Spinta di Archimede su oggetti che tornano a gal a e quindi stanno a gal a.

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1 Appunti sul galleggiamento a cura di E. Giordano Per studenti non frequentanti del Corso di laurea in Scienze della formazione primaria. Draft dicembre 09. Non diffondere senza l autorizzazione della docente Galleggiare/ affondare Concordiamo un significato condiviso per il verbo galleggiare : in prima battuta ci riferiamo al caso in cui un corpo che immerso completamente in un liquido torna a galla, quando si ferma sta a galla (galleggia). Può capitare però che un corpo, che appoggiato sulla superficie di un liquido stia a galla, ma immerso nel liquido non torni a galla e vada a fondo, come le navi. Possiamo dire che in questo caso galleggia ha un significato diverso dal caso precedente ed è riferito solo allo stato (stare a galla) e non al processo del tornare a galla. Suggerisco quindi di studiare separatamente i diversi casi che si possono presentare quando si sperimenta con oggetti/materiali messi in interazione con acqua e altri liquidi, che non si sciolgano (sono esclusi quindi soluzioni e miscugli dalle considerazioni che seguono, ma in un percorso didattico varrebbe la pena considerarli, classificandoli in una categoria che va studiata a parte). Oggetti che tornano a galla Per ora studiamo la categoria di oggetti che immersi tornano a galla, anche se purtroppo NON abbiamo il tempo e i mezzi per studiare come gli oggetti vanno a fondo o tornano a galla. Poi affronteremo la categoria di oggetti che stanno a galla, ma non tornano a galla se immersi. Cerchiamo una regola generale che ci permetta di prevedere, cioè stabilire (senza eseguire l esperimento) se un oggetto immerso in acqua (o altro liquido) tornerà a galla o affonderà. Naturalmente tale regola deve essere anche utile a interpretare comportamenti osservati di oggetti immersi in acqua come potete sperimentare direttamente immergendo, cioè facendo in modo che stiano completamente immersi in acqua e poi lasciandoli andare, diversi oggetti: ad ese una palla di polistirolo, un tappo si sughero, un chiodo, un contenitore con tappo e senza tappo di materiali diversi, un palloncino pieno d acqua, un palloncino pieno d aria, ecc. Molti di voi avranno studiato (purtroppo spesso a memoria, senza capirla davvero e soprattutto senza sperimentarla, ma per questo esame dovreste averla capita e messa alla prova degli esperimenti eseguiti) la famosa legge del galleggiamento attribuita ad Archimede che trovate qui di seguito. Legge di Archimede Un oggetto immerso in acqua (o altro liquido) riceve una spinta dal basso verso l alto pari al peso di un volume di acqua (o altro liquido) che si può immaginare corrispondere allo spazio occupato dall oggetto immerso. Più sinteticamente e più in generale: Un corpo immerso in un fluido (liquido o gas) riceve una spinta diretta dal basso verso l alto pari al peso di un volume di fluido uguale al volume immerso del corpo. Attenzione: non usiamo il più tradizionale volume di acqua spostato, come mai? Perché riteniamo che questa formulazione sia più corretta, sia dal punto di vista scientifico che didattico.

2 Spinta di Archimede su oggetti che tornano a galla e quindi stanno a galla. Se la spinta di Archimede su un oggetto completamente immerso è maggiore del peso dell oggetto, l oggetto torna a galla e sta a galla, in generale, stando parzialmente in acqua/liquido e parzialmente fuori. La parte immersa è tale che il suo volume, considerato occupato dall acqua, pesa come l intero oggetto. Come si può facilmente sperimentare basta cercare di immergere in acqua un pezzo di polistirolo o di sughero per verificare facilmente l esistenza di questa spinta verso l alto, almeno per i corpi che tornano a galla. E si verifica che tale spinta cresce al crescere della parte immersa dell oggetto, mentre non aumenta più se continuiamo a spingere ulteriormente sott acqua l oggetto. Per poterla determinare quantitativamente ci siamo concentrati sugli oggetti che affondano dotandoci di qualche apparato sperimentale anche se molto semplice: contenitori graduati per la misura dei volume e dinamometri (molle tarate) per la misura del peso (massa). La lettura del dinamometro con appeso l oggetto in aria meno la lettura in acqua ci permette di trovare la spinta di Archimede. Questa deve essere uguale al peso di un volume di acqua uguale al volume dell oggetto. Dal punto di vista pratico dunque, per prevedere se un oggetto immerso in un liquido tornerà a galla, basta prendere una quantità di liquido di volume pari al volume dell oggetto (vedi appunti sul volume) e confrontarne il peso con il peso dell oggetto. Ad esempio si può utilizzare una bilancia artigianale fatta con una gruccia-appendiabiti ai cui estremi sono appesi due bicchierini uno contenente l oggetto e l altro un volume di liquido uguale al volume dell oggetto. Se la bilancia pende dalla parte dell oggetto indicando che il suo peso è maggiore della spinta di Archimede (peso del volume di acqua che starebbe al posto dell oggetto) questo affonderà. Se i due pesi dovessero essere esattamente uguali l oggetto immerso nel liquido rimarrà dove viene messo. Se la bilancia pende dalla parte del liquido questo sarà spinto verso l alto, tornerà a galla e galleggerà. Cercando sperimentalmente di mettere in equilibrio una bilancia alle cui estremità si trovano un oggetto che galleggia nel liquido e il liquido che è sufficiente ad equilibrare il peso dell intero oggetto, si troverà il volume della parte immersa dell oggetto. Invito a sperimentare più situazioni con liquidi diversi ed oggetti diversi, sia fatti di un unico materiale che di diversi materiali. Ad esempio dei piccoli contenitori come i porta rullini fotografici, i contenitori di sorprese da merendine ecc potranno costituire una buona base per sperimentare con oggetti di ugual volume e peso diverso a seconda del materiale con cui saranno riempiti. Sperimentare anche con tappi di sughero e chiodi di ferro per vedere quanti chiodi riescono a far affondare un tappo o quanti tappi ci vogliono per far galleggiare un chiodo. Per comprendere il tornare a galla di un oggetto quindi bisogna immaginare che lo spazio occupato dall oggetto sia riempito del fluido nel quale l oggetto viene immerso e confrontare i due pesi in questione.

3 Il problema della forma Attenzione: Si possono utilizzare anche oggetti fatti di sostanze malleabili come plastilina e pongo dei quali si può facilmente modificare la forma. Si può così incominciare a individuare quali sono i fattori che influenzano/non influenzano il galleggiamento di un oggetto. Pensi che la forma sia uno di questi? prova sperimentalmente assicurandoti di cambiare SOLO la forma e di studiare il galleggiare nel senso di tornare a galla. Dovresti arrivare alla conclusione che la forma sola NON è una variabile determinante. Cambia comportamento dell oggetto nel fluido se attraverso il cambiamento di forma si cambia anche qualche altra cosa (in particolare il materiale e quindi il volume a parità di peso) vedi anche il problema della nave nella parte finale degli appunti Dall oggetto al materiale Avendo a disposizione pezzi diversi di uno stesso materiale allo stato solido si noterà che se un oggetto fatto tutto di un unico materiale torna a galla (galleggia), lo fanno anche tutti gli altri pezzi di quello stesso materiale. I liquidi galleggiano su altri liquidi (ai quali non si devono mescolare) stando tutti sopra la superficie di separazione. Provare ad esempio con acqua e olio in diverse quantità, anche agitando e poi aspettando che la situazione torni all equilibrio. Un idea intuitiva: la fittezza Per interpretare questo comportamento non più in termini di oggetto ma di materiale cominciamo a considerare che i materiali che galleggiano (i cui pezzi immersi tornano a galla) sembrano essere più leggeri del liquido in cui li immergiamo. Ovviamente leggero/pesante si riferisce al peso di un oggetto e non può essere una proprietà di un materiale. In che senso allora il ferro può essere considerato più pesante dell acqua? Si tratta piuttosto di leggerezza/pesantezza dei materiali ma cosa vorrà dire e come trovarla in modo prima intuitivo e poi quantitativo? Il sughero ci sembra un materiale leggero perché qualsiasi suo pezzo è leggero per quanto è grande; viceversa il ferro ci sembra un materiale pesante perché qualsiasi suo pezzo è pesante per quanto è piccolo. Per essere più precisi e passare a un controllo semiquantitativo conviene allora confrontare due pezzi grandi uguali uno di sughero e uno di ferro. Cosa ti immagini che abbiano di diverso perché il pezzo di ferro pesi molto di più del pezzo di sughero? e se pesassero uguale come sarebbero le loro dimensioni? I bambini dicono che il sughero è molto meno fitto del ferro o che contiene aria. Pensi che l aria sia indispensabile? prova a pensare a acqua e olio. La fittezza è una proprietà percettiva, come si può verificare analizzando puntini disposti in modo più o meno fitto su una superficie (si pensi ai giochi di punzonatura che si fanno fin dalla scuola dell infanzia o ai racconti con campi di carote dove i conigli delle favole vanno a mangiare spostandosi verso quelli con più carote nello spazio a disposizione.) Dalla fittezza al peso specifico Vediamo adesso come passare da questa idea intuitiva all idea scientifica di peso specifico, sia per noi adulti che con i bambini. Gli adulti ripetono spesso in modo acritico e mnemonico che per prevedere se un oggetto

4 galleggerà o affonderà in un liquido si deve confrontare il peso specifico 1 del materiale (attenzione NON si parla di peso specifico di un oggetto, come vedremo) di cui l oggetto è fatto rispetto a quello dell acqua. Questa affermazione è corretta (se l oggetto è fatto tutto di un unico materiale) e si potrebbe dimostrare essere perfettamente equivalente alla formulazione del principio di Archimede. Ma cosa significa esattamente? Nella scuola di base spesso il concetto di peso specifico viene confuso con l esecuzione di un calcolo; la costruzione del concetto dovrebbe invece venire prima dell esecuzione di calcoli di cui non si comprende il significato, prima di tutto nella testa e nella mani (o in tutto il corpo se avete la fortuna di andare in piscina o al mare ) degli insegnanti. Ha senso (e quale) dividere il peso per il volume? La prima cosa da tenere presente è che le operazioni si eseguono sempre tra numeri; nel nostro caso si tratta invece di grandezze (peso e volume) che possono assumere diversi valori che si esprimono con un numero e una unità di misura. Al cambiare dell unità di misura cambia il numero che esprime il valore di una grandezza ( il peso di 1 dm 3 di acqua è 1Kg, il peso di 1 m 3 di acqua è?) ed è il problema considerato che determina se le unità di misura sono corrette e come va interpretato il risultato numerico delle operazioni tra i numeri che sono i valori assunti dalle grandezze in quel caso particolare. Cosa significherà allora dividere due grandezze? Proviamo a rivedere il tutto. Si trova che se un oggetto fatto di ferro ha un certo peso, un oggetto grande il doppio pesa il doppio e così via in proporzione ; lo stesso vale anche per l acqua. Tecnicamente si dice che, a parità di materiale, peso e volume sono direttamente proporzionali. Poiché la familiarità con i numeri e le tabelle può essere bassa (sia nei maestri sia negli allievi) passiamo piuttosto attraverso una rappresentazione grafica. Riportiamo su una retta dei numeri il peso (nell unità di misura scelta per la massa che consideriamo per ora sinonimo di peso; vedi la taratura della molla per l uso di una scala lineare per i pesi) di oggetti vari, determinato con un dinamometro (vedi appunti relativi al peso ed esercitazioni di laboratorio di Complementi di fisica) o una bilancia. Su un altra retta riportiamo il volume di quegli stessi oggetti (nell unità di misura scelta per il volume; vedi la scala su un contenitore graduato) determinato come descritto nel file relativo al volume. Si costruisca quindi un piano cartesiano dove in ascisse si riportino i volumi di pezzi diversi di un certo materiale e in ordinata i pesi corrispondenti. 1 1 Peso e massa sono qui considerati sinonimi, come pure peso specifico e densità

5 Sul grafico ad ogni pezzo/oggetto corrisponderà un punto (una coppia di valori V,P). Se gli oggetti sono fatti dello stesso materiale i diversi punti si troveranno allineati tra loro e con l origine. Se questa è la forma che si ottiene sul grafico si può dire che la relazione tra le due variabili riportate sugli assi è di proporzionalità diretta. Non si tratta allora di dividere il peso per il volume, ma di trovare la costante di proporzionalità tra le due grandezze che è legata percettivamente alla pendenza della semiretta corrispondente al materiale. Il sughero è rappresentato infatti da una semiretta bassa, poco pendente, e il ferro da una più alta, più pendente, l acqua da una di pendenza intermedia. (attenzione a non confondere rappresentazione grafica e proprietà concrete degli oggetti: il tappo di sughero sta a galla, quasi tutto sopra l acqua, e la semiretta corrispondente al sughero con la nostra scelta degli assi sta sotto la semiretta corrispondente all acqua!) Abbiamo trovato una caratteristica (per ora grafica, la pendenza di una semiretta su un grafico) che corrisponde alla grandezza intuitiva della fittezza. Perché vale questa regola a proposito del galleggiamento? ritorniamo a ragionare in termini di oggetti e spinta di Archimede. I materiali rappresentati da semirette che stanno sotto la semiretta dell acqua sono tali che i volumi di qualunque pezzo di questo materiale pesano meno dello stesso volume di acqua. Viceversa per le rette più pendenti. Graficamente potete vederlo cosi. Segnate sul grafico il punto corrispondete all oggetto considerato. che starà sulla semiretta del materiale di cui è fatto. Tracciate la retta parallela all asse dei pesi che parte dall asse delle ascisse in corrispondenza al volume del nostro oggetto. Questa retta incontra prima la semiretta del sughero poi quella dell acqua e poi quella del ferro. Questo indica che i due volumi uguali (siamo sicuri di questo perché abbiamo tracciato la retta a volume costante, parallela all asse del peso) di sughero e acqua pesano uno meno dell altro. La spinta di Archimede è quindi maggiore del peso dell oggetto e qualunque pezzo di sughero immerso in acqua tornerà a galla. Viceversa per il ferro: i due volumi uguali di ferro e acqua pesano uno più dell'altro, la spinta di Archimede è minore del peso dell oggetto e qualunque pezzo di ferro immerso in acqua affonderà. Quindi se l acqua non ce la fa a sostenere un oggetto fatto di un certo materiale perché un uguale volume di acqua pesa meno del pezzo di materiale considerato, lo stesso accadrà anche per un oggetto più grande o più piccolo fatto dello stesso materiale. Si tratta di una affermazione più generale della spinta di Archimede sul singolo oggetto e si riferisce al materiale di cui l oggetto è fatto (per ora consideriamo oggetti fatti tutti di un unico materiale). Questo permette di dire che l olio galleggia sull acqua senza specificare quanto sono le due quantità di acqua e olio (provare con poco di uno e tanto dell altro e viceversa).

6 Quando si dice allora che l olio è più leggero dell acqua si sottintende che vanno confrontati i pesi di due volumi uguali delle due sostanze. Il caso più semplice è quello del confronto tra i pesi di volumi unitari dei vari materiali. NB. Questo corrisponde formalmente a dividere il numero del peso per il numero del volume, poiché se ho un pezzo di materiale che occupa un volume 3 nelle unità di misura scelte dividere il suo peso per 3 equivale a trovare il peso del pezzo di volume 1. Questo calcolo si può fare solo dividendo il peso di un pezzo di materiale per il suo peso e lo stesso risultato danno le divisioni per tutte le coppie peso,volume dei punti che stanno sulla stessa retta. Questo valore viene piccolo per il sughero e più alto per il ferro, possiamo allora immaginare di aver trovato un valore numerico da associare al materiale (NON all oggetto singolo!) come la fittezza. Abbiamo fatto un passo ulteriore rispetto alla rappresentazione grafica. Tecnicamente diciamo che questa operazione di divisione dà il numero del peso specifico a cui vanno affiancate le unità di misura utilizzate per dare significato ai valori numerici delle due grandezze e anche del peso specifico). Per indicare che il calcolo si può fare per una qualsiasi delle coppie della retta si scrive più sinteticamente ps=p/v che va inteso nel senso suddetto, come costante di proporzionalità tra le grandezze peso e volume riferite a uno stesso materiale. Si parla di proporzionalità poiché le coppie di valori corrispondenti delle due grandezze formano una proporzione P1 : P2 = V1 : V2 che lega pesi e volumi di oggetti fatti dello stesso materiale. Da una delle proprietà delle proporzioni si potrebbe dire che P1 / V1 = P2 / V2 ma come dare significato a questa proporzione disomogenea? Se si osservano i triangoli rettangoli simili O P1 V1 e O P2 V2 sotto la retta si vede che queste sono le regole di proporzionalità tra i lati corrispondenti dei due triangoli simili. Attraverso la rappresentazione grafica la relazione geometrica tra lati diventa relazione tra le grandezze rappresentate geometricamente. Nella proporzione se poniamo il volume V2= 1 otteniamo che il peso del volume unitario si trova dividendo il peso P1 di un qualsiasi volume V1 per il numero del volume stesso. Il numero finale dipende dalle unità di misura scelte per le due variabili. Così il peso specifico dell acqua vale 1 se lo misuriamo in Kg/ dm 3, ma vale 1000 se lo misuriamo in Kg/ m 3 ; infatti 1 m 3 pieno di acqua pesa 1000 Kg. Poiché il tutto si applica nei casi in cui sul grafico vengono rette si tratta di problemi di proporzionalità che si possono risolvere con comprensione piena anche solo fermandosi alla rappresentazione grafica se se ne sanno sfruttare le potenzialità: problemi di spesa, di velocità ecc.

7 Per chi ha familiarità con i triangoli simili e le proporzioni, potrà riconoscere che tutti i triangoli sotto una stessa retta sono simili e quindi le coppie di lati corrispondenti saranno in proporzione sia che si tratti di vere lunghezze dei lati del triangolo sia che si tratti di pesi e volumi o di euro e kg, di distanza percorsa e tempo di percorrenza. Completare la preparazione sul galleggiamento leggendo il capitolo del libro di Arca e Guidoni al riguardo. Riprendiamo adesso alcuni dei casi che avevamo escluso all inizio. STARE A GALLA MA NON TORNARE A GALLA Torniamo al caso di oggetti che stanno a galla ma non tornano a galla se vengono immersi nel liquido. Vediamo se anche questa volta è possibile trovare una regola e quale. Ci sono due possibilità, stanno a galla ma immersi affondano: 1. Oggetti fatti di più materiali (come una nave, ma non solo) 2. Oggetti che stanno a galla solo appoggiati sulla superficie in certe posizioni (come un ago di acciaio) Consideriamo il primo caso: la nave Di che materiali è fatta? cosa cambia se la immergiamo completamente in acqua? Dove starebbe nel grafico il punto corrispondente a una barchetta con scafo in ferro appoggiata sulla superficie dell acqua? e se la barchetta è immersa il punto cambia? Si! cambia materiale (l aria se ne va) e quindi comportamento. La regola è sempre la stessa (spinta di Archimede o regola del peso specifico ammesso che si riesca ad estendere l idea di peso specifico a una serie di materiali) o va cambiata e perché? Analogamente accade per plastilina e altri materiali facilmente deformabili che potete variamente sperimentare verificando che il cambiamento di forma provoca anche il cambiamento di materiale! Consideriamo il secondo caso: l ago e la pelle dell acqua Alcuni oggetti, ad esempio un ago da cucito, se appoggiati delicatamente sulla superficie dell acqua riescono a stare a galla pur essendo fatti di un materiale che ha peso specifico maggiore dell acqua. Vedi ad esempio il filmato su una graffetta sull acqua in =75 Fate la prova e osservate attentamente la pelle dell acqua intorno all ago ponendo gli occhi all altezza della superficie libera dell acqua, la vedrete deformarsi sotto il peso dell ago. La pelle dell acqua è elastica e deformandosi riesce ad esercitare una forza (si parla di tensione superficiale e non ha niente a che vedere con la spinta di Archimede) che bilancia il peso dell ago. Se però l ago è messo di punta, la pelle dell acqua si rompe e l ago affonda.