Statistica Applicata all edilizia Lezione: carte di controllo

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1 Lezione: carte di controllo 24 maggio 2007

2 Programma 1 Fonti di variabilità e controllo di un fenomeno 2

3 Programma 1 Fonti di variabilità e controllo di un fenomeno 2

4 Fonti di variabilità La variabilità del processo può essere provocata da: fattori casuali > sotto controllo Fattori specifici > fuori controllo Quando il processo è sotto controllo la maggior parte dei valori della grandezza oggetto di controllo cade tra i limiti di specifica superiore ed inferiore (USL e LSL). > Obiettivo del controllo statistico: individuare il verificarsi di fattori specifici

5 Esempio: carta di controllo Per accorgerci se il nostro processo è influenzato da una causa specifica lo strumento più potente che abbiamo sono le Carte di Controllo. Statistica Limite Controllo Superiore Limite Centrale Limite Controllo Inferiore Tempo/Numero del Campione

6 Programma Fonti di variabilità e controllo di un fenomeno 1 Fonti di variabilità e controllo di un fenomeno 2

7 Sia w una statistica campionaria che misura una certa caratteristica di un fenomeno da monitorare e si supponga che la media di w sia µ w e la deviazione standard sia σ w. Allora i limiti di controllo sono UCL = µ w + Lσ w CL = µ w LCL = µ w Lσ w Le carte di controllo costruite secondo questi criteri sono chiamate carte di controllo di Shewart. Esempio: Se si considerano gli spostamenti relativi al monitoraggio di Finale Ligure possiamo essere interessati a tenere sotto controllo le medie giornaliere, per un certo periodo di tempo.

8 Dati: Y t,i i = 1,..., n, t = 1, 2,... Assunzioni: Ȳ t = 1 n n i=1 Y t,i ( ) Ȳ t ind N µ t, σ2 0 n Ipotesi di buon funzionamento H 0 : µ t = µ 0, t = 1, 2,... Cause assegnabili, sregolazioni o rotture, anomalie,... Carte unidirezionali µ t = µ 1 µ 0, t = k, k + 1,... µ t = µ 1 > µ 0, t = k, k + 1,...

9 Limiti di controllo Fonti di variabilità e controllo di un fenomeno Determinare i limiti di controllo (LCL e UCL) è equivalente alla definizione della regione critica del test di ipotesi H 0 : µ t = µ 0 H 1 : µ t µ 0, I limiti di controllo delle sono: σ UCL = µ 0 + z α 0 2 (n) CL = µ 0 LCL = σ µ 0 z α 0 2 (n) La stima della media e la deviazione standard di Ȳt è ˆµ 0 = 1 k k t=1 Ȳt e ˆσ 0 2 = 1 k S 2 t La determinazione dei limiti della carta viene fatta mediante gli stessi dati della carta (fatta ex-post) µ e σ sono stimati su Orietta dati Nicolispregressi, Statistica Applicata la carta all edilizialavora su dati

10 Scelta dei limiti di controllo 3-sigma > α = , α 2 = un segnale errato di fuori controllo o falso allarme verrà osservato in probabilità 27 volte ogni campioni sigma > α = 0.002, α 2 = un segnale errato di fuori controllo o falso allarme verrà osservato in probabilità 1 volta ogni 1000 campioni) 2-sigma > Limiti di sorveglianza alcuni suggeriscono di mettere sulla carta sia i limiti di sorveglianza che di controllo. Quando più punti cadono tra i due limiti si è soliti aumentare la frequenza di campionamento o la dimensione campionaria > SCHEMI ADATTIVI.

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12 Esempio Fonti di variabilità e controllo di un fenomeno Si considerino i dati orari di Finale (liv. 1). Si supponga che il fenomeno sia sotto controllo se la media giornaliera degli spostamenti è pari a 29.9 mm e la deviazione standard è 0.05 mm. Si considerano 20 giorni consecutivi (n = 24). Data Media Giorn Data Media Giorn 21/06/ /07/ /06/ /07/ /06/ /07/ /06/ /07/ /06/ /07/ /06/ /07/ /06/ /07/ /06/ /07/ /06/ /07/ /06/ /07/

13 I limiti 3-sigma sono: UCL = (24) = LCL = (24) = carta di Shewhart

14 Regola decisionale Regola di Accettazione al tempo t { A t = µ 0 z α 2 Regola di Stop S t = { Ȳ t < µ 0 z α 2 σ 0 n < X t < µ 0 + z α 2 σ 0 n Ȳt > µ 0 + z α 2 } σ 0 n } σ 0 n

15 Test ripetuti Fonti di variabilità e controllo di un fenomeno H 0,t : µ t = µ 0 noto σ 0 α = 1 P µ0,σ (A 0 2 t ) : Probabilità di falso allarme π (µ) = 1 P µ,σ 2 0 (A t ): Probabilità di corretto allarme

16 Tempi di risposta Fonti di variabilità e controllo di un fenomeno Falsi allarmi In assenza di rottura, T = tempo di Stop H 0 : µ t = µ 0, t = 1, 2,..., T è v.c.d. geometrica con parametro α : P (T = t) = (1 α) t 1 α. Il Tempo Medio fra Falsi Allarmi è TMFA = E (T ) = 1 α. Indica il numero di punti che devono essere osservati prima che si abbia un falso allarme. Esempio Carta 3σ = α = = TMFA = 370.

17 Corrette segnalazioni In presenza di rottura all istante t = 1 : µ t = µ µ 0, t = 1, 2,... Si ha che T è una v.c.d.con parametro π (µ) con Tempo Medio Se interessa il ritardo: il suo Tempo Medio di Ritardo è E µ (T ) = 1 = ARL (µ). π (µ) D = T 1, TMR (µ) = E µ (D) = 1 π (µ) 1 = 1 π π.

18 Curva operativa caratteristica OC (µ) = P µ,σ 2 0 (A t ) = 1 π (µ) = 1 1 ARL (µ) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ = µ 0 + δσ 1 δ è la rottura minima che interessa rilevare 2 δ = µ µ 0 σ è espressa in u.m. σ 3 per la carta sulla media vale allora: dove Φ () è la f.r. della N (0, 1) OC (δ) = Φ ( z α 2 δ n )

19 Esempio: Curva operativa caratteristica

20 Determinazione di n Si può dimostrare che ( ) n = z α/2 Φ ARL(δ) δ Dove Φ 1 (p) è il quantile di ordine p della N (0, 1). In pratica quindi α ARL (µ 0 ) n ARL (µ 1 ) 2

21 Osservazioni Fonti di variabilità e controllo di un fenomeno 1 Carte senza memoria 2 Piccole rotture e accumulo informazioni 3 Grandi rotture 4 Carte per dati singoli (n = 1)

22 Carte di controllo EWMA Si pone Z t = λy t + (1 λ) Z t 1 0 < λ < 1 Z 0 = µ 0 in pratica λ 1 4 (valore tipico λ = 0.1). Si costruisce quindi una carta per Z t tenendo presente che, in assenza di rottura, Z t N ( µ 0, ωt 2 ) dove ωt 2 = σ 2 λ ( 1 (1 λ) 2t) = σ 2 λ 2 λ 2 λ. UCL/LCL = µ 0 ± z α/2 ω t

23 Carta EWMA 1.5 Fonti di variabilità e controllo di un fenomeno EWMA Chart, µ 0, σ estimated 1 UCL 0.5 EWMA LCL Sample Number