Anno 2. Triangoli rettangoli e teorema delle corde

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1 Anno Tringoli rettngoli e teorem delle orde 1

2 Introduzione In quest lezione impreri d pplire i teoremi di Eulide e di Pitgor e sopriri quli prtiolrità nsondono i tringoli rettngoli on ngoli prtiolri. Infine, l nostr ttenzione si soffermerà sull dimostrzione di un teorem rigurdnte le orde di un ironferenz. Al termine dell lezione sri in grdo di: utilizzre i teoremi di Eulide e di Pitgor desrivere le proprietà dei tringoli rettngoli on ngoli di, e 4 6 dimostrre il teorem delle orde In quest lezione ffronteremo lune importntissime questioni geometrihe legte i tringoli. Impreri d pplire i teoremi di Eulide e di Pitgor e sopriri quli prtiolrità nsondono i tringoli rettngoli on ngoli prtiolri. Infine, l nostr ttenzione si soffermerà sull dimostrzione di un teorem rigurdnte le orde di un ironferenz. Al termine dell lezione sri pertnto in grdo di utilizzre i teoremi di Eulide e di Pitgor, di desrivere le proprietà dei tringoli rettngoli on ngoli di 45, 60 e 0 e di dimostrre il teorem delle orde.

3 Il primo teorem di Eulide I teoremi di Eulide e di Pitgor sono teoremi molto importnti. Primo teorem di Eulide: In un tringolo rettngolo un teto è medio proporzionle tr l ipotenus e l proiezione del teto stesso sull ipotenus. In simoli: AB : AC AC : AH AC AB AH Esempio: In un tringolo rettngolo l ipotenus AB=0m e l proiezione del teto AC sull'ipotenus è AH = 5m. Qul è il perimetro del tringolo? Soluzione: se l proiezione di AC misur 5m, l proiezione di BC, per sottrzione dll ipotenus, misur 15m. Applindo il primo teorem di Eulide: AC (05) m BC (015) m 100m 00m AC 10m BC 10 m p AB BC AC m 10 m Tr i più importnti teoremi sui tringoli rettngoli i sono siurmente i teoremi di Eulide e di Pitgor. Il primo teorem di Eulide fferm he: in un tringolo rettngolo un teto è medio proporzionle tr l ipotenus e l proiezione del teto stesso sull ipotenus. Si può equivlentemente dire he, geometrimente, il qudrto ostruito su un teto è equivlente l rettngolo vente per dimensioni l ipotenus e l proiezione del teto sull ipotenus. Fimo un esempio. Considerimo un tringolo rettngolo in ui l ipotenus AB misur 0m e l proiezione del teto AC su ess misur 5m. Supponimo di voler lolre il perimetro del tringolo. Risolvimo il prolem: se l proiezione di AC misur 5 m, l proiezione di BC, per sottrzione dll ipotenus, misur 15m. Applindo il primo teorem di Eulide imo quindi he il qudrto di AC vle 100m. Anlogmente si trov he BC misur 10 m. A questo punto, per trovre il perimetro st sommre tutti e tre i lti e il gioo è ftto!

4 Il seondo teorem di Eulide Seondo teorem di Eulide: In un tringolo rettngolo l ltezz reltiv ll ipotenus è medio proporzionle tr le proiezioni dei teti sull ipotenus stess. In simoli: AH : CH CH : BH CH Esempio: AH BH Dto un tringolo rettngolo in ui le proiezioni dei teti sull ipotenus misurno rispettivmente m e 18m, trovre l re del tringolo. Soluzione: sommndo le due proiezioni si ottiene he l ipotenus misur (+18)m=0m. Per trovre l ltezz reltiv ll ipotenus si ppli il seondo teorem di Eulide: CH (18) m 6m CH 6m ( AB CH ) (06) Are m 60m Il seondo teorem di Eulide fferm he: in un tringolo rettngolo l ltezz reltiv ll ipotenus è medio proporzionle tr le proiezioni dei teti sull ipotenus stess. Dll proporzione si riv he il qudrto ostruito sull ltezz reltiv ll ipotenus è equivlente l rettngolo vente per dimensioni le due proiezioni dei teti sull stess ipotenus. Un esempio i iut omprendere qundo e ome utilizzre questo teorem. Supponimo si dto un tringolo rettngolo in ui le proiezioni dei teti sull ipotenus misurno rispettivmente m e 18m; si hiede di trovre l re del tringolo. Vedimo ome risolvere il prolem: sommndo le due proiezioni si ottiene he l ipotenus misur (+18)m=0m. Per trovre l ltezz reltiv ll ipotenus si ppli proprio il seondo teorem di Eulide, ottenendo he l su misur è di 6m. A questo punto, on l lssi formul, moltiplindo se per ltezz e dividendo per due si ottiene l re volut. 4

5 Il teorem di Pitgor Teorem di Pitgor: Un tringolo è rettngolo se e solo se l somm dei qudrti ostruiti sui teti è ugule l qudrto ostruito sull ipotenus. In simoli: AB AC BC Esempio: Dto un tringolo rettngolo on l ipotenus di 10m e un teto di 6m, trovre l misur dell ltro teto. Soluzione: possimo invertire l formul del teorem di Pitgor, ottenendo d AB AC BC l formul per trovre un teto: AC AB BC. Supponendo quindi di himre AC il teto d trovre: AC (10 6 ) m (100 6) m AC 8m 64m Applindo il primo teorem di Eulide tutti e due i teti del tringolo e sommndo i risultti si h il teorem di Pitgor: un tringolo è rettngolo se, e solo se, l somm dei qudrti ostruiti sui teti è ugule l qudrto ostruito sull ipotenus. Sommndo, inftti, i rettngoli venti ome misure le proiezioni dei teti sull ipotenus e l ipotenus stess, si ottiene il qudrto ostruito sull ipotenus, ome si vede dll figur. L srittur in simoli si riferise ll figur nto. Anhe in questo so un esempio i f pire ome pplire questo teorem. Dto un tringolo rettngolo on l ipotenus di 10 m e un teto di 6 m, trovimo l misur dell ltro teto. Per risolvere il prolem è neessrio invertire l formul del teorem di Pitgor; dll relzione AB =AC +BC si ottiene AC =AB -BC e quindi AC=AB -BC =8m. 5

6 Tringoli rettngoli on ngoli di 45 Un tringolo rettngolo on un ngolo di 45 deve vere nhe l ltro ngolo di 45 : il tringolo è un tringolo rettngolo isosele il tringolo è l metà di un qudrto Chimto il teto AB, seguono importnti proprietà: il teto BC h misur pplindo il teorem di Pitgor si può nhe lolre l ipotenus AC AC AC Chimt questo punto l ipotenus, si può invertire l formul trovndo osì il teto : Utilizzndo il teorem ppen trovto e onsiderndo tringoli rettngoli prtiolri si possono soprire proprietà interessnti. Un tringolo rettngolo on un ngolo di 45 deve vere nhe l'ltro ngolo di 45, poihé l somm intern degli ngoli è pri 180. Quindi il tringolo è un tringolo rettngolo isosele ed è l metà di un qudrto. Se AB= llor nhe il teto BC h misur. Applindo il teorem di Pitgor, si può nhe lolre l'ipotenus AC: AC. Se è l'ipotenus, si può invertire l preedente formul rivndo. 6

7 7 Tringoli rettngoli on ngoli di 60 e 0 Un tringolo rettngolo on un ngolo di 60, deve ovvimente vere l ltro ngolo di 0 è metà tringolo equiltero. = teto minore AB, = teto mggiore BC e = ipotenus AC. Proprietà: il teto minore è l metà dell ipotenus, ioè e si può usre Pitgor per trovre l ltro teto: si possono lolre le formule inverse: 4 1 Un tringolo rettngolo he h, invee, un ngolo di 60, deve ovvimente vere l ltro ngolo di 0. Si trtt pertnto di un tringolo rettngolo he è metà tringolo equiltero. Chimimo il teto minore AB, il teto mggiore BC e l ipotenus AC. Il teto minore è l metà dell ipotenus, ioè =/ e, di onseguenz, =; A questo punto si può usre il teorem di Pitgor per trovre l ltro teto:. Oppure, rispetto ll ltro teto: ) (. Si possono nturlmente invertire queste formule ottenendo.

8 Il teorem delle orde Teorem delle orde: Se in un ironferenz due orde si tglino fr loro, il rettngolo he h ome dimensioni le due prti di un ord è equivlente l rettngolo he h per dimensioni le due prti dell ltr. In simoli: AE BE CE DE Dimostrzione: Considerimo i tringoli ACE e BDE. Essi hnno: gli ngoli in E ongruenti, perhé opposti l vertie gli ngoli ACE ˆ e DB ˆ E ongruenti, perhé ngoli ll ironferenz he insistono sullo stesso ro AD Per il primo riterio di similitudine i tringoli sono simili, quindi: AE : DE CE : BE AE BE CE DE Un ltr importnte equivlenz tr rettngoli si ottiene onsiderndo il teorem delle orde: se in un ironferenz due orde si tglino fr loro, il rettngolo he h ome dimensioni le due prti di un ord è equivlente l rettngolo he h per dimensioni le due prti dell ltr. Trduendo in simoli, fendo riferimento ll figur destr, si h he AE BE=CE DE. Dimostrimo il teorem. Considerimo i tringoli ACE e BDE. Essi hnno: gli ngoli in E ongruenti, perhé opposti l vertie; gli ngoli ACE e DBE ongruenti, perhé ngoli ll ironferenz he insistono sullo stesso ro AD. Pertnto, per il primo riterio di similitudine, i tringoli sono simili; quindi possimo srivere l proporzione tr lti orrispondenti AE:DE=CE:BE, he è equivlente ll tesi. 8

9 Conlusione Tringoli Rettngoli e Teorem delle Corde Primo teorem di Eulide Seondo teorem di Eulide Tringoli on ngoli di 45, 0 e 60 Teorem di Pitgor Teorem delle orde Ripitolimo qunto visto in quest lezione sui tringoli rettngoli e sul teorem delle orde. Innnzitutto, imo imprto usre il primo teorem di Eulide rigurdnte l proporzionlità tr teto, ipotenus e proiezione del teto sull ipotenus. Suessivmente imo introdotto il seondo teorem di Eulide, rigurdnte l proporzionlità tr ltezz reltiv ll ipotenus e proiezioni dei teti sull ipotenus. Dl primo dei teoremi di Eulide simo pssti l teorem di Pitgor he rigurd l relzione tr teti e ipotenus. Infine, imo desritto le prinipli proprietà dei tringoli rettngoli on ngoli prtiolri di 45 o di 0 e 60 e imo dimostrto il teorem delle orde. 9