I MODELLI MULTISTATO PER LE ASSICURAZIONI DI PERSONE

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1 Facoltà d Economa Valutazone de prodott e dell mpresa d asscurazone I MODELLI MULTISTATO PER LE ASSICURAZIONI DI PERSONE Clauda Colucc Letza Monno Gordano Caporal Martna Ragg

2 I Modell Multstato sono un evoluzone della matematca attuarale e consentono d generalzzare e d estendere concett tradzonal anche ad alcune tpologe contrattual complesse. Oggetto dell anals sono le asscurazon d persone le qual offrono coperture asscuratve per rsch nerent la vta umana. S possono suddvdere n: Asscurazon sulla durata d vta d una o pù teste asscurate che coprono bsogn dervant dall aleatoretà della vta umana (TCM e vta ntera, rendta vtalza, captale dfferto, msta); Asscurazon sulla salute che coprono bsogn orgnat da alterazon del normale stato d salute dell asscurato (malatta, nfortun, LTC, DD); Altre coperture asscuratve (prevdenze) che coprono var event legat all'evoluzone del nucleo famlare (nuzaltà, nataltà, studo de fgl, ecc.).

3 La dnamca del rscho ne Modell Multstato L evoluzone temporale del rscho successone d event Ogn evento (ad es. l nvaldtà o l decesso) vene defnto stato ed appartene all nseme denomnato spazo degl stat. Ω={1,2,3,,N} e ϒ={(,j) j,,j є Ω} (Ω, ϒ) I crter d appartenenza del rscho ad uno stato sono due: crtero oggettvo: snstrostà osservata n corrspondenza del rscho crtero soggettvo: condzon fsche e caratterstche personal dell asscurato (stato cvle, stle d vta, ecc.) E possble classfcare gl stat n: transtor: sono permesse sa l uscta che l entrata dagl stat strettamente transtor: una volta abbandonato, non è possble rentrarv assorbent: l entrata n quest stat non ne permette l abbandono successvo

4 L nseme degl stat e delle transzon (possbl passagg tra stat) può essere rappresentato grafcamente come segue: : stato nzale 1,2,3 : stat transtor 3 : stato strettamente transtoro 4, 5 : stat assorbent

5 L evoluzone del rscho può essere descrtta da un processo stocastco {S(t); t 0}. Tempo dscreto. S assegnano probabltà d transzone con rfermento ad ntervall d tempo d ampezza fnta (anno o frazon d anno). Tempo contnuo. S assegnano le ntenstà stantanee d transzone con rfermento ad ntervall nfntesm (dt). Una possble realzzazone {s(t)} del processo stocastco {S(t)} è detta traettora del processo ed è rappresentable come segue: stat t 1 t 2 t 3 t 4 tempo

6 MODELLI MULTISTATO APPLICATI ALLE ASSICURAZIONI DI PERSONE

7 Asscurazon sulla durata d vta (una testa) La dnamca del rscho è semplcemente descrtta dall appartenenza a uno de due stat: v (vvo), d(deceduto) S può consderare lo stato u (uscta) per storno o rscatto della polzza v d v d u

8 Asscurazon sulla durata d vta (due teste) Gruppo estnguentes al prmo decesso Es. asscurazon n caso d morte con pagamento del captale al prmo decesso; rendte vtalze con pagamento delle rate fnché sono n vta entrambe le teste Gruppo estnguentes al secondo decesso Es. asscurazon n caso d morte con captale pagable al secondo decesso; rendte mmedate (totalmente o parzalmente) reversbl E₁ ᴧ Ē₂ E₁ ᴧ E₂ Ē₁ v Ē₂ E₁ ᴧ E₂ Ē₁ ᴧ E₂ E₁ (testa d età nzale x n vta) Ē₁ (testa d età nzale x estnta) E₂ (testa d età nzale y n vta) Ē₂ (testa d età nzale y estnta) Ē₁ ᴧ Ē₂

9 Asscurazone d rendta vtalza n caso d Invaldtà permanente L asscurato rceve una rendta vtalza (eventualmente fno al raggungmento d una prefssata età o d un prefssato massmale d durata) a partre dall eventuale ngresso nello stato (d perdta defntva, totale o parzale, della capactà lavoratva generca) a Invaldtà non necessaramente permanente La rendta vene corrsposta anche a fronte d cas d nvaldtà temporanea (l arco da ad a rappresenta la possble "rattvazone" d un ndvduo nvaldo) a a (attvo) d d

10 Asscurazone d captale n caso d nvaldtà permanente Prevede l pagamento d un captale n caso d nvaldtà permanente dell asscurato. La tpologa della copertura non convolge la mortaltà degl nvald. (l modello non consdera l uscta d secondo ordne da a d) a d

11 Asscurazone d rendta vtalza d nvaldtà (con pù lvell d nvaldtà) e Long Term Care In questa tpologa contrattuale la rata della rendta corrsposta n caso d nvaldtà è funzone del "lvello" dell nvaldtà stessa. Molto nteressante è l caso dell asscurazone LTC che copre l rscho d non autosuffcenza dell asscurato (ncapactà a svolgere le elementar funzon del vvere quotdano). D norma s tratta d una copertura a vta ntera. a ' " d (nvaldtà d lvello 1) I (nvaldtà d lvello 2)

12 Asscurazone DD (Dread Dsease) Asscurazon Malatta a s m d(o) d(d) Prevedono l pagamento d una somma al verfcars d una delle malatte gravssme prevste n polzza. a) Asscurazon dara per rcovero e nabltà sono rlevant le durate d permanenza nello stato m e le transzon s m, m s, m d b) Asscurazon d rmborso spese medche ha rlevo l numero d transzon s>m e gl mport assocat d

13 Forme prevdenzal con prestazon dpendent dallo stato cvle E usuale ne fond pensone forme prevdenzal su pù teste, come le rendte totalmente o parzalmente reversbl da un conuge all altro. S (cel./nub.) d (deceduto) c (conug.)c v (vedovo) a (dvorz.)

14 STRUTTURA PROBABILISTICA MODELLI MULTISTATO

15 Classfcazone struttura probablstca: Probablzzare passagg tra stat e temp d permanenza ne var stat; Assegnare la probabltà d appartenenza, n cascun stante d tempo, a var stat; Con rfermento all untà d tempo (tpcamente l anno), per ogn stato che dà luogo a prestazon asscuratve quantfcare l numero medo d ngress ed l tempo medo d permanenza per cascun ngresso nello stato stesso; Con rfermento all untà d tempo, per ogn stato che dà luogo a prestazon asscuratve quantfcare l tempo medo d permanenza nello stato stesso (dunque senza esplctamente quantfcare l numero medo d ngress ed l tempo medo d permanenza per cascun ngresso nello stato stesso); Con rfermento all untà d tempo, per ogn stato che dà luogo a prestazon asscuratve quantfcare l numero medo d ngress ed l costo medo relatvo a cascun ngresso nello stato stesso. Altre dstnzon: Aleatoretà del rscho: Demografco-santaro Fnanzaro Struttura del processo stocastco: Parametro dscreto Parametro contnuo

16 Es: RENDITA D INVALIDITA PERMANENTE Consderamo un soggetto d età y (brevemente (y)) supposto nello stato a (attvo) all età y. Indcheremo con : p y aa = probabltà per (y) d essere n vta e attvo all età y+1 q y aa = probabltà d essere attvo all età y e d morre da attvo entro l anno p y a = probabltà d essere n vta e nvaldo all età y+1 q y a = probabltà d essere attvo n (y) e d morre da nvaldo entro l anno p ya = probabltà d essere n vta (da attvo o da nvaldo) ad età y+1 q ya = probabltà d morre (da attvo o da nvaldo) entro l anno w y = probabltà per (y) d dventare nvaldo entro l anno Analogamente se lo stato d partenza è (nvaldo) avremmo le seguent probabltà: p y ; q y ; p y ; q y NB: Sono state escluse le probabltà d rattvazone e le probabltà sono qu assunte dpendent dall età ma non dal tempo trascorso nello stato d nvaldtà (la permanenza n uno stato). L uso d tal probabltà è sensato n quanto sostenuto dalle esperenze statstche ma complca notevolmente l modello.

17 La probabltà subordnata d transzone tra stat rappresenta la probabltà che l rscho s trov nello stato nvaldo/attvo al tempo (y+1) condzonata alla presenza dello stesso o d un altro stato al tempo (y). («l futuro dpende dal passato tramte l presente»). È possble descrvere le probabltà anche n termn d processo stocastco: p aa y =Pr{S(y+1)=a S(y)=a} p a y =Pr{S(y+1)= S(y)=a} p a y =Pr{(S(y+1)=a) v (S(y+1)=) S(y)=a} p y = Pr{S(y+1)= S(y)=} p y =Pr{S(y+1)= v S(y+1)=a S(y)=}= Pr{S(y+1)= S(y)=}

18 Matrce delle probabltà subordnate d transzone Stato età y a Stato età y+1 a d p y aa p y a q y a 0 p y q y d Relazon: p y a = p y aa + p y a q y a = q y aa + q y a w y = p y a + q y a p y = p y + p y a q y = q y + q y a p a y + q a y =1 p aa y + p a y + q aa y + q a y =1 p aa y + q aa y + w y =1

19 Consderamo una copertura asscuratva stpulata da una persona attva d età (x) che prevede l pagamento d una rata untara negl ann l cu soggetto è nvaldo. All epoca d stpulazone del contratto (t=0) la rata R h (varable aleatora) pagable al generco stante (h) con h=1,2,3, n avrà possbl determnazon: { 0 se a/d 1 se R h rate n tempo Valore attuale delle prestazon: Y = n h=1 R h v h Valore attuarale delle prestazon : E[Y] = n h=1 E [R h ]v h = a h=1 hp x v h = n U a Valore attuarale rendta nvaldtà d rata untara Per l prncpo d equtà l valore attuarale rappresenta l premo unco puro della copertura asscuratva.

20 GRAZIE PER L ATTENZIONE

21 BIBLIOGRAFIA: E. Ptacco (1993), «Modell multstato per le asscurazon d persone. (appunt ntroduttv)» E. Ptacco (1993), «I modell multstato: un lnguaggo per la matematca attuarale», Unverstà degl stud d Treste E. Ptacco (2007), «Element d matematca delle asscurazon», LINT C. Barracchn (2007)«modell multstato per asscurazon d persone», ARACNE G. Castellan, M. De Felce, F. Morcon (2006), «Manuale d fnanza III. Modell stocastc e contratt dervat», Il Mulno