Moto di un proiettile in un uido viscoso

Transcript

1 Moto di un proiettile in un uido viscoso Alberto Ronzani Sommario In questa esperienza si è preso in esame il moto di caduta di alcune sfere d'acciaio immerse in glicerina. E' stata considerata la velocità in funzione del tempo. Si è cercato di spiegare l'esistenza della velocità limite tramite la legge di Stokes, ma ciò ha condotto ad incongruenze con le condizioni sperimentali. Si è quindi stimata una relazione tra forza di attrito e velocità che potesse spiegare i dati sperimentali. L'apparato sperimentale Descrizione Figura 1: L'apparato sperimentale La glicerina è stata versata in un contenitore cilindrico trasparente avente diametro di 1 centimetri no ad un'altezza di 7 centimetri. Una videocamera è stata disposta per riprendere il moto delle sfere campione all'interno del contenitore. L'altezza del contenitore è stata segnata con dei pezzetti di nastro adesivo ad intervalli regolari di 1 centimetri, al ne di fornire un riferimento di scala. I video grezzi sono stati ltrati, riscalati e convertiti al formato ottimale 1

2 per la seguente analisi visiva. I dati sulla posizione della sfera sono stati estratti da ciascun video mediante un apposito software 1. L'incertezza sperimentale Dall'analisi statistica dei dati l'incertezza sulla posizione di un punto in movimento (σ x ) è stata stimata in 1 millimetro. Se consideriamo allora ( t =.4 s) : v m = x f x i t Modalità di misura σ v = 2σ x t =.5 ms 1 Sono state sottoposte ad analisi le seguenti acquisizioni: Tabella 1: Acquisizioni diametro peso Sfera cm 95 g Sfera cm 8 g Sfera cm 45 g Sfera 4 1. cm 4 g Sfera 5.79 cm 2 g La glicerina utilizzata ha un grado di purezza del 99%, la sua temperatura durante l'esperimento è stata di 22 gradi centigradi. Si è invece deciso di scartare un'altra serie di acquisizioni, eettuata dopo aver rareddato la glicerina mediante azoto liquido. Il processo di rareddamento ha comportato la formazione di numerose bollicine di gas nel liquido, pregiudicandone in maniera decisiva la trasparenza. In aggiunta a ciò, il raffreddamento non è stato omogeneo, e, sebbene si fosse provveduto a monitorare la temperatura del liquido mediante quattro termometri, non è stato possibile trovare una forma matematica adatta ad esprimere tale situazione sperimentale. 1 E' stato utilizzato Videopoint 2

3 Analisi dei dati Considerazioni preliminari La sfera in moto nella glicerina subisce l'azione di tre forze: la sua forza peso, la spinta di Archimede e la risultante delle forze di attrito. Il nostro problema è unidimensionale: M dv dt = (M sfera M gly )g F v Sapendo che la densità della glicerina è circa 1.5 kg dm 3, possiamo ricavare i valori di M eff = M sfera M gly = M sfera πr3 Tabella 2: Massa ecace M M eff Sfera g 94.9 g Sfera 2 8. g 79.9 g Sfera g 44.9 g Sfera 4 4. g 4. g Sfera 5 2. g 2. g La legge di Stokes Ricordando la legge di Stokes, si supponga che la forza di attrito sia proporzionale alla velocità della sfera. F v = 6πrηv.1 Sfera 1 Fit esponenziale vel vs. t Esponenziale vel (m/s) sec Figura 2: Sfera 1 - Fit esponenziale 3

4 E' possibile considerare la velocità della sfera in funzione del tempo e ttare i dati secondo il ben noto modello esponenziale: ( v(t) = v lim exp 6πrη ) t M eff Dal modello generico f(x) = a exp( bx) sono stati ricavati i seguenti coecienti: Tabella 3: Coecienti ricavati dai t a σ a b σ b Sfera Sfera Sfera Sfera Sfera Il coeciente di viscosità E' ora possibile risalire al coeciente di viscosità η. a = v lim = M eff g 6πrη η 1 = M eff g 6πra Oppure, si ha che b = 6πrη M eff η 2 = bm eff 6πr I valori di η sono stati ricavati in entrambi i modi: Tabella 4: Il coeciente di viscosità (kg m 1 s 1 ) η 1 σ η1 η 2 σ η2 Sfera Sfera Sfera Sfera Sfera Si vede facilmente che i valori di η elencati in tabella non sono compatibili tra di loro. 4

5 Per ulteriore conferma sono stati gracati i valori ottenuti, unitamente alle stime di incertezza. 2.5 Coefficiente di viscosità glicerina a temperatura ambiente Stima tramite coefficiente b Stima tramite coefficiente a kg m 1 s numero sfera Figura 3: Confronto graco per η Le nuove velocità limite Si è visto come il modello derivato dalla legge di Stokes non sia adatto a descrivere i dati sperimentali. La velocità limite raggiunta non è proporzionale alla forza peso che agisce sulla sfera. I valori della velocità limite sono stati ricavati mediante t di un modello che si è rivelato inadatto alle condizioni sperimentali. E' stato quindi ritenuto necessario ripetere la ricerca di tali valori con altri metodi. In particolare, si è scelto di assumere come valore per la velocità limite la media delle ultime 1 stime di velocità su ogni insieme di dati. Tabella 5: Nuova stima delle velocità limite v lim σ vlim Sfera Sfera Sfera Sfera Sfera

6 Il modello E' legittimo ipotizzare che la velocità limite sia proporzionale alla massa della sfera elevata ad un certo esponente. Le le velocità sono state riportate in graco e sono state ttate contro il seguente modello matematico: v(m) = am n E' risultato che i migliori valori dei parametri sono a = 2.3 e n = vel(m)= a * m n a=2.3 n= Velocità limite m/s Massa effettiva kg Figura 4: La dipendenza della velocità limite dalla massa ecace In altre parole la forza di attrito è proporzionale alla velocità della sfera elevata a k = n 1 = 2.5. Conclusioni Secondo i dati raccolti in questa esperienza, è risultato che: Assumendo per valida la legge di Stokes, si puo' risalire al coeciente di viscosità della glicerina; tutti i coecienti ricavati hanno lo stesso ordine di grandezza di quello atteso dalla tabella 2 di riferimento; dai dati raccolti è risultato che la forza di attrito esercitata dalla glicerina sulla sfera è proporzionale alla velocità di quest'ultima elevata a k =

7 A Graci.1 Sfera 1 Fit esponenziale vel vs. t Esponenziale vel (m/s) sec.1 Sfera 2 Fit esponenziale vel vs. t Esponenziale vel (m/s) sec Figura 5: Fit esponenziale - Sfera 1 e 2 7

8 .1 Sfera 3 Fit esponenziale vel vs. t Esponenziale.1.2 vel (m/s) sec Sfera 4 Fit esponenziale.1 vel vs. t Esponenziale vel (m/s) sec Figura 6: Fit esponenziale - Sfera 3 e 4 8

9 Sfera 5 Fit esponenziale vel vs. t Esponenziale.5.1 vel (m/s) sec Figura 7: Fit esponenziale - Sfera Coefficiente di viscosità glicerina a temperatura ambiente Stima tramite coefficiente b Stima tramite coefficiente a kg m 1 s numero sfera Figura 8: Confronto graco per η 9

10 1.9 vel(m)= a * m n a=2.3 n= Velocità limite m/s Massa effettiva kg Figura 9: La dipendenza della velocità limite dalla massa ecace 1

11 Indice L'apparato sperimentale 1 Descrizione L'incertezza sperimentale Modalità di misura Analisi dei dati 3 Considerazioni preliminari La legge di Stokes Il coeciente di viscosità Le velocità limite Il modello Conclusioni A Graci 7 11

12 Elenco delle tabelle 1 Acquisizioni Massa ecace Coecienti ricavati dai t Il coeciente di viscosità (kg m 1 s 1 ) Nuova stima delle velocità limite Elenco delle gure 1 L'apparato sperimentale Sfera 1 - Fit esponenziale Confronto graco per η La dipendenza della velocità limite dalla massa ecace Fit esponenziale - Sfera 1 e Fit esponenziale - Sfera 3 e Fit esponenziale - Sfera Confronto graco per η La dipendenza della velocità limite dalla massa ecace