Alcuni matematici non considerano lo zero un numero naturale, ma questo non è un problema, basta essere coerenti con le proprie scelte...

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1 Algebra di base 01 - Numeri naturali I numeri naturali sono : Alcuni matematici non considerano lo zero un numero naturale, ma questo non è un problema, basta essere coerenti con le proprie scelte I puntini significano che la numerazione procede all'infinito Con i numeri naturali si possono fare le quattro usuali operazioni : "addizione" ( ), "sottrazione" ( ), "moltiplicazione" ( ma anche ) e "divisione" ( ma anche ) Queste operazioni, però, non danno sempre come risultato un numero naturale!!! Per esempio, se facciamo oppure, il risultato non è più un numero naturale Siamo sicuri che il risultato è sempre un numero naturale solo con l'addizione e la moltiplicazione (fra due numeri naturali qualunque) 02 - Frazioni Per potere fare sempre (con un'unica eccezione che diremo dopo) la divisione fra due numeri naturali l'uomo ha inventato le frazioni Se e sono due numeri naturali, di cui il secondo è diverso da zero (cioè, ecco l'eccezione!!!) si definisce la frazione : come quel numero che "rappresenta la quantità che si ottiene dividendo l'unità in uguali e prendendone " parti La "nomenclatura" di una frazione è la seguente : wwweasymathsaltervistaorg

2 Per rappresentare graficamente una frazione si possono usare le "torte" Per esempio, per la frazione "due terzi" : si ha:, Abbiamo infatti, seguendo la definizione di frazione, diviso l'unità (rappresentata da una torta) in tre parti uguali e ne abbiamo prese due Una frazione può rappresentare anche una quantità maggiore dell'unità Per esempio, rappresentiamo la frazione "cinque quarti" : Si ha : wwweasymathsaltervistaorg

3 Se invece delle torte usiamo i segmenti, si ha (con differente look ) : 03 - Le frazioni come divisioni Una frazione è equivalente ad una divisione Per esempio, mostriamo che : dividendo due rettangoli uguali in tre parti uguali nel seguente modo : wwweasymathsaltervistaorg

4 I due rettangoli sono stati divisi in tre parti uguali (come indicati dai colori) In questo modo abbiamo ottenuto la frazione "due terzi" (considerando un solo colore) 04 - Proprietà invariantiva delle frazioni La principale proprietà di una frazione è che moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una frazione equivalente a quella data, cioè una frazione che rappresenta la stessa quantità Questa è la cosiddetta proprietà invariantiva delle frazioni Per esempio, mostriamo che : e : Infatti : 05 - Le frazioni come classi di equivalenza I numeri razionali Grazie alla proprietà invariantiva, una frazione possiede quindi infinite frazioni ad essa equivalenti che rappresentano la stessa quantità, ovvero lo stesso numero Per esempio, tutte le frazioni :, ottenute moltiplicando numeratore e denominatore di via via per uno stesso numero (cioè per ), rappresentano lo stesso numero, cioè sono equivalenti wwweasymathsaltervistaorg

5 Possiamo allora scrivere : e chiamare : la classe di equivalenza delle frazioni equivalenti alla frazione L'uso delle parentesi quadre per individuare una classe di equivalenza è convenzionale La classe di equivalenza di una frazione definisce un cosiddetto numero razionale per cui, non essendovi ambiguità, si può scrivere semplicemente (facendo coincidere la classe con una delle frazioni che la compongono) : ma anche : oppure : ecc ecc Una qualunque frazione di una certa classe di equivalenza può essere usata come "rappresentante" della classe Ovviamente si preferirà usare come rappresentante della classe la frazione più "semplice" (nell'esempio ) Studiando i numeri razionali (come classi di equivalenza di frazioni) si scopre che anche i numeri naturali sono numeri razionali Consideriamo per esempio la classe di equivalenza : wwweasymathsaltervistaorg

6 Ma :, per cui abbiamo così dimostrato che il numero naturale è un numero razionale 06 - Addizione e sottrazione di frazioni Fare l'addizione o la sottrazione di due frazioni con lo stesso denominatore è semplice Per esempio : Sommare (o sottrarre) "mezzi", "terzi", "quarti" ecc è quindi elementare Non lo è, invece, se si devono sommare (o sottrarre) frazioni con denominatori diversi Per esempio, come eseguire l'operazione :? Le classi di equivalenza ci vengono in aiuto!!! Scriviamo le classi delle due frazioni Si ha : Osservando le due classi, si nota che : e :, cioè si sono trovate facilmente due frazioni equivalenti (rispettivamente) alla prima ed alla seconda frazione con lo stesso denominatore La somma, allora può essere scritta : wwweasymathsaltervistaorg

7 Ovviamente, si potrebbero trovare frazioni equivalenti con lo stesso denominatore anche più "complicate" Per esempio si trova facilmente : e : Potremmo quindi scrivere : trovando lo stesso risultato Ovviamente conviene usare frazioni equivalenti le più "semplici" possibili!!! La regola, imparata spesso a memoria alle medie inferiori, di fare il minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori e poi procedere così : è solo un modo "inconscio" di usare le classi di equivalenza come mostrato sopra Lasciamo al lettore la dimostrazione che i due procedimenti sono equivalenti Ricordiamo qui solo che per calcolare il mcm fra due numeri naturali non si procede di regola semplicemente moltiplicandoli (come nell'ultimo esempio fra 2 e ottenendo ) Se si vuole calcolare il mcm fra e non si ricava, bensì!!! Il numero è sì multiplo di e, ma non è il minimo!!! Se non si usa esattamente il mcm, ma un multiplo più grande, il risultato dell'addizione (o sottrazione) di due frazioni non sarà sbagliato, ma solo più "complicato" e si dovrà procedere successivamente a semplificarlo Conviene, però, per evitare tali semplificazioni, usare sempre il mcm!!! Per calcolare il mcm fra due numeri naturali si può utilizzare la scomposizione in fattori primi (come si è imparato alle medie) oppure si può direttamente scegliere fra le sequenze dei multipli dei due numeri il più piccolo comune Per esempio, fra e : wwweasymathsaltervistaorg

8 multipli di --> multipli di --> mcm fra e --> (e non ) 07 - Interessanti proprietà dei numeri razionali L'insieme dei numeri razionali ha altre interessanti proprietà Ne mostriamo alcune : 1) l'insieme dei numeri razionali è ordinato Questo significa che, dati due numeri razionali diversi (rappresentati da due classi di equivalenza di frazioni diverse) si può stabilire sempre se un numero è maggiore ( ) o minore ( ) dell'altro Per esempio :, quest'ultima perché, passando a due opportune frazioni equivalenti, si ha : 2) i numeri razionali possono essere posti su una retta orientata nel seguente modo : 3) fra due qualsiasi diversi numeri razionali esistono infiniti altri numeri razionali (diversi) Mostriamo questo per i numeri fra e con il grafico : wwweasymathsaltervistaorg

9 4) esistono numeri che non sono numeri razionali Esempi "classici" di numeri non razionali (irrazionali) sono e 5) noi usiamo le frazioni spesso senza rendercene conto Un esempio fra tutti sono le percentuali Infatti : significa : 08 - Esercizi 1) mostrare che : 2) porre sulla retta orientata le frazioni : 3) calcolare : e Risoluzione 1) Procediamo come indicato nel grafico : wwweasymathsaltervistaorg

10 Cinque rettangoli uguali vengono suddivisi in parti uguali fra tre persone Ad ogni persona compete Così abbiamo diviso il numero in parti uguali, cioè abbiamo eseguito l'operazione che dà come risultato una quantità equivalente alla frazione 2) Graficamente : 3) Direttamente : 09 - Addizione di più addendi Naturalmente si possono fare addizioni di più addendi frazionari Per esempio : 10 - Riduzione di una frazione ai minimi termini wwweasymathsaltervistaorg

11 Consideriamo la classe di equivalenza : Essa rappresenta un numero razionale ed è formata da infinite frazioni equivalenti l'una all'altra Una frazione della classe può essere ottenuta da ogni frazione della medesima classe applicando la proprietà invariantiva, cioè moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero Quindi, per esempio :, perché si ottiene la prima dalla seconda moltiplicando "sopra e sotto" (un modo "comodo" di dire che abbiamo applicato la proprietà invariantiva!) per Nei calcoli, risolvendo espressioni ecc, per evitare inutili complicazioni (numeri troppo grandi e "scomodi" da maneggiare) conviene allora di norma utilizzare le frazioni equivalenti che abbiano i più piccoli numeratori e denominatori possibili Occorre, cioè, appena possibile, ridurre una frazione ai minimi termini e per fare questo : o si scorre la classe di equivalenza alla quale essa appartiene e si sceglie la frazione che abbia i minori numeratore e denominatore oppure, ed è la stessa cosa, si cerca di dividere numeratore e denominatore (applicando così la proprietà invariantiva) per il massimo dei loro divisori comuni (il cosiddetto "massimo comun divisore" MCD) oppure, in modo più pratico, si divide successivamente sopra e sotto (applicando così la proprietà invariantiva) per opportuni divisori, partendo dai più piccoli, trovati in modo "empirico", per tentativi Data allora la frazione : la si ridurrà (o, come si dice in alternativa, la si semplificherà) immediatamente nella frazione : 11 - Moltiplicazione fra frazioni La moltiplicazione con i numeri naturali viene definita come somma ripetuta wwweasymathsaltervistaorg

12 Esempio : dove è il moltiplicando, il moltiplicatore e il prodotto Il prodotto, per definizione, risulta uguale alla somma di tanti addendi, tutti uguali al moltiplicando, quante sono le unità del moltiplicatore Per eseguire una somma occorrono almeno due addendi; di conseguenza questa definizione è valida solo quando il moltiplicatore è un numero naturale Per estendere la moltiplicazione al caso in cui il moltiplicatore è un numero naturale, oppure è una frazione, osserviamo che la generica moltiplicazione di due numeri naturali : e può essere considerata come l'azione su dell' "operatore ", operatore che agisce nel modo descritto dalla frase "sommato volte", ovvero "prendere un numero di volte Alla luce di ciò, possiamo definire : (prendiamo (prendiamo una volta sola) volte) (prendiamo di ) (prendiamo di ) e così di seguito, mantenendo il significato che la moltiplicazione ha per i numeri naturali In generale : Con questa definizione il calcolo del prodotto di un numero naturale per la frazione si riduce al calcolo della quantità corrispondente a di Estendendo la definizione al caso in cui il moltiplicando sia una frazione, si ha che il prodotto : wwweasymathsaltervistaorg

13 corrisponde ad emme ennesimi della frazione Esempio : darà come risultato i di Come calcolare però i di? Estendiamo ad un generico numero razionale la definizione di frazione data per i numeri interi : per trovare i di dividiamo per e moltiplichiamo il risultato per a) dividiamo per Per dividere per è sufficiente moltiplicare il denominatore per : si ottengono degli ottavi, che sono quattro volte più piccoli dei mezzi: b) moltiplichiamo ora il risultato per : Conclusione : abbiamo trovato che, applicando la definizione, per trovare i di occorre moltiplicare fra loro i numeratori e fra loro i denominatori delle due frazioni : (che corrispondono ai di ) Si dimostra facilmente che questo risultato vale in generale Possiamo quindi enunciare la seguente regola : wwweasymathsaltervistaorg

14 il prodotto di due frazioni è dato dalla frazione che si ottiene moltiplicando fra loro i due numeratori e i due denominatori delle frazioni date Il risultato ottenuto mantiene il significato che aveva per la moltiplicazione con i numeri naturali Ricordiamo che per ottenere la regola sopra enunciata abbiamo eseguito i seguenti passaggi : a) definizione di prodotto per due numeri naturali e con b) significato del prodotto sopra definito c) estensione della definizione di prodotto di due numeri naturali al caso in cui il moltiplicando sia un numero naturale ed il moltiplicatore sia dato dai numeri naturali e oppure da una frazione Questa estensione deve mantenere il significato che la moltiplicazione ha quando il numeratore è un numero naturale d) estensione della definizione precedente al caso in cui il moltiplicando sia una frazione e) definizione di frazione analoga a quella di frazione di un intero f) calcolo della frazione di un numero razionale qualunque applicando la definizione 12 - Esercizi 1) calcolare : 2) calcolare : Risoluzione 1) Calcoliamo direttamente : 2) Calcoliamo direttamente : wwweasymathsaltervistaorg

15 13 - Proprietà delle moltiplicazioni fra frazioni La moltiplicazione fra frazioni gode delle seguenti proprietà a) Proprietà associativa (per la moltiplicazione) Così come i numeri naturali, anche le frazioni godono della proprietà associativa (per la moltiplicazione) Tale proprietà è espressa dalla formula :, dove,,, sono frazioni e dove abbiamo usato il punto " " per il simbolo di moltiplicazione Si noti che, poiché le parentesi non influiscono sul risultato, le si può semplicemente omettere e scrivere direttamente b) Proprietà commutativa (per la moltiplicazione) La proprietà commutativa (per la moltiplicazione), come per i numeri naturali, è espressa dalla formula : c) Proprietà distributiva (della moltiplicazione rispetto all'addizione) Questa proprietà, goduta ovviamente anche dai numeri naturali, è fondamentale nel calcolo delle espressioni dove sono presenti più operazioni Si ha : d) Esistenza dell'elemento neutro moltiplicativo Per il numero si può scrivere : Si dice perciò che è l'elemento neutro moltiplicativo e) Esistenza dell'inverso (moltiplicativo) Una frazione possiede un'unica frazione inversa (dal punto di vista della moltiplicazione) Questa regola ha però una fondamentale eccezione Non esiste l'inverso (moltiplicativo) di!!! L'inverso (moltiplicativo) di è indicato da : wwweasymathsaltervistaorg

16 ed è tale per cui si ha : Per esempio, l'inverso (moltiplicativo) di è perché : f) L'insieme dei numeri razionali è chiuso rispetto alla moltiplicazione Questa affermazione è molto importante perché ci garantisce che comunque noi prendiamo due frazioni, il loro prodotto è ancora una frazione Non tutte le operazioni all'interno di un dato insieme di numeri sono chiuse Per esempio, nell'ambito dei numeri naturali, la sottrazione e la divisione non forniscono sempre numeri naturali!!! Le frazioni sono state "create" proprio perché l'operazione della divisione diventasse chiusa!!! E' evidente che, quando possibile, si cerca di lavorare con operazioni chiuse 14 - Semplificazioni durante la moltiplicazione di frazioni Consideriamo la moltiplicazione : Per quanto visto in precedenza possiamo ricavare : e poi, applicando la proprietà invariantiva : Per evitare, però, di "lavorare" con numeri "grandi" e poi semplificare alla fine, è conveniente procedere nel seguente modo "semplificando in diagonale" : wwweasymathsaltervistaorg

17 Per spiegare questo procedimento ricordiamo che, quando in una moltiplicazione un fattore viene diviso per un numero, anche il prodotto risultante rimane diviso per quel numero Esempio : Dividendo il fattore per, anche il prodotto viene diviso per : Nell esempio precedente abbiamo diviso il fattore al numeratore per e così il prodotto è stato diviso per Abbiamo poi diviso per il fattore al denominatore e così il prodotto è stato diviso per Avendo diviso entrambi i prodotti, quello al numeratore e quello al denominatore, per, grazie alla proprietà invariantiva la frazione ottenuta : è equivalente a quella iniziale Lo stesso procedimento vale per la successiva semplificazione fra il fattore il fattore al denominatore al numeratore e 15 - Esercizi 1) confrontare le frazioni : 2) inserire sulla retta orientata le frazioni : wwweasymathsaltervistaorg

18 3) scrivere una frazione compresa fra e 4) calcolare : 5) calcolare : Risoluzioni 1) Poiché : e :, si deduce che : Poiché : si deduce che :, Poiché : si deduce che : wwweasymathsaltervistaorg

19 2) Si ha : 3) Poiché : e :, una frazione compresa fra le due è : 4) Si ha : 5) Si ha : 16 - Divisione fra frazioni wwweasymathsaltervistaorg

20 Per la divisione con le frazioni seguiamo lo stesso procedimento usato per la moltiplicazione, partendo dalla definizione di divisione per i numeri naturali La divisione fra numeri naturali viene definita in aritmetica come l'operazione che permette di dividere una quantità, rappresentata da un numero naturale, in un certo numero di parti uguali, rappresentate da un altro numero naturale Esempio: dove (dividendo) rappresenta la quantità da dividere, (divisore) indica quante parti uguali se ne vogliono fare e (quoto) indica il valore delle parti ottenute L operazione così definita ha come conseguenza il seguente risultato: il prodotto fra quoto e divisore è sempre uguale al dividendo Nell esempio precedente : La definizione data vale quando il divisore è un numero naturale parti uguali occorre che le parti siano almeno due, perché per dividere in Questa definizione non è valida nemmeno quando si ha a che fare con le frazioni : non ha senso ad esempio dividere una quantità in di parti uguali Quando il divisore è un numero naturale, oppure quando dividendo e divisore sono frazioni, occorre dare una nuova definizione di divisione Daremo una definizione che porti allo stesso risultato della divisione fra numeri naturali Definiamo la divisione fra numeri razionali in questo modo : dati due numeri razionali e, il risultato della divisione è quel numero razionale (se esiste) tale che Vediamo ora i casi che si possono presentare 1) e sono numeri naturali con Con l introduzione delle frazioni questa operazione è sempre possibile : ( ) wwweasymathsaltervistaorg

21 2) è un numero naturale e ( ) 3) dividendo e divisore sono frazioni infatti 4) il divisore è il numero naturale con dà il numero è impossibile perché nessun numero razionale moltiplicato per il divisore non ha senso Qualunque numero, moltiplicato per il divisore mi dà il dividendo In questo caso si dice anche che il risultato della divisione è indeterminato Osservazione: si dimostra facilmente, tramite le definizioni date, che : 17 - Numeri relativi Con i numeri naturali non è sempre possibile eseguire la sottrazione Per esempio : Non esiste nessun numero naturale che sommato a dia come risultato Per potere eseguire sempre questa operazione sono stati introdotti i numeri negativi Per esempio : dove è un numero negativo I numeri negativi si possono rappresentare mediante punti su di una retta orientata posti alla sinistra dello wwweasymathsaltervistaorg

22 I numeri negativi sono tutti minori di I numeri maggiori di li chiamiamo numeri positivi I numeri negativi e positivi costituiscono l'insieme dei numeri relativi I numeri negativi li scriviamo preceduti dal segno meno ( preceduti o no dal segno più ( ) ), mentre i positivi li scriviamo Per esempio : numero negativo oppure numero positivo Chiamiamo valore assoluto di un numero relativo il valore del numero privato del segno Per esempio : valore assoluto di => valore assoluto di => Il valore assoluto di un numero positivo coincide con il valore del numero stesso Due numeri con lo stesso segno li chiamiamo concordi, con segno opposto li chiamiamo discordi Per comprendere il significato del numero negativo esempio classico è quello dei debiti e dei crediti si possono fare diversi esempi Un Se indichiamo i crediti con i numeri positivi e i debiti con i numeri negativi, l'esempio precedente assume il significato seguente Se abbiamo in banca un deposito di euro (credito) e preleviamo euro, cioè eseguiamo l'operazione, il risultato è, cioè un debito di euro wwweasymathsaltervistaorg

23 Con l'introduzione dei numeri relativi la sottrazione può essere trasformata in un'addizione (addizione algebrica) L'operazione : è equivalente a : Invece di togliere un credito di euro, aggiungiamo un debito di euro Il risultato è lo stesso Con l'introduzione delle frazioni la divisione può essere trasformata in moltiplicazione Con l'introduzione dei numeri negativi la sottrazione può essere eseguita mediante un'addizione Bastano perciò due sole operazioni per i calcoli che prima richiedevano quattro operazioni Vediamo ora come eseguire queste due operazioni (addizione e moltiplicazione) utilizzando i numeri relativi Addizione : due crediti si sommano due debiti si sommano un credito di sommato ad un debito di dà come risultato un credito di un debito di sommato ad un credito di dà come risultato un debito di Conclusione : la somma algebrica di due numeri concordi ha, per valore assoluto, la somma dei valori assoluti e, per segno, il segno comune dei due numeri la somma algebrica di due numeri discordi ha, per valore assoluto, la differenza dei valori assoluti (il maggiore meno il minore) e, per segno, quello del numero che ha valore assoluto maggiore Moltiplicazione : abbiamo volte un credito di : risulta un credito di abbiamo volte un debito di : risulta un debito di togliamo volte un credito di : risulta un debito di wwweasymathsaltervistaorg

24 togliamo volte un debito di : risulta un credito di (rispetto alla situazione precedente ) Conclusione : il prodotto fra due numeri concordi è un numero positivo, il prodotto fra due numeri discordi è un numero negativo I numeri razionali positivi più i numeri razionali negativi costituiscono l'insieme dei numeri razionali relativi che chiamiamo semplicemente numeri razionali Per le operazioni con i numeri razionali negativi continuano a valere tutte le proprietà che valgono per le operazioni fra i numeri razionali positivi 18 - Esercizi 1) calcolare l'espressione : 2) calcolare l'espressione : Risoluzioni 1) si ha : ecc ecc 2) si ha : wwweasymathsaltervistaorg

25 19 - Potenze Spesso i numeri vengono rappresentati mediante potenze Si tratta di una notazione utile per diversi tipi di calcolo Inizialmente la potenza di un numero viene definita come prodotto ripetuto di fattori tutti uguali Esempio : dove (base) indica il valore di ogni fattore e (esponente) indica il numero dei fattori Poiché per avere un prodotto occorrono almeno due fattori, l esponente deve essere In generale si ha : = prodotto di fattori razionali tutti uguali ad, con numero intero positivo La potenza di un numero positivo è sempre un numero positivo La potenza di un numero negativo è un numero positivo quando l esponente è pari, è un numero negativo quando l esponente è dispari Proprietà delle potenze: 1) Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e esponente la somma degli esponenti Esempio : wwweasymathsaltervistaorg

26 2) Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti (esponente del dividendo meno esponente del divisore) Questa proprietà vale quando la differenza degli esponenti è Esempio : 3) La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti Esempio: Vedremo in seguito altre due proprietà delle potenze meno utilizzate delle precedenti Per estendere la seconda proprietà delle potenze ai casi in cui la differenza degli esponenti è, diamo una definizione di potenza anche per esponenti interi, compresi i valori negativi a) Quoziente di potenze di ugual base con differenza degli esponenti : applicando la seconda proprietà si avrebbe : non l abbiamo definito, non ha ancora nessun significato Decidiamo di definire Così la proprietà del quoziente è valida anche in questo caso In generale sarà : b) Quoziente di potenze di ugual base con differenza degli esponenti : (un numero diviso se stesso dà per risultato ) applicando la seconda proprietà si avrebbe : wwweasymathsaltervistaorg

27 non l abbiamo definito, non ha ancora nessun significato Decidiamo di definire Così la proprietà del quoziente è valida anche in questo caso In generale sarà : qualunque sia il valore di c) Quoziente di potenze di ugual base con differenza degli esponenti : applicando la seconda proprietà si avrebbe : non l abbiamo definito, non ha ancora nessun significato Decidiamo di definire Così la proprietà del quoziente è valida anche in questo caso In generale sarà : dividere per ) con e (quest'ultima condizione è necessaria perché non si può mai wwweasymathsaltervistaorg