Logica degli enunciati; Operazioni con le proposizioni; Proprietà delle operazioni logiche; Tautologie; Regole di deduzione; Logica dei predicati;

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1 Logica degli enunciati; Operazioni con le proposizioni; Proprietà delle operazioni logiche; Tautologie; Regole di deduzione; Logica dei predicati; Implicazione logica. Equivalenza logica; Condizione necessaria, condizione sufficiente;

2 Nella matematica si chiama proposizione o enunciato ogni espressione linguistica o frase per la quale si possa stabilire con certezza se è vera o è falsa. In altre parole un enunciato è una frase alla quale ha senso associare uno e uno solo dei due valori di verità: vero o falso Ad esempio la luna è un satellite è un enunciato; Mentre quest anno sarò promosso non lo è.

4 Congiunzioni di due proposizioni; Disgiunzione di due proposizioni; Negazione di una proposizione; Implicazione materiale o condizionale; Coimplicazione materiale o bicondizionale; ormule equiveridiche;

5 La particella e, quando viene usata nel linguaggio ordinario con il significato di e contemporaneamente, corrisponde in logica al connettivo congiunzione (Λ) Si definisce congiunzione di due proposizioni p e q e si identifica con p Λq Nota: (il simbolo Λ nel linguaggio matematico si legge et ) Per rendere più evidente la definizione data, in genere viene introdotta la tavola di verità, dalla quale risultano i valori di verità della congiunzione pλq, dati i possibili valori di verità delle proposizioni p e q

6 p q pλq

8 La parola o, quando viene usata nel linguaggio comune con il significato di oppure (in senso alternativo come il vel latino), corrisponde in logica al connettivo disgiunzione (simbolo ) Si definisce disgiunzione di due proposizioni p e q e si indica con il simbolo pq (si legge p o q o, meglio ancora, usando il latino, p vel q ) Poiché la verità di pq si verifica nel caso di verità o solo di p o solo di q o di entrambe le proposizioni, questa disgiunzione è anche detta alternativa.

9 p q pq

11 La particella non del linguaggio ordinario corrisponde in logica all operatore negazione. Si definisce negazione di un enunciato p e si indica con p (si legge non p oppure p negato)

12 p p

14 Un altro modo di connettere tra loro due proposizioni può ottenersi mediante il connettivo se allora.. Si definisce implicazione materiale o condizionale di due proposizioni p e q e si indica con p q (si legge se p allora q o p implica q )

15 p q p q

17 Due proposizioni possono essere connesse mediante il connettivo se e solo se ; si ha in proposito la seguente definizione. Si definisce coimplicazione materiale o bicondizionale di due proposizioni p e q e si indica con p q (si legge p se e solo se q o p coimplica q )

18 p q p q

20 Diciamo che due formule enunciative A e B sono equiveridiche o uguali logicamente o, ancora, logicamente equivalenti se esse determinano la stessa funzione di verità, ossia se assumono entrambe lo stesso valore di verità quali che siano i valori di verità attribuiti alle lettere enunciative che le compongono. Scriveremo allora Oppure A B (A è equiveridica a B) A = B (A è uguale logicamente a B)

21 p q p q p p q Potremo pertanto scrivere: p q = p q

23 Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità o Proprietà dell idempotenza; o Proprietà commutativa; o Proprietà della complementarietà; o Proprietà associativa; o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione); o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione); o Leggi di De Morgan; o Leggi di assorbimento;

24 p ^ p = p p v p = p

26 p ^ q = q ^ p p v q = q v p

27 Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità o Proprietà dell idempotenza; o Proprietà commutativa; o Proprietà associativa; o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione); o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione); o Proprietà della complementarietà; o Leggi di De Morgan; o Leggi di assorbimento;

28 = p = p

30 (p ^ q) ^ r = p ^ (q ^ r) (p v q) v r = p v (q v r)

32 p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)

34 p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)

36 p ^ q = p v q p v q = p ^ q

38 p v (p ^ q) = p p ^ (p v q) = p

40 Se una formula enunciativa risulta vera qualunque sia il valore di verità delle lettere enunciative che la compongono, si dice che è una tautologia. Per indicare che una formula enunciativa A è una tautologia si scrive Se una formula enunciativa risulta falsa qualunque sia il valore di verità delle lettere enunciative che la compongono, si dice che è una contraddizione. A

41 La formula ((a ^ b) a) è una tautologia; La formula a ^ a è una contraddizione a b a ^ b (a^b) a a a a^a

42 Presentiamo ora alcune tautologie che rappresentano le forme di ragionamento deduttivo più frequenti in matematica: o Principio del terzo escluso; o Proprietà transitiva dell implicazione; o Legge di contrapposizione; o Modus Ponens; o Modus Tollens;

43 a v a

45 ((a b) ^ (b c)) (a c)

47 (a b) (b a)

49 ((a b) ^ a) b

51 ((a b) ^ b) a

53 Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni: o Modus Ponens; o Modus Tollens; o Modus Pollendo Tollens; o Modus Tollendo Ponens;

54 Consideriamo la tautologia: ((a b) ^ a) b (a b) ^ a b ((a b) ^ a) b Se sono vere le proposizioni a b e a, dev essere vera anche la proposizione b.

55 Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni: o Modus Ponens; o Modus Tollens; o Modus Ponendo Tollens; o Modus Tollendo Ponens;

56 Dalla tautologia: ((a b) ^ b) a (a b) ^ b a ((a b) ^ b) a Se è vera la proposizione a b ed è vera la negazione di b, deve essere vera anche la negazione di a.

57 Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni: o Modus Ponens; o Modus Tollens; o Modus Ponendo Tollens; o Modus Tollendo Ponens;

58 Dalla tautologia: ((a ^ b) ^ b) a (a ^ b) ^ b a ((a ^ b) ^ b) a Se è vera la proposizione a ^ b ed è vera b, deve essere vera anche a.

59 Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni: o Modus Ponens; o Modus Tollens; o Modus Ponendo Tollens; o Modus Tollendo Ponens; o Reductio ad absudum;

60 Dalla tautologia: ((a v b) ^ b) a (a v b) ^ b a ((a v b) ^ b) a Se è vera la proposizione a v b ed è vera la negazione di b, deve essere vera anche a.

61 Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni: o Modus Ponens; o Modus Tollens; o Modus Ponendo Tollens; o Modus Tollendo Ponens; o Reductio ad absurdum;

62 Dalla tautologia: ((a b) ^ b) a (a b) ^ b a ((a b) ^ b) a Seguendo questo schema, per dimostrare un enunciato a si prova a negarlo, ossia ad affermare a; se da tale negazione si può trarre una conclusione b e, contemporaneamente, è noto che tale conclusione è falsa, ossia si ha (a b) ^ b, si può dedurre che a è vero.

64 o Implicazione logica; o Equivalenza logica;

65 Considerati due predicati p(x) e q(x), con x appartenente d un opportuno dominio, se ogni valore di x che rende vero p(x), si dice che p(x) implica logicamente q(x) o che q(x) è conseguenza logica di p(x). Per indicare che p(x) implica logicamente q(x), si scrive p(x) q(x) Analizziamo la seguente frase: se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2. Allo scopo consideriamo i due predicati p(x): x è divisibile per 4 q(x): x è divisibile per 2. X Є N

66 o Implicazione logica; o Equivalenza logica;

67 Due predicati p(x) e q(x) sono logicamente equivalenti, se ogni valore di x che rende vero p(x) rende vero q(x) e se, contemporaneamente, ogni x che rende vero q(x) rende vero anche p(x). se un triangolo ha 2 angoli uguali allora ha 2 lati uguali è un implicazione logica in quanto, come si dimostra in geometria, se un triangolo ha 2 angoli uguali, allora ha anche 2 lati uguali. In questo caso oltre ad essere p(x) = > q(x) è anche q(x) = p(x) > Se due predicati si implicano logicamente a vicenda, si scrive <> p(x) = q(x)

69 p(x): x è divisibile per 6 q(x): x è pari. > In matematica, scrivendo p(x) = q(x), si suol dire che 1. p(x) è condizione sufficiente per q(x); infatti l essere un numero divisibile per 6 è una condizione sufficiente perché il numero sia pari. 2. q(x) è condizione necessaria per p(x); infatti l essere pari è necessario per essere divisibile per Nel caso in cui i predicati p(x) e q(x) siano logicamente equivalenti, diremo che p(x) è condizione necessaria e sufficiente per q(x).

70 Lavoro prodotto dall alunno Colitta Giancarlo della classe 2A a.s.2007/08 guidato dalla prof.ssa Martina Anna Rita