Problema 1. Una distribuzione continua di carica vale, in coordinate cilindriche,

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1 Corso i Lure in Mtemtic Prim prov in itinere i Fisic 2 (Prof. E. Sntovetti) 18 novemre 2016 Nome: L rispost numeric eve essere scritt nell pposito riquro e giustifict cclueno i clcoli reltivi. Prolem 1. Un istriuzione continu i cric vle, in coorinte cilinriche, ρ 0 α r r < ρ(r, z, θ) = 0 r con = 1.2 m. Consierno che l istriuzione i cric è un funzione continu in tutto lo spzio e che il vlore mssimo el cmpo elettrico vle, in moulo, E mx = 180 kv/m, clcolre ρ 0 e α. Clcolre l ifferenz i potenzile tr il punto P 1 i coorinte (/2, 0, 0) e il punto P 2 i coorinte (2, 0, 0). ρ 0 [C/m 3 ] = α [C/m 4 ] = V 1 V 2 [V] = Prolem 2. Tre conenstori sono collegti come ue genertori i tensione come in Figur 1, in cui C 1 = 30 µf, C 2 = 15 µf, = 40 µf, V 1 = 10 V e V 2 = 20 V. Inizilmente i conenstori sono scrichi e gli interruttori s 1 e s 2 sono perti (genertori scollegti). Si clcoli l tensione el punto, in mezzo i conenstori, nelle tre fsi che vvengono un opo l ltr. 1) Si chiue l interruttore s 1. 2) Si pre l interruttore s 1 e poi si chiue l interruttore s 2. 3) Si chiue nche l interruttore s 1 (l interruttore s 2 giá chiuso). V (1) [V] = V (2) [V] = V (3) [V] = Prolem 3. Si consieri il circuito i Figur 2, in cui V 1 = 12 V, V 2 = 15 V e = 20 Ω. Clcolre l corrente erogt l genertore V 1 e l genertore V 2. Clcolre infine qunto ovree vlere l tensione el genertore V 2 ffinché non scorr corrente nel rmo -. i 1 [A] = i 2 [A] = V 2 [V] = 24 4 Prolem 4. Un spir rigi, form i tringolo rettngolo e percors ll corrente i 2 = 3.5 A, gice sul pino i un filo rettilineo infinito in cui scorre un corrente i 1 = 10 A (Figur 3). Il cteto mggiore è prllelo l filo infinito e misur = 30 cm mentre il cteto minore è ortogonle l filo e vle = 18 cm. Se l istnz ell spir l filo vle = 9.0 cm, clcolre l forz che il filo infinito esercit () sul cteto mggiore, () sul cteto minore e (c) su tutt l spir. F 1 [N] = F 2 [N] = F tot [N] = Dti utili: ε 0 = F/m, µ 0 = 4π 10 7 H/m.

2 V 1 V 2 Figur 2 Prolem 3 Figur 1 Prolem i 2 1 i 1 Figur 3 Prolem 4 2

3 Prolem 1 Soluzione L ensità i cric ipene solo r unque c è un perfett simmetri cilinric e possimo pplicre il teorem i Guss per clcolre il cmpo elettrico E, ssumeno che l su irezione si rile (non h componenti z e θ). Dl ftto che l ensità i cric è continu si ricv suito ρ() = ρ 0 α = 0 ρ 0 = α, oppure α = ρ 0 Applichimo il teorem i Guss per r, preneno un cilinro i rggio r e ltezz h (1) Φ S (E) = Q in E 2πrh = 1 ε 0 ε 0 E(r) = ρ 0 ε 0 veno usto l equzione (1). All esterno el cilinro (r > ) imo r 0 ( r 2 r2 3 (ρ 0 αr )2πr hr = 2πh ) ε 0 ( r 2 ) ρ 0 2 α r3 3 Φ S (E) = Q in E 2πrh = 1 (ρ 0 αr )2πr hr = 2πh (ρ 2 ) 0 ε 0 ε 0 0 ε 0 2 α 3 = 2πh 2 ρ 0 3 ε 0 6 E(r) = ρ ε 0 r Derivno l espressione el cmpo entro il cilinro trovimo il mssimo el cmpo elettrico e imponeno che si ugule l to el prolem imo ρ 0 e quini α. E r = ρ ( 0 1 ε 0 2 2r ) = 0 r mx = ρ 0 = 16ε 0E mx 3 E mx = E(r mx ) = 3ρ 0 16ε 0 = C/m 3, α = ρ 0 = C/m 4 L ifferenz i potenzile tr P 1 e P 2 l trovomo integrno il cmpo elettrico r 1 = /2 r 2 = 2, fceno ttenzione i usre le ue espressioni iverse, quno sono entro e fuori el cilinro. ( ) ρ 0 r V 1 V 2 = /2 ε 0 2 r2 2 ρ 0 2 r r + 3 6ε 0 r = ρ 0 2 ( ) 13 6ε ln2 = 8E ( ) mx ln2 = 237 kv. Prolem 2 fse 1 Quno chiuimo l interruttore s 1, imo l serie i C 1 e cui è pplict l ifferenz i potenzile V 1 (il conenstore C 2 rimne scrico). Possimo llor clcolrci l cpcità equivlente e l cric sui ue conenstori (esseno un serie hnno l stess cric). L tensione V srà l tensione i cpi i. C 10 = C 1 C 1 + q 1 = V 1 C 10 = µc V = q 1 = C 1 +C 1 V 1 = 4.29 V. In quest prim fse le criche sui conenstori sono: q 0 = q 1 = C 10 V 1, q 2 = 0 3

4 fse 2 Or si pre l interruttore s 1 e successivmente si chiue l interruttore s 2. Quno l interruttore s 1 viene perto il conenstore C 1 è crico e così rimne, esseno l su rmtur superiore isolt. Aimo poi l serie ei ue conenstori e C 2 cui è pplict quest volt l tensione V 2. Tuttvi quest è or un serie tipic in qunto le criche non possono essere uguli essenoci ell cric che rimne sul conenstore C 1. Inicno le criche in quest secon fse come q q 2 C 2 + q 0 = V 2, q 1 + q 2 = q 0 (2) e l secon equzione viene l ftto che il rmo centrle isolto (quello l potenzile V ) h sempre un cric glole null. D ltr prte l cric su C 1 è quell clcolt prim e unque q 1 = q 1 e lle equzioni (2) possimo ricvre q 2 e q 0 e quini V. q 0 q ( 1 + q 0 = V 2 q 0 = V 2 + q ) ( 1 C0 C 2 V = q 0 = V 2 + q ) 1 C2 = 8.57 V. C 2 C 2 +C 2 C 2 +C 2 In quest secon fse le criche sui conenstori sono: ( q 0 = V 2 + q ) 1 C0 C 2 = µc, q 1 = q 1 = µc, q 2 = q 0 q 1 = µc. C 2 +C 2 fse 3 Si chiuono or tutti e ue gli interruttori e, inicno le criche in quest terz fse con q (e stileno positiv l cric sull rmtur conness con il punto ), possimo scrivere q 0 + q 1 + q 2 = 0, V = q 0, V Sostitueno le criche in termini ei potenzili imo V 1 = q 1 V = C 1V 1 +C 2 V 2 +C 1 +C 2 = 7.06 V. C 1, V V 2 = q 2 C 2 Prolem 3 Prenimo le correnti i mgli come nell figur e scrivimo le equzioni sulle ue mglie V 1 2i 1 i 2 + i 3 = 0 V 2 i 1 3i 2 i 3 = 0 V 2 + i 1 i 2 3i 3 = 0 Il sistem si risolve fcilmente nelle correnti e si ottiene i 1 i 2 V 1 V 2 i 3 i 1 = V 1 = 0.6 A, i 2 = V 2 2V 1 4 i 3 = V 2 + 2V 1 4 L corrente i 1 è proprio l corrente el genertore V 1 mentre l corrente el genertore V 2 vle i 2 + i 3 = V 2 = A. 2 Percé nel rmo - non scorr corrente eve essere i 2 = 0 V 2 = 2V 1 = 24 V. 4

5 Prolem 4 Il filo infinito, percorso ll corrente i 1 prouce un cmpo perpenicolre l pino ell spir tringolre (pino el foglio), uscente e i moulo B(r) = µ 0 i 2π r ove r è l istnz l filo. I iversi trtti rettilinei ell spir srnno unque interessti ll forz i Lplce l cui espressione elementre è F = il B Il cmpo mgnetico prootto l filo infinito è sempre normle ll spir e unque tutti e tre i lti. Il moulo ell forz srà unque il prootto ei mouli, F = ibl, e l irezione è quell inict nell figur (perpenicolre si l cmpo che l lto i filo consierto). Nel cso el lto 1, il cmpo è costnte e unque possimo suito integrre pssno l ll lunghezz el lto F 1 = i 2 B(r = ) = µ 0i 1 i 2 = N. 2π Nel cso el lto 2 invece il cmpo non è costnte m cmi llontnnosi l filo. Doimo llor eseguire un integrle + + µ 0 i 1 i 2 r F 2 = i 2 B(r)r = 2π r = µ 0i 1 i 2 2π ln(r) + = µ ( 0i 1 i 2 2π ln 1 + ) = N. Nel cso el lto 3 infine il proceimento è esttmente nlogo l cso el lto 2 trnne che l `iverso r m possimo senz ltro scrivere l = r sinα = r e unque l forz F 3 vle + F 3 = i 2 B(r)l = µ 0 i 1 i 2 r l 3 2π r = µ 0i 1 i ( ln 1 + ) 2π Quest forz v però scompost lungo le coorinte z e r, rispettivmente lungo il filo e normle l filo F 3z = F = µ ( 0i 1 i 2 2 2π ln 1 + ) F 3r = F = µ ( 0i 1 i 2 2 2π ln 1 + ) L componente z è unque null e rimne solo l componente rile che vle ( F tot = µ 0i 1 i 2 2π µ ( 0i 1 i 2 2π ln 1 + ) = µ 0i 1 i 2 ln 1 + ) 2π 1 α F 3 F 1 i 2 F 2 = N. ttrttiv verso il filo. Il segno meno rene conto el ftto che le ue forze hnno verso opposto. Si può infine notre che l rgomento ell prentesi qur è sempre mggiore i zero perchè ln(1 + x) < x e unque l forz è sempre ttrttiv, tnto i più tnto mggiore è il rpporto /. i 1 5