Allenamenti di matematica: Teoria dei numeri e algebra modulare Soluzioni esercizi

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1 Allenament d matematca: Teora de numer e algebra modulare Soluzon esercz 29 novembre Canguro salterno. Un canguro salterno s trova a ped d una scala nfnta che ntende salre nel seguente modo: Salta avant d 3 gradn e n seguto ndetregga d 1 gradno Salta avant d 5 gradn e n seguto ndetregga d 3 gradn Salta avant d 7 gradn e n seguto ndetregga d 5 gradn... Qual gradn compres tra l 2000-esmo e l 2017-esmo (estrem nclus non vsterà l canguro? In generale su qual gradn non metterà ma pede? Dmostrazone. Il canguro avanza secondo la sequenza Se raggruppamo termn due a due ottenamo (3 1 (5 3 ( = da cu appare charo che tutt gradn par vengono vstat. Smlmente se raggruppamo termn due a due escludendo l prmo ottenamo 3 ( 1 5 ( 3 7 ( = da cu s vede che anche gradn nella forma 4k 3 vengono vstat. Gl unc esclus sono tutt e sol quell della forma 4k 1, pertanto l canguro non vsta l 2001-esmo, l 2005-esmo, l 2009-esmo, l 2013-esmo e l 2017-esmo gradno. 2. Settantasettesette. Un numero è composto da 77 cfre decmal tutte ugual a 7. Qual è l resto della sua dvsone per 101? Dmostrazone. Sa N l numero composto da 77 cfre 7. Sfruttando la base decmale ottenamo N = Ora notamo che (mod (mod (mod (mod 101 Pertanto N = 7( ( (mod 101 qund resto della dvsone d N per 101 è Quadrat nascost (1. Sano a, b nter postv. Se 132ab e 63ab 2 sono entrambe quadrat perfett, qual è l mnmo valore d a b? Dmostrazone. Se 63ab 2 è un quadrato allora anche 63a deve esserlo; poché 63 = l mnmo valore d a che rende 63a un quadrato è a = 7. Passando al secondo numero e sosttuendo trovamo 132ab = b. Poché 132 = l mnmo valore d b che rende 132ab = b un quadrato perfetto è b = = 231. Qund a b = 238 (effettvamente 63ab 2 = e 132ab = Quadrat nascost (2. Trovare l unco prmo p per cu 11p 1 è un quadrato perfetto. Dmostrazone. 11p 1 è un quadrato perfetto se esste un n ntero tale che n 2 = 11p 1. Questa stessa espressone s può scrvere nella forma 11p = n 2 1 = (n 1(n 1. Poché però p è prmo, la sua fattorzzazone contene solo 2 element; c sono due possbltà: la prma è {n 1, n 1} = {1, n 2 1}, l che mplca n = 0 o n = 2, nessuna delle qual è ammessa poché 11 (n 2 1 e qund (n 2 1 > 11. Consderamo allora la seconda possble fattorzzazone, per cu {n 1, n 1} = {11, p}; s può avere n 1 = 11 e qund n 1 = 9, che però non è prmo e qund non va bene; oppure s può avere n 1 = 11 e qund n 1 = 13, che è prmo. La soluzone è qund p = 13. 1

2 5. Potenze mpressonant (1. Determnare la cfra delle untà d Dmostrazone. È suffcente scrvere l espansone n base 10 d 2137 ed elevarla ad una potenza qualsas per verfcare che la cfra delle untà del rsultato dpende solo dalla cfra delle untà della base (7 nel nostro caso. Ora cerchamo la perodctà della cfra delle untà delle potenze d 7: 7 1 = 7, 7 2 = 49, 7 3 = 343, 7 4 = 2401 e, sccome abbamo ottenuto 1, da qu n avant s rpeterà la sequenza 7, 9, 3, 1. Pertanto l perodo con cu s rpetono è 4, poché (4 la cfra delle untà cercata è Potenze mpressonant (2. Determnare la cfra delle untà d dove compaono esattamente cento 3. Dmostrazone. Analogamente a prma studamo l perodo delle potenze d 3: 3 1 = 3, 3 2 = 9, 3 3 = 27, 3 4 = 81, qund l perodo è 4. Pertanto samo nteressat a determnare la congruenza modulo 4 dell esponente d 3, ovvero E = dove compaono 99 numer 3. Osservamo che E = ( (mod 4 dove la penultma congruenza segue dal fatto che l esponente d 1 è scuramente dspar. Abbamo qund ottenuto che novantanove 3 all esponente del numero fornto nel problema sono congru a 3 modulo 4, ne segue che la cfra rchesta dal problema è la terza nel perodo delle potenze d 3, ovvero Prm nascost (1. Per qual valor nter d n l numero n 2 14n 24 è prmo? Dmostrazone. È suffcente fattorzzare N = n2 14n 24 = (n 2(n 12 e notare che tale numero è prmo se e solo se uno de suo due fattor è 1 o 1 e l altro è un prmo (con segno adeguato. Basta analzzare quattro cas: n 2 = 1 = n = 3 = 3 12 = 9 = N = 9 non accettable n 2 = 1 = n = 1 = 1 12 = 11 = N = 11 accettable n 12 = 1 = n = 13 = 13 2 = 11 = N = 11 accettable n 12 = 1 = n = 11 = 11 2 = 9 = N = 9 non accettable Qund gl unc valor d n per cu N è prmo sono n = 1, Prm nascost (2. Trovare l pù grande ntero n tale che tutt numer n 1, n 3, n 7, n 9, n 13 e n 15 sano prm. Dmostrazone. L ntero cercato è n = 4. Infatt, per n = 1 l numero n3 = 4 non è prmo, per n = 2 l numero n 7 = 9 non è prmo, per n = 3 l numero n 3 = 4 non è prmo. Per n > 4 tutt numer sono maggor d 5 e almeno uno è dvsble per 5. Infatt, numer 1, 3, 7, 9, 13, 15, se dvs per 5, danno come rest della dvsone 1, 3, 2, 4, 3, 0, ovvero tutt possbl rest. Pertanto numer n 1, n 3, n 7, n 9, n 13, n 15 danno tutt possbl rest d una dvsone per 5 e almeno uno d quest è dvsble per 5 e qund non è prmo. Per n = 4, nvece, ottenamo numer prm 5, 7, 11, 13, 17, Soluzon ntere. Qual numer nter n rsolvono l equazone (n 2 n 1 (n2 = 1? Dmostrazone. Se a, b sono numer nter (anche negatv l equazone della forma a b = 1 ha soluzon se e solo se a = 1, a = 1 e b è par oppure b = 0 e a 0. Consderamo var cas: (n 2 n 1 = 1 = n = 1, 2 entrambe accettabl (n 2 n 1 = 1 = n = 0, 1. Se n = 0 l esponente è par e la soluzone è accettable, mentre se n = 1 l esponente è dspar e la soluzone non è accettable n 2 = 0 = n = 2 = = 5 0 è accettable I valor d n cercat sono n = 2, 1, 0, Iperbole. Qual coppe d numer natural (a, b appartengono al grafco dell perbole a 2 4b 2 = 45? Dmostrazone. Scomponendo ottenamo (a 2b(a 2b = 45 = Rcordando che a, b sono natural segue che a 2b deve essere maggore d a 2b, pertanto cas da consderare sono: a 2b = 45, a 2b = 1 = (a, b = (23, 11 a 2b = 15, a 2b = 3 = (a, b = (9, 3 a 2b = 9, a 2b = 5 = (a, b = (7, 1 2

3 11. Terne occulte. Determnare tutte le terne d numer natural (p, n, m con p prmo tal che p n 144 = m 2. Dmostrazone. S ottene faclmente che p n = (m 12(m 12. Scuramente non può essere m 12 = 1, altrment m 12 < 0, mentre se m 12 = 1 s ottene la soluzone (5, 2, 13. Altrment, poché p è un prmo, due fattor a destra devono essere potenze (n generale dstnte del prmo p. Sano p h = m 12 e p k = m 12, allora p h p k = 24 = p k (p h k 1 = 24, qund le unche possbltà per p k sono p k = 2, 3, 4, 8. Dal caso p k = 3 s ottene la soluzone (3, 4, 15, mentre dal caso p k = 8 s ottene la soluzone (2, 8, 20; gl altr cas non portano a soluzon accettabl. 12. Dvsbltà (1. Sa n un ntero dspar. Mostrare che 8 dvde n 2 1. Dmostrazone. Poché n è dspar, s può scrvere nella forma n = 2k 1 per un certo ntero k. Qund avremo n 2 1 = (2k = 4k 2 4k = 4k(k 1. Dato che k e k 1 sono due nter consecutv, uno de due sarà par e qund anche l loro prodotto lo sarà. Dunque 2 dvde k(k 1, da cu 8 dvde 4k(k Dvsbltà (2. Provare che 3 6n 2 6n è dvsble per 35 per qualsas ntero n. Dmostrazone. Sa N = 3 6n 2 6n ; sappamo che 35 = mcm(5, 7, qund per dmostrare che 35 N basta dmostrare che 5 N e 7 N. Innaztutto s ha e qund 5 N. Allo stesso modo e qund 7 N. N = 3 6n 2 6n = 9 3n 4 3n 4 3n 4 3n (mod 5 0 (mod 5 N = 3 6n 2 6n = 27 2n 8 2n ( 1 2n 1 2n (mod 7 1 n 1 n (mod 7 0 (mod Combnazon vncent. Mschare le cfre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} per creare un numero dvsble per 11. Dmostrazone. Il trucco è creare una sequenza d numer che, sottratt a coppe, dano una sere d 1 e 1 che alla fne s annullno a vcenda. È facle trovare = = 0. Qund una soluzone è Il numero magco. Se camb la ma ultma cfra con un 9 e la ma prma cfra con un 5 trovera l quadrato d un terzo della ma nona parte. Un ultmo ndzo: sono un numero d 3 cfre. Ch sono? Dmostrazone. Sa n l numero che stamo cercando e sa y la sua seconda cfra. Allora ( n2 = y. Nel membro d destra deve esserc l quadrato d un numero ntero e qund trovamo 529, da cu y = 2. Dunque n = 23, ovvero n = Dofanto. L nfanza d Dofanto occupò un sesto della sua vta, la govnezza un dodcesmo ed egl fu celbe per un settmo della sua vta. Ebbe un fglo cnque ann dopo essers sposato, l quale vsse la metà degl ann del padre e Dofanto stesso morì 4 ann dopo d lu. A che età morì Dofanto? Dmostrazone. Sa x l età d Dofanto. Allora da cu ovvero 3 28 x = 9 e x = 84. x 4 (( x 5 = 1 2 x, ( 1 2 ( x = 9, 7 3

4 17. Queston d dfferenze. Dat a, b, c, d nter mostrare che 12 (a b(a c(a d(b c(b d(c d. Dmostrazone. Mostrare la dvsbltà per 12 equvale a mostrare separatamente che N = (a b(a c(a d(b c(b d(c d è multplo d 3 e d 4 (osservamo che nella scrttura d N compaono tutte le possbl dfferenze tra a, b, c, d a meno dell ordne. Dvsbltà per 3. Le class d congruenza modulo 3 sono 0, 1, 2, sccome ognuno tra a, b, c, d apparterrà ad esattamente una d esse avremo almeno due numer nella stessa classe d equvalenza. Pertanto la loro dfferenza è un multplo d 3 e anche N sarà un multplo d 3. Dvsbltà per 4. Le class d equvalenza modulo 4 sono 0, 1, 2, 3. Se almeno due tra a, b, c, d appartengono alla stessa classe d equvalenza allora N è multplo d 4, altrment a, b, c, d devono stare necessaramente n class d equvalenza dverse. A meno dell ordne delle dfferenze ottenamo N (3 2(3 1(3 0(2 1(2 0( (mod 4. Qund n tutt cas N è dvsble per 4. Pertanto N è dvsble per Estremamente quadrato. Mostrare che se n 2 1 è un ntero, allora è un quadrato perfetto. Dmostrazone. Se n 2 1 è ntero, allora 28n 2 1 deve essere l quadrato perfetto d un numero dspar 28n 2 1 = (2m n 2 1 = 4m 2 4m 1 7n 2 = m(m 1 Pochè al prmo membro compare l prodotto tra un prmo e un quadrato perfetto sa hanno due possbltà: m = a 2 e m 1 = 7b 2 : questo è mpossble poché dovrebbe essere 7b 2 a 2 = 1 ma tramte resdu quadratc modulo 4 rsulta mpossble. m = 7c 2 e m 1 = d 2 : segue n 2 1 = 2 2(2m 1 = 4m 4 = 4(m 1 = 4d 2 = (2d IMO 1974/3. Provare che n ( 2n1 2k1 2 3k non è dvsble per 5 per nessun n 0. Dmostrazone. Sa a = 8 allora (1 a 2n1 = 2n1 ( 2n 1 1 2n1 a = 1 2n1 effettuando la sosttuzone = 2k 1 sull ndce della sommatora ottenamo: 1 2n1 =1 ( 2n 1 a = 1 n =1 ( 2n 1 a 2k1 = 1 a 2k 1 ( 2n 1 n a ( 2n 1 a 2k 2k 1 Chamamo ora s = 1 e t = n ( 2n1 2k1 a 2k (osservamo che t è propro l espressone a cu samo nteressat. La relazone precedente dvene (1a 2n1 = sat e con passagg analogh s ottene anche (1 a 2n1 = s at. Moltplcando membro a membro le due relazon trovate s ottene (rcordando a = 8: 7 2n1 = s 2 8t 2. Se per assurdo fosse t 0 (mod 5 allora 7 2n1 s 2 (mod 5, tuttava cò è mpossble perchè 7 2k1 2, 3 (mod 5 mentre resdu quadratc modulo 5 sono 0, 1, 1. Pertanto t = n ( 2n1 2k1 a 2k non è ma dvsble per Congruenze a tappeto. Determnare per quant nter n 2 la congruenza x 25 x (mod n è vera per ogn x. Dmostrazone. Per l Teorema Cnese del Resto s ha: (m, n = 1 x 25 x (mod mn x 25 x (mod m x 25 x (mod n Qund possamo lmtarc a cercare prm p tal che x 25 x (mod p r con r 1. Se fosse r > 1 allora 0 (p r 1 25 p r 1 (mod p r ma cò è mpossble perché p r 1 0 (mod p r. Qund r = 1 e possamo semplfcare la relazone nel seguente modo x 24 1 (mod p. Per l Pccolo Teorema d Fermat (p 1 24 e questo porta a p = 2, 3, 5, 7, 13. Tutt numer n cercat sono qund l prodotto d uno o pù de prm trovat, ovvero = = 31. 4

5 21. IMO 1988/6. Sano a, b nter postv tal che ab 1 dvde a 2 b 2, mostrare che a2 b 2 ab1 è un quadrato perfetto. Dmostrazone. Per assurdo supponamo essta k = a2 b 2 ab1 che non sa un quadrato perfetto. Tra tutte le possbl soluzon consderamo la soluzone (A, B tale che A B sa l mnmo possble e senza perdta d generaltà sa A B. Sosttuamo A con x nella relazone nzale ed ottenamo un equzone d secondo grado x 2 (kbx (B 2 k = 0 avente una radce uguale ad A. L altra radce è ottenble tramte le formule d Vète (o relazon radc-coeffcent x 2 = kb A = B2 k A. Dalla prma equazone s vede che x 2 è ntero e dalla seconda che è non nullo, se lo fosse s avrebbe k = B 2 ma no abbamo supposto che k non sa un quadrato perfetto. Inoltre x 2 non può essere negatvo perché altrment s avrebbe kbx 2 > k x 2 2 kbx 2 (B 2 k > x 2 2 k B 2 k > x 2 2 B 2 > 0 che è una contraddzone. Infne, rcordando A B abbamo: x 2 2 = B2 k A < A x 2 2 B < A B che contraddce la mnmaltà della coppa (A, B. Tale assurdo è dervato dal fatto d aver supposto nzalmente l esstenza d un k non quadrato perfetto tale che k = a2 b 2 ab1. 5