Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca

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1 Corso di Statistica medica e applicata 4 a Lezione Dott.ssa Donatella Cocca

2 Concetti principale della lezione precedente I concetti principali che sono stati presentati sono: Indici di dispersione o di variabilità Indici di dispersione assoluti Indici di dispersione relativi

3 I Fenomeni Probabilistici Si definiscono esperimenti casuali o aleatori gli avvenimenti i cui esiti non sono certi. Verrà chiamato evento casuale o aleatorio ogni proposizione relativa ad un esperimento aleatorio della quale ci si chiede se é vera o falsa. Si definisce variabile casuale (o aleatoria) ogni osservazione riferita a tale evento (tale concetto sarà ripreso ed approfondito in seguito). E possibile dunque distinguere fra eventi certi (non sussistono dubbi sul fatto che si verifichino), eventi impossibili (esiste sempre una certezza, ma sul fatto che non si verifichino), ed eventi probabili (tutti quelli che non rientrano nelle precedenti situazioni, e si tratta della stragrande maggioranza dei casi).

4 I Fenomeni Probabilistici Lo strumento adatto a studiare e misurare i fenomeni aleatori è la teoria della probabilità. Un evento può essere classificato nel modo seguente: evento semplice o esaustivo: la singola manifestazione di un fenomeno, quale una misura o una singola osservazione (tutte le altre eventuali manifestazioni del fenomeno sono escluse) evento composto: costituito da una combinazione di più eventi semplici.

5 I Fenomeni Probabilistici Esempio: Probabilità di un evento semplice Consideriamo un evento, può risultare: certo (si verifica sempre): estrazione di una pallina nera da un urna contenente solo palline nere; la morte in caso di coma irreversibile impossibile (non si verifica mai): estrazione di una pallina bianca da un urna contenente solo palline nere; effettuare un analisi senza i reagenti necessari possibile o probabile (può verificarsi oppure no): estrazione di una pallina bianca da un urna contenente sia palline nere che bianche; la sopravvivenza di un individuo fino all età di 75 anni.

6 I Fenomeni Probabilistici Si usa il termine successo per indicare che si è verificato l evento considerato, insuccesso in caso contrario. Successo ed insuccesso si escludono a vicenda, sono cioè incompatibili o mutuamente esclusivi. Un insieme S contenente tutti i possibili risultati di un esperimento/evento casuale è detto spazio campione; ciascun risultato è un elemento o punto di S. Esempio: Lo spazio campione S corrispondente al lancio di un dado a 6 facce è: S={1,2,3,4,5,6} e costituisce un esempio di spazio campione finito.

7 I Fenomeni Probabilistici Se si considera come evento il numero di volte che un dado deve essere lanciato prima di ottenere un 6, si ha invece uno spazio campione infinito: infatti ogni numero intero positivo è un possibile risultato. Se l esperimento consiste nel misurare la lunghezza di un segmento: si ha in questo caso uno spazio campione continuo cioè gli elementi che lo compongono costituiscono un insieme continuo. Uno spazio campione è detto discreto se ha un numero finito di elementi. Un evento (E) è un sottoinsieme dello spazio campione S (E S), cioè in insieme di risultati possibili. In questo modo anche le relazioni tra eventi possono essere espresse in termini insiemistici.

8 Richiami di Insiemistica applicati alla probabilità o L evento C unione dell evento A con B sarà: C=A B={x/ x A oppure x B}

9 Richiami di Insiemistica applicati alla probabilità o L evento C intersezione dell evento A con B sarà: C=A B={x/ x A e x B} Supponiamo che gli eventi A e B siano compatibili ma indipendenti (due eventi sono detti indipendenti se il verificarsi di A non altera il verificarsi di B), allora: P(A B)=P(A) P(B) Supponiamo che gli eventi A e B siano compatibili ma dipendenti (due eventi sono detti dipendenti se il verificarsi di A altera il verificarsi di B), allora: P(A B)=P(A) P(B A)

10 Richiami di Insiemistica applicati alla probabilità o L evento C intersezione dell evento A con B sarà: C=A B={x/ x A e x B}

11 Richiami di Insiemistica applicati alla probabilità o L evento C differenza dell evento A da B è dato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B: C=A\B={x/ x A e x B}. Se l insieme di riferimento è tutto lo spazio campione S, allora C è detto insieme/evento complementare di A e si indica con: A = S\A=S-A={x/ x S e x A}

12 Richiami di Insiemistica applicati alla probabilità Riepilogo Eventi A e B Incompatibili A B=Ø Compatibili A B Ø P(A B)=P(A)+P(B) P(A B)=Ø P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) P(A B) Ø Indipendenti =P(A) P(B) Dipendenti =P(A) P(B A) =P(B) P(A B)

13 La Probabilità La probabilità può essere definita come il grado di verosimiglianza con cui un evento è destinato a verificarsi. Dunque possiamo dare una definizione classica (o matematica), cioè: La probabilità di un evento è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, purché tutti i casi considerati siano mutuamente esclusivi ed ugualmente possibili: P (E) = n di successi / n dei risultati possibili

14 La Probabilità Un altra definizione di probabilità è la seguente: Se si ripete un processo un gran numero di volte N e se un certo evento E si verifica n volte, la frequenza relativa di successo di E, n/n, sarà approssimativamente uguale alla probabilità di E: P(E) = n/n Questa probabilità è talvolta detta probabilità oggettiva o anche probabilità a priori: il motivo dell'appellativo "a priori" deriva dal fatto che è possibile stimare la probabilità di un evento a partire dalla simmetria del problema.

15 La legge empirica del caso La legge empirica del caso afferma che: In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza (relativa) che è press a poco uguale alla sua probabilità teorica. L approssimazione cresce con il crescere del numero delle prove Quindi, se un esperimento casuale è ripetuto un numero infinito di volte (E ), allora la frequenza relativa di un certo risultato converge, con probabilità = 1 (P(E) 1), ad un unico limite fisso.

16 La legge empirica del caso Si potrebbe allora dire che la probabilità di un risultato è il limite della sua frequenza relativa. Per esempio, se si lancia una moneta molte volte, possiamo aspettarci di avere alla lunga la metà dei lanci con risultato testa, diciamo allora che la probabilità di ottenere testa vale 0,5. La probabilità può essere,quindi, definita come il grado di verosimiglianza con cui un evento è destinato a verificarsi.

17 Proprietà della probabilità Per il calcolo delle probabilità si ha che: La probabilità è una proporzione o frazione che varia tra i valori 0 e 1, estremi inclusi: 0<P(E)<1 dove associamo il valore zero a un evento che non ha nessuna possibilità di verificarsi (evento impossibile) e il valore uno a un evento che si verificherà sicuramente (evento certo). Se due eventi A e B non possono accadere insieme (sono mutuamente esclusivi), la probabilità che si realizzi uno o l altro è la somma delle probabilità. Formalmente si scrive: [A B = Ø] [P(A B)= P(A)+ P(B)] (principio della somma)

18 Proprietà della probabilità Il principio della somma si può estendere a k eventi mutuamente esclusivi, e questo è uno degli assiomi fondamentali del calcolo delle probabilità: P(H K Y ) = P(H) + P(K) + P(Y) + Esempio : Consideriamo il lancio di due dadi, ci sono 36 possibili combinazioni delle facce dei due dadi, e di queste 6 possibili combinazioni danno come somma 7; quindi la probabilità di ottenere 7 lanciando 2 dadi è: P(7) = 6/36 mentre la probabilità di avere come punteggio 9 è: P(9)=4/36 Così la probabilità di ottenere in un lancio di dadi come punteggio un 7 o 9 sarà: P(7 9) = P(7) + P(9) = 10/36

19 Proprietà della probabilità La somma delle probabilità di tutti gli eventi mutuamente esclusivi è uguale a 1 (proprietà dell esaustività) P(E 1 )+P(E 2 )+...+P(E n )=1 La probabilità che due eventi si realizzino insieme è il prodotto della probabilità del primo per la probabilità che accada il secondo se il primo si è realizzato. Formalmente si scrive: P(A B) = P(A) P(B A) dove P(B A) è la probabilità condizionata (vedi dopo la definizione)

20 I Fenomeni Probabilistici Parleremo del complemento di un evento o evento complementare, per indicare che l'evento non succede. Per esempio, se consideriamo l'evento possedere un cane, il suo complemento è " non possedere un cane". Poiché un evento ed il suo complemento sono mutuamente esclusivi, ed inoltre uno o l altro capita certamente, si ha: P(A) + P(non A) = 1. Perciò P(non A) = 1 - P(A) (tutto ciò si scrive come: P( A )=1-P(A)). Esempio: Consideriamo il lancio di un dado, la probabilità che esca per esempio il valore 3 è: P(3) = 1/6 = così la probabilità che esca un valore diverso da 3 (o in altre parole che non esca il valore 3) sarà: P(valore 3) = 1-P(3) = =

21 Probabilità condizionale: I Fenomeni Probabilistici Spesso il verificarsi di un evento è condizionato dal verificarsi di un altro. Per esempio nel caso del gioco delle carte, in estrazioni successive (senza re immissione) la probabilità di estrarre dal mazzo per esempio l asso di quadri, è condizionata dal fatto che non sia già uscito nelle estrazioni precedenti. Un esempio particolarmente efficace può essere tratto dall Analisi della Sopravvivenza : in questo caso la probabilità che un soggetto sopravviva al tempo t k è condizionato dal fatto che sia sopravvissuto al tempo precedente t k-1. La probabilità che si manifesti l evento H dato che l evento K si è già manifestato (che solitamente si legge come probabilità di H dato K), si indicherà come P(H K).

22 I Fenomeni Probabilistici Esempio: Immaginiamo di fare delle estrazioni senza re immissione da un mazzo di 40 carte (cioè senza re immettere la carta estratta). Definiamo con K l evento il seme della prima carta estratta è quadri e con H l evento il seme della seconda carta estratta è quadri ; H K sarà l evento il seme della seconda carta estratta è quadri dato che il seme della prima carta estratta era quadri. In termini di probabilità: P(K) = 10/40 e, se l evento K si è manifestato, P(H K) = 9/39 Eventi che si manifestano congiuntamente: Dati due eventi H e K, la probabilità che essi si manifestino contemporaneamente è data da: P(H K) = P(H K) P(K) Principio del prodotto

23 Eventi Indipendenti: I Fenomeni Probabilistici Si definiscono indipendenti due eventi per i quali vale la relazione: P(H K) = P(H) e quindi P(H K) = P(H K) P(K)=P(H) P(K) Relazioni fondamentali nel calcolo delle probabilità: 1) Quanto visto finora può essere riassunto in due relazioni fondamentali del calcolo delle probabilità: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) che equivale a P(A+B) = P(A) + P(B) P(A B)

24 I Fenomeni Probabilistici 2) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) che equivale a P(A B) = P(A) + P(B) - P(A+B) Un altro modo per esprimere tale propriètà è il seguente: P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B). Se A e B sono eventi indipendenti si ha che: P(A B) = P(A) così come P(B A) = P(B) in questo caso abbiamo che: P(A B) = P(A) P(B) L esempio che segue mostra delle applicazioni mediche di queste due importanti proprietà del calcolo di probabilità.

25 I Fenomeni Probabilistici Esempio: INSIEME PROBABILITA ESEMPIO Eventi mutuamente esclusivi P(A B)=P(A)+P(B) Gruppi sanguigni: Se P(0)=0.46 e P(AB)=0.04, qual è la probabilità di riscontrare un soggetto con gruppo 0 oppure AB? P(0 AB)=P(0)+P(AB)= =0.50 UNIONE (A B) Gruppi sanguigni: Eventi non mutuamente esclusivi P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) Se P(Rh + )=0.85 e P(0 Rh + )=0.39, qual è la probabilità di riscontrare un soggetto con gruppo 0 oppure Rh +? P(0 Rh + )=P(0)+P(Rh + )-P(0 Rh + )= = =0.92

26 I Fenomeni Probabilistici INSIEME PROBABILITA ESEMPIO INTERSEZIONE (A B) Eventi indipendenti P(A B)=P(A) P(B) Eventi dipendenti P(A B)=P(A) P(B A) Gruppi sanguigni: Qual è la probabilità di riscontrare un soggetto di gruppo 0 con Rh +? P(0 Rh + )=P(0) P(Rh + )= =0.39 Daltonismo (D) e sesso maschile (M) Se in una popolazione P(M)=0.52, P(D)=0.05 e P(D M)=0.08, qualè la probabilità di scegliere casualmente da tale popolazione un soggetto di sesso maschile e daltonico? P(M D)=P(M) P(D M)= =0.042 N.B.: Il calcolo per eventi indipendenti porta erroneamente a P(M D)=P(M) P(D)= =0.026

27 Teorema delle Ipotesi - Formula di Bayes Un evento A può essere determinato da un evento E 1 o da un evento E 2. Vogliamo determinare la probabilità che sia E 1 a determinare A, ovvero vogliamo risalire alle cause: P ( E A) 1 = P P(E 1 ) probabilità a priori di E 1 P(A E 1 ) probabilità condizionata P( E ) ( ) 1 P A E1 ( E ) P( A E ) + P( E ) P( A E ) 1 P(E 1 A) probabilità a posteriori che sia E 1 a far verificare A. Dunque la Formula di Bayes permette di calcolare la probabilità a posteriori attraverso le probabilità a priori e condizionata

28 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Teorema di Bayes-valore predittivo di un test di laboratorio Prima di analizzare le applicazioni di tale teorema diamo la definizione di Sensibilità, Specificità di un test diagnostico e di Prevalenza della malattia. In medicina, per individuare o escludere una condizione patologica, si fa affidamento a test diagnostici o di screening. I test, in misura variabile, presentano dei limiti sia nella capacità di riconoscere tutti i malati che nell individuare tutti i sani. La sensibilità di un test è la capacità del test di identificare i soggetti che presentano la malattia e, quindi, corrisponde alla proporzione di soggetti realmente ammalati identificati come tali dal test.

29 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina La sensibilità è importante quando l obiettivo è quello di non farsi sfuggire i casi di malattia, come nel caso di malattie gravi rapidamente evolutive, in cui un intervento tempestivo può essere cruciale. Se un test molto sensibile risulta negativo, si può ragionevolmente ritenere che la malattia non c è e non occorre generalmente procedere con ulteriori esami. La specificità di un test è la capacità del test di identificare i soggetti che non presentano la malattia e, quindi, corrisponde alla proporzione di soggetti realmente sani che sono identificati come tali dal test. La specificità è importante quando è necessario essere sicuri della diagnosi fatta, come nel caso di una diagnosi che indichi un intervento di chirurgia demolitiva.

30 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Se un test molto specifico risulta positivo, si può ragionevolmente ritenere che la malattia è presente e si può generalmente procedere con i trattamenti previsti. In generale test molto sensibili sono poco specifici (possono più facilmente produrre falsi positivi). Viceversa, test molto specifici sono in generale poco sensibili (possono più facilmente produrre falsi negativi). Definiamo infine come prevalenza della malattia il numero dei soggetti malati presenti, in un dato istante, nella popolazione (una prevalenza del 5 per mille significa che il 5 per mille delle persone è affetto dalla malattia, e così via).

31 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Per modellizzare il teorema di Bayes nel campo della diagnostica di laboratorio, dobbiamo innanzitutto costruirci una tabella nella quale riassumere i risultati di un test quantitativo, considerando una classificazione dicotomica (cioè una classificazione dove compare il rapporto di due caratteri che si escludono a vicenda) tra soggetto malato (indicato con M+) e soggetto sano (indicato con M-) e tra risultato positivo del test (indicato con T+) e risultato negativo del test (indicato con T-).

32 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Esprimendo queste grandezze in termini di probabilità (cioè considerando la sensibilità e la specificità) abbiamo le definizioni: Alle due principali grandezze, la sensibilità e la specificità, ne va aggiunta un terza, la prevalenza P(M+), cioè il numero di soggetti che hanno la specifica malattia presenti, in un dato istante, nella popolazione (quindi abbiamo che: P(M-) = 1 P(M+) il numero di soggetti che non hanno la specifica malattia presenti, in un dato istante, nella popolazione).

33 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Nel caso di due situazioni mutuamente esclusive (affetto o non affetto dalla malattia A) ricordiamo che il teorema di Bayes è espresso nella forma: P ( A B) = P P( B A) P( A) ( B A) P( A) + P( B nona) P( nona) dove sostituendo A con M+ e B con T+, abbiamo: Probabilità a posteriori Probabilità a priori effetto data la causa P ( M + T+ ) = P( M + ) P( T+ M + ) ( + M + ) P( M + ) + P( T+ M ) P( M ) P T ( ) causa dato l effetto Cioè:

34 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina P ( M + T+ ) = sensibilità sensibilità prevalenza prevalenza+ ( 1 specificità)( 1 prevalenza) La probabilità che un test sia positivo data la malattia, P(T+ M+) che si trova sulla destra dell espressione ( ) deve essere letta come la probabilità dell effetto (risultato positivo del test) data la causa (la malattia). La probabilità che la malattia sia presente in un soggetto con un test positivo, P(M+ T+), che si trova sulla sinistra delle formule ( ) e di quella sopra, deve essere letta come la probabilità della causa (la malattia) dato l effetto (risultato positivo del test), ed è definita come il valore predittivo del test positivo.

35 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina La patologia medica insegna come si comportano i segni data la malattia (l effetto data la causa). Ci insegna ad esempio che nell'epatite virale di tipo A è presente un aumento moderato delle transaminasi. La clinica medica, insegna a diagnosticare la malattia dati i segni (la causa dato l effetto). Un soggetto con aumento moderato delle transaminasi, che probabilità ha di essere affetto da una epatite A? Il teorema di Bayes consente, conoscendo la prevalenza di una malattia, e la sensibilità e la specificità di un test per la sua diagnosi, di calcolare la probabilità di malattia in caso di test positivo (o la probabilità di assenza della malattia in caso di test negativo). Consente, in altre parole, il passaggio dalla patologia medica alla clinica medica, e fornisce le basi della razionalità della diagnostica di laboratorio e, a un livello superiore, della decisione medica

36 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Reciprocamente abbiamo la seguente forma del teorema di Bayes: P( M ) P( T M ) P( M T ) = P T M P M + P T M + P M + Cioè: P ( M T ) = specificità ( ) ( ) ( ) ( ) specificità ( 1 prevalenza ) ( 1 prevalenza) + ( 1 sensibilità)prevalenza la probabilità che la malattia sia assente in un soggetto con un test negativo, P(M- T-), che si trova sulla sinistra dell espressione, è definita come il valore predittivo del test negativo.

37 Relazione tra il Teorema di Bayes e casi osservati Osservazione: analizziamo il collegamento che esiste tra l espressione del teorema di Bayes in termini di probabilità e l espressione in termini di numero dei casi osservati. Consideriamo la tabella seguente: E possibile passare dalle probabilità al numero di casi osservati moltiplicando le grandezza della prima riga per P(M+) e le grandezza della seconda riga per P(M-), così facendo otteniamo la seguente tabella:

38 Relazione tra il Teorema di Bayes e casi osservati Tale tabella mette in evidenza le corrispondenze che ci permettono di ricalcolare tutte le grandezze in termini di numero dei casi osservati, ossia:

39 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Esempio 1: La probabilità che una persona con più di cinquant anni senza sintomi abbia un cancro del colorettale è dello 0,3%. Se una persona ha un cancro colorettale, c è una probabilità del 50% che abbia il test del sangue occulto nelle feci positivo; se non ha un cancro colorettale, c è una probabilità del 3% che abbia comunque il test del sangue occulto nelle feci positivo. Immaginate una persona sopra i cinquant anni, asintomatica, sottoposta a screening e con il test del sangue occulto nelle feci positivo. Quale è la probabilità che abbia veramente un cancro colorettale?

40 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina La probabilità che una persona con più di cinquant anni senza sintomi abbia un cancro del colorettale è dello 0,3%. Cioè: prevalenza della malattia = P(M+) = 0,003 Se una persona ha un cancro colorettale, c è una probabilità del 50% che abbia il test del sangue occulto nelle feci positivo. Cioè: sensibilità = P(T+ M+) = 0,5 Se non ha un cancro colorettale, c è una probabilità del 3% che abbia comunque il test del sangue occulto nelle feci positivo. Cioè: 1-specificità = 1-P(T- M-) = 0,003 specificità = P(T- M-) = 0,97. Dunque: Sensibilità del test = 50% (0,5) Specificità del test = 97% (0,97) Prevalenza = 0,3% = 3/1000 (0,003)

41 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Per cui la probabilità di essere malato se è risultato un test positivo è: 0,05= Valore predittivo di un test positivo sensibilità ( 0,5) ( 0,003) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,003 + prevalenza 0,03 0,97 1-specificità 1-prevalenza Invece, la probabilità di essere sano se è risultato un test negativo è: specificità 1-prevalenza 0,998 = Valore predittivo di un test negativo ( 0,97) ( 0,97) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,97 0, ,5 0,003 1-sensibilità prevalenza

42 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Esempio 2: Un marcatore tumorale ha le seguenti caratteristiche: (i) è positivo in 95 su 100 pazienti con il cancro; (ii) è negativo in 95 su 100 pazienti senza in cancro; (iii) in media, 5 persone su una popolazione di 1000 hanno un cancro non ancora diagnosticato del tipo che il marcatore tumorale in questione rileva. Se il test è prescritto a un paziente selezionato casualmente in questa popolazione e l esito è positivo, quale è la probabilità che il paziente abbia realmente il cancro?

43 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Un marcatore tumorale ha le seguenti caratteristiche: (i) è positivo in 95 su 100 pazienti con il cancro, cioè: sensibilità = P(T+ M+) = 0,95 Un marcatore tumorale ha le seguenti caratteristiche: (ii) è negativo in 95 su 100 pazienti senza il cancro, cioè: specificità = P(T- M-) = 0,95 Un marcatore tumorale ha le seguenti caratteristiche: (iii) in media, 5 persone su una popolazione di 1000 hanno un cancro non ancora diagnosticato del tipo che il marcatore tumorale in questione rileva, cioè: prevalenza della malattia = P(M+) = 0,005.

44 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Dunque: Sensibilità del test = 95% (0,95) Specificità del test = 95% (0,95) Prevalenza = 5/1000 (0,005) Per cui la probabilità di essere malato se è risultato un test positivo è: ( 0,95) ( 0,005) 0,09= 0,95 0, ,05 0,995 ( ) ( ) ( ) ( ) Invece, la probabilità di essere sano se è risultato un test negativo è: ( 0,95) ( 0,995) 0,9997= 0,95 0, ,05 0,005 ( ) ( ) ( ) ( )

45 Applicazioni del Teorema di Bayes in medicina Dunque le conclusioni dei due esempi sono: Test del sangue occulto nelle feci Immaginate una persona sopra i cinquant anni, asintomatica, sottoposta a screening e con il test del sangue occulto nelle feci positivo. Quale è la probabilità che abbia veramente un cancro colorettale? Risposta: 5% (5 veri positivi e 95 falsi positivi!!) Marcatore tumorale Se il test è prescritto a un paziente selezionato casualmente... e l esito è positivo, quale è la probabilità che il paziente abbia realmente il cancro? Risposta: 9% (9 veri positivi e 91 falsi positivi!!)

46 Relazione tra il Teorema di Bayes e casi osservati Esempio 3: Consideriamo, riportati nella tabella sottostante, i risultati della determinazione dell alfa-fetoproteina nel cancro del fegato (malati, M+) e in altri disordini (sani, M-): M+ M- dai quali è possibile calcolare : T+ T VP FN 39 FP sensibilità = VP / (VP+FN) = 90 / (90+17) = 0, VN specificità = VN / (VN+FP) = 2079 / ( ) = 0,982 prevalenza =(VP+FN)/(VP+FN+FP+VN)= (90+17) / ( ) = 0,048

47 Relazione tra il Teorema di Bayes e casi osservati valore predittivo del test positivo = P(M+ T+)= VP / (VP+FP) = 90 / (90+39) = 0,698 valore predittivo del test negativo = P(M- T-)=VN / (VN+FN) = 2079 / ( ) = 0,992

48 Concetti principale della lezione I concetti principali che sono stati presentati sono: I fenomeni probabilistici Definizione di probabilità Proprietà della probabilità Legge empirica del caso Teorema di Bayes Applicazioni nel campo medico del teorema