Prova di Statistica del

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1 Modellistica della Nutrizione. Prova di Statistica del a). Un campionamento casuale della concentrazione di piombo nell aria in 11 diversi punti di Milano, effettuato il 10/4/2012, dà i seguenti risultati (in μg/m^3) 1.10, 1.80, 1.50, 1.61, 1.49, 1.35, 1.45, 1.35, 1.85, 1.35, 1,65 Individuare sul campione media, varianza campionaria, mediana, quartili. Costruire il box plot. 1b). Individuare un intervallo di confidenza al livello 80% (con due code da 10% ciascuna) per il livello medio effettivo della concentrazione di piombo (nell aria di Milano il 10/4/2012). 1c). Testare l ipotesi Ho secondo cui il livello medio effettivo del piombo nell aria non abbia superato il livello di 1.30 μg/m^3, prescritto dalle legge (effettuare un test a una coda con significatività del 5%). 2a). E noto che la concentrazione C dell enzima E nel sangue delle persone affette dalla malattia genetica G ha distribuzione normale con valore atteso (valore medio) 100 e deviazione standard 15 (in opportune unità di misura). La concentrazione C di E nel sangue delle persona non affette da G e invece a distribuzione normale con valore atteso 70 e deviazione standard 5. Viene stabilito che un Test per la malattia G venga dichiarati positivo quando C > 80 e negativo quando C<80. Calcolare le probabilità di Falso Positivo cioe, prob(+ nong) e quella di Falso Negativo cioe, prob(- G). 2b) Nell isola di Galapa il 10% della popolazione è affetta dalla malattia G. Calcolare le probabilità prob(g +) e prob(nong -)

2 Modellistica della Nutrizione. Prova di Statistica del (ogni esercizio vale 10 punti). 1a). Un campionamento casuale del peso corporeo degli uomini quarantenni nella Provincia Canadese Ontario da i seguenti risultati (in Kg) 62, 58, 97, 85, 68, 73, 76, 81 Individuare sul campione media, varianza campionaria, mediana, quartili. Costruire il box plot. 1b). Nell ipotesi che i pesi corporei siano a distribuzione normale individuare un intervallo di confidenza al livello 90% (con due code da 5% ciascuna) per il peso medio degli uomini quarantenni in Ontario. 2a) Il peso delle otarie adulte e descritto dalla variabile aleatoria normale avente valore atteso 100 e deviazione standard 10 (in kg). Se scelgo a caso una otaria adulta quale e la probabilità che il suo peso superi 110 kg. 2b) Se scelgo a caso 2 otarie adulte quale è la probabilità che nessuna delle due abbia peso superiore a 110 kg. 3a) In un sistema universitario il 40% degli studenti ha reddito familiare inferiore a euro annui e tra questi la percentuale di studenti che ricevono una borsa di studio e del 70%. Fra i rimanenti studenti la percentuale dei titolari di borsa di studio e del 20%. Quale e la percentuale complessiva degli studenti che ricevono una borsa di studio. 3b) Se uno studente e titolare di una borsa di studio quale e la probabilità che il suo reddito familiare sia inferiore a euro annui.

3 Modellistica e Biologia della Nutrizione. Prova di Statistica del (ogni esercizio vale 10 punti). Es. 1. Una società mette in vendita pacchi di zucchero il cui contenuto e' descrivibile mediante una variabile aleatoria normale con valore atteso 1000 g e dev. standard 10g. 1a) Qual e la probabilita che il contenuto di un pacco di zucchero superi 1010 g. 1b) Qual e la probabilita che fra 5 pacchi di zucchero ve ne sia esattamente uno il cui contenuto supera 1010 g. Es. 2. In un bosco il 15 % dei funghi e' bianco mentre il rimanente 85% e' marrone. Inoltre il 70% dei funghi bianchi e' velenoso ed il 20% dei funghi marroni e' velenoso. 2a) Colgo un fungo a caso. Calcolare la probabilita che tale fungo sia velenoso. 2b) Se il fungo colto a caso e' velenoso, quale e la probabilita che esso sia bianco? Es. 3. Viene ipotizzato che i pesi delle nutrie adulte siano a distribuzione normale e fra loro statisticamente indipendenti. Viene esaminato un campione casuale costituito da 7 nutrie. I pesi in kg sono: 30, 32, 33.5, 34, 37.5, 38.5, a) Stimare valore atteso e varianza dei pesi nella popolazione di nutrie. 3b) Individuare un intervallo di confidenza al 90% per il valore atteso del peso nella popolazione di nutrie.

4 , Modellistica e Biologia della Nutrizione. Prova A di Statistica del Domanda 1. Da un urna contenente 100 biglie numerate da 1 a 100 viene effettuata un estrazione di 10 biglie distinte. 1a) Calcolare la probabilità che il numero 5 venga estratto. 1b) Calcolare la probabilità che sia 5 che 7 vengano estratti. 1c) Calcolare la probabilità che uno solo fra 5 e 7 venga estratto. Dopo l estrazione le dieci biglie estratte vengono reinserite nell urna e tutte le 100 biglie vengono rimescolate. Poi viene fatta una nuova estrazione di 10 biglie e così via. 1d) Calcolare la probabilità che il numero 7 venga estratto per la prima volta nella quinta estrazione. 1e) Se il numero 7 non viene estratto nelle prime quattro estrazioni, quale e la probabilità che esso venga estratto nella quinta estrazione? Domanda 2. Al termine di un anno scolastico il professore di italiano Severini riesamina i voti da lui dati ai temi degli studenti della classe IIIA. La situazione è illustrata dalla Tabella che segue voto numero (nota interpretativa: complessivamente i temi corretti sono stati 50, il prof. Severini ha dato il punteggio 5 a 12 temi, il punteggio 8 a 3 temi, etc.). Per i 50 voti assegnati calcolare media, mediana, quartili. Disegnare il Box Plot. Domanda 3. Fra i laureati triennali in Sc Biologiche del biennio provenienti da Licei Scientifici viene esaminato un campione casuale costituito da 11 studenti. Nella tabella che segue viene riportato per ogni studente il voto nell esame di maturità ed il voto di laurea. Voto Maturità Voto Laurea Disegnare lo scatter plot. Calcolare il coefficiente di correlazione r. Individuare e disegnare la retta di regressione sovrapponendola allo scatter plot.

5 Modellistica e Biologia della Nutrizione. Prova di Statistica del Ognuno dei 9 esercizi 1, 2, 3a, 3b, 3c, 4, 5a, 5b, 5c vale 5 punti.. Punteggio minimo richiesto: almeno 10 punti negli esercizi 1,2 e 3 e almeno 8 punti negli esercizi 4 e 5. Es.1. In una popolazione le donne (D) sono il 60% e gli uomini (U) il 40%. Inoltre il 70 % degli uomini e di tipo A (cioe ha statura superiore a 180 cm) ma solo in 20 % delle donne lo e. Per una persona scelta a caso calcolare P(A), P(U A) e P(D e A). Es. 2 (adottare un modello poissoniano). Nella citta di Mediolanum ci sono in media 6 infarti al giorno. Calcolare la probabilita che non vi siano infarti nei giorni 20 e 21 maggio Es. 3. Una società mette in vendita pacchi di zucchero il cui contenuto e' descrivibile mediante una variabile aleatoria normale con valore atteso 1000 g e dev. standard 9g. 3a) Qual e la probabilita che il contenuto di un pacco di zucchero superi 1009 g? 3b) Qual e la probabilita che fra 5 pacchi di zucchero ve ne sia esattamente uno il cui contenuto supera 1009 g? 3c) Qual e la probabilita che il contenuto medio di 9 pacchi di zucchero superi 1005 g? Es. 4. Al termine di un anno scolastico il professore di italiano Severini riesamina i voti da lui dati ai temi degli studenti della classe IIIA. La situazione è illustrata dalla Tabella che segue voto numero Calcolare media, mediana e quartili. Disegnare il Box Plot. Es. 5. Fra i laureati triennali in Sc Biologiche del biennio provenienti da Licei Scientifici viene esaminato un campione casuale semplice costituito da 11 studenti. Nella tabella che segue viene riportato per ogni studente il voto nell esame di maturità ed il voto di laurea. Voto Maturità Voto Laurea a).. Per ciascuna variabile nel campione calcolare media e varianza 5b) Calcolare il coefficiente r di correlazione campionaria. 5c) Testare l ipotesi Ho di correlazione nulla nella popolazione (test a due code ciascuna del 2,5%).

6 Insegnamento di Biologia e Modellistica della Nutrizione 1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b Prova di Statistica A del (prof. S. Paveri Fontana) Cognome Nome Scrivete il vostro nome su TUTTI i fogli che consegnate. Presentate una breve argomentazione delle vostre risposte. Non consegnate la Brutta. Ogni esercizio vale 4 punti. L esercizio 3 e molto semplice e coinvolge concetti fondamentali di probabilita e di buon senso. Per esso e possibile un punteggio negativo. Esercizio1. Fra i laureati triennali in Sc Biologiche del biennio provenienti da Licei Scientifici viene esaminato un campione casuale costituito da 10 studenti. Nella tabella che segue viene riportato per ogni studente il voto nell esame di maturità ed il voto Voto Maturità Voto Laurea Si ipotizza che ciascuna variabile sia a distribuzione normale 1a) Per ciascuna variabile individuare media e varianza campionarie. 1b) Calcolare il coefficiente di correlazione. Tracciare lo Scatter Plot (voto di maturita in ascissa, voto di laurea in ordinata). 1c) Individuare la retta di regressione Riportare la retta di regressione sul grafico dove si sono tracciati i punti dello Scatter Plot. Esercizio 2. Al momento di lasciare l insegnamento del corso di MatGen il prof. PF si chiede quale sia la distribuzione dei voti che lui stesso ha dato negli anni. Sceglie a casi i voti da lui dati a 100 studenti. Risulta quanto segue. Voto Numero (30 e lode e sostituito da 33). 2a) Calcolare media, mediana, deviazione standard, quartili. Disegnare il Box Plot. 2b) Nell ipotesi che i voti dati negli anni siano stati molto numerosi e che essi siano a distribuzione normale individuare un intervallo di confidenza al livello 95% (con due code da 2,5% ciascuna) per il voto medio. 2c) Individuare un intervallo di confidenza al livello 95% (con due code da 2,5% ciascuna) per la deviazione standard. Esercizio 3. 3a) Nella cittadina di Bimercati vi sono due licei (uno classico [C] e l altro scientifico [S]). Tra gli iscritti ai due licei vi sono complessivamente tre ragazze (F) per ogni due ragazzi (M). Inoltre il 70 % delle ragazze liceali risulta iscritto al Classico, mentre solo il 20% dei ragazzi liceali e iscritto al Classico. 3a) Se complessivamente a Bimercati vi sono 400 liceali/e quanti di loro sono iscritti al Classico? 3b) Scelgo a caso un liceale. Calcolare le probabilita : Prob(F e C), Prob(F o C) e Prob(F C).

7 . Insegnamento di Biologia e Modellistica della Nutrizione 1a 1b 1c 2 3a 3b 4a 4b Prova di Statistica A del (prof. S. Paveri Fontana) Cognome Nome Scrivete il vostro nome su TUTTI i fogli che consegnate. Presentate una breve argomentazione delle vostre risposte. Non consegnate la Brutta. Ogni esercizio vale 4 punti.. Esercizio 1. La società Zuccheri mette in vendita pacchi di zucchero il cui contenuto e' descrivibile mediante una variabile aleatoria normale con valore atteso 1000 g e dev. standard 10g. Invece la società Aridania mette in vendita pacchi di zucchero il cui contenuto e' descrivibile mediante una variabile aleatoria normale con valore atteso 1000 g e dev. standard 5g. Vi è statistica indipendenza fra pacco e pacco. 1a) Calcolare la probabilita che un pacco della società Aridania contenga più di 1010 g di zucchero 1b) Nella mia dispensa vi sono 7 pacchi della società Zuccheri e 3 della società Aridania. Prendo a caso un pacco di zucchero. Quale e la probabilità che il suo contenuto superi 1010 g? 1c) Nella mia dispensa vi sono 7 pacchi della società Zuccheri e 3 della società Aridania. Prendo a caso un pacco di zucchero e costato che il suo peso supera 1010 g. Quale e la probabilita che esso sia di produzione Aridania?. Esercizio 2. Siano A, B, C e D quattro eventi fra loro statisticamente indipendenti con P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(C) =P(D)= 0.3. Calcolare P((AeB) o (CeD)). Calcolare P(A B) e P(A\B) Esercizo 3. (NOTA: in questo esercizio M indica i malati del pericoloso morbo M mentre S indica i Sani; sono disposizione due test, T1 e T2, che risultano indipendenti fra loro sia se applicati ai Sani che se applicati ai Malati; si noti che, a differenza di T1, risulta che T2 e dispendioso e potenzialmente pericoloso). Prima viene utilizzato T1. Successivamente T2 viene utilizzato solo su quanti hanno avuto esiti positivo su T1. Risulta: P(T1+ M) =0.99; P(T2+ M) = 0.95; P(T1+ S) = 0.2; P(T2+ S) = a) Calcolare la probabilita complessiva di Falso Positivo (cioe la probabilta che un Sano sia sottoposto ai due Test con esito sempre Positivo) 3b) Calcolare la probabilita complessiva di Falso Negativo (cioe la probabilta che un Malato abbia esito Negativo in T1, oppure Positivo in T1 ma negativo in T2). Esercizio 4. Viene ipotizzato che i pesi della (popolazione di) uova di testuggine depositate sulla spiaggia di Honolulu siano a distribuzione normale e fra loro statisticamente indipendenti. Viene esaminato un campione casuale costituito da 8 uova. I pesi in kg sono: 22, 23, 25, 26, 29, 30, 34, 35. 5a) Per i pesi nel campione calcolare media, mediana, varianza e quartili. Disegnare il Box Plot. 5b) Individuare un intervallo di confidenza al 95% per il valore medio del peso nella popolazione.