2.2 - La dipendenza assoluta e parametrica

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1 . - La dipedeza assoluta e parametrica Tabelle a doppia etrata X\Y Y Y Y j Y c X j c. X j c. X i i i ij X k k k kj...j ic i. kc k..c.. per i assegato: i. c ij j per j assegato:.j k ij i k c ij i j..... j j i c k i.

2 Le tabelle a doppia etrata Icrociado a due a due le variabili rilevate è possibile esamiare la dipedeza tra di esse Esempio Relazioe tra tipi di lettura preferita e titolo di studio Lettura preferita Lic. elem. Titolo di studio Lic. media Diploma Laurea Totale Narrativa Storia Geografia Sc. sociali Sc. aturali Medicia Attualità Totale Da ua tabella a doppia etrata si possoo derivare le due distribuzioi margiali e tate distribuzioi parziali (o codizioate) quate soo le righe e le coloe della tabella 3.. Frequeze relative Si possoo calcolare rispetto a: ).. k c ij ij co.. i j.. ) ciascua.j (profili di coloa) ij. j co k ij i. j 3) ciascua i. (profili di riga) ij c ij co i. j i. 4

3 Medie e variaze delle distribuzioi parziali: esempio X Reddito (milioi) Y Cosumo di care (Kg/ao) X\Y Totale Totale M(X): reddito medio ( 90) M(X Y ): reddito medio di coloro che cosumao da 60 a 80 kg di care ( 34) M(Y X ): cosumo medio di care da parte di coloro che hao u reddito tra 0 e 0 milioi ( 40) Var(X Y ), Var(Y X ) 5 La tabella tetracorica: icrociado due variabili dicotomiche si ottegoo tabelle x, dette tetracoriche Esempio: lettura di quotidiai secodo il sesso (si: leggoo regolarmete) Sesso totale Sesso totale si o si o M F M F 34,8 8,99 7,7 8,48 5,53 47,47 Tot Tot 53,80 46,0 00,00 sesso totale sesso totale si o si o M F 64,7 35,9 38,36 6,64 5,53 47,47 M F 66,7 40,00 33,73 60,00 00,00 00,00 Tot 00,00 00,00 00,00 Tot 53,80 46,0 00,00 6 3

4 LA DIPENDENZA STATISTICA Diverse misure a secoda del modello di idipedeza di riferimeto: dipedeza assoluta dipedeza parametrica dipedeza fuzioale (o aalitica) Si oti comuque che la dipedeza statistica o implica u esso di causalità. 7 Studio della dipedeza tra due caratteri Si tratta di accertare se esiste ua relazioe fra u carattere statistico e ua circostaza cocomitate. Dipedeza di X da Y Circostaza cocomitate (Y) - carattere statistico - carattere sistematico Possibili obiettivi X dipede da Y? Se sì, come misurare l itesità di tale dipedeza? Se la circostaza è u carattere statistico allora la relazioe può essere ache ivertita: studio della dipedeza di Y da X. 8 4

5 Dipedeza assoluta U carattere statistico X è idipedete i seso assoluto dal carattere Y se assume la medesima distribuzioe relativa per ciascua modalità di Y. L esame dei profili (di riga e di coloa) cosete di diagosticare la dipedeza assoluta. 9 Idipedeza assoluta y y y 3 Tot x x 6 4 x Tot Massima dipedeza assoluta Tot y y y 3 Tot x x x Dipedeza assoluta y y y 3 Tot x x 8 3 x Tot

6 Nel caso dell idipedeza assoluta di X da Y: y y y 3 Tot x 0,30 0,30 0,30 0,30 x 0,0 0,0 0,0 0,0 x 3 0,50 0,50 0,50 0,50 Tot,00,00,00,00 ache Y è idipedete da X y y y 3 Tot x x x 3 0,66 0,5 0,333 0,66 0,5 0,333 0,66 0,5 0,333,00,00,00 Tot 0,66 0,5 0,333,00 Caso della massima dipedeza assoluta: x x x 3 y y y 3 Tot k c Max dip assoluta tra X e Y Tot y y y 3 Tot k < c x Max dip assoluta x di X da Y Tot x x x 3 y y Tot k > c Max dip assoluta di Y da X 0-0 Tot

7 X\Y y y j y c Tot x j c. x i i ij ic i. x k k kj kc k. Tot..j.c.. Se X è idipedete da Y: ij i. i.. j ij. j.. i, j Se Y è idipedete da X: ij. j i.. j ij i... i, j 3 Pertato l idipedeza assoluta di X da Y implica l idipedeza assoluta di Y da X e viceversa. Si può duque defiire la dipedeza assoluta tra X e Y. Si defiisce cotigeza la differeza tra frequeze effettive e frequeze teoriche: c ij ij ij Idice di dipedeza assoluta χ (chi quadrato): χ k c i j ( ij ij ij ) k c c ij i j ij è ua misura della dipedeza tra X e Y, essedo questi due caratteri misurati attraverso qualsiasi scala di misura. 4 7

8 0 χ [ mi(, k) ] c.. Pertato i caso di idipedeza assoluta: χ 0 e i caso di massima dipedeza assoluta: χ mi c, k χ ( rel) [ ( ) ] χ χ max 0 χ (rel) χ [ mi( c, k) ]... Altri idici basati su χ : L idice V di Cramer è la radice di χ (rel) Φ χ /N Pχ /(N+ χ ) 5 Esempio: Miorei codaati secodo il delitto e il sesso (Istat, 989) Omicidio Lesioi Furti Altri Totale Maschi Femmie Totale Frequeze teoriche (.087x40) / (.087x37) /.6 35,7 3 (.087x93) /.6 899,67 4 (.087x.53) /.6.3,00 (75x40) /.6,39 (75x37) /.6,8 3 (75x93) /.6 3,33 4 (75x.53) /.6 40,00 6 8

9 Tavola frequeze teoriche Omicidio Lesioi Furti Altri Totale Maschi 38,6 35,7 899,67 3,00 087,00 Femmie,39,8 3,33 40,00 75,00 Totale 40,00 37,00 93,00 53,00 6,00 χ (37-38,3) /38,6 + (35-35,7) /35,7 + + (9-3,33) /3,33 + (5-40,00) /40,00 684,66 χ (massimo) (-).6.6 χ (rel) 684,66/.6 0,37 (dipedeza assoluta) 7 χ 0 è ua situazioe soltato teorica; a frote di u valore di χ molto piccolo, quado possiamo affermare che ci sia idipedeza tra due caratteri? χ ha ua distribuzioe probabilistica, che è tabulata. Regola di decisioe: se χ calcolato < χ tabulato allora cocludiamo che esiste idipedeza Per utilizzare la tavola del χ occorre: - idicare i gradi di libertà (g.d.l), pari a (k-)(c-); - stabilire l errore ammesso α, essedo α la probabilità di rifiutare l ipotesi di idipedeza quado questa è vera. (α <0,05) Tuttavia, affiché tale decisioe sia affidabile la classificazioe cogiuta di X e Y deve dare luogo ad ua tabella a doppia etrata co tutte le frequeze teoriche almeo pari a

10 Alcue osservazioi Il caso della tabella tetracorica (x) I) Cooscedo le distribuzioi margiali dei due caratteri, posso determiare le frequeze cooscedoe ua soltato: Y\X 0 Tot. 0 Tot... II) L espressioe del χ si semplifica. Poedo le frequeze: Y\X 0 Tot a b r 0 c d s Tot u v N N ) χ χ (max) N χ ( ad cb rsuv ( ad cb rsuv ) ( rel) 9 III) Essedo i due caratteri dicotomi, posso assegare alle due modalità i valori 0 e. I tal modo si oti che M(X)M(X ) e quidi Var(X)M(X)-[M(X)] (aalogamete per Y). IV) Qualora iteressi il verso dell associazioe, è possibile defiire u idice di attrazioe/repulsioe ( ad cb) χ ( rel) ( rsuv) co sego positivo se (a d-c b) > 0 (attrazioe tra X e Y) co sego egativo se (a d-c b) < 0 (repulsioe) - χ ( rel) + 0 0

11 Esempi di obiettivi che possoo essere raggiuti attraverso l idice χ L opiioe circa l abrogazioe dell articolo 8 dello statuto dei lavoratori (favorevole o cotraria) dipede dalla posizioe di occupato o disoccupato? E tra gli occupati dipede dalla tipologia cotrattuale? L opiioe è ifluezata dall età? E ifluezata dalle prefereze politiche? Esempi di obiettivi che possoo essere raggiuti co il χ relativo Quale dei precedeti fattori iflueza di più o di meo l opiioe circa l abrogazioe dell articolo 8? Esempi di obiettivi che possoo essere raggiuti co l idice di attrazioe Esiste ua relazioe tra l opiioe circa l abrogazioe dell articolo 8 dello statuto dei lavoratori e quella circa l itroduzioe della separazioe delle carriere dei magistrati? Esiste ua relazioe tra l accordo co tale modifica e l accordo geerale ei cofroti dell attuale govero? Dipedeza parametrica L idipedeza assoluta implica eguagliaza di tutte le distribuzioi codizioate relative di X da Y: ua codizioe molto strigete! Possiamo ivece verificare se u parametro, ad esempio, M (X), X 0,5, σ X risulti o variare rispetto alle distribuzioi codizioate. Il modello di dipedeza parametrica più utilizzato è quello della dipedeza i media. I ecoometria o, più i geerale, per lo studio di modelli lieari, ha rilievo l idipedeza i variaza (omoschedasticità).

12 Dipedeza i media Metre la dipedeza assoluta può essere misurata per qualsiasi coppia di caratteri, la dipedeza i media si può calcolare solo per caratteri quatitativi, codizioati (evetualmete) da caratteri qualitativi. Idipedeza i media: se M(Y X i ) M(Y), per ogi X i allora Y è idipedete i media da X X è idipedete i media da Y se M(X Y j ) M(X), per ogi Y j 3 Caso di idipedeza i media di Y da X (distribuzioi parziali di Y tutte co media pari a 3) Y X Caso di dipedeza i media di Y da X (distribuzioi parziali di Y co medie diverse) Y X 4

13 Esempio X\Y 3 5 Tot Tot Idipedeza i media di X da Y Ifatti: M(X)(x)+(4x8)+(6x)/30 0/30 4 M(X/Y)(x8)+(4x4)+(6x8)/0 80/0 4 M(X/Y)(x3)+(4x4)+(6x3)/0 40/0 4 Dipedeza i media di Y da X M(Y) (3x0)+(5x0) 0/30 3,67 M(Y/X) (3x8)+(5x3) 39/ 3,54 M(Y/X) (3x4)+(5x4) 3/8 4 M(Y/X3) (3x8)+(5x3) 39/ 3,54 5 La misura della dipedeza i media avviee attraverso il c.d. rapporto di correlazioe o eta quadrato di Pearso: η X/Y η Y/X L idice η è u rapporto di parte a tutto (composizioe). Dipedeza i media di Y da X La deviaza di u carattere (Y), co riferimeto ad ua circostaza (X), può essere scomposta i deviaza itera e deviaza estera: Deviaza Totale: Σ(y j -M Y ).j Deviaza Itera: è la somma delle deviaze parziali ΣDev(Y/X i ) Deviaza Estera: è la deviaza delle medie parziali dalla media geerale Σ(M Y M Y/xi ) i. Cosiderado le distribuzioi parziali come riferite a diversi gruppi di uità statistiche, la deviaza itera è ache detta deviaza etro i gruppi, deviaza withi, Dev(W). La deviaza estera è detta deviaza tra i gruppi, deviaza betwee, Dev(B) 6 3

14 Dipedeza i media di Y da X η Y / X Dev. Estera Dev. Totale Dev. Itera DevTotale. [ M ( Y / X i ) M ( Y )] i Dev( Y ) 0 η Y/X i Dev ( Y / X ) Dev( Y ) i i. se Dev Est Y 0 esiste idip. i media di Y da X η Y/X 0 se Dev. It. Y 0 esiste max dip. i media di Y da X η Y/X Dipedeza i media di X da Y M X / Yj Dev Estera j η X / Y DevTotale. [ ( ) M ( X )].. Dev. Itera DevTotale. j Dev Dev( X ) ( X / Y ) Dev( X ) j. j 7 Esempio di calcolo X\Y 3 5 Tot Tot M(X) M(X/Y)M(X/Y) 4 Dev Est (X) 0 η X/Y 0 M(Y) 3,67 M(Y/X) 3,54 M(Y/X) 4 M(Y/X3) 3,54 Dev Est(Y)(3,54-3,67) + (4-3,67) 8 + (3,54-3,67) 0,86 + 0,87 + 0,86, M(Y ) (9x0) + (5x0) / /30 4,33 Dev(Y) 30 (4,33-3,67 ) 5,8 η Y/X,/5,8 0,05 8 4

15 Esempi di massima dipedeza i media X\Y 3 5 Tot Tot Massima dipedeza i media di Y da X Dev(Y/X) 0 Dev(Y/X) 0 Dev(Y/X3) 0 Quidi Dev It (Y)0 e η Y/X Dipedeza i media di X da Y Dev(X/Y) > 0 Ifatti: M(X/Y) (x0)+(4x0)+(6x6)/6 56/6 3,5 Dev(X/Y) (-3,5) 0+ (4-3,5) 0 + (6-3,5) 6,5+37,560 Dev(X/Y) 0 Essedo Dev(X/Y)Dev It(X)60 η X/Y -(60/DevX) 9 X\Y Tot Tot Massima dipedeza i media di X da Y Dev(X/Y) 0 Dev(X/Y) 0 Dev(X/Y3) 0 Dev It(X)0 η X/Y Dipedeza i media di Y da X Dev(Y/X) 0 Dev(Y/X) > 0 η Y/X compreso tra 0 e 30 5

16 Massima dipedeza i media di X da Y e di Y da X X\Y Tot Tot Soo ulle sia le tre deviaze di X Y sia le tre deviaze di Y X η X/Y η Y/X 3 L idipedeza assoluta implica l idipedeza i media ma o viceversa χ 0 η X Y η Y X 0 Dimostrazioe se χ 0 ij ij e allora : k k k x... ( Y ) i ij x i i j x i i M X i i i M ( X ) j. j... j.., Y j Essedo tutte le medie parziali M(X/Y j ) M(X) allora X è idipedete i media da Y Ioltre se ij si verifica ache: ij c c c y j ij y j i.. j y j j y j. j M ( Y X i ) M ( Y ) i... i... X i e duque tutte le medie parziali M(Y X i) M(Y) e ache Y è idipedete i media da X 3 6

17 Ioltre la massima dipedeza assoluta implica la massima dipedeza i media di X da Y, o di Y da X, o etrambe, a secoda della forma della tabella. I particolare: se χ χ max η X/Y se k < c se χ χ max η Y/X se k > c se χ χ max η X/Y η Y/X se kc Altre forme di idipedeza parametrica Idipedeza i moda Idipedeza i mediaa Idipedeza i media quadratica 33 7