RADICALI Classe II a.s. 2010/2011 Prof.ssa Rita Schettino

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1 RADICALI Clsse II.s. 00/0 Prof.ss Rit Schettio

2 RADICALI Aritetici I R Algerici I R prof.ss R. Schettio N. B. R idic l isiee dei ueri reli o egtivi, ossi positivi o ulli.

3 RADICALI ARITMETICI DEFINIZIONE Cosiderto 0 e N 0, si defiisce Rdice - di il uero rele 0 tle che ossi è quel uero rele, o egtivo, che elevto d dà coe risultto. prof.ss R. Schettio I sioli

4 Di coseguez ( ) vedo sostituito l posto di il suo siolo. Si oti che sotto il sego di rdice c è u terie positivo o tutt l più ullo. prof.ss R. Schettio

5 Liguggio specifico Sego di rdice Idice del rdicle Rdicdo o rgoeto del rdicle prof.ss R. Schettio Rdicle Il rdicdo è positivo o ullo: 0

6 Proprietà : Proprietà : proprietà ivritiv p p prof.ss R. Schettio Ossi il vlore di u rdicle o ci se si oltiplico o dividoo l idice e l espoete del rdicdo per uo stesso uero itero positivo 6

7 APPLICAZIONE : SEMPLIFICAZIONE DI UN RADICALE Preess: Il rdicdo di u rdicle ritetico è d itedersi coe prodotto di fttori positivi o ulli Es vedo 6 vedo oltiplic to idice ed espoeti per oltiplic to idice ed espoete per vedo oltiplic to idice ed espoeti per vedo diviso idice ed espoeti per il rdicdo di questo rdicle v pri scoposto i fttori secodo le regole dell scoposizi oe, quidi risult : prof.ss R. Schettio ( ) ( ) vedo diviso idice ed espoeti per 6 6 7

8 ? è stto oltiplicto per. Duque che l'espoete del rdicdo v oltiplicto per. 6 ( ) 8 6 isog trsforre il rdicle qudrtico i u ltro rdicle di idice 6. Quidi oppure? Qul è llor l rispost? ( ) 6 che qui v trsforto il rdicle dto i u ltro di idice Qul è l rispost? 8 ( ) oppure ( )?? sigific che l'idice del rdicle dto prof.ss R. Schettio I questo tipo di esercizi, si divide il uovo idice per il vecchio e si oltiplic il risultto per l espoete di ciscu fttore del rdicdo. ATTENZIONE! I rdicdi devoo essere sepre scoposti i fttori prii e si lvor sugli espoeti dei fttori. 8

9 APPLICAZIONE : RIDUZIONE DI PIÙ RADICALI ALLO STESSO INDICE Dti più rdicli di diverso idice, li si trsfor i ltri, pplicdo l proprietà ivritiv, veti lo stesso idice, clcoldo il.c.. dei sigoli idici. Es.,. c.., (,,) 9, quidii tre rdicli dtisi trsforo rispettivetei 6 prof.ss R. Schettio 8. c.. 8, ( 8,,), 8 d cuii tre 8 ( ) ( ) 8 rdicli rispettivetediveto: 9

10 PRODOTTO E RAPPORTO TRA RADICALI Regol del prodotto p p Regol del rpporto p p : : o che p Coe si vede, si oltiplico o dividoo rdicli co lo stesso idice, portdo tutto sotto u uico sego di rdice, co il edesio idice, e poi si oltiplico o dividoo i rdicdi. Se i rdicli o ho lo stesso idice, pri isog ridurli llo stesso idice e poi effetture l operzioe richiest. N.B. Al terie dell operzioe, isog sepre seplificre il rdicle, se possiile. p 0 prof.ss R. Schettio

11 Es. ) 6 ) 8 0 prof.ss R. Schettio

12 TRASPORTO DI UN FATTORE SOTTO IL SEGNO DI RADICE Regol: dti, 0 si h Vle dire: u fttore 0, oltiplicto per u rdicle, può essere trsportto sotto il sego di rdice purché lo si elevi ll idice del rdicle Es. 6 6 prof.ss R. Schettio c c 0 0 c 0

13 ) E se o sio sicuri del sego o egtivo del fttore estero, coe si procede? Evideteete discutedo i csi: vedio degli esepi ( ) ( ) i questo isog esercizio discutere riteio il sego > di 0 (ossi. Quidi : > ) perchè già è rdicdo del rdicle se se < 0 0 (ossi (ossi > ) < < ) si h si h - ( -) ( ) ( ) ( ) Si oti il sego sego di rdice egtivo risto fuori del prof.ss R. Schettio ) Essedo sicuret e 0, l ci f dire che < 0, quidi il fttore presez del sego estero è egtivo, l uertore per cui risult : ( )

14 ) Sicuret e > 0 perchè è sotto il sego di rdice etre per v ftt l discussio e se 0 si h 9 se < 0 si h 9 ) izitut to seplifich io l' espressio e ( ) Sicuret e rdicdo > 0 perchè è deoito re del rdicdo quidi isog discutere su prof.ss R. Schettio se > 0 si h ( ) ( ) se < 0 si h ( ) ( ) DOMANDA: Perché ell esercizio o è stto posto - 0 solo - >0?

15 TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DEL SEGNO DI RADICE Ricordio: Dti e N 0, co >, detti q e r il quoziete e il resto dell divisioe di per, si h qr Prodotto di poteze co l stess se * prof.ss R. Schettio

16 TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DEL SEGNO DI RADICE Fero restdo che si possoo trsportre fuori del sego di rdice solo fttori o egtivi, dio l regol: q r q r q r Vle dire: - si possoo trsportre solo fttori co espoeti dell idice - si divide l espoete per l idice, il quoziete divet espoete del fttore fuori dl sego di rdice e il resto divet espoete del fttore sotto il sego di rdice q r 6 prof.ss R. Schettio

17 es. 9 (iftti solo i fttori e ho espoete ) (7 : h quoziete e resto ) izitut to il rdicdo v scoposto ( ) ( ) i fttori prii prof.ss R. Schettio l' uico fttore che può trsport rsi fuori del sego di rdice è di cui però o cooscio il sego, per cui v ftt u ( ) discussio e : se 0 si h ( -) se < 0 si h ( ) 7

18 POTENZE E RADICI DI UN RADICALE Regol dell eleveto potez di u rdicle (fere restdo le codizioi di u rdicle ritetico) ( ) p p prof.ss R. Schettio Regol dell estrzioe di rdice di u rdicle (ot coe sopr) p p 8

19 Osservzioi (regole prtiche) Dll pri regol si deduce che per elevre potez p u rdicle st elevre potez il suo rdicdo, vle dire oltiplicre per p l espoete di ciscu fttore del rdicdo. Dll secod regol si deduce che per estrrre l rdice di idice p di u rdicle di idice, st porre u uico sego di rdice co uovo idice dto dl prodotto degli idici, riedo ugule il rdicdo. prof.ss R. Schettio 9

20 I segueti esepi preseto le ppliczioi di tutte le regole espresse fi qui. ) 6 6 : : : : izitutto seplifichiole espressioi dei rdicdi (si oti che scopoio i fttoriil uertoredel rdicdo (si oti che deve essere > 0) deve essere -> 0) prof.ss R. Schettio 6 ( -) : : effettuio l divisioeportdoi rdiclillostessoidice.c..(6,,) 0

21 ( ) ( ) effettuio le seplificzioi ( ) ( ) 6 ( ) 6 effettuio l'eleveto potez dell' idice elevdo il rdicdo ll questo rdicle si può seplificre dividedo idice ed espoeti i questo rdicle possoo portrsi fuori dl sego di rdice i fttori -, perchè ho espoeti per e prof.ss R. Schettio -

22 ) ( p) p p izitutto trsportio il fttore p-> 0 sotto il sego di rdice e scopoio i fttori il ioio p 6 ( p) ( p ) ( p )( p) 6 ( p-) ( p ) ( p ) ( p) effettuio il rpporto tr i rdicli l uertore e deoitore dell frzioe effettuio coteporeete le seplificzioi el rdicdo e prof.ss R. Schettio l'estrzioe di rdice, oltiplicdo gli idici ( p) ( p )

23 SOMMA ALGEBRICA DI RADICALI Regol: Si possoo sore lgericete solo i rdicli siili, vle dire solo i rdicli che ho stesso idice e stesso rdicdo. I rdicli siili possoo differire per il coefficiete che li precede. Regol: I rdicli siili si soo sodo lgericete i loro coefficieti. Se tli coefficieti soo letterli, si ette i evidez il rdicle siile che è coue. Es. prof.ss R. Schettio ( ) ( ) ( ) ( )

24 No sepre i rdicli d sore ppioo siili, i tl cso isog pplicre le regole del trsporto fuori o sotto il sego di rdice per rederli tli. Dopo ver effettuto questi pssggi, i rdicli, ori siili, si possoo sore coe ftto egli esercizi precedeti. Es. (i questi esepi soo sottitese le codizioi di positività dei rdicdi e dei suoi fttori) ) ) 0 ( ) 6 6 i tre rdicli dell' es. o soo siili, su ciscuo di essi edite il trsporto fuori del sego di rdice soio lgericete i coefficieti di si può operre iizio scoporre i fttori prii i rdicdi prof.ss R. Schettio ( ) ( ) ( ) 6 6 seplifichio e trsportio il fttore ( 0) fuori dl prio rdicle e trsportio fuori dl sego di rdice i fttori possiili, cosiderti o egtivi, el secodo e terzo rdicle ettio i evidez il rdicle che ori è fttore coue ( -) ( )

25 FORMULA DI TRASFORMAZIONE DI UN RADICALE QUADRATICO DOPPIO Si defiisce rdicle qudrtico doppio il seguete ± Regol di trsforzioe (i rdicli qudrtici seplici) prof.ss R. Schettio ±

26 Es Nel secodo esepio è stto ecessrio portre il fttore sotto il sego del rdicle per rietrre ell tipologi di rdicle doppio e pplicre successivete l forul prof.ss R. Schettio 6

27 RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE L utilità delle segueti regole st el ftto che è più seplice lvorre co frzioi che io il deoitore rziole, per effetture poi le operzioi richieste, per es. u.c.. L ide di se è quell per cui, grzie ll proprietà ivritiv delle frzioi, oltiplicdo il uertore e il deoitore di u frzioe per uo stesso terie 0, il vlore dell frzioe o ci. A secod dell tur del deoitore irrziole di u frzioe, si oltiplichero uertore e deoitore per u stess opportu espressioe. Vedio i csi che si preseto 7 prof.ss R. Schettio

28 CASO 8 prof.ss R. Schettio 7 7. N e D per oltiplico si es CASO 8. es

29 9 prof.ss R. Schettio CASO ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) es es ± ± Coe si può otre i questo cso si pplic l regol dell so per differez

30 prof.ss R. Schettio 0 CASO ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± ± ± ± es Ache qui si può otre che si pplic l forul dell so o differez di due cui

31 RADICALI ALGEBRICI L defiizioe di rdicle lgerico riclc quell di rdicle ritetico co due sostzili e iporttissie differeze coteplre il sego del rdicdo R vlutre se esistoo e quti e quli soo i vlori di R tli che prof.ss R. Schettio È duque iportte, ll iizio di u esercizio, spere i qule ito si st lvordo, che se tecicete le operzioi soo quelle già dette per i rdicli ritetici (covezioe: il rdicle lgerico lo idichio co u sterisco)

32 DIFFERENZA: SEGNO DI > 0 0 < 0 * * * se se 0 se se è pri è dispri è pri è dispri due vloriopposti u solo vlore il rdicleo h sigificto perchèo esistelcu ueroreleche elevto d espoetepridà per risulttou ueroegtivo u solo vlore I terii prtici (ed lgerici): l rdice pri di u uero egtivo o esiste, l rdice dispri di u uero egtivo esiste ed è uic L rdice pri di u uero positivo esiste ed ette due vlori, l rdice dispri di u uero positivo esiste ed è uic prof.ss R. Schettio

33 DIFFERENZA: VALORI DI > 0 * se se è pri è dispri ± 0 < 0 * * 0 se se è pri il rdicle o h sigificto è dispri prof.ss R. Schettio I terii prtici(ed lgerici): l rdice pri di u uero positivo è dt di due vlori opposti dell rdice ritetic; se il rdicdo è egtivo l rdice o esiste i R L rdice dispri di u uero egtivo è dt dll rdice ritetic co il sego del rdicdo. BUON LAVORO