Soluzioni. Capitolo 2 (, 0 3] [2.1] A B = {1, 3, 4, 6, 7, 8}, A B = {4, 7}, A\B = {1, 3, 6}, B\A = {8}.

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1 Soluzioni Capitolo [.] A B = {,,,, 7, 8}, A B = {, 7}, A\B = {,, }, B\A = {8}. [.] I) [, 0] V) VI) V [, 0] (, 0) V IX) [, 00) X) ( [, ],(, 00) (, 00) (, 0 + ) (, 0 ], ), (, 0 + ) [.] B\A = {} {b = n +, n N, n < } A\B = {, }, (A\B) A = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} [.7] I) B [, ) B = {,, } B = (0, ) [.8] I) = y = y V) = ( y 7) = y + = y [.9] La funzion data non è invrtibil su tutto l ass ral, com si può vdr graficamnt. Il più grand intrvallo contnnt = su cui f è inittiva è [0, + ). Pr appartnnt a tal intrvallo, f () y = y. [.0] La funzion data non è invrtibil su tutto l ass ral, com si può vdr graficamnt. Il più grand intrvallo contnnt = 0 su cui f è inittiva è [, + ). Pr appartnnt a tal intrvallo, f () y = y. [.] La funzion data non è invrtibil su tutto l ass ral, com si può vdr graficamnt. Il più grand intrvallo contnnt = su cui f è inittiva è [, ). Pr appartnnt a tal intrvallo, f () y = y. [.] Com si vd dal grafico, f è inittiva su R prtanto ammtt invrsa [.] f [g() = ( ) + = + g[ f() = ( + ) = [.] f [g() = ( ) = + g[ f() = ( ) = f [ f() = ( ) = ( ) g[g() = ( ) =

2 Soluzioni agli srcizi [.] [.] f [ g ( )] = g[()] f = + 7 g[ g( )] = f [()] f = ( + + ), s < 0 f [ g ( )] = * ( r + ), s $ 0 g[()] f = π,! R ( ), s # [.7] f [ g ( )] = * g[()] f, s >, s < 0 [.8] f [ g ( )] = * g[()] f, s $ 0, s # # = *, altrov Z, ] = [( ), ], \ s < 0 s 0 # < s $ f [ g ( )] g[()] f [.9] 7 ; 8 [.0] 8 7 ; 7 [.] I) funzion inittiva; funzion non inittiva; non è una funzion; V) funzion non inittiva; non è una funzion; VI) funzion inittiva. [.] I) inittiva; inittiva; non inittiva. [.] Euro

3 Soluzioni agli srcizi [.] L aliquota è dl 8% [.] I maschi sono il % dlla popolazion total [.]..80 (con una minima approssimazion) [.7] 8% [.8] 90,0% [.9] Approssimativamnt il % [.0] 9,% [.] 79.0 Kg. Capitolo [.] y = + [.] y = + [.] y = + [.] y = + [.] y = [.] y = + [.7] y = + [.8] f () = [.9] f () = + + [.0] f () = [.] f () = + 8 [.] f () = + 7 [.] 7 f () = 9 + [.] vrtic: b 87, l; 8 intrszion ass y:( 0, 7) [.] vrtic: b 7, l; intrszion ass y:( 0, )

4 Soluzioni agli srcizi [.] vrtic: b 8, ; l intrszion ass y:( 0, ; ) intrszioni ass :( 7, 0) (-, 0) [.7] vrtic: b ;, l intrszion ass y:( 0, ; ) intrszioni ass :(, 0) (, 0) 8 [.8] (, 0) b, [.9] l 9 = = [.0] cntro di simmtria: ^, h [.] cntro di simmtria: b, l - - [.] cntro di simmtria: b 0, l

5 Soluzioni agli srcizi [.] cntro di simmtria: b, l - - [.] Grafico [.] Grafico [.] I) pari pari dispari pari V) pari VI) dispari V pari V dispari IX) pari X) né pari né dispari [.9] I) strttamnt crscnt né crscnt né dcrscnt strttamnt dcrscnt [.] I) (, 0),( 0, ),(, + ) V) R VI) V V IX) (, ], [, + ) X) XI) X X XV) XVI) XV XIX) X XV XX) [.] I) f () = + + (, 0], [, + ) (, 0 ), (, + ) (, 0 ), (, + ) (, ),(, ),( +, + ) (, 0], [, + ) c 7 7, E, ; +, + m (, + ) ;, m, ; +, m (, 0] f () = log + log( ) (-, +) (, + ) (-,0), (0, + ) (0, + ) (, ),(, 0),(, + ) (, + ) (, ), (, + ) (, + ) f () = log + [.] {} 0 [.] I) (, ] [, + ) V) :, + l (, ), (, + ) (, 0 8], [ 0, 8]

6 Soluzioni agli srcizi [.] Du soluzioni [.] Du soluzioni [.7] Una soluzion [.8] Una soluzion [.9] La disquazion è soddisfatta pr < < 0 >.. Nl grafico sotto riportato, y = grigia. è la curva [.0] La disquazion è soddisfatta pr >.. Nl grafico sotto riportato y = è la curva grigia. 8 0 [.] f () = 0. L quazion f () = 0 è risolta pr =, =, =. [.] f () = 0. L quazion f () = 0 è risolta pr =, =-. [.] = [.] (,, ) (-,-,- ) [.] = 0 [.] = = + [.7] = 0 [.8] = [.9] m $ [.0] < t <

7 Soluzioni agli srcizi 7 [.] I) $ 0 7 impossibil V) # $ VI) # V V IX) < < X) < XI) X X X 7 7 XV) # $ XVI) < > + XV! < < R < [.] I) pr k = 0, 8k pr k > 0, # + k pr k = 8, pr 8 < k < 0, infin pr k < 8, la disquazion non è mai soddisfatta pr k # 0, disquazion impossibil pr k > 0, > > $ = k # # + + 8k k k k < < + k #7! # R < < $ > 8k $ + + k [.] [.] { n! N : n= 0, n=, n =, n =, n > } (, ), (, ) [.] I) # 0 < < 7 < < + 7 < < #8 $ V) < < < < > VI ) 7 7 # < 0, 0 < # V < # # 8 V < 0 < < >

8 8 Soluzioni agli srcizi [.] I) # < 9 < < # < > 7 [.7] I)! R # # # # V) VI) V V IX) < # 0 # < X) # XI) X impossibil [.8] I) # # = 0 # V) > 0 VI) V impossibil V IX)! R X) 0 # # log XI) X X X XV) XVI) XV 0 < # $ XV 0 < # XIX) XX) $ < $ > 0 < < < < < < < < [.9] I) 0 < # α $ β con 0 < α < $ α # # # # > < α < 0 > + con > 0 # # (, ], b, + l! 0 < < (, 7 ), ( 7+, + ) < $ < β < > $ $ $ 0 # < # >α con 0 < α < V) # α > con > log < α < 7 π π [.0] I) 0 # < π π < < π < < 0 < < π π < < π 0 # # π π < < π π π π [.] # <, < # π π # < π

9 Soluzioni agli srcizi 9 Capitolo [.] I) infi = min I =, supi = ma I = infi = min I =, inf I = a, [.] infa = min A = 0, supa = maa = inf B = inf ( A + B) =,, sup B = $ $ sup I = supi = ma I = b sup ( A + B) = $ $ [.] sup( A A) = ma( A A) =, inf( A A) = min( A A) = 0 [.] sup ( A + B) =, inf( A + B) = min ( A + B) = [.] infa = min A =, infb= min B=, sup [.] sup A =+ infa = min A = supb= ma B= inf B= min B= 0 infc = min C = [.7] I) maggioranti:, minoranti: maggioranti:, minoranti: maggioranti: C = ma C =, :, + l, minoranti: maggioranti:, minoranti: [.8] I) min f () =, min f () =, min f () =, sup A = sup B =+ inf C = sup C = 0 ma f () = 0 ma f () = 0 ma f () = (, 0] (, 0] [.9] sup =+, inf = 0 [.0] I) intrni: (, 8), accumulazion: [, 8], frontira: intrni: (, ), accumulazion: [, ], frontira: intrni: (, 7), accumulazion: [, 7], frontira: {, 8} {, 7} {, } [.] I) intrni: (, 0), ( 0, ), accumulazion: [, ], frontira: {, 0, }, isolati: intrni: (, ), accumulazion: [, ], frontira: & : N {0} {,}, isolati: n n! 0, & : n n! N {0} 0

10 0 Soluzioni agli srcizi [.] L intrvallo I non è né aprto né chiuso; I è chiuso; I non è né aprto né chiuso. [.] I) né aprto né chiuso né aprto né chiuso chiuso [.] L insim A è chiuso, B è aprto. [.] [.] [.7] [.8] 0 7 [.9] I) = = = [.0] I) 7 9 = = = V) = VI) =0, = 7 < < < <! (, ), (, + )! [, ),(, ],[, ),(, + ] = = 8 = [.] I) <, < < +, [.] I) > # #! [, ),(, 7),(, 7 + ) = # # > + $ [.] I) <, < < 0, 0 < < > < # # 0 V)! b, l, (, )! (, + ) [.] I) α < < con α < < 0 < < 0 con [.] I) <α >β con < α < 0 # 0 $ α con < α < < α < 0 < < < α < < β < α # # β con < α < < β <

11 Soluzioni agli srcizi [.] I) 0 < # α $ β con 0 < α < < β < α < < β >γ con < α < < < + < β < γ < [.7] I grafici sono: I) [.8] I grafici sono: I)

12 Soluzioni agli srcizi [.9] Il grafico è: [.0] Il grafico è: [.] Il grafico è: [.] Il grafico è: [.] Il grafico è: [.] Il grafico è: [.] Il grafico è: [.] Il grafico è:

13 Soluzioni agli srcizi [.7] Il grafico è: [.8] Il grafico è: 0-0 [.9] Il grafico è: - 0 [.0] I grafici sono: I) [.] Grafico I) [.] Grafico [.] Grafico

14 Soluzioni agli srcizi Capitolo [.] 0 [.] lim " + f () = ; lim " f () =+ [.] [.] 0 [.7] 0 [.8] [.9] + lim "!f () = 0 ; lim lim f () = lim + f () ; " " + f () = lim f () =+. " " La rtta y = 0 è asintoto orizzontal pr "!, l rtt = sono asintoti vrticali. [.0] Pr smpio sn f () = + [.] Pr smpio f () = +! [.] La lim "! f () = 0 ; lim " 0! f () =!. La rtta di quazion y = 0 è asintoto orizzontal pr "! ; la rtta di quazion = 0 è asintoto vrtical pr " 0! [.] lim "!f () =. La rtta di quazion y = è asintoto orizzontal pr "! [.] lim "! = 0 + ; lim " 0! =+. La rtta di quazion y = 0 è asintoto orizzontal pr "!, mntr la rtta di quazion = 0 è asintoto vrtical pr " 0! + [.] lim " + b l = 0 lim " b l =+ [.] lim + = 0 "! + La rtta di quazion y = 0 è asintoto orizzontal pr "! [.7] y =- è asintoto orizzontal pr "!, = 0 è asintoto vrtical pr 0 "!

15 Soluzioni agli srcizi [.8] y = è asintoto orizzontal pr "!, = è asintoto vrtical pr "! [.9] Non ci sono asintoti orizzontali, né vrticali. [.0] y = 0 è asintoto orizzontal pr " ; = è asintoto vrtical pr " [.] Pr smpio f () = [.] Pr smpio f () = \ ] +, s $ 0 [.] Pr smpio [ [.] Pr smpio f () = ( ) ] +, s < 0 \ Capitolo [.] I) = 0 è un punto di discontinuità di prima spci; = è punto di discontinuità liminabil. [.] = 0 è punto di discontinuità di sconda spci. [.] [.] = è punto di discontinuità liminabil; =è punto di discontinuità di sconda spci; = 0è punto di discontinuità di prima spci. a = [.] a = log b = log [.] a = pr ogni b! R [.7] [.8] [.9] a a = b= b n = Pr smpio: n = n, f () = *, s! Q s! R Q [.0] [.] L ipotsi dl torma di Wirstrass non sono soddisfatt poiché l intrvallo (0, ) non è chiuso. Sì, sono soddisfatt l ipotsi dl torma di Wirstrass.

16 Soluzioni agli srcizi [.] [.] [.] [.] [.] [.7] [.8] [.9] a = ; valor massimo: ; valor minimo: c, s 0 # # Sì, ad smpio f () = *, s < # Sono soddisfatt l ipotsi dl torma dgli zri nll intrvallo considrato, in particolar la funzion ammtt tr zri: =, =, = I) + ; 0; ; ; V) ; VI) I) ; ; ; + 0 I) ; ; 0; + ; V) + ; VI) ; V 7; V 0 + [.0] I) + ; ; ; + ; V) ; VI) + [.] I) 0; [.] I) + ; ; + [.] I) ; [.] Il limit non sist. [.] I) ; ; 8 [.] [.7] I) ; la funzion data non è un infinitsimo; [.8] I) ; ; [.] [.] I) la funzion data è infinito di ordin infrior risptto a y = + ; la funzion data y = + sono infiniti dllo stsso ordin I) La funzion data è un infinitsimo di ordin suprior risptto a y = ; y = cos è pr " 0 un infinitsimo non confrontabil con y = [.] La rlazion non è vra. [.] La rlazion è vra. [.] La rlazion non è vra. [.] La rlazion è vra. [.7] [.8] I) = è asintoto vrtical pr " ; = è asintoto vrtical pr " + ; = è asintoto vrtical pr " ; non c è nssun asintoto vrtical I) y = è asintoto obliquo pr " + y = è asintoto obliquo pr " ; y = è asintoto obliquo pr " + ; la funzion non ha asintoti obliqui.

17 Soluzioni agli srcizi 7 [.] [.] [.] [.0] [.] [.] a = ; valor massimo: ; valor minimo: c, s 0 # # Sì, ad smpio f () = *, s < # Sono soddisfatt l ipotsi dl torma dgli zri nll intrvallo considrato, in particolar la funzion ammtt tr zri: =, =, = Pr smpio: Pr smpio: f () = + + [.] Pr smpio: f () = + + I) la rtta di quazion y = è asintoto orizzontal pr " + ; la rtta di quazion y = 0 è asintoto orizzontal pr " ; la rtta di quazion = 0 è asintoto vrtical pr " 0; la rtta di quazion y = è asintoto orizzontal pr " + ; la rtta di quazion = è asintoto vrtical pr " ; la rtta di quazion = è asintoto vrtical pr " +. f () = + + [.] Grafico [.] Grafico [.] Grafico I) Capitolo 7 [7.] I) () = () = + log log l V) f () = os VI) () = + + () = () = ( + ) [7.] [7.] I) f () = 7 f () = sn ; V) f () = tg + + tg VI) I) f () = () = ( log + ) loglog + l < F log l l log log + () = ( + ) ( log ) V) f () VI) l = $ ( ) = log () = 7 ( ) l 7 cos sn () = log () = cos + sn + () = ( os ) $ log + log log

18 8 Soluzioni agli srcizi [7.] I) f () l = () = + + π () =cosb l V) VI) () =7( + ) () = () = tg os [7.] I) () = + + () = $ + sn sncos ( + sn ) ( ) + () = ( + ) () = 9 V) VI) f () s l = n ccos tg m + + () = _ + i [7.7] I), () = * +,, () = * +, Z ], ], () = [ ] +, ], s < 0 > s 0 < < s < > 7 s < < 7 s < s < < 0 s 0 < < s > + + () = ( + )( ) V) Z ], () = [ ], \ VI) ( ) = + s < 0 s 0 < < [7.8] () = [7.9] () 0 = 7 [7.0] b l π = π [7.] y = + [7.] y = [7.] y = [7.] y = 9 9 [7.] y = log + b 8 log l( ) [7.] y [7.7] = + () = + 7; l( ) = ; ll () = 0 [7.8] () cos log sn ; = $ $ $ $ $ $ f () c os log sn cos ll = log cos [7.9] [7.0] () = ; + l + () = ( + ) () = + ; l () = ; ll () = + 8

19 Soluzioni agli srcizi 9 [7.] () = ; f () ll = + ; ll () = 8 + [7.] 7 () = ( + 7) ; l () = ; ( + 7) ll () = ( + 7) [7.] a = b = [7.] a = b= [7.] a = b = [7.] a = b = log [7.7] a! R b = [7.8] a = b= [7.] Pr smpio: I) f () = ; f () = ; f () = + [7.] Grafico I) [7.] Grafico Capitolo 8 [8.] [8.] [8.] [8.] [8.] [8.] [8.7] [8.8] [8.9] Sì, sono soddisfatt l ipotsi dl torma di Roll. Sì, sono soddisfatt l ipotsi dl torma di Roll, c = 0. Sì, sono soddisfatt l ipotsi dl torma di Lagrang, c =. Sì, sono soddisfatt l ipotsi dl torma di Lagrang, c = 0. 7 I) 0 P (; ) = + 7( ) + ( ) P (; ) = + 0( ) + ( ) ( ) P (; ) ( )( ) ( ) = P (; ) = + ( + )( + ) + ( + ) + ( + ) [8.0] [8.] [8.] I) 0 I) 0 0 I) V) VI)

20 0 Soluzioni agli srcizi [8.] [8.] [8.] I) 0 + V) 0 VI) I) log [8.] [8.7] Pr a = il limit val, pr a > il limit è infinito mntr pr val 0. a = a < [8.8] = è punto di massimo assoluto. [8.9] = è minimo assoluto. [8.0] Non sistono strmanti. [8.] = 0 è massimo rlativo, = è massimo assoluto, = è minimo assoluto. [8.] [8.] [8.] [8.] [8.] = è di massimo assoluto, = 0 è minimo assoluto, = è massimo rlativo. = 0 è massimo assoluto, = è minimo rlativo. = La funzion è crscnt nll intrvallo ( 7, 7+ ), pr! mntr è dcrscnt pr <7 pr > 7+ con! La funzion è crscnt pr > 0 mntr dcrsc pr < 0. [8.7] mntr dcrsc nll in- La funzion è crscnt nll intrvallo trvallo (, ) (, +) [8.8] La funzion è crscnt pr > 0 mntr dcrsc pr < 0 [8.9] a! [0, + ) [8.0] [8.] = b, D

21 Soluzioni agli srcizi [8.] I) [8.] I) 0, 0

22 Soluzioni agli srcizi [8.] I) [8.] I) V)

23 Soluzioni agli srcizi [8.] I) V) VI) V

24 Soluzioni agli srcizi Capitolo 9 [9.] [9.] [9.] [9.] [9.] I) V) + VI) I) log + V) log log + log VI) V I) V) VI) V IX) cos X) XI) X I) I) 7 8 log log log log( + + 7) log ( ) 8 + log + ( + ) + ( + ) + ( + ) 7 log log + + log + log + log + log + V X X arcsn tg cotg log log log( + ) log + 7 ( + ) 7 7 log ( + ) + log log + log + ( + log ) [9.] I) log( 7) arctg c + + ] g log + 0 log log( + ) + arctg ( ) log 0 + log + V) VI) log + log + 7 log V 9 log 9 + log +

25 Soluzioni agli srcizi [9.7] [9.8] I) log + + arctg I) + + log + + log + arctg ( 7 ) log log log + 9 V) + log log VI) + + log + log + [9.9] I) ( + ) + b+ l b log log + l log log 9 + V) ( + ) ( + ) VI) log 9 V ( arctg + arctg ) V sn cos + [9.0] log log log I) log( + ) + arctg log log log log V) cos + sn VI) ( sn os ) [9.] I) + log( + ) arctg cos log cos _ ( ) + i log log( ) c V) + + VI) arcsn ( log ) [9.] I) + log 0 + log( + 7) cos + + V) + + log VI) log (+ + ) + +

26 Soluzioni agli srcizi [9.] [9.] [9.] [9.] [9.7] [9.8] [9.9] [9.0] [9.] [9.] [9.] [9.] arctg V) + log sn os I) cos ( + ) F () = ( ) + 7 F () = 7 + F () = log + log log + F () = log + log F () = F () = F () = log ( + ) + ( log log + ) F () F () = + π f () = log + fb π l = + = + cotg + tg arcsn Capitolo 0 [0.] [0.] [0.] [0.] [0.] [0.] I) 0 V) VI) I) + log log log log 9 9 log 7 7 ( ) 7 log

27 Soluzioni agli srcizi 7 [0.7] [0.8] [0.9] log( + ) I) + 8 log ( log + log ) 7 V) VI) 9 7 log7 log log + log [0.0] 0 [0.] 8 [0.] [0.] [0.] =, =, = ; log [0.] =, =, = ; log Z ], s 0 # < [0.] ] 7 F () = [, [0.7] s # < ] ] 9 + 8, s # # \ [0.8] R [0.9] [0.0] (, +) [0.] Z ], ] F () = [, ] ] sn + π, \ (, ) F ( ) < 0 s 0 # < s # < π s π # # 8 [0.] I) 0 [0.] I) log( + ) log( ) [0.] = è massimo rlativo; = è minimo rlativo [0.] = è massimo rlativo; = = sono punti di minimo rlativo [0.] = è massimo rlativo; = è minimo rlativo

28 8 Soluzioni agli srcizi [0.7] y = [0.8] [0.9] 7 y = ( ) [0.0] [0.] 7 P (; ) = ( ) 00 ( ) [0.] y = 0 ( ) P (; ) = ( 7 + ) P (; ) = ( ) [0.] P (; 0) = + + [0.] c =! [0.] c = 0 [0.] c= ( log ( ) ) [0.7] I) V) VI) V π [0.8] I) log divrgnt π log 9 V) π VI) log [0.9] [0.0] I) intgrabil non intgrabil non intgrabil non intgrabil V) non intgrabil I) intgrabil non intgrabil non intgrabil intgrabil V) non intgrabil VI) non intgrabil [0.] k < 0 [0.] k = Capitolo [.] I) divrgnt convrgnt convrgnt divrgnt V) convrgnt VI) divrgnt

29 Soluzioni agli srcizi 9 [.] I ) II ) V ) VI ) sn = : + n + D n, somma: s n = : + + n + n + D n +, somma: s s n = n = : n, somma: D + : n D +, somma: sn = : + n D n +, somma: s n n = : + + n + D n +, somma: 8 8 [.] I) [.] I) divrgnt V) VI) V 0 ( ) 9 7 [.] k < 8 k > 0 ; pr k = la somma è 8 [.] k < ; pr k = la somma è [.7] k k > ; la somma è [.8] k = 8 [.9] [.0] [.] [.] I) divrgnt divrgnt divrgnt divrgnt V) divrgnt VI) divrgnt I) convrgnt divrgnt convrgnt convrgnt V) divrgnt VI) convrgnt I) convrgnt convrgnt convrgnt convrgnt V) convrgnt VI) convrgnt I) convrgnt convrgnt divrgnt convrgnt V) divrgnt VI) divrgnt

30 0 Soluzioni agli srcizi [.] [.] [.] I) convrgnt divrgnt convrgnt divrgnt V) convrgnt VI) divrgnt V convrgnt I) convrgnt convrgnt irrgolar convrgnt V) convrgnt VI) convrgnt I) convrgnza smplic ma non assoluta convrgnza smplic assoluta convrgnza smplic assoluta convrgnza smplic assoluta V) convrgnza smplic ma non assoluta VI) convrgnza smplic ma non assoluta [.] Pr α > β = 0 [.7] I) la sri è divrgnt pr 0 # k < < k #, convrgnt pr d è irrgolar pr convrg pr ogni < k < k! R k < 0 vrg pr k <, < k < + irrgolar pr # k < + # k < VI) convrg pr k = ; divrg pr 0 < k < ; V convrg pr # k # mntr divrg pr k < k > k > + ; convrg pr k > divrg pr k # convrg pr k < V) la sri è divrgnt pr < k # < k # + ; conè [.8] [.9] Convrg pr Convrg pr < k < ; non convrg pr ; la sua somma non è mai k $ [.0] k = I) k = 0 k < k > 0 k < Capitolo [.] I) V) VI) V V

31 Soluzioni agli srcizi [.] I) V) VI) V V [.] [.] Non sono soddifatt l ipotsi dl torma di sistnza unicità poiché fyl ( t, y) non è continua. I) = y c t ( y + ) + t = c V) VI) ( y + ) ( t ) = c V y = arctg t VIII ) y + log y t + log t + = c y = 0 t IX) y = c t + 9 t X) y = t t + 8t y = t log t y ( y ) t + t = c y = c [.] I) y = t y = t π y = bt + l t y = V) y = t + log( t + ) t [.] y = + [.] log tr = k [.7] I) t V) t + c t t t t c + ( sn t 9 cos t) t + t VI) c c t t ( + t) t + t + t + t [.8] t t I) t + t + t c + t V) c VI) c + t sn t t c + t t t t ( c + ) [.9] tc t

32 Soluzioni agli srcizi [.0] y = t ( t ) I) t y = ( + sn ( t) cos ( t)) t + y = + = + pr V) y = ( sn t t cos t ) VI) V t y = ( t + )( + log( t + )) y t y = t t! (, 0) [.] I) V) VI) [.] [.] [.] [.] [.] [.7] I) n n b 8 8 c l n + n + n + 8 c + n + 9 Non sist. n b c l ( ) + b 9 9 c l n + 7 Capitolo [.] I) primo trzo quadrant primo trzo quadrant, assi sclusi l insim di punti situati al di sopra dlla bisttric dl primo dl trzo quadrant punti strni alla circonfrnza di cntro (0, 0) raggio r = V) tutti i punti di ad sclusion dll ass VI) tutti i punti di R ad sclusion dlla bisttric dl primo dl trzo quadrant V R {( 0, 0)} R

33 Soluzioni agli srcizi [.] I) y O y ###### y y V) VI) y y ############# [.] [.] y y z = z = 0 z = z = 0

34 Soluzioni agli srcizi [.] [.] y z = 0 z = z = y z = z = z = [.7] [.8] y y z = z = z = z = z = z = [.9] [.0] [.] I) non sist non sist 0 0 V) VI) La funzion è continua nll origin. La funzion è discontinua nll origin. [.] I) f (, ) = 0 l (, 0) = fyl (, 0) = (, ) = (, ) = 8 V) y VI) ( 0, ) = 0 fyl ( 0, ) = ( 0, ) = 8 fyl ( 0, ) = (, 0) = 0 fyl (, 0) = log [.] 7 [.] [.] 9 0 [.] [.7] 7 0 log 0 + [.8] g l (0) = 0 [.9] g l (0) = 0 [.0] gl ( 0) = [.] gl ( ) = [.] 8

35 Soluzioni agli srcizi [.] [.] [.] [.] 9 [.7] (0, 0) (, 9) [.8] (0, 0), (0, ), b, 0 l, b, l, b, 0 l, b, l [.9] (0, 0), (0, ), (, 0), (, ) [.0] (, 0), con! R,, l [.] (, 0), l (, 0) [.] (0, 0), d, 0 n d, 0n [.] Il punto (, ) è un minimo rlativo. [.] Non sistono strmanti. [.] Il punto b, l è un massimo rlativo. [.] [.7] Non sistono strmanti. Il punto (0, 0) è un minimo rlativo. [.8] I punti (0, y) con y! R sono di minimo assoluto. [.9] Il punto (, 0) è un massimo rlativo. [.] I punti (0, ) (0, ) sono di massimo assoluto. [.] Non sistono punti di minimo. [.] Il punto b, 0l è di minimo assoluto. [.] I punti _, i _, i sono di minimo assoluto; il punto (0, ) è di massimo rlativo. [.7] Il punto b, l è di minimo assoluto. [.8] I punti c c 9, m 9, m sono di minimo assoluto. [.9] Il punto b 8 9, l è di massimo assoluto. [.0] Il punto d d, 7 7 n, n è di minimo assoluto. 7 7 è di massimo assoluto mntr il punto

36 Soluzioni agli srcizi [.] [.] [.] [.] [.] [.] Il punto d d, n, n è di massimo assoluto. è di minimo assoluto mntr il punto I punti (, 0) con! R (, y) con y $ 0 sono di minimo assoluto. I punti ( +, y), (, y) con y > 0 (, 0) sono minimi assoluti. Il punto (, 0) è di massimo assoluto mntr (0, 0) è di minimo assoluto. Il punto (, 0) è minimo assoluto mntr (, ) è di massimo assoluto. Il punto (0, ) è di massimo assoluto mntr il punto (, 0) è di minimo assoluto. [.7] Il punto b 0, 0 l è di massimo assoluto mntr il punto b 0, 0 l è di minimo assoluto. [.8] Il punto (, ) è di massimo assoluto mntr mntr il punto minimo assoluto. (, 0) è di Capitolo [.] + y = (, ) [.] [.] Non sono linarmnt dipndnti. [.] [.] + z = (, ) z = (0, 7) z y = (, 0) Sono linarmnt dipndnti. [.] + y = (,, 7) + z = (,, ) z = (,, ) z y = (,, ) Sono linarmnt dipndnti. Sono linarmnt dipndnti. [.7] = [.8] = + [.9] = + [.0] = + [.] Impossibil. [.] = + [.] 9 t = [.] t = [.] t = [.] L coppi I). [.0] Sono sottospazi vttoriali gli insimi A, D, F. [.] R {(, ): = } [.] R {(, ): = }

37 Soluzioni agli srcizi 7 [.] ( z, z, z) [.] t = t = [.] t = [.7] Punti intrni: (, ) (, ) punti strni: (0, 0) punti di frontira: (0, ) d, n [.8] Punti intrni: (0, 0) b, l punti strni: (, ), (, ), (0, ) punti di frontira: (0, ) (, ) [.9] [.0] Gli insimi A, B, C sono costituiti da soli punti di frontira, non hanno punti intrni l insim di punti strni è dato dai loro complmntari. L insim D è un aprto di, dunqu tutti i suoi punti sono intrni; i punti di frontira sono R {! R : = } A non è né aprto né chiuso B è chiuso C non è né aprto né chiuso. $ [.] y = [.] d(, y ) = = y = $ [.] y = 9 [.] d(, y ) = 77 = y = 7 $ y = 8 d(, y ) = = y = $ y = d(, y ) = = y = 8 Capitolo [.] R S AB = S S T R V SW A = SW SW T X V W 8W W X A R V S0W + B T = SW S7W T X BC =? R S 0 AB C = S S7 T V W W 9W X

38 8 Soluzioni agli srcizi [.] [.] [.] 7 AB = = G 7 R S 9 AB = S S T R S0 AB = S S 0 T V W W 7W X V W W W X R S BA = S S T R S BA = S S T R S BA = S S T 9 V W W W X V W W W X V W 0W W X [.] dt A = [.] dt B = dt C = dt A = 0 dt B = dt C = [.7] α! d, F α! d0, F dt D = [.8] R S A = S S 0 T V W W W X B non ammtt invrsa R S S C = S S S T V W W W W W X [.9] R S 0 S A S = S S S T 0 V W W W 0W W 0W X R S S S S 7 B = S S S S 9 T V W W W W 7 W W W W X [.0] A è invrtibil pr α! 0 α! B è invrtibil pr 7! 7 α! C è invrtibil pr α! 0 α! D è invrtibil pr α! [.] α! R [.] [.] 9 7 [.] > H > H = 9 G

39 Soluzioni agli srcizi 9 R V [.] S [.] 0W S W S W T X [.7] R V S W S W S W S W S T W X [.8] R S S S T R S S S S S S T V W W W X V W W W W W W X [.9] [.0] [.] [.] r ( A ) = r ( B ) = pr α! 0 α!, r ( A ) =, mntr pr α = 0 α =, pr α! α!, r ( B ) =, mntr pr α = α =, pr α! α!, r ( C ) =, mntr pr α = α =, R V S W A + A T S W dt A = S 8W T X Il sistma ammtt infinit soluzioni dlla forma r ( A ) = r ( B ) = r ( C ) = R V S0W = S0W S0W T X b 9 z z 7, 7, z l [.] Il sistma ammtt infinit soluzioni dlla forma b z + z +,, zl [.] [.] [.] b 7 8, 7, l 7 Il sistma ammtt infinit soluzioni dlla forma R V S 8 W C = S W S 0 0 0W T X infinit b z + t z t,, z, tl [.7] Pr pr pr k! 0, k! una sola soluzion k = 0 impossibil k = infinit soluzioni

40 0 Soluzioni agli srcizi [.8] Pr pr pr pr k!, k!! solo la soluzion nulla k = infinit soluzioni dlla forma k = k = + infinit soluzioni dlla forma infinit soluzioni dlla forma ^, 0, 0h _ 0, y, yi _ 0, y, yi [.9] Pr k! 0 la soluzion è c k k + +,, m k k k pr k = 0 impossibil [.0] Pr pr pr k!, k! la soluzion è c k +,, m k + k + k + k = infinit soluzioni dlla forma ^ z, z, zh k = impossibil [.] Pr k! infinit soluzioni dlla forma c ky + y k + 9, y,, k + k + m pr k = impossibil [.] k =! 0 k = [.] k = 0 [.] Infinit soluzioni pr ogni k! R [.] Pr k! impossibil pr k = infinit soluzioni [.] Pr k! 0 infinit soluzioni dlla forma c k z + k z + k,, zm k k pr k = 0 impossibil [.7] Pr k! impossibil pr k = infinit soluzioni dlla forma ( y, y, y) [.8] Pr k! 0 k! la soluzion è pr pr k = 0 infinit soluzioni dlla forma k = impossibil c k k + k k k,, m k + k k (0, z, z)

41 Soluzioni agli srcizi [.8] [.9] Pr pr pr k!, k!! solo la soluzion nulla k = infinit soluzioni dlla forma k = infinit soluzioni dlla forma ^, 0, 0h _ 0, y, yi pr k = + infinit soluzioni dlla forma _ 0, y, yi Pr k! 0 k! la soluzion è pr pr k = 0 infinit soluzioni dlla forma k = impossibil c + k, m k + k + (, ) [.0] [.] Pr k! k! la soluzion è pr pr k = impossibil k = infinit soluzioni dlla forma Impossibil k! R d ( k k ),, n ( k + )( k ) k + k + c y + y +, y, m R V SW [.] S 9W [.] S W T X = G 9 [.] Pr pr a!, N ( f ) = {0} a, N ( f = ) = {(, y )! R : y = } Capitolo [.] [.] [.] ( 0, 0) = fyl ( 0, 0) = 0 I) b 7, 0, l ^, 8, h V) ^9,, 0h VI) ^,, 0h ^,, + h ^,, h [.] [.] [.] [.7] 7 +

42 Soluzioni agli srcizi [.8] [.9] [.0] [.] [.] [.] I) z V) VI) d d 9d dy d z ( ) d + ( ) d y + d z d + dy + d z d f (0,, ) = d dy + d d z d f (,, ) = d + d y + d d y + d d z + d yd z 9 d f (, 0, ) = d + d y + d z + d d y + d d z d f (,, ) = 8d d y + d z + 8d d y + d yd z P ( 0, g = yz + z d + d y + d z d + dz [.] [.] ( + y z) P ( 0; ) = + y z I) R V S 0 0 W S 0 0W S 0 W T X R V S0 W S 9W S 9 W T X R V S S 0W S0 0 W T X V) VI) R S S S S 0 T R S0 S S0 T R S0 S S T V 0W W 0 W 0W X V 0W 0 W 0W X V W 0 W 0W X [.] (0, 0, 0), (,, 0) (,, 0) [.7] b,, l [.0] Non è un strmant. [.] b, 0 l è minimo assoluto. [.] (0, 0, 0) è minimo assoluto. [.] Non sistono strmanti. [.] (0,, 0) è minimo rlativo. [.] b, 0, l è massimo rlativo. [.] (, 0, 0) è minimo rlativo. [.7] (0, 0, 0) è minimo rlativo. [.8] b, 0, 0l è minimo rlativo. [.9] ^,, 0h è minimo rlativo.