Esercizi su: insiemi, intervalli, intorni. 4. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di Z determinare A B, A B, a) A C d) C (A B)

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1 Esercizi su: insiemi, intervalli, intorni. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di N determinare A B, A B, A c e B c. a) A = { N + = 0}, B = { N = 6}, b) A = { N < 5}, B = { N < }, c) A = { N > }, B = { N 5}, d) A = { N > }, B = { N 4}, e) A = { N < 4}, B = { N < 5}.. Siano A = { N : è divisore di }, B = { N : 4 < < 8}, C = {,, 4, 8, 6} trovare i seguenti insiemi a) A C d) C (A B) b) B C e) (A B) (A B) c) A (B C) f) ((A B) C) (B C). Sia A = {0,, 6, 9, } trovare un insieme X tale che a) A X = A d) A X = A b) A X = {, 6} e) A X = c) A = X f) A A = X 4. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di Z determinare A B, A B, A c e B c. a) A = { Z : = k +, k Z}, B = { Z : 5}, b) A = { Z : = k, k Z}, B = { Z : }, c) A = { Z : < }, B = { Z : 7}, d) A = { Z : < 5}, B = { Z : }. 5. Semplificare le seguenti espressioni quando A, B, C X a) (A (A B)) B b) A ((B (A B)) (A (A B))) c) A B (B C c ) d) (A B) (A B c ) (A c B) 6. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere a) A, A B B b) B, A B A c) A d) A 7. Siano A = { Z : < }, B = { Z : < < } determinare A A, (A B) A e A (A B). 8. Rappresentare i seguenti insiemi graficamente e poi mediante la proprietà caratteristica (a) A = {8, 9, 0, }, B = { 5, 4,,,, 0, }, C = {...,, 0,,,, 4, 5, 6, };

2 (b) A = { 0, 9, 8, 7}, B = {, }, C = {..., 8, 6, 4,, 0,, 4, 6, 8,... }; 9. Rappresentare i seguenti insiemi graficamente e poi mediante elencazione (a) A = {a N a > 7}, B = {a P 4 < a 0} con P insieme dei pari; (b) A = {a Z 5 a < 6}, B = {a D a } con D insieme dei dispari; 0. Dato A = [, e) dire quale delle seguenti è vera o falsa (a) A (b) A (c) A (d) / A. Dato A = (., 8.5) dire quale delle seguenti è vera o falsa (a). A (b). / A (c) 4 A (d) A è un intorno di 0. Dato A = (, 5] dire quale delle seguenti è vera o falsa (a) A (b) A (c) 5 / A (d) 5 / A. Scrivere in ordine crescente i seguenti numeri (a),, 0.,, 0.7,. (b).7, 5, e, π,,., 0, Soluzioni:. a) A B = {}, A B =, A c = N, B c = N \ {}; b) A B = B, A B = A, A c = { N 5}, B c = { N > }; c) A B = N, A B = {, 4, 5}, A c = {, }, B c = { N > 5}; d) A B = A, A B = B, A c = { N }, B c = {,, }; e) A B = B, A B = A, A c = { N 4}, B c = { N > 4.54}.. a) {,,, 4, 6, 8,, 6}; b) ; c) {,,, 4, 6, }; d) {,, 4}; e) {6}; f) C {6}.. a) A; b) {, 6}; c) A; d) ; e) impossibile; f) A. 4. a) A B = A { 4,, 0,, 4}, A B = { 5,,,,, 5}, A c = { Z : = k, k Z}, B c = { Z : > 5}; b) A B = A {,,, }, A B = {, 0, }, A c = { Z : = k +, k Z}, B c = { Z : > }; c) A B = Z, A B = {7, 8, 9, 0}, A c = { Z : }, B c = { Z : < 7}; d) A B = { Z : }, A B = {, 0,, }, A c = { Z : 5}, B c = { Z : < }. 5. a) A B; b) A; c) A B; d) A B. 6. a) vera ; b) falsa ; c) scrittura non corretta; d) vera. 7. a) A A = {(, ), (, 0), (, ), (0, ), (0, 0), (0, ), (, ), (, 0), (, )}; b) (A B) A = {(0, ), (0, 0), (0, ), (, ), (, 0), (, )}; c) A (A B) = {(, ), (, 0), (, ), (, ), (0, ), (0, 0), (0, ), (0, ), (, ), (, 0), (, ), (, )} 8. (a) A = {a N 7 < a < }, B = {a Z 6 < a < }, C = {a Z a < 7}; (b) A = {a Z < a < 6}, B = {a Z 4 < a < }, C = {a Z a = b, b Z}. 9. (a) A = {8, 9, 0,... }, B = {6, 8, 0}; (b) A = { 5, 4,,,, 0,,..., 5}, B = {,, 5, 7, 9, }.

3 0. (a) V; (b) F; (c) V; (d) F.. (a) F; (b) V; (c) F; (d) V.. (a) V; (b) F; (c) V; (d) F.. (a) 0.7,, 0.,,., ; (b) 5,.7, 0.7,, 0,., e, π. 5 Esercizi su equazioni e disequazioni. Risolvere le seguenti disequazioni e le equazioni che si ottengono sostituendo i simboli con = > 0 Sol: > 5; Sol.Eq.: = 5;. 5 > 0 Sol: < 5; Sol.Eq.: = 5;. + 7 > 0 Sol: > 7 ; Sol.Eq.: = 7 ; 4. 4 > 0 Sol: < 4; Sol.Eq.: = 4; Sol: ; Sol.Eq.: = ; 6. + < 0 Sol: < ; Sol.Eq.: = ; 7. > 0 Sol: < 0; Sol.Eq.: = 0; Sol: ; Sol.Eq.: = ; < 6 Sol: < ; Sol.Eq.: = ; Sol: non ha soluzione; Sol.Eq.: Impossibile; < 7 Sol: R; Sol.Eq.: Impossibile; Sol: 0; Sol.Eq.: = 0;. + < 0 Sol: < < ; Sol.Eq.: = = ; 4. 0 Sol: o ; Sol.Eq.: = = ; Sol: o ; Sol.Eq.: = = ; > 0 Sol: < 5 o > 0; Sol.Eq.: = 5 = 0; > 0 Sol: 4 ; Sol.Eq.: = 4 ; < 0 Sol: non ha soluzione; Sol.Eq.: = 4 ; 9. 0 Sol: = 0; Sol.Eq.: = 0; Sol: = ; Sol.Eq.: = ;. + < 0 Sol: non ha soluzione; Sol.Eq.: Impossibile;. + < 0 Sol: R; Sol.Eq.: Impossibile; Sol: R; Sol.Eq.: Impossibile;

4 Sol: non ha soluzione; Sol.Eq.: Impossibile; Sol: = 4 ; Sol.Eq.: = 4 ; > 0 Sol: R; Sol.Eq.: Impossibile; 7. ( + 5)(6 ) 0 Sol: 5 o 6; Sol.Eq.: = 5 = 6; 8. ( )(+)+(+) < 0 Sol: < < ; Sol.Eq.: = = ; 9. ( )( + ) ( + ) > 0 Sol: < ; Sol.Eq.: = ; 0. ( + ) + ( ) 0 Sol: non ha soluzione; Sol.Eq.: Impossibile;. ( + ) ( ) Sol: 0; Sol.Eq.: = 0; > 0 Sol: o < < o > ; Sol.Eq.: = = = = ; > 0 Sol: < 5 o > 5 ; Sol.Eq.: = 5 = 5 ; Sol: ; Sol.Eq.: = = ; Sol: o = 0 o = ; Sol.Eq.: = = 0 = ; Sol: non ha soluzione; Sol.Eq.: Impossibile; > 0 Sol: R; Sol.Eq.: Impossibile; > 0 Sol:, 0; Sol.Eq.: = 0; > 0 Sol: < o 4 < < 4 o > Sol.Eq.: = = 4 = 4 = ; > 0 Sol: < o > 4; Sol.Eq.: = = 4; Sol: o = 0 o ; Sol.Eq.: = = 0 = ; Sol: o = 0 o ; Sol.Eq.: = = 0 = ; < 0 Sol: 6 < < 5; Sol.Eq.: = 5; 44. > 0 Sol: 0 < < ; Sol.Eq.: = ; Sol: < ; Sol.Eq.: = ; Sol: 4 < 7; Sol.Eq.: = 7; Sol: < o = 0 o > ; Sol.Eq.: = 0; 48. Sol: 0 < o > ; Sol.Eq.: = ; Sol: < 4 o < Sol.Eq.: = 4 = ; 4

5 > 6 Sol: < o < < o > ; Sol.Eq.: = = = = ; Sol: 0 < o < + o > ; Sol.Eq.: = = + ; 5. + > Sol: < < ; Sol.Eq.: = = ; 5. ( ) > Sol: < o > ; Sol.Eq.: = = ; < Sol: non ha soluzione; Sol.Eq.: Impossibile; 55. > Sol: < Sol.Eq.: = ; 56. Sol: 5 Sol.Eq.: = 5 ; 57. < Sol: < ; Sol.Eq.: = ; 58. > Sol: < Sol.Eq.: = ; > 4 Sol: R; Sol.Eq.: Impossibile; < Sol: < < Sol.Eq.: = = ; Sol: < < ; Sol.Eq.: = = ; < 0 Sol: < < < < 7 6 ; Sol.Eq.: = = ; 6. + < + 4 Sol: < < < > ; Sol.Eq.: = = ; > 0, Sol: < 5 o > ; Sol.Eq.: = 5 = ; 65. 0, Sol: 0 4; Sol.Eq.: = 0 = 4; 66. ( ), Sol: ; Sol.Eq.: = = ; < 0, Sol: < < ; Sol.Eq.: = = ; 68. > 0, Sol: < o > ; Sol.Eq.: = = ; <, Sol: < < 5 e 4; Sol.Eq.: = = 4 = 5; 70. ( + ) <, Sol: < 0 e ; Sol.Eq.: = = 0. Esercisi sui sistemi di disequazioni.. { 5 < < 0 { > ( ) > 4 Sol: < 4; Sol: > 4;. { < + < Sol: < 4 5 ; 5

6 < Sol: < ; Esercizi su: equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali Risolvere le seguenti equazioni Esercizi Soluzioni. log = 5 = e 5. log ( ) = = =. log(e + e) = = + log(e ) 4. log 0 = log0 ( 4) = log + log log = 0 = e = e 7. = = = = = 0 = = 9 =. = 7 =. 7 = 9 = ± log = 0 = 4. e + e = 0 = = = log = + 5 impossibile + 7. log 00 = = 0 8. log( ) = 0 = = 9. log 0 + log 0 = log 0 (5 ) = = 0. log 0 (0 ) = log 0 (4 ) =. log log ( ) + log ( + ) = 0 =. + log 0 ( ) = log 0 5 = log. 0 ( ) = log 0 (+ ) 4 Suggerimenti 6. t = log ; 9. t = ;. t = ; 4. t = e ; 6. t = ; nelle equazioni 5, 9,, utilizzare prima le proprietà dei logaritmi. 6

7 Risolvere le seguenti disequazioni Esercizi Soluzioni. log > log 0 < <. log < log 5 > 5. log ( ) < log ( + ) < < log 0 ( ) < < < 5. log 0 log < > 5 > > 4+ < 7 8. ( ) > 4 < log log > 45 + log < <. > 8 < >. + < > < < > < 4 5 impossibile ( 8) > 0 < < < < 8. log + log 6 > 0 0 < < > log + 9. log +9 > 0 < < 0. log0 ( ) > 0 > Suggerimenti 5. t = log 0 ;. t = ; 5. t = ; 6. t = ; 8. t = log. Risolvere le seguenti equazioni trigonometriche Esercizi sulle equazioni trigonometriche Esercizi Soluzioni. sin = = π 4 + kπ = 4 π + kπ, k Z. sin = = 7 π + kπ = π + kπ, k Z 6 6. sin = 0 = kπ, k Z 4. sin = = π + kπ k Z 5. sin = impossibile 6. cos = = π + kπ = π + kπ, k Z tan = = π + kπ k Z 6 7

8 Esercizi sulle funzioni. Dire quali tra le seguenti relazioni tra A = {,,, 4} e B = {a, b, c, d, e} sono delle funzioni e in caso affermativo dire chi è f(a), se f è iniettiva oppure suriettiva. a) f() = a, f() = b, f() = c, f(4) = e b) f() = b, f() = c, f(4) = d c) f() = a, f() = b, f() = b, f(4) = d d) f() = a, f() = e, f() = d, f() = c, f(4) = e [Sol. a) è una funzione, f(a) = {a, b, c, e}, è iniettiva non è suriettiva; b) non è una funzione, f() non è definito; c) è una funzione, f(a) = {a, b, d}, non è iniettiva non è suriettiva; d) non è una funzione, ad sono associati due valori. ]. Sia f : N N, f() = +. Dire se f è iniettiva, suriettiva, biettiva. [Sol. è iniettiva non è suriettiva non è biettiva.]. Sia f : Q Q, f() = +. Dire se f è iniettiva, suriettiva, biettiva e calcolare f(0), f( ), f( ), se f è biettiva calcolarne l inversa. [Sol. è biettiva, f(0) =, f( ) =, f() =, f () =.] 4. Di ognuna delle seguenti funzioni f dire se è iniettiva, suriettiva, biettiva, monotona (Suggerimento: confrontare f(n) con f(n + ) per determinare il tipo di monotonia) (a) f() = + 5, f : N N; (b) f() = + +, f : N N; (c) f() = ( + ), f : N N; (d) f() = ( + )( + ), f : N N; (e) f() = +, f : N N; (f) f() =, f : N Z; (g) f() = 5, f : N N; [Sol. sono tutte iniettive, non suriettive, non biettive, monotone strettamente crescenti.] 5. Siano f, g : R R determinare g f e f g (a) f() = +, g() = 5, [g f() = 5 + 0, f g() = 5 + ]; (b) f() = +, g() = +, [g f() = + 6 +, f g() = + 5]; (c) f() = + +, g() = 6 +, [g f() = , f g() = ]; (d) f() =, g() = + +, [g f() = + +, f g() = ++ ]; (e) f() = ( ) +, g() =, [g f() = ( ) + (, f g() = ) 4 + ]; (f) f() =, g() =, [g f() =, f g() = ]; (g) f() = sin, g() = + 9, [g f() = sin + 9, f g() = sin + 9 ]; (h) f() = cos, g() =, [g f() = cos, f g() = cos ]; (i) f() = sin, g() = cos, [g f() = cos(sin ), f g() = sin(cos )]; 8

9 (j) f() = e, g() = sin, [g f() = sin(e ), f g() = e sin ]; (k) f() = +, g() = cos, [g f() = cos(+ ), f g() = cos + cos ]; (l) f() = + sin, g() = + e, [g f() = ( + sin ) + e +sin, f g() = + e + sin( + e )]; (m) f() = e + cos, g() = sin + e, [g f() = sin(e + cos ) + e e +cos, f g() = e sin +e + cos(sin + e )]; (n) f() = log( + ), g() = +, [g f() = log( + ) +, f g() = log( )]; 6. Disegnare il grafico delle seguenti funzioni f, g : D R, D R dire se sono: iniettive, suriettive, biettive, monotone, pari, dispari. (a) f() = + 5, D = R, g() = + 0, D = R; (b) f() =, D = R, g() =, D = R; (c) f() = 5, D = R, g() = 4, D = R; (d) f() =, D = R, g() = ( ), D = R; (e) f() =, D = R \ 0, g() =, D = R; (f) f() = (g) f() = (h) f() = (i) f() = log, D = R +, g() = +, D = R;, D = R, { 0, Z g() =, R \ Z, D = R;, D = R, g() = segno() = {,, < { +, 0, < 0 { log, 0, <, D = R, g() = = (j) f() = cos, D = R, g() = sin + 5, D = R;, > 0 0, = 0 < 0 {......, D = R;, D = R; 7. Se f() = , provare che f() = 6, f(0) =, f( ) =. 8. Se f() = +, provare che f() + f(0) = f(). 9. Data f() =, calcolare f(b) f(a) b a, con b a. [Sol. b + a] 0. Data f() = +, calcolare f(), f(), f( ), [f()]. [Sol. +, +, +, ( + ) ]. Data f() = a, con a > 0, a provare che f( )f() = 0.. Data, < 0 f() = tan, 0 < π π 6 provare che f( ) =, f(π ) =, f( π) =, f(4) = 7.. Tra le seguenti funzioni dire quali sono pari e quali sono dispari (a) f() = (a + a ) [pari] g() = [dispari]; 9

10 (b) f() = log + [dispari] g() = log(4 + + ) [pari]; (c) f() = [dispari] g() = a + a [pari]; (d) f() = sin [pari] (e) f() = sin + [dispari] quando a R, a > 0, a. g() = + 4 [pari]; g() = cos 4 [pari]; Esercizi sui limiti di successioni Calcolare i seguenti limiti di successioni.. lim n + (5n + n + ), [+ ];. lim n + n 5 +n, [0];. lim n + n+, [+ ]; 4. lim n + n + n, [+ ]; 5. lim n + n 5 n, [0]; 6. lim n + n +n + 8, [+ ]; 7. lim n + e n +n, [+ ]; ( 8. lim ) n n +, []; n 9. lim n + n+ [+ ]; 0. lim n + sin n +, [0];. lim n + cos n +7 n, [];. lim n + n 5 +n n 5 +, [];. lim n + n +n+8 n +, [ ]; 4. lim n + n+7 n 4 +n, [0]; 5. lim n + sin n, [0]; 6. lim n + cos n +n+, []; 7. lim n + sin n+ n, [0]; 8. lim n + n sin n, []; 9. lim n + n tan n, []; sin 0. lim n + n sin n +, []; tan. lim n n +, [8]; cos n 0

11 . lim n + nsin n cos n, [];. lim n + n ( cos n), [ ]; n( cos 4. lim n ) n +, []; sin n 5. lim n + n + n+ sin n, []; 6. lim n + n log n, [+ ]; 7. lim n + n e n, [0]; 8. lim n + log n n!, [0]; 9. lim n + log n n, [0]; 0. lim n n n, [0];. lim n + n log n n, [0];. lim n + n n!, [0];. lim n + ( n n), [+ ]; 4. lim n + ( n n ), [+ ]; 5. lim n + ( n + n n + ), [ ]; 6. lim n + ( n +n n ) n, [e ]; 7. lim n + ( n ) n, [ e ]; ( 8. lim n+ ) n n + n, [e ]; Esercizi sui limiti di funzione Calcolare i seguenti limiti di funzioni. lim 0 sin(), [];. lim 0 sin() sin(), [ ];. lim 0 sin, [0]; 4. lim 0 cos, [ ]; 5. lim, [ ]; 6. lim + ( ), []; 7. lim ( ), [e]; 8. lim + ( + ), [e ];

12 9. lim + log +, [ ]; 0. lim + ( log() log )log, [];. lim + log + +e, [0];. lim + (log( + ) log( + )), [log ];. lim 0 ( 4 ), []; 4. lim + (log( + ) log ), []; 5. lim 0 e, [ ]; 6. lim 0 e cos, [ ]; 7. lim 0 log( cos ) sin, [ ]; 8. lim +, [ ]; 9. lim 0 +4, [ 4 ]; 0. lim + +,. lim , [ ];. lim 5 5 5, [ 5]; [+ ];. lim + ( ), [ ]; 4. lim 0 sin +, []; 5. lim + 0+, [+ ]; 6. lim 0 sin tan, [0]; 7. lim + +, [ ]; 8. lim 5 0 5, [0]; 9. lim 0 log(+)+log( ), [ ]; 0. lim 0 ( + ) tan, [];. lim + 6 4, [ ]; Esercizi sulle funzioni continue Studiare la continuità delle seguenti funzioni f : A R:. f() = sin, A = R [Sol. f è continua in R];. f() = sin(e + + ), A = R [Sol. f è continua in R];

13 . f() =, A = R \ {} [Sol. f è continua in R \ {}]; +e 4. f() = 5. f() = { 0 0 = 0 { 0 0 = 0, A = R [Sol. f è continua in R];, A = R [Sol. f è continua in R \ {0} non è continua in 0]; 6. f() = log ( cos + ), A = R [Sol. f è continua in R]; 7. f() = { e 0 = 0, A = R [Sol. f è continua in R]; 8. f() = { 0 = 0 =, A = R [Sol. f non è continua solo in 0 e ]; 9. f() = { 0 0 = 0, A = R [Sol. f non è continua in 0, è continua in R\{0}]; 0. f() = { sin 0 0 = 0, A = R [Sol. f è continua in R];. f() = (e + sin()), A = R [Sol. f è continua in R];. f() =. f() = { e > 0 0 { 4 log() > 8 + +, A = R [Sol. f è continua in R];, A = R [Sol. f è continua in R]; Esercizi sul metodo di bisezione Per ognuna delle seguenti equazioni, calcolare con il metodo di bisezione una soluzione approssimata nell intervallo I, suggerito di fianco, con un errore pari a = 0, I = [, ], Soluzione Approssimata: =.5;. + 4 = 0, I = [, 0], Soluzione Approssimata: = 0.875;. 0 = cos, I = [0, ], Soluzione Approssimata: = 0.475; = 0, I = [,.5], Soluzione Approssimata: =.065; = 0, I = [, ], Soluzione Approssimata: =.6875; = 0, I = [, 0], Soluzione Approssimata: = 0.875; 7. log = 0, I = [, ], Soluzione Approssimata: =.85; 8. cos 4 = 0, I = [0, ], Soluzione Approssimata: = 0.875;

14 Esercizi sulle derivate Calcolare le derivate delle seguenti funzioni ) f() = 4 f () = +8 ( ) ) f() = (sin + cos ) f () = 4 sin ) f() = f () = ) f() = log f () = +log 5) f() = f () = (+log ) log 4 4 6) f() = f () = 4 7) f() = sin f () = sin + cos 8) f() = e f sin cos () = e sin sin 9) f() = f () = 0) f() = e tan f () = e (tan + ) f() = + f () = ) f() = + + f + () = ( ++) b) f() = log 4 f () = log 4 e cos ) f() = log( + 5) f () = +5 4) f() = sin() cos f () = cos() + sin 5) f() = log(cos + sin ) f cos sin () = cos +sin 6) f() = cos f 5 sin + cos () = 5 sin (5 sin ) 7) f() = e + f () = e +e + e + 8) f() = e log(sin ) f () = e (log(sin ) + cot ) 9) f() = + f () = (+ ) 0) f() = e cos sin f () = e cos (cos sin ) ) f() = + + ( f () = q ) f() = arctan + arctan f () = 0 ) f() = ( + ) 0 f () = 5( + ) 9 ( ) ) 4) f() = tan f () = = +tan cos (+tan ) (cos +sin ) 5) f() = arccos + log( + + ) f () = + + 6) f() = arcsin arctan f () = ( ) + 7) f() = arcsin f () = arcsin +arccos arccos (arccos ) 8) f() = ( + ) f () = ( [ ] + ) log( +) 9) f() = ( + ) tan f () = ( + ) tan [ log(+) cos tan + ] ) 4

15 Esercizi sulle funzioni periodiche Determinare il periodo di ognuna delle seguenti funzioni. f() = 0 sin(), [Sol. T = π];. f() = tan(), [Sol. T = π ];. f() = 0 sin(π), [Sol. T = ]; 4. f() = cot, [Sol. T = π]; 5. f() = cos π, [Sol. T = 6π]; 6. f() = cot 4, [Sol. T = 4 π]; 7. f() = cos π, [Sol. T = ]; 8. f() = cot ( π 5 ), [Sol. T = 5 ]. Esercizi sulle derivate di ordine superiore al primo. Calcolare la derivata terza delle seguenti funzioni (a) f() = 5, (b) f() = log(sin ), (c) f() = +, (d) f() = tan, (e) f() = e + e +, (f) f() = log( + ), (g) f() = sin() + cos, (h) f() = e, (i) f() = e, (l) f() = sin cos +. [Soluzioni: (a) f () = 0 7, 4 (b) f () = cos, (c) f () = sin 8 (d) f () = cos cos 4, (e) f () = e e, (f) f () = (+), (g) f () = 8 cos() + sin, (h) f () = 4e ( ), (i) f () = e ( + +) 8, (l) f () = 4 sin cos.]. Disegnare il grafico della funzione f () quando f() = e + 5., 5. In un moto rettilineo la posizione s di un punto materiale P in funzione del tempo è data da s = s(t), dove la posizione s è misurata in metri e il tempo t è misurato in secondi. Determinare l espressione della velocità istantanea v(t) e dell accelerazione istantanea a(t) in funzione di t nei seguenti casi (si ricordi che v(t) = ds = dt s (t) e a(t) = dv = dt s (t)) (a) s(t) = 4 t (b) s(t) = t (c) s(t) = t + t + (d) s(t) = t t [Soluzioni: (a) v(t) =, a(t) = 0; (b) v(t) = t, a(t) = ; (c) v(t) = 6t +, a(t) = 6; (c) v(t) = t t, a(t) = t.] Esercizi sulle equazioni delle rette tangenti Scrivere l equazione della retta tangente alla curva y = f() nel punto di ascissa 0 nei seguenti casi 5

16 . f() = + 4 5, 0 = [Soluzione r : y = 5];. f() = 4, 0 = [Soluzione r : y = + 8];. f() = 5 +, 0 = [Soluzione r : y = 5]; 4. f() = +, 0 = [Soluzione r : y = 6 5]; 5. f() = +, 0 = [Soluzione r : 5 4y = 0]; 6. f() = +, 0 = [Soluzione r : y = ]; 7. f() =, 0 = 6 [Soluzione r : 4y + = 0]; 8. f() = sin + cos, 0 = π [Soluzione r : y = + π + ]; 9. f() = cos, 0 = 0 [Soluzione r : y = ]; 0. f() = log, 0 = e [Soluzione r : ey = 0];. f() =, 0 = [Soluzione r : = ];. f() = ( + ), 0 = [Soluzione r : = ];. f() = arcsin, 0 = [Soluzione r : = ]; Applicazioni di De L Hôpital I seguenti limiti possono essere calcolati utilizzando De L Hôpital direttamente oppure dopo averli ricondotti alle forme indeterminate 0 0, ) lim + [ ] ) lim 4 4 [4] ) lim [] 4) lim 4 [ 4] 5) lim [ ] 6) lim tan 8 0 tan [+ ] 7) lim 0 + tan cos [+ ] 8) lim + + [ ] 9) lim 0 sin() sin () [ ] 0) lim + [ ] ) lim +5 + e [+ ] ) lim log( ) + + e [0] ( ) ) lim 0 + log [0] 4) lim π π tan [ ] 5) lim + e ( ) [0] Teoremi Rolle, Lagrange. Utilizzando il teorema di Rolle dire quale tra le seguenti funzioni ha, nell intervallo [ π 4, π 4 ], un punto con retta tangente orizzontale (a) f() = sin (b) f() = cos (c) f() = e + (d) f() = +. Dire quale tra le seguenti funzioni non soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [, ] (a) f() = (b) f() = cos (c) f() = (d) f() = 4 6

17 . Se f soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo [, ] e se f() = e f() = 5 allora esiste un punto 0 (, ) tale che la retta tangente a f in 0 ha come coefficiente angolare (a) (b) (c) (d) [Soluzioni. (a);. (a);. (d).] STUDIO DI FUNZIONE Fare lo studio completo delle seguenti funzioni:. f() = e ;. f() = 8;. f() = e +8 ; 4. f() = + ; 5. f() = 4 ; 6. f() = + ; 7. f() = e ; 8. f() = log ; 9. f() = e ; 0. f() = 0 ;. f() = e ;. f() = e ;. f() = log ; 4. f() = log ; 5. f() = ; 6. f() = 4 4 ; 7. f() = ; 8. f() = + ; 9. f() = + ; 0. f() = ( );. f() = ;. f() = e ; 7

18 . f() = ; 4. f() = + ; 5. f() = log ; 6. f() = + ; 7. f() = e ; 8. f() = e e ; 9. f() = 4 (+) ; 0. f() = + ;. f() = ; ESERCIZI SULLE FUNZIONI Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Una funzione con dominio D = [0, ] non può avere asintoti orizzontali. f(). Se lim + f() = + ed esiste finito lim + obliquo.. Se f () 0, [a, b] allora f è crescente in [a, b]. 4. Se f ( 0 ) = 0 e f ( 0 ) < 0 allora 0 è un punto di massimo per f. allora f() ha un asintoto 5. Se f è continua in [a, b] e f(a) f(b) > 0 allora esiste 0 [a, b] tale che f( 0 ) = Se lim f() = + allora f ha una asintoto verticale. [Soluzioni:. V;. F;. V; 4. V; 5. F; 6. V.] Individuare la risposta esatta. Quale tra le seguenti funzioni ha un asintoto verticale (a) f() = (b) f() = + (c) f() = + 5 (d) f() = log( + ). Quale tra le seguenti funzioni ha un asintoto orizzontale (a) f() = + (b) f() = ++ (c) f() = ++ (d) f() = sin. La funzione f() = + ha come asintoto (a) y = (b) y = + (c) y = + (d) y = + 8

19 (I) (II) Figure : Esercizi 4. Quale tra le seguenti funzioni ha il grafico in Figura (I) [Soluzioni:. (a);. (b);. (c);4. (c).] Completare le risposte (a) y = (b) y = 9 (c) y = (d) y = 9 9. Si consideri la funzione f() il cui grafico è mostrato nella Figura (II) Dominio: D = Immagine: Im(f) = f() < 0 per f() > 0 per Massimo assoluto in 0 = lim + f() = Intersezioni con asse : A = (, ), B = (, ) 9

20 Esercizi sul calcolo degli integrali Calcolare i seguenti integrali indefiniti ) d [Sol: c]; ) d [Sol: 5 + c]; ) 5 d [Sol: c]; 4) sin cos d [Sol: sin + c]; 5) cos sin d [Sol: 4 sin4 + c]; 6) sin cos 4 d [Sol: 5 cos5 + c]; 7) ( + ) 4 d [Sol: 5 ( + )5 + c]; 8) + d [Sol: ( + ) + c]; 9) log d [Sol: log + c]; 0) ( + ) 8 d [Sol: ( + 6 ) 9 + c]; ) d [Sol: + c]; ) tan d [Sol: log cos + c]; ) cot d [Sol: log sin + c]; 4) d [Sol: log + + c]; + 5) + d [Sol: log + + c]; 6) log d [Sol: log log + c]; 7) e d [Sol: e +5 log(e + 5) + c]; 8) cos() d [Sol: sin() + c]; 9) sin( ) d [Sol: cos( ) + c]; 0) sin d [Sol: cos + c]; ) cos () d [Sol: tan() + c]; ) sin ( ) d [Sol: cot( ) + c]; ) e d [Sol: e + c]; 4) e d [Sol: e + c]; t = 5) 4 d [Sol: arcsin + c]; 6) d [Sol: arcsin( ) + c]; t = t = 7) +9 d [Sol: arctan() + c]; 8) 4+ d [Sol: arctan + c]; 9) sin d [Sol: sin cos + c]; 0) cos d [Sol: sin cos + + c]; ) sin d [Sol: cos + cos + c]; ) cos d [Sol: sin sin + c]; ) cot d [Sol: cot + c]; 4) sin d [Sol: log tan + c]; sin + cos = t = tan sin = t +t 5) sin cos d [Sol: log tan + c] 6) log d [Sol: log + c] 0

21 Calcolare i seguenti integrali indefiniti ) 9 9 d [Sol: arcsin + c]; ) 4 + d [Sol: 4 arctan + c]; ) ( + 5) d [Sol: (+5) + c]; 4) ( 5 + ) d [Sol: ( ) + c]; 5) ( ) + d [Sol: + + c]; 6) sin + e d [Sol: cos + e + c]; 7) 7 5 d [Sol: c]; 8) 9 + d [Sol: 0 arctan + c]; 9) 5 d [Sol: 5 arcsin + c]; 0) d [Sol: + arctan + c]; ) 7 +8 d [Sol: c]; ) + d [Sol: log + + c]; ) 7( + ) d [Sol: 7 4 ( + ) + c]; 4) (5 + ) 7 d [Sol: 80 (5 + ) 8 + c]; 5) tan cos d [Sol: tan + c]; 6) e e +5 d [Sol: log(e +5) + c]; 7) 9 + d [Sol: arctan() + c]; 8) e sin e d [Sol: cos e + c]; 9) sin cos +5 d [Sol: log cos c]; 0) (+ ) d [Sol: log( + ) + c]; ) e + e + d [Sol: log e + + c]; ) (tan + ) d [Sol: tan + ]; ) sin cos d [Sol: cos + c]; 4) sin d [Sol: cos + sin + c]; 5) e cos d [Sol: e cos +e sin + c]; 6) 4 log d [Sol: 5 log c]; 7) log log + d [Sol: + c]; 8) arctan d [Sol: arctan + c]; 4 + 9) cos sin d [Sol: sin 5 sin 5 + c]; 0) e +e d [Sol: + e + c]; ) d [Sol: ( +) c]; ) ( +) d ) + d [Sol: log( + ) + + c]; [Sol: [ log( + )] + c]; 4) e + d [Sol: log ( e e +) + c]; 5) d [Sol: ( ) ( ) + c];

22 Calcolare i seguenti integrali definiti ) 0 d [Sol: 6]; ) d [Sol: ]; ) 5 d [Sol: 0]; 4) 0 5 d [Sol: 0]; 5) ( + ) d [Sol: 4]; 6) + d [Sol: e]; e 7) d [Sol: 0]; 8) π +4 0 (e + cos ) d [Sol: e π ]; 9) 0 e ++5 ( + ) d [Sol: e 5 e ]; 0) log π 0 sin(e )e d [Sol: cos ]; ) 5 d [Sol: 0]; ) log e π d [Sol: ]; 0 +e ) e d [Sol: e e ]; 4) 0 ( + ) d [Sol: 0]; 5) 0 d [Sol: log ]; 6) e + d [Sol: ]; +log 7) π cos d [Sol: π ]; 8) d [Sol: ]; 0 8 9) 0 ) 0 e d [Sol: arctan e π]; 0) 4 +e 4 0 d 5+ [Sol: ]; ) 0 ) log e d [Sol: π]; 4) d [Sol: 4 log ]; d [Sol: π]; d [Sol: log ]; 5) e d [Sol: e + e]; 6) d [Sol: π ]; 0 (+ ) 8 t = arctan 7) π cos sin() d [Sol: ]; 8) d [Sol: ]; 9) + 4 d [Sol: 4]; 0) 0 + d [Sol: 5 5 ]; ) 4 4+ d [Sol: π]; ) π 0 sin cos d [Sol: ]; Calcolare i seguenti integrali impropri, che hanno o l intervallo di integrazione illimitato, oppure la funzione illimitata nel punto c ) + 0 e d [Sol: ]; ) + e d [Sol: e ]; ) + 5) 7) 0 d [Sol: π]; 4) d, c = [Sol: ]; 6) e 0 d, c = [Sol: π ]; 8) π 6 0 d [Sol: π]; +4 4 log d, c = 0 [Sol: ]; cos sin d, c = 0 [Sol: ];

23 Esercizi sulle equazioni differenziali Calcolare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali del primo ordine:. y = (y y e ), [Sol: y() = 0, y() = e, y() = ]; c+e c+e. y = y, [Sol: y() = ce ];. y = y, con > 0 [Sol: y() = c]; 4. y = y tan,con ( π, π c ) [Sol: y() = ]; cos 5. y = y log, [Sol: y() = ce log ]; 6. y = y, [Sol: y() = + ce ]; 7. y = y, con > 0 [Sol: y() = + c ]; 8. y = y, con > 0 [Sol: y() = (log + c)]; 9. y sin +cos = y +, con (0, π) [Sol: y() = sin sin sin 0. y = y y, [Sol: y() =, y() = 0; ] ce. y = y( y) [Sol: y() = +ce, y() = 0; ] ( + c e ) ];. y = y [Sol: y() = + ce y, y() = + ce ; ] (. y = y + y ) con > 0 [Sol: y() = (c + ), y() = 0; ] 4. y = y [Sol: y() = + c, y() = + c; ] 5. y = y [Sol: y() = (log + c), y() = (log + c); ] 6. y = cos y + [Sol: y() = (sin +c) 4, y() = ; ] Calcolare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy associate ad equazioni differenziali del primo ordine:.. { y = y y(0) = { y = y y(0) =, [Sol: y() = ];, [Sol: y() = + e ]; { y = y y(0) = 0 { y = y y(0) = { y = +y + y(0) = 0, [Sol: y() = 0];, [Sol: y() = ];, [Sol: y() = ];

24 6. { y = e y y() = 0, [Sol: y() = e e ]; 7. { y = e y y(0) =, [Sol: y() = log(e + e )]; 8. { y = y + e y(0) = 0, [Sol: y() = e ]; { y = ( + sin )y y(0) = { y = y + y() = 0, [Sol: y() = e +cos ]; (, [Sol: y() = )]; + + log( ) 6 +. { y = +y + y(0) =, [Sol: y() = tan ( arctan + π 4 ) ];.. { y = y + e y() = 0 { y = y log log y(e) = e, [Sol: y() = e ]; (, [Sol: y() = log )]; + e 4. { y = tan y + cos y(0) = 0, [Sol: y() = cos ]; 5. { y = y + cos y(0) =, [Sol: y() = cos +sin ]; 6. { y = y y(0) =, [Sol: y() = log ( + )]; { y = + y y( ) =, [Sol: y() = + + 5]; { y = y ) tan, [Sol: y() = = y ( π { y = ( + y ) y(0) = { y = y+ y(0) = 0 sin ]; ( ), [Sol: y() = tan + π ]; 4 (, [Sol: y() = )]; + + log( + ) Calcolare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali del secondo ordine lineari a coefficienti costanti:. y y = 0, [Sol: y() = C e + C e ];. y y = 0, [Sol: y() = C + C e ];. y = 0, [Sol: y() = C + C ]; 4

25 4. y + y = 0, [Sol: y() = C cos + C sin ]; 5. y 5y + 6y = 0, [Sol: y() = C e + C e ]; 6. y + y + y = 0, [Sol: y() = C e + C e ]; 7. y y + 5y = 0, [Sol: y() = C e cos() + C e sin()]; 8. y + y + y = 0, [Sol: y() = C e + C e ]; 9. y + y + y =, [ ( ) [Sol: y() = e C cos + C sin 0. y + y = +, [Sol: y() = C cos + C sin + + ];. y y = sin, [Sol: y() = C e + C e sin ];. y 7y + y = 6e, [Sol: y() = C e + C e 4 + e ]; ( )] + ]; Calcolare la soluzione particolare delle seguenti equazioni differenziali del secondo ordine lineari a coefficienti costanti:. y + y + y =, [Sol: y() = ;]. y y + y = e, [Sol: y() = e ];. y y + y = sin + cos, [Sol: y() = 4. y y + y = cos, [Sol: y() = sin ];. cos sin ]; Calcolare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy associate ad equazioni differenziali del secondo ordine: y y + y = y(0) = y (0) = 0 y 5y = e y(0) = y (0) = 4 y y = 0 y(0) = y (0) = 0 y + y 6y = 0 y(0) = y (0) = y y = y(0) = 0 y (0) = 0 y y + 0y = 0 y ( ) π 6 = 0 y ( ) π π 6 = e 6, [Sol: y() = e sin + + ];, [Sol: y() = e 5 e ];, [Sol: y() = (e + e )];, [Sol: y() = 8 5 e + 5 e ];, [Sol: y() = (e e ) ];, [Sol: y() = e cos ()]; 5

26 y 6y + 8y = y (0) = 0 y (0) = y y y = 0 y (0) = 0 y (0) = y + y + y = 0 y (0) = 0 y (0) =, [Sol: y() = 8 e e ];, [Sol: y() = e e ];, [Sol: y() = e sin( )]; 6

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