Potenze reali ad esponente reale

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1 Poteze reli d esoete rele Leged: N è l'isieme dei umeri turli (0, 1, 2, 3,...) N 0 è l'isieme dei umeri turli d esclusioe dello zero (1, 2, 3,...) Z è l'isieme dei umeri iteri (..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...) L'isieme dei umeri iteri uò essere defiito rtire d u relzioe d'equivlez fr coie di umeri turli: ((x,y) è equivlete (x',y')) (x y = x' y') I ltre role, u umero itero è costituito dlle ifiite coie di umeri turli l cui differez è costte, d esemio: (7,2), (10,5), (18,13),... che rreseto il umero itero +5, o ivece: (3,6), (11,14), (0,3),... che rreseto ivece il umero itero 3. Z 0 è l'isieme dei umeri iteri d esclusioe dello zero (..., 3, 2, 1, 1, 2, 3,...) Z 0 Z 0 è l'isieme dei umeri iteri strettmete ositivi (+1, +2, +3,...) è l'isieme dei umeri iteri strettmete egtivi ( 1, 2, 3,...) Q è l'isieme dei umero rzioli (± m co 0, m N, N 0 ) L'isieme dei umeri rzioli uò essere defiito rtire d u relzioe d'equivlez fr coie di umeri iteri: ((x,y) è equivlete (x',y')) (x/y = x'/y'), co y 0 e y' 0 I ltre role, u umero rziole è costituito dlle ifiite coie di umeri iteri il cui rorto è costte, d esemio: (15,12), (35,28), (10,8),... che rreseto il umero rziole +5/4, o ivece: ( 6,10), (8, 20), ( 10,25),... che rreseto ivece il umero rziole 2/5. Q 0 è l'isieme dei umero rzioli d esclusioe dello zero ( ± m co 0, m e N 0 ) Q 0 è l'isieme dei umero rzioli strettmete ositivi (+ m co 0, m e N 0 ) Q 0 è l'isieme dei umero rzioli strettmete egtivi ( R è l'isieme dei umeri reli R 0 è l'isieme dei umeri reli 0 R 0 R 0 è l'isieme dei umeri reli strettmete ositivi è l'isieme dei umeri reli strettmete egtivi m co 0, m e N 0 ) 1 Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti

2 Poteze co esoete turle: N y=, R e y R Si chim otez di bse '' rele ( R ) d esoete turle ( fttori tutti uguli d ''. N ), il rodotto di Dll defiizioe di otez rele d esoete turle, si deducoo fcilmete le segueti rorietà fodmetli: m =...[ volte]...[m volte]=...[m volte]= m =...[ volte]...[ volte] =0 =1 volte] =...[ m...[m volte] oure: che uò ortre :...[ volte se = m0,cioè se m]= 1...[q volte se q=m 0,cioè se m] = 1 q = q che soo sitetizzbili elle be ote relzioi: x y = xy x y = x y x b x = b x y = x y x b x = b x x Se, i rticolre, l'esoete è ullo, si oe 0 =1 R. Iftti: m m =0 =1 visto che si il umertore ( m ) che il deomitore ( m ) corrisodoo llo stesso rodotto di m fttori uguli. L fuzioe è vlori discreti, defiit er tutti gli N e er ogi vlore rele di R. Se =1, =1 N. Se =0, =0 N 0, 0 0 o h sigificto. Di seguito esemi di oteze di umeri reli d esoete turle: 2 Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti

3 Esoete (-3)^ (-2)^ (-0,5)^ (0,5)^ 2^ 3^ 0 1,00 1,00 1,0000 1,0000 1,00 1,00 1-3,00-2,00-0,5000 0,5000 2,00 3,00 2 9,00 4,00 0,2500 0,2500 4,00 9, ,00-8,00-0,1250 0,1250 8,00 27, ,00 16,00 0,0625 0, ,00 81, ,00-32,00-0,0313 0, ,00 243, ,00 64,00 0,0156 0, ,00 729, ,00-128,00-0,0078 0, , , ,00 256,00 0,0039 0, , , ,00-512,00-0,0020 0, , , , ,00 0,0010 0, , , , ,00-0,0005 0, , , , ,00 0,0002 0, , , , ,00-0,0001 0, , , , ,00 0,0001 0, , , , ,00-0,0000 0, , , , ,00 0,0000 0, , , , ,00-0,0000 0, , , , ,00 0,0000 0, , , , ,00-0,0000 0, , , , ,00 0,0000 0, , ,00 Poteze co esoete itero ositivo: z Z 0 y= z, R, y R Si chim otez di bse '' rele ( R ) d esoete itero ositivo z ( di z fttori tutti uguli d ''. L fuzioe è vlori discreti, defiit er tutti gli e z Z 0 Vlgoo le stesse cosiderzioi recedeti er = 1 e er = 0. L tbelli dei vlori è ugule ll recedete. Poteze co esoete itero egtivo: z Z 0 y= z, R, y R Si chim otez di bse '' rele ( R ) d esoete itero egtivo z ( z Z 0 ), il rodotto er ogi vlore rele di R. z Z 0 ), l'iverso dell otez co l stess bse e lo stesso esoete. I ltri termii, z = 1, co z0 e quidi z0 er le rorietà delle oteze sor ricordte. z L fuzioe è vlori discreti, defiit er tutti gli z Z 0 Vlgoo le stesse cosiderzioi recedeti er = 1. Di seguito esemi di oteze di umeri reli d esoete itero egtivo: e er ogi vlore rele di R. Es. (-3)^ (-2)^ (-0,5)^ (0,5)^ 2^ 3^ 0 1,0000 1,0000 1,00 1,00 1,0000 1, ,3333-0,5000-2,00 2,00 0,5000 0, ,1111 0,2500 4,00 4,00 0,2500 0, ,0370-0,1250-8,00 8,00 0,1250 0, ,0123 0, ,00 16,00 0,0625 0, ,0041-0, ,00 32,00 0,0313 0, ,0014 0, ,00 64,00 0,0156 0, ,0005-0, ,00 128,00 0,0078 0, ,0002 0, ,00 256,00 0,0039 0, ,0001-0, ,00 512,00 0,0020 0, ,0000 0, , ,00 0,0010 0, ,0000-0, , ,00 0,0005 0, ,0000 0, , ,00 0,0002 0, ,0000-0, , ,00 0,0001 0, ,0000 0, , ,00 0,0001 0, ,0000-0, , ,00 0,0000 0, ,0000 0, , ,00 0,0000 0, ,0000-0, , ,00 0,0000 0, ,0000 0, , ,00 0,0000 0, ,0000-0, , ,00 0,0000 0, ,0000 0, , ,00 0,0000 0, Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti

4 Come si uò otre, qudo l bse è Rele egtiv, l otez, così come defiit, ssume vlori di sego ltero e quidi re oortuo stbilire che l bse delle oteze co esoete itero, e quidi mggior rgioe er quelle co esoete rziole o rele, si semre ositiv. Poteze co esoete rziole ositivo: q Q y= q, R, y R, N,q N 0 Si chim otez di bse '' ( R ) ed esoete rziole ositivo ( che h er idice q e er rdicdo I ltri termii: q = q q Q ) quel rdicle Se = 1, q =1 q Q, N,q N 0 Se = 0, q =0 q Q, N,q N 0, 0 0 o h sigificto. L fuzioe o è iù vlori discreti i quto, dto u vlore qulsisi, o è ossibile idividure il successivo, m il suo codomiio è deso oiché tr due vlori qulsisi y 1 e y 2 tr loro distiti (y 1 < y 2 ), esistoo ifiiti ltri vlori mggiori di y 1 e miori di y 2. e q soo umeri turli; q è diverso d 0; se q = 1 q = Visto che il rorto /q è u umero rziole, i due umeri turli soo tr loro commesurbili, esiste cioè u umero m turle tle che: =r 1 m e q=r 2 m q = r 1 come, d esemio: 3 4 = = 3 9 co m=75 co m=3 r 2 Notimo che dll'equivlez q = q si deduce che l rdice q esim di elevto ll è quel umero rele r tle che r q = e quidi er i cosiddeti 'rdicli' vlgoo le cosuete rorietà eucite er le oteze co esoete turle. Nel rgrfo dedicto i rdicli, srà sviluto u metodo ltertivo er il loro clcolo, bsto uto sulle rorietà delle oteze così come già eucite sor. 4 Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti

5 Poteze co esoete rziole egtivo: q Q q y=, R, y R, N 0,q N 0 Si chim otez di bse '' ( R ) ed esoete rziole egtivo ( q Q ) l'iverso dell otez ell stess bse e co lo stesso esoete, cioè l'iverso del rdicle che h er idice q e er rdicdo q I ltri termii: = 1, R, q q Q, N 0, q N 0 Se = 1, q =1 q Q, N 0,q N 0 Se = 0, q =0, q Q, N 0,q N o h sigificto. L fuzioe o è iù vlori discreti i quto, dto u vlore qulsisi, o è ossibile idividure il successivo, m il suo codomiio è deso oiché tr due vlori qulsisi y 1 e y 2 tr loro distiti (y 1 < y 2 ), esistoo ifiiti ltri vlori mggiori di y 1 e miori di y 2. e q soo umeri turli; q è diverso d 0; se q = 1 eucite er le oteze co esoete turle. q = e quidi vlgoo le rorietà Potez co esoete rele (o esoezile i bse ): x R y= x, R, y R che si uò che scrivere : x R y=ex x, R, y R L'estesioe lle oteze co esoete irrziole (e quidi quelle co esoete rele) oe u roblem i quto il umero irrziole (co ifiite cifre decimli o eriodiche) è idividuto d due clssi cotigue di umeri rzioli, crtterizzte dll rorietà che ogi umero dell rim clsse è miore di ciscuo dei umeri dell secod clsse e che, comuque iccolo si fissi u umero, esistoo semre due umeri rteeti lle due clssi tli che l loro differez si i modulo miore di. I ltre role, le due clssi di umeri rossimo quto si vuole il umero irrziole co vlori er eccesso e er difetto ed idividuo i tl modo, i mier uivoc, il umero irrziole stesso come elemeto sertore delle due clssi. Utilizzdo quest rorietà è ossibile defiire due clssi cotigue di oteze co esoeti rzioli idividuti di umeri delle due clssi che ho come elemeto sertore l'esoete rele. Così l otez 3 2 srà idividut dlle due clssi cotigue: ,4 3 1,41 3 1, , ,5 3 1,42 3 1, , che godoo delle due rorietà sor ricordte e che quidi idividuo come loro elemeto di 5 Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti

6 serzioe uico l otez 3 2 Si chim otez di bse '' ( R ) ed esoete rele x ( y= x, R, y R ) quel umero rele coicidete co l'elemeto sertore delle due clssi cotigue di umeri reli che si ottegoo elevdo l bse i vlori rossimti risettivmete er eccesso e er difetto che idividuo l'esoete rele x. Qudo x N, y = x è u otez rele d esoete turle; Qudo x Q, y = x è u otez rele d esoete rziole; Qudo = 0, y = x è l fuzioe costte y=0. Qudo = 1, y = x è l fuzioe costte y=1. E' u fuzioe cotiu (cioè o discret come ccdev er esoeti turli o iteri, oiché x R + ) defiit er tutti i vlori reli di x e er ogi vlore rele ositivo dell bse ( R ). Per l fuzioe y = x esoete turle. vlgoo le cosuete rorietà già ricordte ll'iizio er le oteze d Possimo rresetre l fuzioe esoezile y = x ei due csi distiti che, semre ositivo, si mggiore di 1 oure comreso tr 0 ed 1: Grfico di y = x co > 1 Grfico di y = x co 0 < < 1 Per = 1, l fuzioe y = x ssume ovvimete semre il vlore 1. Le rorietà dell fuzioe esoezile e dell su ivers (fuzioe logritmo) soo descritte ell sezioe d esse dedict (Fuzioi esoezili e logritmiche). 6 Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti

7 Il clcolo dei rdicli E' questo cor u rgometo del rogrmm di mtemtic che comort u disedio di temo otevole, ur o cosiderdo l'uso di clcoltrici scietifiche e di comuter che lo redoo oggi del tutto iutile. Bsdosi erò sulle rorietà delle oteze già ricordte, tutte le struse comliczioi del clcolo si ossoo suerre fcilmete, sez utilizzre regole ggiutive quelle già ote. Semlificzioe di u rdicle: L semlificzioe di u rdicle si ottiee dividedo si l'idice che l'esoete del rdicdo er u evetule fttore comue (se o esiste il ftore comue, il rdicle viee detto irriducibile): k k = m, co oteze d esoete frziorio: k k k = come immedit coseguez delle rorietà delle frzioi, licte ll'esoete. Moltiliczioe di due rdicli co lo stesso idice: Il rodotto di due rdicli co lo stesso idice è u rdicle (co lo stesso idice) che h er rdicdo il rodotto dei due rdicdi: b= b m, co oteze d esoete frziorio : 1 b 1 1 =b come immedit coseguez delle rorietà delle oteze co lo stesso esoete. L cos si comlic qudo gli idici o soo uguli erchè bisog trsformre i due rdicli dti i equivleti co lo stesso idice; i questi csi l regol è molto iù comless e o l euceremo, ricorddo ivece che, co le oteze d esoete frziorio, si trtt semlicemete di eseguire l somm delle due frzioi 1/ e 1/ che esrimoo i due esoeti: se ho lo stesso rdicdo: = co ed rimi tr loro m, co oteze d esoete frziorio : 1 1 = se ho rdicdi diversi: b= b co ed rimi tr loro m, co oteze d esoete frziorio : 1 b 1 = b = b 1 7 Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti

8 Divisioe di due rdicli co lo stesso idice: Il rorto di due rdicli co lo stesso idice è u rdicle (co lo stesso idice) che h er rdicdo il rorto dei due rdicdi: = b b m, co oteze d esoete frziorio : 1 = 1 b b 1 Come sor l cos si comlic se gli idici o soo uguli erchè bisog trsformre i due rdicli dti i equivleti co lo stesso idice: se ho lo stesso rdicdo: = = co e rimi tr loro m, co oteze d esoete frziorio: 1 = 1 se o o lo stesso rdicdo: = = co e rimi tr loro b b b m, co oteze d esoete frziorio : 1 = 1 b b Trsorto di u fttore estero sotto il simbolo di rdice: I questo cso si deve ricordre che è ossibile trsortre sotto rdice solo u fttore ositivo (o o egtivo) e quidi, qudo o e si ccertto il sego, si dovrà idicre chirmete tle codizioe. U fttore o egtivo si uò trsortre sotto il simbolo di rdice, elevdolo ll otez co 8 Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti

9 esoete ugule ll'idice dell rdice: b= b co 0 e co oteze d esoete frziorio: b 1 = b 1 = b 1 co 0 Trsorto di u fttore itero fuori dl simbolo di rdice: Ache i questo cso si deve ricordre che è ossibile trsortre fuori dll rdice solo u fttore ositivo (o o egtivo) e quidi, qudo o e si ccertto il sego, si dovrà idicre chirmete tle codizioe. U fttore o egtivo si uò trsortre fuori dl simbolo di rdice, dividedo il suo esoete (che si suoe mggiore dell'idice dell rdice) er l'idice dell rdice; l'evetule resto dell divisioe è l'esoete dello stesso fttore che rime sotto il sego: k b= k b co 0 e co oteze d esoete frziorio: k b 1 = k b 1 co 0 ove bbimo semlicemete ridotto i miimi termii l frzioe (+k)/. Come già chirito, coviee orre molt ttezioe l sego del fttore che si itede ortre fuori o iserire sotto il simbolo di rdice. Fccimo u esemio: 3x 1 2 =x 13 oerzioe corrett solo se x 1 o ltrimetise x 10: 3x 1 2 =1 x3 Se si suoe che il rdicle bbi iizilmete u vlore ositivo (come è lecito esre), el rimo cso (visto che che x 1 è ositivo) il sego dell'esressioe rime ilterto, metre el secodo, sez cmbire sego l biomio x 1, l'esressioe ssumerebbe u vlore egtivo! Molto sesso quest cosiderzioe viee trscurt co cosegueze grvi, sorttutto ell discussioe delle disequzioi... Potez di u rdicle o rdice di u rdice Nel cso dell'uso dell covezioe trdiziole (cioè co i rdicli) bisog distiguere i due csi: Per eseguire l otez di u rdicle è ecessrio moltilicre si l'esoete del rdicdo er il umero (che rreset l'esoete dell otez cui il rdicle deve essere elevto). Per eseguire l rdice di u rdice è ecessrio moltilicre l'idice dell rdice er il umero (che rreset l'idice dell rdice che deve essere licto l rdicle). 9 Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti

10 Qudo ivece si us l otzioe degli esoeti frziori è ivece sufficiete moltilicre tutti gli esoeti er il umero itero (el cso di otez di u rdicle) o frziorio (el cso di rdice di rdice): Per otez di urdicle: k = k co esoeti frziori : 1 k k = Per rdice di urdice : k = k co esoeti frziori : 1 1 k 1 k = L otzioe d esoeti frziori riesce duque semlificre otevolmete il clcolo dei rdicli, m esso h l'idubbio vtggio di evidezire lo sviluo dell'isieme dei umeri reli che, rtire dlle oteze d esoete turle, e ttrverso le oteze d esoete rziole (rdicli), ci ermette di defiire l fuzioe esoezile. Quest stess otzioe, cosiderdo i rdicli come oteze, si ure d esoete frziorio, ci ermette di evitre errori comui che certmete o fremmo co oteze d esoete turle; essuo si sogerebbe di oerre i questo modo: (x+1) 2 = x 2 +1 erchè si trtt evidetemete del qudrto di u biomio, metre è comue l'errore x 2 1=x visto che 1=1 Il rdicdo di u rdicle v quidi semre cosiderto come l bse di u otez. Rziolizzzioe di u deomitore L trsformzioe di u frzioe co deomitore irrziole i u equivlete co deomitore rziole è dettt d rgioi rtiche (legte ll difficoltà dello sviluo del clcolo co esressioi irrzioli), m sorttutto roblemi di rossimzioe umeric che si icotrerebbero co i rdicli l deomitore: metre è sicurmete difficile cooscere il vlore rossimto di 1/ 2, visto che o simo co qule rossimzioe eseguire l divisioe, lo stesso umero rziolizzto 2/2 uò essere rossimto fcilmete. Sez trttre dettglitmete tutti i csi di rziolizzzioe, forimo di seguito u metodo geerle che uò licre i iù comui esercizi resetti elle scuole. Cso di u solo rdicle l deomitore: er le rorietà delle frzioi, l fie di redere itero l'esoete dell'esressioe deomitore, è sufficiete moltilicre umertore e deomitore er u stess otez: 10 Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti

11 = b = b 1 b b 1 b b Cso di due rdicli co lo stesso idice deomitore: Si debb rziolizzre l seguete esressioe: Si og x= b e y= c b± c Il roblem si riduce trovre u oliomio P 1 x, y, di grdo 1 omogeeo,ordito e comleto risetto d x e y, er cui si bbi : x±y P 1 x, y=x ±y Questo oliomio forirà il fttore er cui moltilicre si il umertore che il deomitore. Per l ricerc del oliomio, utilizzre l tbelli dei rodotti otevoli riortt el rgrfo 3.b del citolo dedicto lle Regole geerli er l scomosizioe dei oliomi. 11 Poteze d esoete rele Giorgio Lirocurti