SETTIMA LEZIONE- Il teorema di Pitagora

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "SETTIMA LEZIONE- Il teorema di Pitagora"

Valeria Cosentino
7 anni fa
Visualizzazioni

1 SETTIMA LEZIONE- Il teorema di Pitagora In questa lezione studiamo l equivalenza dei parallelogrammi, presentando due criteri che ci dicono quando parallelogrammi di forma diversa hanno la stessa area. Questi criteri permettono di confrontare le aree di figure situate in posti diversi. Su questo confronto si baserà la dimostrazione del teorema di Pitagora che daremo in questa lezione. Enunciamo e dimostriamo i seguenti due criteri di equivalenza di parallelogrammi, presentati come proposizioni 35 e 36 nel primo libro degli Elementi di Euclide: Proposizione 35: Due parallelogrammi che hanno la stessa base e sono compresi tra le stesse parallele sono equivalenti. Proposizione 36: Due parallelogrammi che hanno basi uguali e sono compresi tra le stesse parallele sono equivalenti. La situazione considerata nella proposizione 35 è descritta nella figura seguente, dove si vedono due parallelogrammi P 1 e P 2 aventi la stessa base BC sulla retta a e le altre due basi AD e EF sulla retta parallela b. La proposizione 35 afferma che: AREA P 1 =AREA P 2 ossia che P 1 =P 2 in estensione. Dimostrazione: 1- Affermo che AE=DF. Infatti AE = AD+DE = BC+DE = EF+DE = DF per P 1 per P 2 2- Affermo che i triangoli ABE e DCF sono uguali in quanto:

2 AE=DF punto precedente AB=BC perché lati opposti di un parallelogrammo perché angoli corrispondenti formati da due // con una secante. Dunque i triangoli ABE e DCF sono uguali per il primo criterio di uguaglianza. 3- P 1 =P 2 in estensione L idea è semplicemente di montare e smontare i due parallelogrammi in tre pezzi utilizzando i due triangoli: BCG, che chiamo T 1, e DGE che chiamo T 2. Osservo che: P 1 = ABE T 2 + T 1 P 2 = DCF T 2 + T 1 La tesi segue dal punto 2. La proposizione 36 è una semplice (ma utile) variante, basata sulla nozione comune che cose uguali ad una terza cosa sono uguali fra di loro (proprietà transitiva dell eguaglianza). Dimostrazione : Consideriamo i tre parallelogrammi P 1, P 2 e P 3 in figura: a e b sono parallele Per ipotesi AD = EF (P 1 e P 2 hanno basi uguali). Pertanto BCEF è un terzo parallelogramma P 3. Per la proposizione 35 P 1 =P 3 in estensione, perché parallelogrammi tra le stesse rette parallele con la base BC in comune. Per la proposizione 35 P 3 =P 2 in estensione, perché parallelogrammi tra le stesse rette parallele con la base EF in comune. Per la proprietà transitiva dell uguaglianza P 1 =P 2. Questo è quanto ci basta della teoria dell equivalenza dei parallelogrammi per dimostrare il teorema di Pitagora. Punto 7: il primo teorema di Euclide ed il teorema di Pitagora. Il teorema di Pitagora sarà dimostrato come conseguenza del primo teorema di Euclide, che afferma che l area del quadrato Q costruito su un cateto di un triangolo rettangolo è uguale all area del rettangolo R costruito sull ipotenusa e sulla proiezione del cateto sopra l ipotenusa.

3 Per dimostrare questo teorema si utilizza il parallelogramma P indicato nella figura seguente Voglio dimostrare che Q=P=R in estensione. Lo schema dimostrativo è organizzato in modo tale da dimostrare separatamente le due eguaglianze: 1- Q=P 2- P=R Si fanno tre osservazioni. Prima osservazione Q=P: questa uguaglianza è una conseguenza diretta della proposizione 35; infatti Q e P sono parallelogrammi compresi tra le stesse rette parallele e aventi la base BC in comune. Seconda osservazione GC=FB= AB: per poter confrontare P con R devo valutare la lunghezza della base GC di P. Dico che tale base coincide con l ipotenusa AB del triangolo rettangolo.

Per questo considero i triangoli rettangoli ABC e CEG. Questi due triangoli sono uguali perché: EC=BC=a perché retti Per dimostrare l ultima uguaglianza ci riferiamo alla figura successiva.

4 Per questo considero i triangoli rettangoli ABC e CEG. Questi due triangoli sono uguali perché: EC=BC=a perché retti Per dimostrare l ultima uguaglianza ci riferiamo alla figura successiva. Notiamo che 1=2 perché corrispondenti 1+4= retto (somma angoli interni) 2+3= retto (somma angoli interni) Dunque 4 = 3 I triangoli ABC e CEG sono uguali per il secondo criterio di uguaglianza. Pertanto CG=AB. Terza uguaglianza P=R: questa uguaglianza è una conseguenza della proposizione 36, perché P e R sono parallelogrammi compresi tra due rette parallele, che hanno basi uguali GC=BL. COME SI PASSA ADESSO AL TEOREMA DI PITAGORA? Consideriamo la figura accanto. Per il primo teorema di Euclide Q 1 =R 1 Q 2 =R 2 Sommando Q 1 +Q 2 =R 1 +R 2 =Q 3 Dunque applicando due volte il teorema di Euclide si ottiene Pitagora.

5 Con la dimostrazione del teorema di Pitagora si chiude il libro I di Euclide. Per trovare Talete bisogna arrivare al libro VI. Per Euclide il teorema di Talete è un teorema difficile perché per enunciarlo bisogna definire il concetto di proporzione tra grandezze geometriche. Ne parleremo brevemente nella prossima lezione.

Documenti analoghi

I TEOREMI DI EUCLIDE

I TEOREMI DI EUCLIDE 1 Teorema di Euclide Dato il triangolo rettangolo ABC: consideriamo i triangoli ABC e ABH simili I due triangoli sono simili perché se consideriamo gli angoli: - l'angolo A è comune