MACCAGNO PATRIZIA LABORATORIO DI COMBINATORICA ANNO 2008/2009

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1 MACCAGNO PATRIZIA LABORATORIO DI COMBINATORICA ANNO 2008/2009

2 PREFAZIONE Molte famiglie di numeri si presentano più volte in contesti matematici diversi: spesso hanno preso il nome dei matematici che le hanno studiate, e per questo ho deciso di rendere loro omaggio introducendo una parte biografica prima di quella matematica, per raccontare qualcosa di questi illustri studiosi, di cui spesso si conosce poco. Verranno presentati di seguito in particolare i numeri di Stirling di I e II specie, i numeri di Bell e di Ramanujan.

3 NUMERI DI STIRLING JAMES STIRLING James Stirling, detto il veneziano (22 aprile dicembre 1770), è stato un matematico scozzese. Dal 1710 studia presso l Università di Oxford, dalla quale viene espulso nel 1715, a causa delle sue relazioni con le famiglie Keir e Garden, notoriamente Giacobiti. Ripara quindi a Venezia sotto la protezione dell ex ambasciatore della Serenissima in Inghilterra Nicolò Tron (a cui dedica l opera Lineae tertii ordinis Newtoniane pubblicata nel 1717). Entra in seguito in contatto con Nicolaus Bernoulli e Sir Isaac Newton. Stirling si interessa alle tecniche vetrarie impiegate a Murano; a causa di questa attività, fugge ancora una volta, poiché teme per la sua vita, dato che viene sospettato dai veneziani di volere rubare il segreto della fabbricazione del vetro di Murano. Dal 1724 al 1735 risiede a Londra. In questo periodo si occupa di vari aspetti del calcolo infinitesimale e corrisponde con vari matematici dell epoca. Si frequenta con Colin MacLaurin, Leonhard Euler, Brook Taylor e Robert Simpson. Nel 1730 pubblica l opera Methodus Differentialis; in questo libro enuncia la formula di approssimazione per n!. Si occupa anche del problema della forma della Terra: del 1735 è il suo articolo Della Figura della Terra e sulla Variazione della Forza di Gravità sulla sua Superficie. Lo stesso anno ritorna in Scozia dove si occupa dell amministrazione di una società mineraria, impegno che lo allontana dalle ricerche. James Stirling muore ad Edimburgo il 5 dicembre NUMERI DI PRIMA E SECONDA SPECIE I numeri dei cicli di Stirling, (numeri di Stirling di prima specie), talvolta scritti con la notazione alternativa s(n, k), contano il numero delle permutazioni di n oggetti che hanno esattamente k cicli. Per esempio, le sei permutazioni di 3 oggetti sono classificate 1 ciclo 2 ciclo 3 ciclo (123) (132) (12)(3) (13)(2) (23)(1) (1)(2)(3) = n! Il numero di raggruppamenti di n oggetti distinti in esattamente k gruppi è il numero degli insiemi di Stirling, (numeri di Stirling di seconda specie), talvolta scritti con la notazione alternativa S(n,k). In altre parole, S(n,k) è il numero delle partizioni di un insieme X di cardinalità n in k parti.

4 Sono definiti ricorsivamente dalla formula TAVOLA DEI VALORI (per 1 Numeri di Stirling Numeri di Stirling I triangoli precedenti possono essere calcolati per mezzo di varianti della regola del Triangolo di Pascal e precisamente E Dal punto di vista algebrico, e sono i coefficienti di e rispettivamente, nel polinomio (1+ x)(1+2x) (1+ nx) e nella serie per 1/((1-x)(1-2x) (1-kx).

5 NUMERI DI BELL ERIC TEMPLE BELL Eric Temple Bell (7 febbraio dicembre 1960) è stato, oltre che matematico, anche scrittore. Visse negli Stati Uniti gran parte della sua vita, e pubblicò varie opere di narrativa con lo pseudonimo di John Taine. Bell nasce in Scozia, ma suo padre, un rivenditore di pesce, nel 1884 si trasferisce in California. La famiglia si trasferisce a Belford, in Inghilterra dopo la morte del padre nel 1896, ma Bell nel 1902 decide di tornare negli Stati Uniti. Bell frequenta la Stenford University e la Columbia University (dove è uno studente di Cassius Jackson Keyser). Ottenuta la laurea, insegna prima alla University of Washington e successivamente al California Institute of Technology. I suoi lavori di ricerca hanno riguardato soprattutto la teoria dei numeri e la combinatorica. Egli lavora molto anche sulle funzioni generatrici, trattandole come serie formali di potenze senza preoccuparsi della loro convergenza.. Nel 1924 gli viene assegnato il Bocher Memorial Prize dall American Mathematical Society per i suoi lavori in analisi matematica. L opera più importante di Bell è la raccolta intitolata Men of Mathematics (uomini della matematica) che viene ancora ristampata. Il libro spinge molte persone a iniziare una carriera nel campo della matematica, nonostante molti storici della matematica abbiano sollevato dubbi sull accuratezza storica di Bell. Ad esempio Bell romanticizza a tal punto la vita di Evariste Galois che Tony Rothman la descrive come pura invenzione, la creazione di una leggenda. Bell muore nel 1960 a Watsonville. NUMERI DI BELL I numeri di Bell sono legati ai numeri di Stirling di seconda specie. Il numero totale delle partizioni di un insieme di cardinalità n è B(n)=. Tali numeri sono detti Numeri di Bell. I numeri di Bell sono definiti ricorsivamente dalla formula TAVOLA DEI VALORI: B(n)= Numeri di Bell Numeri di Stirling

6 Confrontando le tavole dei valori dei Numeri di Stirling e di Bell, si osserva che l n-esimo numero di Bell è la somma degli elementi dell n-esima riga del triangolo di Stirling. Per calcolare i primi 6 numeri di Bell è sufficiente allora sommare i numeri delle 6 righe del triangolo. I NUMERI DI RAMANUJAN SRINIVASA RAMANUJAN Srinivasa Aiyangar Ramanujan (22 dicembre aprile 1920) è stato un matematico indiano. Bambino prodigio, imparò, in gran parte da autodidatta, la matematica. Si iscrisse alla scuola superiore cittadina di Kumbakonam nel 1898, quando aveva 10 anni, e sembra che lì entrò in contatto la prima volta con i formalismi matematici. A 11 anni eguagliava in conoscenza matematica gli inquilini di casa sua, entrambi studenti al Governament College, ed ebbe in prestito libri di trigonometria avanzata, che già padroneggiava due anni più tardi. I compagni dell epoca commentarono in seguito Noi, insegnanti compresi, raramente lo comprendevamo e lo guardavano con rispettosa ammirazione. Tuttavia, Ramanujan non si concentrò sulle altre materie, tanto da non passare gli esami della scuola superiore. In questo periodo della sua vita era ancora molto povero, quasi fino alla miseria. Una volta sposato, dovette cercare un lavoro. Con la raccolta dei suoi calcoli matematici, si spostò nella città di Chennai alla ricerca di un lavoro da impiegato. Vistosi respingere diverse volte nella sua ricerca di sostegno finanziario, per aver prodotto risultati che nessuno di quelli che aveva contattato in India poteva comprendere pienamente, egli infine nel 1913 mandò una lettera a tre professori di Cambridge: Baker, Hobson e Hardy. Solo quest ultimo notò il genio dei teoremi di Rmanujan. Rispose alla lettera chiedendo le dimostrazioni di alcuni dei risultati citati nella lettera ricevuta e iniziò ad organizzare l arrivo di Ramanujan in Inghilterra. Ne seguì una collaborazione fruttuosa, che Hardy descrisse come l unico episodio romantico della mia vita. Tormentato da problemi di salute per tutta la vita, in una nazione lontana da casa, ed ossessivamente preso dai suoi studi, la salute di Ramanujan peggiorò in Inghilterra, forse aggravata dallo stress e dalla scarsità di cibo vegetariano durante la Prima Guerra Mondiale. Ritornò in India nel 1919 e morì poco dopo a Kumbakonam, lasciando come ultimo dono al mondo la scoperta della funzione theta di Ramanujan. Spesso le sue formule erano enunciate senza dimostrazione e solo in seguito si rivelarono corrette. I suoi risultati hanno ispirato un gran numero di ricerche e nel 1997 fu lanciato il Ramanujan Journal per la pubblicazione di lavori in aree della matematica influenzate da Ramanujan.

7 NUMERI DI PARTIZIONI E COMPOSIZIONI, NUMERI DI RAMANUJAN Se gli n oggetti considerati sono indistinguibili, il numero di modi di raggrupparli è detto numero delle partizioni p(n). Non c è una formula esatta semplice per p(n), ma esiste una notevole approssimazione congetturata da Ramanujan. p(n)è approssimativamente Questa formula è stata dimostrata più tardi da Hardy e Ramanujan stesso, e poi modificata da Rademacher, che ha ottenuto la formula esatta: p(n)= Nel contare le partizioni, non si tiene conto dell ordine delle parti. In caso contrario, la risposta è più semplice. Ci sono esattamente partizioni ordinate di n. I Numeri di Ramanujan, sono definiti dalla formula Ramanujan scoprì molte sorprendenti proprietà di questi numeri: per esempio, se m e n non hanno fattori comun, e è congruo alla somma delle undicesime potenze dei divisori di n, modulo 691.

8 BIBLIOGRAFIA: 1) J.H. Conway- R.K. Guy, The book of numbers, Copernicus- Springer- Verlag (1955) 2) D. Romagnoli, Problemi di combinatorica, Quaderni didattici del dipartimento di matematica ( ) 3) D. Penazzi, Funzioni tra insiemi finiti: numeri di Stirling e Bell (2004) 4) 5) 6) 7)