,90s 2 0,04= 4803,996 ; C 1/ 1/ 13 = 2354,90s 2 0,04( 1,04) 2 = 5196,00 4) V ( 0;0,03) = 40( 1,03) ( 1,03) 2 = 1019,13 ( ) V ( 0;0,03) ( ) ( 4) 5) Var.rel. = V 0;0, , ,13 = = 0,0038 < 0 V ( 0;0,03) 1019,13 tale Var.rel. è minore di zero perché il tasso ha subito un aumento.

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20 APPELLO (tassi equivalenti-ammortamento americano) Rispondere ai seguenti distinti quesiti A e B. A) E assegnato il tasso annuo nominale convertibile bimestralmente j(6)=0,12. 1) Si chiede di determinare il tasso di interesse bimestrale i 1/6, il tasso di interesse annuo i e il tasso di interesse annuo istantaneo δ della capitalizzazione continua corrispondenti a j(6). 2) Si chiede inoltre di determinare il tasso di sconto annuo d, dello sconto composto, e il tasso di sconto bimestrale d 1/6, dello sconto composto, corrispondenti a j(6). B) Oggi il 1 /01/2010 decido di ammortizzare il capitale di 100 euro per il 1 /01/2014 (cioè in 4 anni) con un ammortamento americano a tasso annuo i=0,02: si chiede di: 3) determinare l ammontare delle rate annue; 4) compilare il piano di ammortamento; 5) determinare il valore del prestito, l usufrutto e la nuda proprietà al 1 /01/2011 al tasso istantaneo annuo di valutazione della capitalizzazione continua ρ(s)=0,1+0,02s, legge con istante iniziale il 1 /01/2010. Soluzione 1) j(6)=0,12=6 i 1/6 i 1/6 =0,02 1+i=(1+ i 1/6 ) 6 i=0,12616 δ=log e (1+i)=0, i d=0, d=(1-d 1/6 ) 6 d 1/6 =0, ) 1-d= 3)R 1 = R 2 = R 3 =100x0,02=2 R 4 =100+2=102 4) z R z I z C z D z B z )ρ(s)=0,1+0,01s ϕ(t)=0,1t+0,01t 2 V 1/1/11 =2 e (1)(2) + 2 e (1)(3) +102 e (1)(4) =68,3058 A 1/1/11 =100 e (1)(4) =100x0, =63,7628 U 1/1/11 =68, ,7628=4,543

21 APPELLO (tassi equivalenti-ammortamento americano) Rispondere ai seguenti distinti quesiti A e B. A) E assegnato il tasso annuo nominale convertibile bimestralmente j(6)=0,12. 1) Si chiede di determinare il tasso di interesse bimestrale i 1/6, il tasso di interesse annuo i e il tasso di interesse annuo istantaneo δ della capitalizzazione continua corrispondenti a j(6). 2) Si chiede inoltre di determinare il tasso di sconto annuo d, dello sconto composto, e il tasso di sconto bimestrale d 1/6, dello sconto composto, corrispondenti a j(6). B) Oggi il 1 /01/2010 decido di ammortizzare il capitale di 100 euro per il 1 /01/2014 (cioè in 4 anni) con un ammortamento americano a tasso annuo i=0,02: si chiede di: 3) determinare l ammontare delle rate annue; 4) compilare il piano di ammortamento; 5) determinare il valore del prestito, l usufrutto e la nuda proprietà al 1 /01/2011 al tasso istantaneo annuo di valutazione della capitalizzazione continua ρ(s)=0,1+0,02s, legge con istante iniziale il 1 /01/2010. Soluzione 1) j(6)=0,12=6 i 1/6 i 1/6 =0,02 1+i=(1+ i 1/6 ) 6 i=0,12616 δ=log e (1+i)=0, i d=0, d=(1-d 1/6 ) 6 d 1/6 =0, ) 1-d= 3)R 1 = R 2 = R 3 =100x0,02=2 R 4 =100+2=102 4) z R z I z C z D z B z )ρ(s)=0,1+0,01s ϕ(t)=0,1t+0,01t 2 V 1/1/11 =2 e (1)(2) + 2 e (1)(3) +102 e (1)(4) =68,3058 A 1/1/11 =100 e (1)(4) =100x0, =63,7628 U 1/1/11 =68, ,7628=4,543

( ) [ ] = 6976,85 U 1/1/13 = 287,84e "0, ,74e "0,06 2 =401,21 ( ) "1 + ( 1,048) "2 & ( ) 3 =1+ 3 2

( ) [ ] = 6976,85 U 1/1/13 = 287,84e 0, ,74e 0,06 2 =401,21 ( ) 1 + ( 1,048) 2 & ( ) 3 =1+ 3 2 1 Appello sessione estiva 2009/ 2010 (tassi equivalenti - ammortamento) 1 Parte Rispondere ai seguenti distinti quesiti in A) e in B). A) Il capitale C=10000 è stato impiegato in capitalizzazione composta

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