La probabilitaá CAPITOLO. Obiettivi MATEMATICA E REALTAÁ. definire e calcolare un valore di probabilitaá

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1 CAPITOLO La probabiitaá Obiettivi definire e cacoare un vaore di probabiitaá appicare i teoremi su cacoo dee probabiitaá : ± probabiitaá contraria ± probabiitaá totae ± probabiitaá composta MATEMATICA E REALTAÁ I probemi reai che siamo chiamati a risovere ci portano in moti casi a trovare un risutato ben definito; se, per esempio, una concessionaria ci dice che i costo de'auto che ci piace, scontata de'8%, eá di E , sappiamo trovare i costo di istino C de'auto risovendo una sempice equazione: C 8 C ˆ da cui C ˆ In tutti questi casi sappiamo che si para di probemi di tipo deterministico. Ma a vita moderna ci pone sempre piuá spesso di fronte a situazioni in cui eá impossibie sapere quae sia i risutato di un probema. Per esempio, se vogiamo investire una somma ne mercato azionario, non soo non possiamo sapere a priori quae sia i titoo che daraá i rendimento migiore, ma potremmo anche rischiare di perdere de denaro; nei giochi come a Rouette, i Superenaotto o Win for ife, non possiamo sapere su quai numeri conviene puntare; nee eezioni nessuno ha a certezza di vincere, si possono soo fare dei sondaggi pre-eettorai per avere dee indicazioni (ma quante vote e previsioni sono state camorosamente smentite?); nee produzioni aziendai, infine, si eseguono dei controi a campione sui pezzi prodotti, senza peroá avere a certezza che ne'intera produzione non ci siano pezzi difettosi. In tutti questi casi siamo di fronte a modei di tipo non deterministico nei quai e decisioni che prendiamo e e risposte che diamo si basano da una parte sua quantitaá e quaitaá dee informazioni in nostro possesso (e in questi casi 'indagine statistica ci aiuta motissimo), da'atra sue reai possibiitaá che hanno acuni fatti di accadere; in atre paroe siamo in grado di dare dee risposte ai probemi soo in termini di probabiitaáesprimendo con una Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 217

2 vautazione numerica quanto grande sia a possibiitaá che una certa situazione si verifichi. Per esempio, ti saraá sicuramente capitato di acquistare una rivista, fare a spesa in un supermercato o magari fare shopping in un centro commerciae e che, a scopo promozionae, ti venga regaato un bigietto ne quae ci sono dei simboi coperti da uno strato di vernice argentata che devi grattare per scoprire se sotto c'eá a scritta HAI INTO! oppure HAI PERSO. A fianco dea Cassa c'eá poi un carteo che recita cosõá: «Sono giaá stati distribuiti 82 premi! Scopri se i prossimo fortunato sei tu.». Che probabiitaá avresti di vincere sapendo che i bigietti argentati ancora in distribuzione sono 5000 e che, compessivamente, sono 200 quei con a scritta HAI INTO!? 1. IL CONCETTO DI PROBABILITA Á Per comprendere i significato che dobbiamo attribuire aa paroa probabiitaá, dobbiamo prima imparare i significato di acuni termini. Chiamiamo esperimento aeatorio ogni fenomeno de mondo reae ae cui manifestazioni puoá essere associata una situazione di incertezza. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 567 L'ESPERIMENTO ALEATORIO Sono per esempio esperimenti aeatori: i ancio di un dado 'estrazione dei numeri dea Rouette, dea tomboa o de Lotto una interrogazione nea quae a sceta deo studente avviene per sorteggio un sondaggio a sperimentazione di un nuovo farmaco 'immissione su mercato di un nuovo prodotto. Un esperimento aeatorio puoá avere diversi risutati, tutti peroá ne'ambito di un certo insieme; se giochiamo aa Rouette, sappiamo che ad ogni giro dea ruota puoá uscire un numero compreso fra 0 e 36 e che i numero, se non eá o zero, puoá essere pari o dispari oppure rosso o nero; non eá quindi possibie che 'esito di questo esperimento aeatorio sia i numero 48 o che i numero uscito sia giao. L'insieme dei possibii risutati di un esperimento aeatorio si dice spazio campionario e viene di soito indicato con. LO SPAZIO CAMPIONARIO Per esempio: ne ancio di un dado, o spazio campionario eá dato da'insieme ˆ f1, 2, 3, 4, 5, 6g ne ancio di una moneta, o spazio campionario eá 'insieme ˆ ft, Cg dove T sta per Testa e C sta per Croce ne'estrazione di una paina da un'urna che ne contiene una giaa (G), una rossa (R) e una bu (B), o spazio campionario eá 'insieme ˆ fg, R, Bg ne gioco dea tomboa, o spazio campionario eá 'insieme dei numeri naturai da 1 a 90 ne'estrazione di uno studente in una interrogazione di matematica, o spazio campionario eá 'insieme degi studenti dea casse. 218 Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 Quaunque esperimento aeatorio, quando viene eseguito, ha sempre un soo risutato che puoá confermare o meno e previsioni; per esempio, se anciamo un dado e, prima de ancio, facciamo 'affermazione «esce un numero pari» possono capitare due cose: 'esecuzione de'esperimento aeatorio eá favorevoe a quanto affermato se i dado presenta a faccia con i numeri 2, 4, o 6, eá sfavorevoe se a faccia eá quea dei numeri 1, 3, 5. L'EENTO ALEATORIO Chiamiamo evento aeatorio uno dei possibii esiti di un esperimento aeatorio. In particoare si para di evento eementare quando 'evento aeatorio coincide con uno dei possibii eementi deo spazio campionario, di evento composto negi atri casi. Sono per esempio eventi aeatori: ne'estrazione di un numero dea tomboa: «esce un numero pari», «esce un numero minore di 10» (eventi composti), «esce i 5» (evento eementare) ne'estrazione di una carta da un mazzo di carte da gioco: «esce una carta di quadri», «esce una figura» (eventi composti); «esce i re di cuori», «esce i 2 di picche» (eventi eementari). Un evento aeatorio eá verificato soo da acuni eementi deo spazio campionario; per esempio, ne'esperimento de ancio di un dado, 'evento «esce un numero pari» eá un evento composto e si verifica se esce uno quaunque dei numeri 2, 4, 6, e 'insieme f2, 4, 6g eá un sottoinsieme di. Ad ogni evento corrisponde quindi un sottoinsieme proprio deo spazio campionario, costituito da tutti e soi gi eementi di che o verificano; diciamo che questo sottoinsieme eá 'insieme di veritaá de'evento. Ne seguito conveniamo di indicare con a stessa ettera maiuscoa de'afabeto sia 'evento aeatorio che i suo insieme di veritaá. Reativamente a precedente esempio scriveremo quindi: A : «esce un numero pari» e A ˆf2, 4, 6g con A " " evento insieme di veritaá ra tutti i possibii eventi di un esperimento aeatorio ce ne sono due di tipo particoare: n 'evento che ha come insieme di veritaá 'intero spazio campionario e che, poicheâ si verifica sempre, viene detto evento certo n 'evento che ha come insieme di veritaá un insieme vuoto e che, visto che non si verifica mai, viene detto evento impossibie. Per esempio, ne ancio di un dado: sono eventi certi: «esce un numero intero minore di 7», «esce un numero positivo» sono eventi impossibii: «esce i numero 8», «esce un numero di due cifre». ogiamo adesso vedere come sia possibie vautare a possibiitaá che un evento aeatorio ha di reaizzarsi; diamo a seguente definizione. Chiamiamo probabiitaá di un evento E un numero che esprime una stima dea possibiitaá che esso si verifichi. Le paroe chiave dea probabiitaá: esperimento aeatorio spazio campionario evento aeatorio LA DEINIZIONE DI PROBABILITAÁ La vautazione di questa stima puoá essere fatta in diversi modi, ciascuno associato ae diverse tipoogie di esperimenti aeatori. Nei prossimi paragrafi ci occuperemo di quegi esperimenti che sono in genere associati ae estrazioni co- Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 219

4 me, per esempio, a Rouette, a tomboa, i Lotto, i ancio dei dadi; soo verso a fine de'unitaá ci occuperemo di atri tipi di esperimenti egati maggiormente aa frequenza con cui gi eventi si verificano (come per esempio 'efficacia di un particoare farmaco nea cura di una maattia o a possibiitaá che un certo individuo sia ancora in vita a'etaá di 80 anni); concuderemo infine con quegi esperimenti nei quai eá i soggetto che, con e informazioni che possiede e con a propria percezione dea situazione, esprime una stima personae. 2. LA DEINIZIONE CLASSICA Per vautare in modo corretto a probabiitaá di un evento si devono tenere presenti acune considerazioni che riguardano sostanziamente e condizioni nee quai viene eseguito 'esperimento. Per esempio, ne'esperimento aeatorio che consiste ne'estrazione dei numeri dea Tomboa, occorre essere a conoscenza dea composizione de'urna (cioeâ quanti e quai numeri contiene), occorre che i dischetti siano tutti uguai ne oro aspetto fisico (a parte i numero impresso), occorre che i dischetti vengano ben mescoati prima di ogni estrazione, occorre che chi esegue 'estrazione non possa vedere i contenuto de'urna. Tutte queste ipotesi portano ad introdurre un modeo secondo i quae ogni numero dea tomboa ha e stesse possibiitaá di essere estratto di un atro; pareremo aora di equiprobabiitaá ne'estrazione. Se un evento eementare ha a stessa possibiitaá di accadere di un atro, diremo che gi eventi sono equiprobabii. Ad esempio, anche 'estrazione di carte da un mazzo da gioco regoare eá un modeo di equiprobabiitaá, cosõá come i ancio di un dado o di una moneta non truccati, o come quaunque fenomeno che abbia a che fare con estrazioni di tipo casuae. In quest'ottica si concepisce a probabiitaá di un evento come i rapporto fra i numero f dei casi ad esso favorevoi ed i numero n degi eventi eementari deo spazio campionario, ne'ipotesi che questo sia un insieme finito. Si pone cioeá p E ˆ f n Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 568 IL MODELLO DI EQUIPROBABILITAÁ Definizione cassica: numero casi favorevoi p ˆ numero casi possibii CosõÁ, per esempio, diremo che: ne'estrazione de primo numero di una tomboa a probabiitaá che esca un numero di una soa cifra eá 9 90 ˆ 1 percheâ ci sono 9 dischetti che hanno un 10 numero di una soa cifra su un numero compessivo di 90; 1 ne ancio di un dado a probabiitaá che esca 5 eá percheâ uno soo eá i caso 6 favorevoe a'evento sui 6 possibii, a probabiitaá che esca un numero minore di 4 eá 3 6 ˆ 1 percheâ 3 sono i casi favorevoi a'evento (puoá uscire sia 1 2 che 2 che 3) sui 6 possibii; ne'estrazione di una carta da un mazzo di 52, a probabiitaá che esca una carta di fiori eá ˆ 1 percheâ ne mazzo ci sono 13 carte di fiori. 4 Poiche f eá un numero naturae che eá sempre minore o uguae a n, a probabiitaá di un evento E eá un numero reae compreso fra 0 e 1; si ha cioeá che 0 p E Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 In particoare, 'evento impossibie ha probabiitaá 0 (i numero dei casi favorevoi eá 0); 'evento certo ha probabiitaá 1 (i numero dei casi favorevoi eá n). Per esempio, a probabiitaá che ne'estrazione di un numero dea tomboa esca 93 eá zero; 'evento «esce 93» eá un evento impossibie. La probabiitaá che, neo stesso esperimento, esca un numero compreso tra 1 e 90 eá 1 e tae evento eá certo. ESEMPI 1. Cacoiamo a probabiitaá che abbiamo di ottenere testa ne ancio di una moneta. L'evento eá E: «viene testa», o spazio campionario eá ˆfT, Cg, dunque n ˆ 2. Possiamo ritenere che a possibiitaá di ottenere testa sia uguae a quea di ottenere croce, cioeá che gi eventi eementari siano uguamente possibii; infatti se a moneta non eá truccata non esiste un eemento che ci faccia pensare i contrario. L'evento E: «viene testa» ha un soo caso favorevoe, quindi f ˆ 1. La probabiitaá di questo evento eá dunque: p E ˆ f n ˆ 1 2 Spesso a probabiitaá di un evento si esprime in termini percentuai; ne nostro caso, essendo 1 2 ˆ 0,5, abbiamo una probabiitaá de 50%. 2. Un mazzo di carte da poker eá formato da 32 carte: per ogni seme abbiamo 'asso, e carte da sette a dieci, i fante, a donna e i re. Cacoiamo a probabiitaá che estraendo una carta, questa sia: a. un asso b. una figura Supposto poi che in questa estrazione sia uscito i sette di cuori, cacoiamo di nuovo e precedenti probabiitaá per una seconda estrazione. a. I casi favorevoi a'evento sono 4, percheâ un mazzo di carte da poker contiene 4 assi, dunque p E ˆ f n ˆ 4 32 ˆ 1 ˆ 0,125 pari a 12,5% in termini percentuai 8 b. Le figure sono in totae 12, quindi p E ˆ12 32 ˆ 3 pari a 37,5%. 8 Per rispondere aa terza domanda osserviamo che, dopo 'estrazione de sette di cuori, i mazzo ha 31 carte mentre i casi favorevoi agi eventi a. e b. non sono cambiati; quindi: a. p E ˆ 4 31 b. p E ˆ12 31 pari a 12,90% pari a 38,71% 3. Cacoiamo a probabiitaá che, ne'estrazione dei numeri de Lotto, i primo estratto sua ruota di enezia sia compreso tra 20 e 29, estremi incusi. I casi possibii sono 90 percheâ tanti sono i numeri che sono contenuti ne'urna e tutti sono uguamente possibii. I casi favorevoi a'evento E: «i numero estratto eá compreso fra 20 e 29, estremi incusi» sono 10, infatti sono 10 i numeri compresi fra quei considerati, quindi p E ˆ f n ˆ ˆ 1 ˆ 0,1 pari a circa 11% in termini percentuai. 9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 221

6 ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Due eventi eementari si dicono equiprobabii se: a. hanno o stesso vaore di probabiitaá b. hanno a stessa possibiitaá di verificarsi c. 'esperimento viene condotto senza infuenze da'esterno. 2. Una scatoa contiene 8 paine rosse, 4 bianche e 6 giae indistinguibii fra oro. La probabiitaá che estraendone una questa sia giaa eá uguae a: a. b. c. d. un atro vaore non specificato Si estrae una carta da un mazzo di 52 e si vede che eá un re di cuori; se a carta non viene rimessa ne mazzo, a probabiitaá che ad una seconda estrazione venga una carta di cuori eá: a. b. c. d. un atro vaore non specificato I TEOREMI SULLA PROBABILITA Á Quando gi eventi sono piuá compessi di quei che abbiamo visto nei precedenti esempi, a vautazione di un vaore di probabiitaá non eá spesso immediata. Consideriamo, per esempio, un'urna che contiene paine bianche, nere e rosse; quando si para di "urna" si intende un contenitore da quae si possono estrarre degi oggetti senza poteri vedere prima de'estrazione. Come si puoá vautare a probabiitaá che estraendo successivamente due paine queste siano di due coori diversi? Una prima difficotaá sta ne'anaizzare, da punto di vista probabiistico, che cosa vuo dire "di due coori diversi" percheâ questo evento eá composto da tre eventi distinti: e due paine possono essere una bianca e una nera, una bianca e una rossa, una rossa e una nera. Una vota stabiito i significato de'evento, sappiamo come vautare a probabiitaá di estrazione di ciascuna paina, ma non sappiamo poi come operare con i vaori di probabiitaá trovati per ottenere queo cercato. Per risovere questo probema dobbiamo fare due cose: capire che reazione c'eá fra gi eventi composti e quei eementari che i compongono dare dee regoe per determinare i vaori di probabiitaá degi eventi composti. 3.1 I teorema dea probabiitaá contraria Per affrontare a prima questione dobbiamo rifettere su significato di un evento da punto di vista insiemistico. Consideriamo 'esperimento aeatorio de'estrazione di una carta da un mazzo e gi eventi ad esso reativi definiti dae proposizioni «esce una carta di cuori» e «esce una carta che non eá di cuori». Possiamo ritenere che questi due eventi siano uno a negazione de'atro e considerare che, da punto di vista insiemistico, se E eá 'insieme di veritaá de'uno, i suo compementare E eá 'insieme di veritaá de'atro (figura 1). EÁ aora evidente che a probabiitaá pe di un evento E e quea p E de suo compementare sono egati daa reazione pe p E ˆ 1. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 573 igura Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

7 Infatti, se n eá i numero dei casi possibii e f eá i numero dei casi favorevoi a'evento E, i numero dei casi favorevoi a'evento E eá n f, quindi p E ˆ n f n ˆ 1 f n ˆ 1 pe. Questa reazione eá espressa da seguente teorema. Teorema dea probabiitaá contraria. Se p eá a probabiitaá di un evento E, aora a probabiitaá de'evento contrario E eá p E ˆ 1 p. Per esempio, se i mazzo ha 52 carte: 13 dato 'evento E : «esce una carta di cuori» dove pe ˆ 52 ˆ 1 4, aora E : «non esce una carta di cuori» ed eá p E ˆ ˆ dato 'evento E : «esce una donna» dove pe ˆ 52 ˆ 1, aora E : «non 13 esce una donna» ed eá p E ˆ ˆ Unione e intersezione di eventi Estraiamo una paina da un'urna che ne contiene di rosse, nere e giae e consideriamo adesso 'evento: E : «esce una paina rossa o nera» Interpretando E come 'unione dei seguenti due eventi eementari: A : «esce una paina rossa» B : «esce una paina nera» possiamo ritenere che E sia verificato se si verifica uno dei due eventi A o B. Diciamo aora che E eá 'evento unione di A e B e scriviamo E ˆ A [ B Consideriamo adesso 'esperimento aeatorio de'estrazione di una carta da un mazzo e 'evento: E : «esce una figura di fiori» In questo caso possiamo considerare 'evento come 'intersezione di atri due eventi: A : «esce una figura» B : «esce una carta di fiori» e possiamo ritenere che E sia verificato se si verificano entrambi gi eventi A e B. Diciamo aora che E eá 'evento intersezione di A e B e scriviamo E ˆ A \ B Conoscendo a composizione de'urna ne primo caso e a composizione de mazzo di carte ne secondo non eá difficie cacoare a probabiitaá di ciascuno dei due eventi E: n se 'urna ha 10 paine giae, 20 nere e 5 rosse, aora: evento E : «esce una paina rossa o nera» i casi favorevoi sono 20 5 ˆ 25 i casi possibii sono ˆ quindi pe ˆ 35 ˆ 5 7 L'EENTO UNIONE Diciamo che E eá 'evento unione di A e B se riteniamo E verificato quando si verifica A oppure si verifica B. L'EENTO INTERSEZIONE Diciamo che E eá 'evento intersezione di A e B se riteniamo E verificato quando si verificano contemporaneamente sia A che B. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 223

8 n se i mazzo ha 52 carte aora: evento E : «esce una figura di fiori» i casi favorevoi sono 3 (e tre figure di fiori) i casi possibii sono 52 3 quindi pe ˆ I teorema dea probabiitaá totae Stabiito che cosa significhino evento unione ed evento intersezione, vogiamo adesso cercare una regoa generae che permetta di cacoare a probabiitaá de'evento unione di due eventi eementari A e B. Per cacoare i vaore di probabiitaá associato a'evento E dobbiamo tenere presenti due possibii situazioni. n I due insiemi di veritaá A e B sono disgiunti (si para in questo caso di eventi incompatibii) Per cacoare a probabiitaá di E possiamo ragionare in questo modo (figura 2): se f 1 eá i numero dei casi favorevoi a'evento A e f 2 eá i numero dei casi favorevoi a B, i numero dei casi favorevoi ad A [ B eá f 1 f 2 ; dunque, se n eá i numero dei casi possibii: igura 2 pe ˆ f1 f 2 ˆ f1 n n f 2 n ˆ pa pb Per esempio, ne'estrazione di una carta da un mazzo di 52, 'evento E : «esce una donna oppure un re» eá formato dai due eventi disgiunti A : «esce una donna» e B : «esce un re», e poicheâ p A ˆ 4 52 ˆ 1 13 e anche pb ˆ 1, si ha subito che: 13 pe ˆ ˆ 2 13 n I due insiemi di veritaá A e B non sono disgiunti (si dice che i due eventi sono compatibii) Se 'intersezione fra i due insiemi non eá vuota, e supponiamo che in essa vi siano k eementi, i numero dei casi favorevoi a'evento E eá dato da'espressione (figura 3) Quindi f 1 k {z } eementi di A B f 2 k {z } eementi di B A {z} k ˆ f 1 f 2 k eementi di A \ B pe ˆ f1 f 2 k ˆ f1 n n f 2 n k n ˆ pa pb pa\ B Per esempio, considerando sempre 'esempio de'estrazione di una carta da un mazzo, 'evento E : «esce una donna oppure una carta di un seme rosso» eá formato dai due eventi A : «esce una donna» B : «esce una carta di un seme rosso». Questi due eventi sono compatibii e a oro intersezione eá formata da due eementi (figura 4). Tenendo presente che pa ˆ 4 52 ˆ 1 13 e pb ˆ ˆ 1, si ha quindi che: 2 igura 3 igura 4 pe ˆ ˆ Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

9 In definitiva, e osservazioni che abbiamo fatto si possono riassumere ne seguente teorema. Teorema (dea probabiitaá totae). Dati due eventi A e B deo stesso spazio campionario, sihache pa[ B ˆ pa pb pa\ B E' evidente che se i due eventi sono incompatibii pa\ B ˆ 0 e quindi in questo enunciato ritroviamo che pa[ B ˆ pa pb. ESEMPI 1. Consideriamo 'evento E: «i primo estratto sua ruota di Miano eá 1», reativo a'estrazione de otto. L'evento contrario eá aora E: «non esce i numero 1». Poiche p E ˆ 1 90, p E ˆ ˆ 89 ˆ 0,98 cioeá circa i 99% Ne'estrazione di una carta da un mazzo di 52 cacoiamo a probabiitaá che esca i tre di cuori oppure una carta di picche. L'evento eá 'unione dei due eventi eementari: E 1 : «esce i tre di cuori» con probabiitaá uguae a 1 52 E 2 : «esce una carta di picche» con probabiitaá uguae a ˆ 1 4 Poiche i due eventi sono incompatibii, a probabiitaá de'evento unione E eá a somma dee due probabiitaá: pe ˆ ˆ Gi aunni che frequentano a casse I B di una scuoa sono 30; di questi 10 giocano a cacio, 8 a tennis e 4 ad entrambi. Se 'insegnante di educazione fisica, prima di conoscere gi sport praticati da ognuno degi aunni, ne chiama uno a caso, che probabiitaá ha che questo ragazzo sia in grado di praticare ameno una dee due attivitaá considerate? Siano A : «'aunno chiamato gioca a cacio» e B : «'aunno chiamato gioca a tennis» Cacoare a probabiitaá che uno quasiasi fra gi studenti sappia praticare ameno uno fra i due sport significa cacoare a probabiitaá de'evento unione E ˆ A [ B : «'aunno chiamato gioca a cacio o a tennis». La situazione eá rappresentata da diagramma di Euero-enn di figura 5; daa sua osservazione deduciamo che p A ˆ10 10 ragazzi su 30 giocano a cacio 30 p B ˆ 8 8 ragazzi su 30 giocano a tennis 30 p A \ B ˆ 4 4 ragazzi su 30 giocano sia a cacio che a tennis 30 igura 5 quindi p A [ B ˆ ˆ ˆ 7 ˆ 0,46, cioeá una probabiitaá pari a circa i 46,7%. 15 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 225

10 ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Sono dati due eventi A e B incompatibii di uno stesso esperimento aeatorio; si puoá dire che: a. se si verifica A non si verifica B b. se si verifica A, si puoá verificare anche B c. A [ B si verifica soo se non si verificano neâ A neâ B d. gi eventi A e B sono sempre incompatibii. 2. Reativamente ad uno stesso esperimento aeatorio, un evento A ha probabiitaá 7 di verificarsi, un evento B ha probabiitaá 1 e i due eventi sono incompatibii; a probabiitaá de'evento A [ B eá uguae a: 16 8 a. 1 8 b c Reativamente ad uno stesso esperimento aeatorio, un evento A ha probabiitaá 4 di verificarsi, un evento B ha probabiitaá 5 e i due eventi sono compatibii; a probabiitaá de'evento A [ B eá uguae a: 15 9 d a b c d. non si puoá determinare senza uteriori informazioni. 3.4 La probabiitaá condizionata Eventi dipendenti e indipendenti Abbiamo piuá vote sottoineato 'importanza che ha avere i maggior numero di informazioni possibii per poter prendere decisioni consapevoi e motivate. Anche ne campo dea probabiitaá ci si puoá chiedere se avere dee indicazioni in piuá modifica i vaore di probabiitaá di un evento. Per comprendere queo che puoá accadere consideriamo due esperimenti aeatori diversi e vediamo che cosa succede aa probabiitaá di uno stesso evento quando si hanno dee informazioni aggiuntive sua oro conduzione. I esempio Estraiamo una carta da un mazzo di 52 e consideriamo 'evento A : «esce una figura». Poiche in un mazzo di 52 carte ci sono 12 figure, si puoá subito concudere che pa ˆ ˆ Supponiamo adesso che quacuno abbia visto 'esito de'esperimento prima che questo ci venga comunicato e che questa persona ci dica che eá uscita una carta di fiori; vautiamo a probabiitaá p de'evento A con questa nuova indicazione: p A ˆ 3 13 percheâ ci sono 3 figure su 13 carte di fiori In questo caso pa ˆ p A e 'informazione aggiuntiva non ha modificato a probabiitaá de'evento. Possiamo quindi dire che, se chiamiamo B 'evento «esce una carta di fiori», i 226 Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

11 sapere che si eá verificato B non modifica a probabiitaá di A, vae a dire che A non dipende da B. II esempio Consideriamo adesso un'urna che contiene 20 paine rosse e 10 paine nere tutte uguai per forma, dimensione e peso in modo da non potere distinguere una da'atra; di quee rosse si sa che 15 sono di vetro e che e atre 5 sono di pastica, mentre di quee nere 2 sono di vetro e 8 sono di pastica. Sia A 'evento «a paina estratta eá di vetro»; abbiamo subito che: pa ˆ 15 2 ˆ percheâ ci sono 17 paine di vetro sue 30 totai Supponiamo adesso che quacuno abbia visto a paina estratta e che ci comunichi che eá rossa; vautiamo a probabiitaá p de'evento A con questa nuova informazione: p A ˆ ˆ 3 4 percheâ ci sono 15 paine di vetro sue 20 che sono rosse Questa vota a probabiitaá de'evento A si eá modificata. Aora, se chiamiamo B 'evento «a paina estratta eá rossa», i sapere che si eá verificato B modifica a probabiitaá di A, vae a dire che A dipende da B. Diamo aora questa definizione. Considerati due eventi A e B di un medesimo esperimento aeatorio, si dice probabiitaá condizionata di A rispetto a B, e si indica con i simboo pajb, a probabiitaá che si verifichi A supposto di sapere che si eá verificato B. PROBABILITAÁ CONDIZIONATA, EENTI DIPENDENTI E INDIPENDENTI La probabiitaá condizionata eá quindi quea che negi esempi abbiamo indicato con p e, come abbiamo visto si possono presentare i seguenti casi: pajb ˆ pa cioeá sapere che si eá verificato B non infuenza a probabiitaá di A (primo esempio); si dice aora che i due eventi A e B sono indipendenti pajb 6ˆ pa cioeá sapere che si eá verificato B modifica a probabiitaá di A (secondo esempio); si dice aora che i due eventi A e B sono dipendenti. Possiamo quindi affermare che gi eventi A e B de primo esempio sono indipendenti, mentre quei de secondo esempio sono dipendenti. I teorema dea probabiitaá composta Riprendiamo i due esperimenti aeatori precedenti e continuiamo con e nostre considerazioni. igura 6 I esempio Ne'esperimento di estrazione di una carta da un mazzo da 52 carte, consideriamo 'evento E : «esce una figura di fiori» ed interpretiamoo come 'intersezione di atri due eventi: A : «esce una figura» cioeá E ˆ A \ B (figura 6). B : «esce una carta di fiori» Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 227

12 autiamo e probabiitaá di ciascuno di questi eventi; sappiamo che A e B sono indipendenti (cioeá pajb ˆ pa ), quindi vautare a probabiitaá di A senza avere informazioni su B oppure sapendo che si eá verificato, non infuenza a probabiitaá di questo evento. Otteniamo quindi che: pe ˆ pa\ B ˆ 3 52 pa ˆ pajb ˆ ˆ 3 13 pb ˆ ˆ 1 4 e poicheâ 3 52 ˆ possiamo dire che fra e tre probabiitaá, ameno in questo caso, sussiste a reazione pa\ B ˆ pajb pb 4. II esempio Ne'esperimento di estrazione di una paina da'urna (ricordiamo che e paine sono 30, dee quai 15 sono rosse di vetro, 5 sono rosse di pastica, 2 sono nere di vetro, 8 sono nere di pastica), consideriamo 'evento E : «a paina estratta eá rossa e di vetro»; anche questo evento puoá essere visto come 'intersezione di atri due eventi: A : «a paina eá di vetro» B : «a paina eá rossa» Sappiamo che gi eventi A e B sono dipendenti e che quindi pajb 6ˆ pa ; vediamo se, anche in questo caso, a probabiitaá de'evento AjB ha una quache reazione con gi eventi E ˆ A \ B e B; cacoiamo e tre probabiitaá: pe ˆ pa\ B ˆ ˆ 1 2 pajb ˆ ˆ 3 4 pb ˆ ˆ 2 3 e poicheâ 1 2 ˆ 3 4 2, anche in questo caso si ha che pa\ B 3 ˆ pajb pb. I risutato a cui siamo giunti in questi due esempi vae in generae; si puoá cioeá affermare che: p A \ B ˆp AjB p B o anche p AjB ˆp A \ B p B IL CALCOLO DI UNA PROBABILITAÁ CONDIZIONATA Questi due modi di scrivere a stessa reazione ci permettono di trovare una probabiitaá condizionata in dipendenza dea probabiitaá de'evento intersezione (seconda formua) oppure a probabiitaá de'evento intersezione in funzione di una probabiitaá condizionata (prima formua). La prima formua esprime i cosiddetto teorema dea probabiitaá composta che possiamo cosõá enunciare: Teorema (dea probabiitaá composta). Dati gi eventi A e B di un medesimo esperimento aeatorio, a probabiitaá de'evento A \ B eá uguae a prodotto dea probabiitaá di uno dei due eventi per a probabiitaá condizionata de'atro, supposto che i primo si sia verificato. Essendo poi pb\ A ˆ pa\ B si ottiene anche che pa\ B ˆ pbja pa nea quae sostanziamente A e B si sono scambiati i ruoi. Dunque, tenendo presente che se due eventi sono indipendenti si ha che 228 Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 pajb ˆ pa, dea probabiitaá de'evento intersezione di due eventi A e B possiamo dire che: pa\ B ˆ pa pb pa\ B ˆ pajb pb se gi eventi A e B sono indipendenti se gi eventi sono dipendenti. ESEMPI 1. Si ancia una moneta e contemporaneamente si estrae una paina da un'urna che ne contiene 2 rosse, 3 bianche e 5 nere e si vuoe vautare a probabiitaá de'evento E : «esce Testa e viene estratta una paina rossa». L'evento E eá 'intersezione dei due eventi eementari: A : «esce Testa» B : «esce una paina rossa» e si ha che: pa ˆ 1 2 pb ˆ 2 10 ˆ 1 5 Inotre i due eventi sono indipendenti percheâ sapere che da ancio dea moneta eá uscito Testa non modifica a probabiitaá di B, quindi pe ˆ pa pb ˆ ˆ Daa stessa urna de'esercizio precedente si estraggono successivamente due paine e si vuoe vautare a probabiitaá de'evento E : «escono due paine bianche» nei seguenti casi: a. a paina estratta viene rimessa ne'urna prima di procedere aa seconda estrazione b. a paina non viene rimessa ne'urna. E eá 'intersezione dei due eventi: A : «aa prima estrazione esce una paina bianca» B : «aa seconda estrazione esce una paina bianca» Aa prima estrazione 'urna eá competa e quindi a probabiitaá de'evento A eá 3 ; a probabiitaá de'evento B dipende da fatto che a paina estratta venga o meno rimessa ne'urna. Distinguiamo aora i 10 due casi come richiesto da probema. a. La composizione de'urna aa seconda estrazione eá competa quindi pb ˆ 3 10 e i fatto di conoscere 'esito dea prima estrazione non infuenza questa probabiitaá; i due eventi sono quindi indipendenti e si ha che pe ˆ pa pb ˆ ˆ b. La composizione de'urna aa seconda estrazione eá cambiata percheâ adesso ci sono 9 paine; a probabiitaá de'evento B questa vota dipende da'esito de'evento A percheâ: 2 se A si eá verificato ne'urna ci sono 2 paine bianche e quindi pbj A ˆ 9 3 se A non si eá verificato ne'urna ci sono ancora 3 paine bianche e quindi pbja ˆ 9 ˆ 1 3. I due eventi sono quindi dipendenti e percioá pe ˆ pa pbja ; inotre, visto che ci interessa soo i caso in cui a prima paina estratta eá bianca (atrimenti 'evento E non si verifica), possiamo considerare che pbja ˆ 2 9 e percioá: pe ˆ ˆ 1 15 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 229

14 APPROONDIMENTI LA PROBABILITAÁ E IL CALCOLO COMBINATORIO I cacoo combinatorio si occupa di studiare in quanti modi si possono disporre un certo numero di oggetti presi da un gruppo. Se per esempio vogiamo sapere quante cinquine si possono fare ne gioco dea Tomboa, ci chiediamo in quanti modi si possono scegiere 5 numeri diversi su 90, indipendentemente da'ordine con cui compaiono; se vogiamo sapere quante coppie di ettere dobbiamo predisporre per comporre e iniziai de nome e de cognome di una persona, ci chiediamo in quanti modi si possono disporre due ettere de'afabeto tenendo presente che questa vota eá importante 'ordine in cui e ettere compaiono e che eá possibie anche a oro ripetizione. Affronterai in modo competo o studio de cacoo combinatorio negi anni futuri; per ora diamo e indicazioni soo sua parte che ci interessa reativamente a cacoo dee probabiitaá. Quando nea sceta degi oggetti di un gruppo non interessa 'ordine con cui essi vengono disposti si para di combinazioni; in particoare definiamo combinazione sempice di n oggetti di casse k, e si indica con i simboo C n,k, ogni raggruppamento di k oggetti diversi sceti fra n disponibii, indipendentemente da'ordine in cui essi vengono presi. Per esempio, acune combinazioni diverse di casse 5 dee 21 ettere de'afabeto itaiano sono e seguenti: C21,5 : a, p, m, f, e g, h, i,, m t, b, v, e, d Rappresentano invece a stessa combinazione i seguenti gruppi (sono formati dae stesse ettere disposte in ordine diverso): b, c, g, h, u c, h, b, u, g b, h, u, g, c Si dimostra che i numero di combinazioni sempici di n oggetti casse k eá dato daa formua C n,k ˆ n n 1 n 2 ::::: n k 1 k! dove 'espressione k! (eggi k fattoriae) rappresenta i prodotto di k fattori descrescenti a partire da k : Per esempio: 5! ˆ ˆ 120 k! ˆ k k 1 k 2 :::::::::::: 2 1 8! ˆ ˆ La formua per i cacoo di C n,k si rappresenta per comoditaá con i simboo n che si egge "n su k"; k osserviamo poi che 'espressione a numeratore eá i prodotto di k fattori descrescenti a partire da n. Per esempio: 6 fattori decrescenti a partire da 12 C12,6 ˆ 12 z } { ˆ ˆ fattori decrescenti a partire da 8 C8,3 ˆ 8 z } { ˆ ˆ n Una formua comoda per i cacoo di eá anche a seguente: k n n! ˆ k k! n k! 230 Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

15 Per esempio: 9 ˆ 9! 4 4! 5! ˆ ˆ 6! 3 3! 3! ˆ 20 Saper cacoare i numero dee combinazioni sempici eá utie ne cacoo dee probabiitaá per determinare sia i numero dei casi possibii che queo dei casi favorevoi a un evento. I esempio Da un'urna che contiene 10 paine bianche, 8 rosse e 12 nere (in totae 30 paine), se ne estraggono contemporaneamente 2; si vuoe conoscere a probabiitaá che siano entrambe rosse. Occorre cacoare: i numero dei casi possibii come combinazioni di 30 oggetti di casse 2: C 30,2 ˆ 30 ˆ 30! 2 2! 28! ˆ 435 i numero dei casi favorevoi come combinazioni di 8 oggetti (tante sono e paine rosse) di casse 2: C 8,2 ˆ 8 ˆ 8! 2 2! 6! ˆ La probabiitaá cercata vae dunque 435 0,064. II esempio In una otteria si sono vendute tre serie di bigietti, contrassegnati rispettivamente con e ettere A, B, C. Una prima seezione ha portato ad individuare 40 bigietti dea serie A, 10 bigietti dea serie B e50 bigietti dea serie C. Tutti i bigietti seezionati vinceranno dei premi ma, per assegnari in ordine di importanza, si deve procedere ad una nuova estrazione. ogiamo determinare a probabiitaá che i primi due bigietti estratti siano dea stessa serie. L'evento E di cui dobbiamo determinare a probabiitaá eá 'unione dei tre eventi incompatibii: E 1 : «i bigietti sono entrambi di serie A» E 2 : «i bigietti sono entrambi di serie B» E 3 : «i bigietti sono entrambi di serie C» Tenendo presente che a prima seezione ha individuato 100 bigietti in totae, cacoiamo a probabiitaá di ciascuno di essi: p E 1 ˆ C40,2 ˆ : ˆ 26 C 100, p E 2 ˆ C10,2 ˆ 10 C 100,2 2 p E 3 ˆ C50,2 ˆ 50 C 100,2 2 : : ˆ ˆ Per i teorema dea probabiitaá totae, a probabiitaá de'evento unione eá dato daa somma dee tre probabiitaá trovate; si ha quindi: p E ˆ ˆ 0,41 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 231

16 ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Barra vero o faso: a. due eventi sono indipendenti se sapere che uno dei due si eá verificato non infuenza a probabiitaá de'atro b. due eventi sono dipendenti se i verificarsi de'uno impica i verificarsi de'atro c. se due eventi sono compatibii sono anche dipendenti d. se due eventi sono indipendenti aora sono anche incompatibii e. se due eventi sono indipendenti a probabiitaá condizionata de primo rispetto a secondo eá uguae aa probabiitaá de primo. 2. Si estrae una paina da un'urna che ne contiene 40 numerate da 1 a 40; considerati gi eventi A : «esce un numero dispari» e B : «esce un numero minore di 18», si puoá dire che: a. pajb ˆ pbja b. pbja ˆ pa c. pajb ˆ pa d. A e B sono eventi dipendenti. 4.LE ALTRE DEINIZIONI DI PROBABILITA Á I modeo cassico di probabiitaá si adatta bene a tutti quegi esperimenti aeatori nei quai eá possibie vautare i numero dei casi favorevoi rispetto a queo dei casi possibii, ma non eá di nessuna utiitaá se si deve cacoare a probabiitaá di successo di un farmaco su una maattia oppure a probabiitaá che a squadra de cuore vinca o scudetto; questo percheâ i casi che si possono presentare, e cioeá ha successo / non ha successo e vince / non vince, non hanno a stessa possibiitaá di verificarsi, non sono cioeá equiprobabii. In questi casi occorre vautare a probabiitaá in modo diverso a seconda dea tipoogia de'esperimento; in particoare si deve tener conto de fatto che un esperimento si possa ripetere un numero moto grande di vote oppure sia irripetibie: 'efficacia di un farmaco si puoá testare su moti pazienti, un campionato di cacio eá unico e irripetibie. ediamo dunque come definire a probabiitaá in questi casi. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 583 I modeo statistico o frequentista Questo modeo si adatta a tutti quegi esperimenti aeatori che possono essere ripetuti un numero moto grande di vote. Consideriamo, per esempio, un tiratore sceto e chiediamoci quae sia a probabiitaá che abbia di centrare i bersagio con un soo tiro; queo che possiamo fare eá osservare i comportamento de tiratore in numerose prove e attribuire un vaore aa probabiitaá richiesta cacoando i rapporto fra i numero di repiche de'esperimento che hanno dato esito favorevoe e queo dee prove fatte. Se i tiratore, su 1000 prove, avesse centrato i bersagio per 800 vote e se si ritenesse sufficientemente grande i numero di prove effettuate, potremmo dire che ha una probabiitaá di centrare i bersagio pari a ˆ 4 5. In generae diciamo che: 232 Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

17 reativamente ad un esperimento aeatorio A, che puoá essere osservato mote vote, a probabiitaá di un evento E eá i vaore a cui tende i rapporto tra i numero di prove che hanno avuto esito favorevoe ad E ed i numero totae di prove fatte (tutte ae stesse condizioni) quando queste tendono ad essere un numero moto grande. LA PROBABILITAÁ STATISTICA Ad esempio, supponiamo di prendere un comune dado da gioco di pastica rigida e di riuscire ad inserire a suo interno, attaccato aa faccia in corrispondenza de numero 6, un piccoo peso di ferro. EÁ evidente che i dado non eá piuá «regoare», ne senso che ad ogni ancio, e sue facce non hanno piuá a stessa probabiitaá di presentarsi. Per determinare aora e nuove probabiitaá dovremo effettuare un grande numero di anci e vedere quante vote si presenta ciascuna faccia; ciascuna probabiitaá eá quindi determinabie come imite, a crescere de numero dee prove, de rapporto fra a frequenza degi esiti favorevoi ed i numero dee prove stesse. Anche in questo caso si verifica che a probabiitaá p eá un numero reae compreso tra 0 e 1, estremi incusi. Occorre sottoineare che, con questa concezione, a probabiitaá di un evento non puoá essere cacoata a priori, ma viene determinata soo dopo aver effettuato dee osservazioni sperimentai e che essa non ha significato separatamente da tai prove; inotre ha senso parare di probabiitaá soo a'interno di una certa popoazione: se, ad esempio, si eá vautata, sua base di osservazioni ripetute, una probabiitaá de 40% di sopravvivenza fino a 80 anni degi esseri umani che vivono in Europa, questa probabiitaá puoá non essere a stessa per e popoazioni de'africa, de'asia o di un'atra zona dea Terra. In ogni caso si verifica che i modeo frequentista approssima queo cassico nee situazioni in cui, potendo dare anche una vautazione in senso cassico, si puoá effettuare un numero moto grande di prove. Se, per esempio, anciamo una moneta motissime vote, si verifica che i numero di quee in cui esce Testa si avvicina a numero dee vote in cui esce Croce; inotre a vicinanza eá tanto maggiore quanto piuá grande eá i numero di anci effettuati (vedi a questo proposito 'esercitazione de aboratorio di informatica). Questo significa che, per questo tipo di esperimenti aeatori, a probabiitaá statistica approssima quea cassica. Questa constatazione va sotto i nome di egge empirica de caso o egge dei grandi numeri: in un grande numero di prove, ripetute ae stesse condizioni, a probabiitaá a posteriori di un evento, cioeá a sua frequenza reativa, tende ad essere uguae aa sua probabiitaá teorica. LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI I modeo soggettivista Ne i modeo cassico, neâ i modeo statistico sono peroá in grado di dare vautazioni di probabiitaá su esperimenti aeatori che ci coinvogono direttamente o che non possono essere ripetuti sempre ae stesse condizioni: per esempio non possiamo determinare quae sia a probabiitaá che i cavao su cui abbiamo puntato vinceraá nea prossima corsa percheâ ogni corsa eá diversa da un'atra e non possiamo fare confronti, oppure stabiire chi vinceraá fra i quattro giocatori di una partita di poker percheâ ogni partita eá diversa da un'atra e anche a fortuna gioca un ruoo importante; inotre non ha senso parare di rapporto fra casi favorevoi e casi possibii percheâ questo significherebbe dire che ogni cavao ha esattamente e stesse possibiitaá di vincere di un atro, cosõá come ogni Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 233

18 giocatore dea partita di poker. La probabiitaá diventa in questo caso una misura dea fiducia che noi riponiamo ne fatto che si verifichi o meno un certo evento; tae fiducia si puoá misurare in termini di somma di denaro che i soggetto che sta vautando a probabiitaá eá disposto a versare in anticipo per poter ricevere una quota maggiore se 'evento si verifica. In atri termini: a probabiitaá di un evento E eá rappresentata da rapporto fra i prezzo P che un individuo ritiene giusto pagare e a somma S che ha diritto ad avere in cambio se 'evento si verifica, perdendo P se 'evento non si verifica: p E ˆP S LA PROBABILITAÁ SOGGETTIA i eá un'unica imitazione aa ibertaá di scommessa de'individuo, che risponde ad un principio di coerenza: 'individuo che accetta di pagare P per ricevere S, deve anche essere disposto a ricevere P da un'atra persona pagandoe S ne caso in cui 'evento si verifichi. Per esempio, se in una corsa di cavai a probabiitaá che un cavao vinca eá stimata da una persona pari a 1, significa che egi considera equo pagare E 1per 8 vincerne 8 ne caso in cui 'evento si verifichi; per coerenza, peroá, egi deve ritenere giusto pagare E 8 ad un'atra persona quando questa eá disposta a versarne 1. Conseguenza di cioá eá che anche questo modo di concepire a probabiitaá daá origine ad un numero compreso fra 0 e 1, estremi incusi. a poi sottoineato che se un individuo A, in base ae informazioni in suo possesso, attribuisce probabitaá p ad un evento, un individuo B potrebbe attribuire ao stesso evento una probabiitaá diversa percheâ in possesso di informazioni diverse oppure percheâ, pur avendo e stesse informazioni, ha un diverso grado di fiducia che 'evento si reaizzi; a probabiitaá di un evento dipende cioeá principamente dae informazioni che i soggetto possiede e daa sua propensione a rischio. ESEMPI 1. Un dado viene anciato vote e e sue facce si sono presentate con queste frequenze: faccia frequenza In base aa egge empirica de caso, si puoá affermare che i dado non eá truccato? Le facce di un dado regoare hanno, ciascuna, una probabiitaá teorica di presentarsi pari a 1 0,167; per 6 concudere che i dado eá regoare, e corrispondenti probabiitaá statistiche non devono scostarsi di moto da questo vaore. Cacoiamo ciascuna probabiitaá facendo i rapporto fra a frequenza e i numero di anci: faccia probabiitaá 0,2766 0,3715 0,1728 0,0436 0,1271 0,0084 Poiche e probabiitaá trovate sono moto diverse tra oro e anche da vaore teorico 0,167, dobbiamo concudere che i dado potrebbe essere truccato. 2. Un'urna contiene 1200 paine ma non si sa di che coore sono. Per stimare a composizione de'urna possiamo fare in questo modo: estraiamo una paina, prendiamo nota de coore, a rimettiamo ne'urna 234 Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

19 e ripetiamo mote vote questo stesso esperimento aeatorio. Supponiamo che, dopo aver fatto 100 estrazioni si siano ottenuti questi risutati: Coore N. Paine Bianco 12 Rosso 36 erde 52 TOTALE 100 Se riteniamo che i numero dee prove effettuate sia sufficiente, possiamo dire che: pb ˆ ˆ 3 25 pr ˆ ˆ 9 25 e che quindi 'urna potrebbe contenere: p ˆ ˆ ˆ 144 paine bianche ˆ 432 paine rosse ˆ 624 paine verdi 25 EÁ probabie che facendo atre 100 estrazioni si trovino vaori diversi di probabiitaá e quindi una diversa composizione de'urna; ricordiamo infatti che stiamo trattando probemi non deterministici nei quai non eá possibie avere a certezza de risutato. Una seconda osservazione che possiamo fare eá che i non aver trovato paine nere non garantisce che 'urna non ne contenga, cioeá un evento che ha probabiitaá statistica nua non eá necessariamente impossibie; anaogamente, un evento che ha probabiitaá statistica uguae a 1 non eá 'evento certo: trovare nee 100 estrazioni soo paine bianche, quindi con pb ˆ 1, non impica che non ve ne siano di atri coori. 3. Cara dice che a sua squadra ha una probabiitaá de 60% di vincere a partita, mentre secondo Anna a probabiitaá eá soo de 35%. Che significato si attribuisce a queste probabiitaá? Cara eá disposta a pagare E 60 per riceverne 100 in cambio se a squadra vince, Anna invece eá disposta a pagarne soo 35 percheâ ha una vautazione piuá negativa de'evento «a squadra vince». 4. Marco eá disposto a pagare E 20 per riceverne in cambio 80 se si verifica un certo evento E; per o stesso evento Giuio eá disposto a pagare E 30 per averne in cambio 100. Quae dei due attribuisce una maggiore probabiitaá a'evento? 3 ˆ 0,3. Poiche 10 > 1, dobbiamo con- 4 Per Marco pe ˆ ˆ 1 ˆ 0,25; per Giuio pe 4 ˆ ˆ 3 10 cudere che Giuio eá piuá fiducioso che accada 'evento E. Concusioni sue diverse concezioni di probabiitaá Nei paragrafi precedenti abbiamo cercato di iustrare e diverse concezioni di probabiitaá.eá importante peroá comprendere che non si tratta di tre teorie distinte e contrapposte fra oro; esse differiscono 'una da'atra soo per i modo di concepire ed interpretare e appicazioni. Da punto di vista matematico esse possono essere riunite in un'unica teoria assiomatica che, se proseguirai in questi studi, avrai modo di conoscere. Queo che riteniamo fondamentae eá che si comprenda 'importanza di questa discipina, che ci consente di anaizzare in modo coerente e nostre decisioni Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 235

20 nei casi di incertezza che quotidianamente dobbiamo affrontare. Riassumiamo dunque brevemente e principai differenze fra e tre concezioni e e situazioni in cui si possono appicare. n La concezione cassica si adatta ad esperimenti aeatori, quai i ancio di dadi, estrazioni casuai da un gruppo, nei quai si puoá parare di eventi favorevoi in rapporto ai casi possibii, tutti equiprobabii. Essa non eá adatta a vautare a probabiitaá di eventi in cui non si conosce i numero dei casi possibii o queo dei casi favorevoi, oppure in casi in cui gi eventi non sono equiprobabii. n La concezione frequentista si adatta ad esperimenti aeatori che possono essere ripetuti mote vote ae stesse condizioni, o per i quai si hanno grandi masse di dati a disposizione. Secondo questa concezione a probabiitaá eá intesa come rapporto fra i numero degi esiti che sono risutati favorevoi a'evento e a totaitaá dee osservazioni fatte. n La concezione soggettivista esprime i grado di fiducia che si ha nea reaizzazione di un evento. La sua misura si vauta considerando i rapporto fra a somma P che si stima giusto pagare e a somma S che si ha i diritto di ricevere se 'evento si verifica. In base a questa definizione, nea misura dea probabiitaá di un evento diventa preponderante i fattore soggettivo; essa si adatta percioá a vautare probabiitaá di eventi quai e scommesse o eventi singoi non ripetibii, come ad esempio una gara sportiva. ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Un tae eá disposto a pagare E 20 per averne in cambio 100 se si verifica un certo evento E. La probabiitaá che egi attribuisce a'evento eá uguae a: a. b. c Lanciando mote vote una moneta, i ato testa si eá presentato con una frequenza percentuae de 27%. Di questa moneta: a. si puoá ragionevomente dire che non eá truccata b. si puoá ragionevomente dire che eá truccata c. non si puoá dire nua. 3. Ad un tavoo dea rouette, i numero 12 non esce da piuá di due mesi. A prossimo giro dea ruota, a probabiitaá che a paina si fermi su numero 12 eá: a. uguae a 1 37 b. maggiore di 1 37 c. minore di Su sito trovi... i aboratorio di informatica a scheda storica La nascita de cacoo dee probabiitaá gi esercizi dae Gare di matematica i probemi di Matematica e ReataÁ (OCSE - PISA) e attivitaá di recupero 236 Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

21 Per trovare a probabitaá di trovare un bigietto vincente basta appicare a definizione cassica di probabiitaá: casi favorevoi: ˆ 118 casi possibii: 5000 vaore di probabiitaá: ˆ 0,0236 corrispondente, in termini percentuai, a 2,36%. La risposta a quesito iniziae Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á 237

22 I concetti e e regoe I concetto di probabiitaá In un esperimento aeatorio: o spazio campionario eá 'insieme di tutti i possibii esiti de'esperimento evento aeatorio eá uno dei possibii esiti di un esperimento aeatorio. La probabiitaá di un evento aeatorio E si puoá definire in modi diversi a seconda dea tipoogia de'esperimento; in base aa definizione cassica,sef eá i numero dei casi favorevoi ad un evento e n eá i numero dei casi possibii, aora pe ˆ f edeá 0 pe n 1. In particoare, se pe ˆ 0 'evento eá impossibie, se pe ˆ 1 'evento eá certo. Eventi ed insiemi Dati due eventi A e B deo stesso spazio campionario: 'evento opposto ad A eá 'evento A che si verifica, ne'ambito di, quando non si verifica A 'evento unione o evento somma A [ B si verifica quando si verifica ameno uno degi eventi A o B 'evento intersezione o evento prodotto A \ B si verifica quando si verificano entrambi gi eventi A e B; se 'intersezione di due eventi eá 'insieme vuoto, essi si dicono incompatibii. I teoremi sua probabiitaá Per cacoare a probabiitaá di un evento che eá a combinazione di piuá eventi si appicano i seguenti teoremi: teorema dea probabiitaá contraria: p A ˆ 1 pa teorema dea probabiitaá totae: pa[ B ˆ pa pb pa\ B e, ne caso di eventi incompatibii, essendo pa\ B ˆ 0 : pa[ B ˆ pa pb. La probabiitaá condizionata In acuni casi, a probabiitaá di un evento A dipende da verificarsi di un atro evento B; si para aora di probabiitaá condizionata e si scrive pajb. La probabiitaá condizionata eá definita daa formua (se rispettivamente nei due casi B e A non sono gi eventi impossibii): pa\ B pajb ˆ pb e anaogamente pa\ B pbja ˆ pa Se da queste due reazioni ricaviamo a probabiitaá de'evento intersezione otteniamo i teorema dea probabiitaá composta: a probabiitaá de'intersezione di due eventi eá uguae a prodotto dea probabiitaá di uno di essi per a probabiitaá condizionata de'atro, supposto che i primo si sia verificato: pa\ B ˆ pajb pb ˆ pbja pa Quando pajb ˆ pa, cioeá quando i sapere che si eá verificato B non atera a probabiitaá di A, i due eventi si dicono indipendenti; ne caso di eventi indipendenti i teorema dea probabiitaá composta diventa: Atri modei di probabiitaá pa\ B ˆ pa pb La probabiitaá di un evento puoá essere vautata secondo atri due modei: secondo i modeo statistico,eá i rapporto fra i numero f di vote in cui 'evento si eá verificato edi numero n di prove 238 Tema 5 - Cap. 1: LA PROBABILITA Á Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS