ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2011

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il candidato risolva uno di du problmi 5 di qusiti in cui si articola il qustionario. PROBLEMA Sia f la funzion dfinita sull insim R di numri rali da f () ln 4 sia la sua rapprsntazion grafica nl sistma di rifrimnto Oy.. Si dtrmini il limit di f () pr ch tnd a a. Si calcoli f () f ( ) si spighi prché dal risultato si può ddurr ch il punto A(; ln 4) è cntro di simmtria di.. Si provi ch, pr tutti i rali m, l quazion f () m ammtt una una sola soluzion in R. Sia la soluzion dll quazion f () ; pr qual valor di m il numro è soluzion dll quazion f () m?. Si provi ch, pr tutti gli rali, è: f () ln 4. Si provi altrsì ch la rtta r di quazion y ln 4 la rtta s di quazion y ln 4 sono asintoti di ch è intramnt compr- sa nlla striscia piana dlimitata da r da s. 4. Posto I () [f () ln 4]d, si calcoli: lim I (). Qual è il significato gomtrico dl risultato ottnuto? PROBLEMA Pr il progtto di una piscina, un archittto si ispira all funzioni f g dfinit, pr tutti gli rali, da: f () 6 g () sn.. Si studino l funzioni f g s n disgnino i rispttivi grafici in un convnint sistma di rifrimnto cartsiano Oy. Si considrino i punti dl grafico di g a tangnt orizzontal la cui ascissa è comprsa nll intrvallo [ ; ] s n indichino l coordinat.. L archittto rapprsnta la suprfici libra dll acqua nlla piscina con la rgion R dlimitata dai grafici di f di g sull intrvallo [; 4]. Si calcoli l ara di R.. Ai bordi dlla piscina, ni punti di intrszion dl contorno di R con l rtt y 5 y 5, l archittto progtta di collocar di fari pr illuminar la suprfici dll acqua. Si calcolino l asciss di tali punti (è sufficint un approssimazion a mno di ). 4. In ogni punto di R a distanza dall ass y, la misura dlla profondità dll acqua nlla piscina è data da h() 5. Qual sarà il volum d acqua nlla piscina? Quanti litri d acqua saranno ncssari pr rimpir la piscina s tutt l misur sono sprss in mtri? QUESTIONARIO Silvia, ch ha frquntato un indirizzo sprimntal di lico scintifico, sta dicndo a una sua amica ch la gomtria uclida non è più vra prché pr dscrivr la raltà dl mondo ch ci circonda occorrono modlli di gomtria non uclida. Silvia ha ragion? Si motivi la risposta. Si trovi il punto dlla curva y più vicino al punto di coordinat (4; ). Zanichlli Editor,

2 Sia R la rgion dlimitata, pr [; ], dalla curva y sn dall ass sia W il solido ottnuto dalla rotazion di R attorno all ass y. Si calcoli il volum di W. Il numro dll combinazioni di n oggtti a 4 a 4 è ugual al numro dll combinazioni dgli stssi oggtti a a. Si trovi n. In una dll su opr G. Galili fa porr da Salviati, uno di prsonaggi, la sgunt qustion riguardant l insim N di numri naturali («i numri tutti»). Dic Salviati: «...s io dirò, i numri tutti, comprndndo i quadrati i non quadrati, ssr più ch i quadrati soli, dirò proposizion vrissima: non è così?». Com si può rispondr all intrrogativo posto con quali argomntazioni? Di tutti i coni inscritti in una sfra di raggio cm, qual è qullo di suprfici latral massima? Un tst d sam consta di dici domand, pr ciascuna dll quali si dv scglir l unica risposta corrtta fra quattro altrnativ. Qual è la probabilità ch, rispondndo a caso all dici domand, almno du rispost risultino corrtt? In ch cosa consist il problma dlla quadratura dl crchio? Prché è citato così spsso? Si provi ch, nllo spazio ordinario a tr dimnsioni, il luogo gomtrico di punti quidistanti dai tr vrtici di un triangolo rttangolo è la rtta prpndicolar al piano dl triangolo passant pr il punto mdio dll ipotnusa. Nlla figura sotto, dnotati con I, II III, sono disgnati tr grafici. Uno di ssi è il grafico di una funzion f, un altro lo è dlla funzion drivata f l altro ancora di f. Qual dll sgunti altrnativ idntifica corrttamnt ciascuno di tr grafici? Si motivi la risposta. f f f A I II III B I III II C II III I D III II I E III I II Figura. Durata massima dlla prova: 6 or. È consntito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consntito lasciar l Istituto prima ch siano trascors or dalla dttatura dl tma. Zanichlli Editor,

3 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO SPERIMENTALE P.N.I. PROBLEMA. La funzion f () ln 4 di grafico ha dominio R. Dtrminiamo i limiti agli strmi dl dominio: lim ln 4, lim ln 4. Calcoliamo f () f ( ): f () f ( ) ln 4 ln 4 ln 4 (ln 4 ). Dal risultato si dduc ch: f () f ( ) ln 4 ( ). Prtanto il punto (ln 4 ; ) è mdio tra i du punti (; f ()) ( ; f ( )) appartnnti al grafico, con R. Sgu allora ch il punto A(ln 4 ; ) è cntro di simmtria pr il grafico pr dfinizion di simmtria cntral di una curva risptto a un punto. Il punto A è il punto intrszion con l ass y.. Data l quazion f () m, considriamo la funzion g() f () m, con m ral. La funzion g è continua in R; agli strmi dl suo dominio i limiti valgono: lim ln 4 m, lim ln 4 m. Prtanto, fissato m, sistrà un intrvallo limitato chiuso ai cui strmi la funzion assum sgno opposto. Allora val il torma di sistnza dgli zri: sist almno un punto in tal intrvallo in cui la funzion g() f () m si annulla quindi f () m. Inoltr la funzion è drivabil in R pr qualsiasi valor di m risulta: g () ( ). ( ) S n dduc ch la funzion è strttamnt crscnt in R; pr il primo torma di unicità dllo zro, pr tutti i rali m, la funzion g() f () m ammtt uno un solo zro in R quindi l quazion f () m ammtt una una sola radic in R. S è la soluzion dll quazion f (), pr sostituzion risulta: f (). Inoltr, pr quanto visto al punto dl problma, val: f () f () (ln 4 ) f () (ln 4 ) f () (ln 4 ) ln4. Si dduc allora ch è soluzion di f () m quando m ln4. Zanichlli Editor,

4 . Dalla rlazion dl punto, f () f ( ) (ln 4 ), splicitiamo f () sostituiamo l sprssion corrispondnt a f ( ): f () (ln 4 ) f ( ) (ln 4 ) ln 4 ln4ln 4 ln 4. Pr tutti gli rali val allora: f () ln 4. Dtrminiamo ora gli vntuali asintoti obliqui dlla funzion f sprssa nlla forma appna trovata f () ln 4 ; calcoliamo i sgunti limiti: lim f (), lim f ( ln 4 ) lim, lim (f () ) ln 4; lim f (), lim f ( ln 4 ) lim, lim (f () ) ln 4. La funzion ha asintoto obliquo dstro r di quazion yln4, asintoto obliquo sinistro s di quazion y ln 4. Rapprsntiamo nlla figura il grafico dlla funzion. Confrontiamo ora l quazion di f scritta nlla forma f () ln 4, con l quazion dlla rtta r, y r ln 4, risulta: ln 4 ln 4, R f () y r. Analogamnt raffrontiamo l quazion di f scritta nlla forma Figura. f () ln 4, con l quazion dlla rtta s, y s ln 4, si ricava: ln 4 ln 4, R f () y s. In conclusion il grafico è intramnt comprso nlla striscia piana dlimitata da r da s. 4. Considriamo l intgral I () [f () ln 4]d, con, sostitundo l sprssion dlla funzion f () ln 4 : I () ln 4 ln 4 d d. Calcoliamo il limit dll intgral: lim I () lim d 4 Zanichlli Editor,

5 poniamo t, da cui d t d: t lim dt t (t ) poiché t (t ) t, risulta: t lim t t dt lim [ln t ln(t )] lim ln t t lim ln ln lnln 4. Il limit lim I (), con I () [ f() ln 4]d, rapprsnta l ara dlla rgion di piano comprsa tra l ass y, il grafico la rtta r (figura ). Tal suprfici misura quindi ln 4. y ln4+ A Γ PROBLEMA. Studiamo la funzion f() 6: ha dominio nl campo ral; f ( ) 6 f(), prtanto il corrispondnt grafico è simmtrico risptto all origin dl sistma cartsiano; l intrszioni con gli assi sono (; ), (4; ), ( 4; ). Valutiamo il sgno dlla funzion ponndo ( 6) :, Figura Dal quadro dl sgno (figura 4) si dduc: f() pr 4 4, f() pr 4 4. r O Figura. ln4 Valutiamo il comportamnto dlla funzion agli strmi dl dominio: non sistono asintoti vrticali poiché la funzion non ha punti di discontinuità; inoltr risulta: lim ( 6), lim 6, prtanto la funzion non ha asintoti orizzontali, né obliqui. Studiamo la drivata prima il suo sgno: f () 6, f () 6 4 4, f () 6 4 4, 5 Zanichlli Editor,

6 f () Figura 5. Dal quadro dl sgno dlla drivata prima (figura 5) si ricava ch la funzion ha un massimo pr 4 un minimo pr 4. L corrispondnti ordinat valgono: f , f , 9 gli strmi rlativi dlla funzion sono quindi: M 4 ; 8 9, M 4, 8 9. Calcoliamo infin la drivata sconda: f () 6. Essa si annulla pr, è positiva pr, ngativa pr : la funzion ha un flsso pr, ha concavità vrso l alto pr, vrso il basso pr. Nlla figura 6 è riportato il grafico di f() 6. Considriamo la funzion g() sn : il suo grafico si ottin dalla funzion y sn tramit una contrazion orizzontal ; poiché il priodo dlla funzion y sn è, il priodo di g() sn è T 4. Rapprsntiamo in figura 7 il suo grafico. Figura 7. Figura 6. 6 Zanichlli Editor,

7 Ricaviamo ora i punti dl grafico di g a tangnt orizzontal nll intrvallo [ ; ], dducndoli dal grafico di figura 7 tnndo conto dlla priodicità T 4 dlla funzion: k k con 5 k 4, k Z. y k ( ) k. Rapprsntiamo nllo stsso sistma cartsiano i grafici dll funzioni f g indichiamo con R la rgion dlimitata nll intrvallo [; 4] (figura 8). Calcoliamo la suprfici S dlla rgion R mdiant l intgral: S 4 [g() f()]d Figura 8. 4 sn 6 d cos Tracciamo l rtt y 5 y 5 ch intrscano il contorno dlla rgion R ni punti P, Q, S, T (figura 9). Figura 9. 7 Zanichlli Editor,

8 Dtrminiamo l asciss di punti P Q, risolvndo il sgunt sistma pr 4: y ( )( 5) y 5 ( ) 6 6 y 5 non accttabil y 5 y 5 y 5 Prtanto risulta: P, Q 6. L asciss di punti S T, con 4 soddisfano il sistma: y 6 y 5 y y 5 y 5 6 L quazion 6 5 non ha soluzioni razionali, prtanto procdiamo con l analisi numrica scondo un approssimazion a mno di, dducndo dal grafico ch sistono du radici T S. Posto p() 6 5, ossrviamo ch p() 5 p(), sgu ch T ; applichiamo il mtodo di biszion, partndo dai valori a b. a p(a) b p(b) a b p a b 5,5,875 5,5,875,5,6,5,6,5,875,75,947,5,6,75,947,5, Si trova quindi ch T, a mno di. Ricrchiamo ora il valor approssimato di S, ossrvando ch p() 6 p(4) 5, sgu ch S 4; riapplichiamo il mtodo di biszion, partndo dai valori a b 4. a p(a) b p(b) a b p a b 6 4 5,5 8,5,5 8,5 4 5,75,66,75,66 4 5,875,86,75,66,875,86,8,57 Dalla tablla ricaviamo così ch un valor approssimato dlla radic è S,8 con un rror minor di,. 8 Zanichlli Editor,

9 4. Calcoliamo il volum dlla piscina szionando il solido con piani, 4 prpndicolari alla suprfici dll acqua (figura ). Figura. Pr ogni piano si ottin un rttangolo di altzza h( ) 5 bas g( ) f ( ); l ara di tal rttangolo val: (g( ) f ( )) h( ) sn 6 (5 ). Il volum V dlla vasca può ssr così calcolato mdiant l intgral: V 4 sn 6 (5 )d 5 cos sn d 4 sn d 4 [ + 6 ](5 )d sn d 4 ( )d 5( ) 4 sn d svolgiamo pr parti l intgral contnuto ancora nll sprssion: 4 5 cos d cos sn In unità di misura, tnndo conto ch dm quival a L: V m L 6,5 L. QUESTIONARIO A partir dal XVIII scolo, molti filosofi matmatici si ddicarono a un analisi critica dlla gomtria uclida aprndo un dibattito sulla validità dl V postulato sulla possibilità di dimostrarlo in bas agli altri quattro. Tal discussion portò nll arco di un scolo alla costruzion dll gomtri non uclid, cioè di gomtri basat su un sistma assiomatico divrso da qullo di Euclid. Nlla prima mtà dl XIX scolo i matmatici Bolyai Lobačvskij posro l basi dlla gomtria non uclida dtta iprbolica, sostitundo il V postulato con la sua ngazion (pr un punto passano almno du rtt paralll a una rtta data). In particolar, Lobačvskij attribuiva alla gomtria i carattri di una scinza mpirica, in cui l sprinza gioca un ruolo important pr dfinir l ffttiv proprità dllo spazio. I suoi calcoli astronomici rlativi al triangolo Trra-Sol-Sirio lo portarono a pnsar ch, bnché il modllo uclido risultass soddisfacnt nlla rapprsntazion dlla raltà fisica di nostri snsi, sso potss divntar inadguato falso pr dscrivr il mondo fisico nlla sua globalità. 9 Zanichlli Editor,

10 Oltr alla gomtria iprbolica furono costruit altr gomtri non uclid, dotat di cornza compltzza, dtt gomtria sfrica gomtria llittica. Ciò portò i fisici a rivdr lo spazio fisico, fino ad allora intrprtato scondo il modllo uclido. La rlatività gnral di Einstin stabiliva l sistnza di un rapporto tra spazio matria molto divrso da qullo dlla toria nwtoniana: la prsnza di matria può dformar lo spazio; lo spazio può ssr globalmnt curvo dv prsntar curvatur a livllo local. Mntr l ossrvazioni più rcnti (sprimnto Boomrang dl ) smbrano dimostrar ch lo spazio ha una struttura globalmnt uclida, l ossrvazioni di un cliss di Sol la curvatura di raggi luminosi ha confrmato nl 99 l sistnza dll dformazioni locali instinian. In conclusion non è satto dir ch la gomtria uclida non è più vra o ch un modllo è più satto di altri: sistono solo modlli ch mglio rapprsntano l situazioni locali. Vdi lo svolgimnto dl qusito dlla prova dl corso di ordinamnto. In figura è rapprsntato il solido W ottnuto dalla rotazion intorno all ass y dlla rgion dlimitata dalla curva y sn dall ass, pr [; ]. W Figura. Considriamo il cilindro di raggio,, altzza sn. Esso ha suprfici latral S( ) = sn. Il volum dl solido W può ssr calcolato tramit il sgunt intgral risolto pr parti: V S()d sn d cos cos d (). 4 5 Vdi lo svolgimnto dl qusito 4 dlla prova dl corso di ordinamnto. Considriamo l insim di numri naturali N; sia A l insim di quadrati di numri naturali: A = {q N q n, n N}. L insim A è un sottoinsim proprio di N ovvro A N, i du insimi sono ordinati pr inclusion ma sono infiniti. Ugualmnt si può dfinir una corrispondnza biunivoca tra N A: n n, ovvro a un numro natural corrispond uno un solo numro, suo quadrato. L insim di partnza N qullo di arrivo A sono ordinati pr cardinalità. Prtanto affrmar ch i numri naturali sono in numro maggior ch i corrispondnti quadrati è falso. Zanichlli Editor,

11 6 Considriamo una sfra di raggio OR cm un cono a sso inscritto (figura ). S Il sgmnto RS è un diamtro dlla sfra misura cm. Pr smplicità tralasciamo, pr il momnto, l unità di misura. Indichiamo con l angolo PRˆS, dov. Pr i tormi trigonomtrici di triangoli rttangoli risulta: PR RS cos cos, PH PR sn sn cos. Calcoliamo la suprfici latral S() dl cono inscritto: S() PH PR, sostituiamo: S() ( sn cos cos ) 4 cos sn 4(sn sn ),. Calcoliamo la drivata prima S () studiamon il sgno nll intrvallo, tnndo conto ch in tal intrvallo il sno il cosno sono positivi comprsi tra : S () 4(cos cos sn ) 4 cos ( sn ), S () pr arcsn, S () pr arcsn, S () pr arcsn. Prtanto la funzion S() è dotata di massimo assoluto nl punto arcsn. Il cono di suprfici latral massima ha apotma, raggio di bas altzza rispttivamnt: PR cos arcsn PH 4 6 cm, RH PR PH Figura. 6 cm, 4 cm. Zanichlli Editor,

12 7 Considriamo gli vnti: E nssuna risposta satta, E una sola risposta è satta, E almno du rispost sono satt. Dtrminiamo l sgunti probabilità: p(e ) 9 4, p(e ) L vnto E risulta l vnto contrario dlla somma logica dgli vnti incompatibili E E, prtanto la probabilità val: p(e ) p(e E ) (p(e ) + p(e )) , Vdi lo svolgimnto dl qusito 8 dlla prova dl corso di ordinamnto. Vdi lo svolgimnto dl qusito 9 dlla prova dl corso di ordinamnto. Vdi lo svolgimnto dl qusito dlla prova dl corso di ordinamnto. Zanichlli Editor,