35 è congruo a 11 modulo 12
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- Barbara Foti
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1 ARITMETICA MODULARE Scegliamo un numero m che chiameremo MODULO Identifichiamo ogni altro numero con il suo resto nella divisione per m Tutti i numeri col medesimo resto si trovano insieme nella classe di resto che è etichettata con un numero compreso tra 0 (zero) e m 1 (il precedente di m) ESEMPIO Usiamo il modulo m = 12 (come nell orologio analogico). Le classi di resto sono 12: la classe 0 (tutti i multipli di 12, per esempio 12,36,60), la classe 1 (1 + un multiplo di 12, per esempio 13,25,73), la classe 2 (2 + un multiplo di 12, per esempio 15,26,50) la classe 11 (11 + un multiplo di 12, per esempio 11,35,59,143). Infatti 35 = come 59 = Per scrivere che 35 è nella classe di resto 11 nell aritmetica modulo 12 scriviamo così: (12) e leggiamo così: oppure leggiamo così: 35 è congruo a 11 modulo è nella classe di resto 11 modulo 12 ESERCIZIO Trova le classi di resto di 72, 45, 38, 37, 21, 9, 64 modulo 12. Le operazioni di addizione e moltiplicazione si possono svolgere direttamente con le classi di resto degli addendi (o dei fattori). ESEMPIO Usiamo ancora il modulo m = 12. Quanto fa modulo 12? So che 49 1 (12) e che 27 3 (12) allora (12) Infatti = 76 =
2 Quanto fa modulo 12? So che (12) e che 14 2 (12) allora (12) Infatti = 490 = UN ALTRO ESEMPIO Quanto fa modulo 12? Completa tu! So che (12) e che (12) allora (12) Quanto vale il prodotto? Ti sembra strano o normale? Discutiamone insieme. In questa aritmetica modulo 12, abbiamo trovato due numeri (nessuno dei quali è zero - o classe di resto zero) il cui prodotto è zero. Questo accade anche nell aritmetica standard a cui siamo abituati? Perché è possibile che accada nell aritmetica modulo 12? Accade solo con questa coppia di numeri? Ne possiamo trovare altri? Come sono legati al valore del modulo (nel nostro caso a 12)? Prima di trarre delle conclusioni, analizziamo qualche altra aritmetica modulare, con altri valori per il modulo. Costruiamo le tabelle della moltiplicazione per i moduli m = 2, m = 5, m = 6. m= m= m=
3 In ogni tabella ci sono una riga (e una colonna) con soltanto cifre 0 perché sono il prodotto per 0 (e il prodotto è commutativo come nell aritmetica standard). Ma ci sono anche prodotti che valgono zero (si dice che sono prodotti nulli) quando nessuno dei fattori è zero: ora indaga sui motivi per cui questo accade... Per riflettere su questi argomenti devi aver presente i concetti di numeri primi, numeri composti, numeri primi tra loro. Completa le osservazioni che seguono. Nella tabella della moltiplicazione modulo 5 trovi una coppia di numeri non nulli il cui prodotto sia zero? Noti qualche altro dettaglio nei risultati delle moltiplicazioni, in ogni riga? Nella tabella della moltiplicazione modulo 6 trovi almeno una coppia di numeri non nulli il cui prodotto sia zero? Scrivi qui tutte le coppie di fattori: Perché pensi che ciò accada? Cosa hanno in comune i fattori con il modulo? Riesci a immaginare quali coppie potrebbero avere la stessa proprietà per esempio nell aritmetica modulo 20? E nell aritmetica modulo 7? Osserviamo ancora la tabella modulo 6: (6) ed è vero che 2 8 (6) (6) ma non è vero che 2 4 (6) Da cosa potrebbe dipendere?
4 CRITERI DI DIVISIBILITÀ Utilizzeremo l artimetica modulare per ricavare alcuni criteri di divisibilità, cioè dei metodi che consentano di verificare rapidamente se un numero n è divisibile per un certo numero d. Ci serviamo del nostro sistema di numerazione che è decimale e posizionale: ogni numero è infatti scritto a partire da potenze di 10 e una cifra cambia valore a seconda della posizione in cui è scritta. Così 678 = cioè 678 = Quando posso dire che un numero è divisibile per 10?...se la sua classe di resto è 0. Facciamoci aiutare dalla notazione posizionale dei nostri numeri: 678 = (10) quindi... Un numero è divisibile per 10 se e solo se la sua cifra delle unità lo è. Quando posso dire che un numero è divisibile per 2? Usiamo lo stesso stratagemma: 678 = (2): 678 è divisibile per = (2): 9635 non è divisibile per 2 perché 10 è multiplo di 2 e lo stesso vale per tutte le sue potenze, quindi modulo 2 tutte le cifre che non sono unità sono nulle e la classe di resto del numero è la classe della sua cifra delle unità. Un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua cifra delle unità lo è, cioè se essa è pari. Puoi provare da solo a trovare il criterio di divisibilità per 5?
5 Quando posso dire che un numero è divisibile per 9? Partiamo con una osservazione: 9 0 (9) quindi 10 1 (9) 99 = (9) quindi 10 2 = (9) 999 = (9) quindi 10 3 = (9) 9999 = (9) quindi 10 4 = (9) etc Adesso proviamo a calcolare la classe di resto di 4716 modulo 9: 4716 = (9) Un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 9. Prova con e 747.
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