L insieme prodotto cartesiano

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1 L insieme prodotto cartesiano L insieme prodotto cartesiano Definizione Dato un insieme A e un insieme B non vuoti, sia a un qualunque elemento di A e b un qualunque elemento di B. Chiamiamo coppia ordinata (a, b) un qualsiasi abbinamento di elemento di A con un qualsiasi elemento di B. L elemento di A occuperà la prima posizione mentre l elemento di B occuperà la seconda posizione.

2 L insieme prodotto cartesiano Osservazioni: 1. Notiamo che (a, b) {a, b}, infatti la prima è una coppia in cui il primo elemento è a e il secondo elemento è b, mentre la seconda scrittura è un insieme con elementi a e b (non conta l ordine). Nella prima scrittura l ordine è rilevante, mentre nella seconda non lo è. 2. Se a b, allora (a, b) (b, a)

3 L insieme prodotto cartesiano Definizione Dato un insieme A e un insieme B, si chiama prodotto cartesiano di A con B l insieme che ha come elementi tutte le coppie ordinate aventi il primo elemento appartenente ad A e il secondo elemento appartenente a B. L insieme prodotto cartesiano si indica con A B = {x : x = (a, b) a A b B}.

4 L insieme prodotto cartesiano Esempio Dati A = {Camilla, Lia, Sara} e B = {Luca, Carlo} costruiamo: A B, B A, B B

5 L insieme prodotto cartesiano A B = {(Camilla, Luca), (Camilla, Carlo), (Lia, Luca), (Lia, Carlo), (Sara, Luca), (Sara, Carlo)} B A = {(Luca, Camilla), (Luca, Lia), (Luca, Sara), (Carlo, Camilla), (Carlo, Lia), (Carlo, Sara)} B B = {(Luca, Luca), (Luca, Carlo), (Carlo, Luca), (Carlo, Carlo)}

6 L insieme prodotto cartesiano Osservazioni: Dati due insiemi A e B avremo che: 1. se A B allora A B B A 2. se A ha n elementi e B ha m elementi allora A B ha n m elementi.

7 L insieme prodotto cartesiano Rappresentazioni ed esempi Consideriamo gli insiemi A = {a; b; c} e B = {0; 1}. Costruiamo A B. Possiamo rappresentare A B in vari modi, ad esempio: per elencazione; sfruttando il piano cartesiano (le coppie ordinate sono quindi rappresentate da punti); tramite una tabella a doppia entrata; con un diagramma sagittale.

8 L insieme prodotto cartesiano A = {a; b; c}, B = {0; 1} A B =

9 Le relazioni Le relazioni Nel linguaggio quotidiano: In relazione a quanto hai detto credo di poter essere d accordo La mia relazione con Lia non è più serena come una volta Ho scritto una relazione sulla tua pessima condotta In relazione a quante calorie mangi puoi avere più o meno energia da spendere in attività fisiche e cognitive

10 Le relazioni In ambito matematico: Definizione Dati due insiemi A e B si dice relazione binaria R di A con B uno dei qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A B: R A B Dati a A e b B per indicare che (a, b) R si dice che a è in relazione con b e si può anche scrivere arb. Osservazione: Si noti che fra gli elementi appartenenti a ciascuna coppia non è necessario che vi sia un legame di significato.

11 Le relazioni Esempi di relazione Dato A = {1, 3, 6, 15} e B = {5, 7, 10} si consideri in A B: arb se e solo se a = b 4 Avremo quindi R = {(1, 5), (3, 7), (6, 10)}. In questo caso la relazione è data per proprietà caratteristica e ne abbiamo poi elencato gli elementi.

12 Le relazioni Dato A = {cane, gatto, orso} e B = {5, 7, 10} una relazione è, ad esempio: S = {(cane, 5), (cane, 7), (orso, 7)} pur non riconoscendo alcun legame semantico esistente fra gli elementi dei due insiemi. In questo caso non è possibile descrivere la relazione per proprietà caratteristica.

13 Le relazioni Rappresentazione di una relazione Rappresentazione di una relazione 1. Per elencazione 2. Se possibile, per proprietà caratteristica 3. Diagramma sagittale Si rappresentano gli insiemi A e B con i diagrammi di Eulero-Venn e poi si collega con una freccia ciascun elemento di A con ogni elemento di B con cui è in relazione.

14 Le relazioni Rappresentazione di una relazione Consideriamo gli esempi precedenti e rappresentiamo le relazioni nei diversi modi. Primo esempio: A = {1, 3, 6, 15} e B = {5, 7, 10} arb se e solo se a = b 4

15 Le relazioni Rappresentazione di una relazione Secondo esempio: A = {cane, gatto, orso} e B = {5, 7, 10} S = {(cane, 5), (cane, 7), (orso, 7)}

16 Le relazioni Rappresentazione di una relazione Scheda scuola primaria...

17 Le relazioni Rappresentazione di una relazione I due insiemi su cui è definita la relazione possono anche coincidere. In tal caso di parla di relazione su un insieme. Esempio Sia A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} e sia D = {(x; y) A A : y = 2x} Rappresentiamo la relazione tramite diagramma sagittale...

18 Le relazioni Rappresentazione di una relazione 4. Rappresentazione con tabella a doppia entrata Si contrassegnano le caselle che corrispondono alle coppie appartenenti alla relazione. Con una freccia si indica il senso di lettura della tabella. Presa la relazione S precedentemente definita S = {(cane, 5), (cane, 7), (orso, 7)} la rappresentazione con tabella a doppia entrata è la seguente cane x gatto x orso x

19 Le relazioni Rappresentazione di una relazione Scheda scuola primaria... Provare a tradurlo con la rappresentazione saggitale o quella per elencazione.

20 Le relazioni Rappresentazione di una relazione 5. Diagramma cartesiano Si reticola il piano secondo due direzioni perpendicolari e si evidenziano i punti di intersezione del reticolo che corrispondono alle coppie che appartengono alla relazione. Presa la relazione S = {(cane, 5), (cane, 7), (orso, 7)} definita su A = {cane, gatto, orso} e B = {5, 7, 10}, si ha...

21 Le funzioni Le funzioni Cosideriamo nuovamente le relazioni tra due insiemi A e B. Definizione Una relazione R A B è detta funzione da A in B se qualunque sia a A esiste ed è unico l elemento di b B tale che (a, b) appartenga a R: a A! b B : (a, b) R Le funzioni vengono anche indicate nel seguente modo: { A B f : a b = f (a) con (a, b) R.

22 Le funzioni Le funzioni Cosideriamo nuovamente le relazioni tra due insiemi A e B. Definizione Una relazione R A B è detta funzione da A in B se qualunque sia a A esiste ed è unico l elemento di b B tale che (a, b) appartenga a R: a A! b B : (a, b) R Le funzioni vengono anche indicate nel seguente modo: { A B f : a b = f (a) con (a, b) R.

23 Le funzioni Osservazione Per decidere se una relazione è una funzione oppure no, non devo osservare cosa accade in B, devo osservare unicamente cosa accade per ciascun elemento di A.

24 Le funzioni Esempio Siano A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}. f 1 = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, d)} è una funzione da A in B?

25 Le funzioni Esempio Siano C = {1} e D = {a, b, c, d}. f 2 = {(1, b)} è una funzione da C in D?

26 Le funzioni Esempio Siano E = {1, 2, 3} e F = {a, b, c, d}. f 3 = {(1, a), (2, b), (3, b)} è una funzione da E in F?

27 Le funzioni Scheda scuola primaria...

28 Le funzioni Scheda scuola infanzia/primaria... Osservazioni?

29 Osservazioni? Le funzioni Scheda scuola primaria...

30 Le funzioni Una funzione f : A B è biettiva se è tale che b B :!a A : b = f (a)

31 Le funzioni Esempio Siano A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}. g 1 = {(1, a), (2, b), (3, d)} è una funzione da A in B? È biiettiva?

32 Le funzioni Esempio Siano C = {1, 2, 3, 4} e D = {a, b, c, d}. g 2 = {(1, b), (3, a), (2, d), (4, c)} è una funzione da C in D? È biiettiva?

33 Le funzioni Esempio Siano E = {1, 2, 3} e F = {a, b}. g 3 = {(1, a), (2, b), (3, b)} è una funzione da E in F? È biiettiva?

34 Le funzioni Esempio Sia E = {1, 2, 3}. g 4 = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)} è una funzione da E in E? È biiettiva?

35 Le funzioni Esempio Sia E = {1, 2, 3}. g 5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 1)} è una funzione da E in E? È biiettiva?

36 Le funzioni Scheda scuola primaria...

37 Le funzioni Il diagramma sagittale di una funzione f : A B prevede di rappresentare la funzione stessa tramite delle frecce che collegano gli elementi di A con i corrispettivi elementi di B (immagini). Possiamo invertire le frecce? Sempre? Rivediamo gli esempi precedenti...

38 Le funzioni Possiamo invertire le frecce (considerare cioè la funzione inversa) solo se ogni elemento di B è raggiunto esattamente da una freccia. Ciò avviene se la funzione è biiettiva. Dire che una funzione è biiettiva equivale a dire che è invertibile, cioè che è possibile determinare la funzione inversa.

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