Calcolo Integrale. F (x) = f(x)?

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1 3 Clcolo Integrle Nello studio del clcolo differenzile si è visto come si può ssocire d un funzione l su derivt. Il clcolo integrle si occup del problem inverso: dt un funzione f è possibile determinre un funzione F tle che F () = f()? Un funzione F con quest proprietà si dice primitiv di f. Ad esempio l funzione F () = è un primitiv di f() =. Ricordndo che l derivt di un funzione costnte è identicmente zero, si cpisce che il problem di nti-derivzione se h lmeno un soluzione ne h utomticmente infinite: se F è un primitiv di f llor nche F + c è un primitiv per qulunque scelt dell costnte rele c. Anzi si può dimostrre che in questo modo si individuno tutte le possibili primitive di un funzione dt. Lo sviluppo di tecniche che permettono l ricostruzione dell primitiv di un funzione h un ppliczione fondmentle: il clcolo di ree di figure pine. Considerimo inftti un funzione continu f definit su un certo insieme [, b] e e supponimo di poter ssegnre un re l trpezoide limitto dl grfico di f, dll sse delle, dll rett = e dll rett = t con t [, b]. Denotimo quest funzione con A(t) (che in seguito chimeremo funzione integrle) e provimo clcolrne l derivt. Vrindo l posizione di t, d t t+h, l differenz A(t+h) A(t) corrisponde ll re del trpezoide che h per bse l intervllo [t, t + h]. M h m h A(t) t t + h Sino m h e M h rispettivmente il minimo e il mssimo vlore dell funzione sull intervllo [t, t + h] llor l differenz A(t + h) A(t) si può stimre con le ree dei rettngoli di bse [t, t + h] e ltezze m h e M h. m h h A(t + h) A(t) M h h.

2 56 Roberto Turso - Anlisi - 4 Quindi A(t + h) A(t) m h M h. h Fcendo tendere h zero, dto che f è continu (per funzioni più irregolri l situzione è più complict) i numeri M h e m h tendono f(t) (ossi l mssimo e l minimo di f nell intervllo contrtto costituito dl solo punto t). Quindi A (t) = f(t) e A è un primitiv di f.. Definizione di integrle Nell introduzione bbimo prlto dell possibilità di ssegnre un re d un trpezoide. Or precisimo meglio come v intes quest ffermzione. Supponimo che f si un funzione limitt definit su un insieme [, b] L ide è di pprossimre l re del trpezoide con delle unioni di rettngoli. Suddividimo [, b] in N sotto-intervlli di mpiezz uniforme inserendo i seguenti punti Or costruimo le due somme: n = + n b N con n =,,, N. e dove s N = S N = N n= N n= m n ( n n ) = b N M n ( n n ) = b N N n= m n N M n. n= m n = inf {f() : [ n, n ]} e M n = sup {f() : [ n, n ]}. N = 5 = = b

3 Clcolo Integrle 57 Le somme s N e S N misurno le ree delle regioni formte di rettngoli rispettivmente iscritti e circoscritti l grfico e quindi rppresentno l stim inferiore e superiore (di ordine N) dell re d clcolre. L re del trpezoide è definit se questo procedimento di pprossimzione dl bsso e dll lto individu l limite un unico numero: lim s n = lim S N = Are del trpezoide. N N In questo cso l funzione f si dice integrbile nell intervllo [, b] e l re del trpezoide si indic b f() d che si legge integrle tr e b di f in d. Il simbolo di integrle è un S llungt che ricord l costruzione con le somme che bbimo ppen descritto. Anche se non tutte le funzioni limitte sono integrbili, si può dimostrre che le funzioni continue lo sono e nzi, come bbimo nticipto nell introduzione, il problem del clcolo dell integrle è direttmente correlto con l determinzione di un primitiv. Vle inftti il seguente teorem: Teorem fondmentle del clcolo integrle Si f un funzione continu in un intervllo [, b] llor () l funzione integrle [, b] t è un primitiv di f. t f() d () Se F è un primitiv di f in [, b] llor b f() d = [F ()] b = F (b) F (). Esempio. Se f() = llor, come già osservto, un primitiv di f è l funzione. Allor l funzione integrle reltiv d esempio ll intervllo [ 4, 6] è ugule A(t) = t 4 f() d = F (t) F ( 4) = t 8 Si noti che l crescenz/decrescenz dell funzione integrle dipende dl segno dell su derivt ossi l funzione f. L re sotto l curv, spzit vrindo t, per t = 4 è null poi decresce diventndo negtiv (l re è contt negtiv se st sotto l sse delle ) e poi cresce d t = diventndo positiv per t > 4.

4 58 Roberto Turso - Anlisi t. Clcolo delle primitive In quest sezione svilupperemo lcune tecniche utili per individure le primitive di un funzione continu. Per indicre l insieme delle primitive di un funzione f si utilizz l seguente notzione: f() d che si legge integrle di f() in d. È detto nche integrle indefinito perchè per or voglimo solo risolvere il problem dell ricerc delle primitive e gli estremi di integrzione non ci interessno. Tornndo l nostro esempio, possimo llor scrivere d = + c. dove c è un costnte rbitrri. Altri esempi si trovno nell seguente tbell. α d = α+ α + + c d = log + c e d = e + c per α sin d = cos + c cos d = sin + c d = tn + c (cos ) ( ) d = rcsin + c per > + d = ( ) rctn + c per >

5 Clcolo Integrle 59 Il controllo dell vlidità di questi integrli si può fre in modo molto semplice: si deriv un primitiv e si verific che il risultto ottenuto si ugule ll funzione corrispondente nel suo dominio di definizione. Esempio. Dll tbell possimo dedurre che + d = ( ) rctn + c Inftti ( ( ) ) d rctn + c = ( d + ) = +. Esempio. Determinimo le primitive dell funzione, ossi clcolimo l integrle indefinito d. In questo cso conviene distinguere due csi: per bbimo che d = d = + c, mentre per d = ( ) d = d = + c. Or per scrivere le primitive di per R, dobbimo tener presente che queste sono funzioni continue e dunque devono coincidere nel punto di rccordo =. Questo ccde se c = c e quindi d = { + c per + c per <. Esempio.3 In modo simile ll esempio precedente possimo clcolre le primitive nche di funzioni continue solo trtti. L funzione { e per > f() = 3 per <. è continu su R \ {}. Le primitive per > sono f() d = e d = e + c, mentre per < f() d = 3 d = 3 + c.

6 6 Roberto Turso - Anlisi - 4 Or per ottenere le primitive di f() per R, stbilimo l relzione tr le costnti in modo d rccordre le due primitive nel punto =. Si deve verificre che e +c = 3 + c e quindi c = e + c. Così, per R, { e f() d = + c per > 3 + e + c per <. Or che bbimo un po di esempi di primitive provimo vedere come si integrno funzioni più complicte. Come vedremo le tecniche di integrzione sono un semplice conseguenz delle regole di derivzione. Rispetto l clcolo dell derivt però, nel clcolo integrle spesso l difficoltà consiste nel cpire qule tecnic prticolre conviene usre: in fondo cercre un primitiv è come se, dopo ver derivto un funzione, uno cercsse di ricostruirl prtendo dll derivt! L prim proprietà si deduce direttmente dll linerità dell derivzione Linerità Per α, β R (α f() + β g()) d = α f() d + β g() d. Esempio.4 Clcolimo l integrle (3 + ) d. Per l linerità bbimo che (3 + + ) d = 3 d + d d or per determinre i singoli integrli possimo ricorrere ll tbell d = () () + d = + + c = c, inoltre d = e infine () d = () c = + c d = d = + c. Quindi, riportndo l costnte un sol volt, (3 + ) d = 3 + c. L second proprietà è bst sull regol di derivzione del prodotto:

7 Clcolo Integrle 6 Integrzione per prti Se f e g sono funzioni derivbili llor f() dg() = f() g() inftti, ricordndo che g() df(). df() = f () d e dg() = g () d, l formul enuncit si verific osservndo che f() dg() + g() df() = (f() g () + f () g()) d = (f() g()) d = f() g() + c. Esempio.5 Clcolimo l integrle cos d. Applichimo l tecnic dell integrzione per prti integrndo prim il fttore cos e portndo il risultto nel differenzile cos d = d(sin ) = sin sin d() = sin ( cos ) + c = sin + cos + c. Notimo che se si integrsse prim il fttore llor l integrle diventerebbe più complicto: ( ) cos d = cos d = cos d(cos ) = cos + sin d. L scelt del fttore giusto d integrre non è sempre semplice e lle volte è necessrio fre più di un tenttivo. Esempio.6 Clcolimo l integrle e d. Integrimo prim il fttore e : e d = d(e ) = e e d( ) = e e d = e e d.

8 6 Roberto Turso - Anlisi - 4 Il nuovo integrle non si può risolvere direttmente come nell esempio precedente, m comunque simo sull buon strd perché l prte polinomile (il fttore ) si è bbssto di grdo (è diventto ). Risolvimo l integrle che mnc in modo nlogo: e d = d(e ) = e e d() = e e + c. Quindi e d = e ( e e + c) = ( + )e + c. Esempio.7 Clcolimo l integrle log d. In questo cso per pplicre l integrzione per prti sceglimo come fttore d integrre l funzione costnte (che integrt dà ): log d = log d() = log d(log ) = log d = log d = log + c L terz proprietà fornisce un ltr tecnic di clcolo e si ricv dll regol di derivzione di un funzione compost: Integrzione per sostituzione Se g è derivbile llor posto t = g() f(g()) dg() = f(t) dt = F (t) + c = F (g()) + c dove F è un primitiv di f. L formul si verific osservndo che (F (g())) = f(g()) g (). Esempio.8 Clcolimo l integrle tn d. L integrle dto si può scrivere nel modo seguente sin tn d = cos d.

9 Clcolo Integrle 63 Or integrimo sin : sin cos d = d( cos ) = cos d(cos ). cos Quindi dobbimo ncor integrre /t nell vribile t = cos ossi tn d = dt = log t + c = log cos + c. t Esempio.9 Clcolimo l integrle cos( ) ( + sin( )) d. Come vedremo l funzione d integrre è l derivt di un funzione compost. L integrzione per sostituzione permetterà l ricostruzione dell funzione originle. Integrimo prim : cos( ) ( + sin( )) d = Poi integrimo cos( ) rispetto ll vribile : cos( ) ( + sin( )) d( ) = cos( ) ( + sin( )) d( ). ( + sin( )) d(sin( )). Infine, dopo ver corretto il differenzile ggiungendo l costnte, integrimo /(+ sin( )) rispetto ll vribile + sin( ) ( + sin( )) d( + sin( )) = + sin( ) + c. Esempio. Clcolimo l integrle d. Alle volte l scelt del cmbio di vribile può essere suggerit dll struttur dell funzione d integrre. In questo cso conviene porre t = : t = e d(t ) = t dt = d. Così sostituendo ottenimo d = t t dt = t t t dt.

10 64 Roberto Turso - Anlisi - 4 Dto che t = (t + )(t ) + (bbimo diviso il polinomio t per il polinomio t + ) t ( t dt = t + + ) dt = t + t + log t + c. t Quindi risostituendo t = d = + + log + c. 3. L integrzione delle funzioni rzionli Se per l integrzione di un generic funzione può essere difficile individure l combinzione dei metodi d usre, per un funzione rzionle ossi un rpporto di polinomi f() = P () Q() esiste un lgoritmo completo che permette di determinre in ogni cso un primitiv. L complessità di questo lgoritmo ument con il grdo del polinomio Q(). Comincimo quindi con il cso in cui il grdo di Q() è ugule. Esempio 3. Clcolimo l integrle d Dto che il polinomio l numertore h grdo mggiore di quello l denomintore, possimo fre l divisione ottenendo 4 + = ( )( + ) + Così 4 + ( )( + ) + + d = d + ( = + ) d = + log + + c. + Or esmineremo il cso in cui il grdo del polinomio Q() si di grdo. A meno di fre un divisione, come nel cso dell esempio precedente, possimo supporre che il numertore P () si di grdo minore di. L lgoritmo distingue tre csi second dell ntur delle rdici del polinomio Q(). Esempio 3. Clcolimo l integrle d

11 Clcolo Integrle 65 Le rdici di sono due e distinte: e 3. Decomponimo l funzione rzionle nel seguente modo: = + ( + )( + 3) = A + + B + 3 dove A e B sono due costnti opportune. Svolgendo il clcolo ottenimo + (A + B) + (3A + B) = ( + )( + 3) e quindi { A + B = 3A + B = d cui ricvimo che A = e B =. Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: moltiplichimo l equzione + ( + )( + 3) = A + + B + 3 per +, dopo ver semplificto, ottenimo = A + B e ponendo =, trovimo immeditmente che A =. In modo nlogo, se moltiplichimo per + 3, ottenimo + + = A B e ponendo = 3, trovimo che B =. Quindi ( d = + + ) d + 3 = log + + log c ( + 3) = log + c. + Esempio 3.3 Clcolimo l integrle d. Il polinomio = ( + ) h un unic rdice: di molteplicità due. Se ponimo t = + llor dt = d e d = + 3 t + ( + ) d = dt t ( = t + ) dt = log t t t + c = log c. se

12 66 Roberto Turso - Anlisi - 4 Esempio 3.4 Clcolimo l integrle d. Il polinomio h due rdici complesse coniugte: ± i. Il primo psso consiste nel fre un sostituzione in modo d eliminre il termine di primo grdo. In generle, per un polinomio + b + c, questo si ottiene con un trslzione dell vribile nel punto medio delle soluzioni ossi ponendo t = + b. Nel nostro cso con t = + il polinomio divent t + e dunque 4 4t d = t + dt = 4 t t + dt 5 Risolvimo il primo integrle ( ) t t + dt = t t + d = t + d(t + ) = log(t + ) + c. t + dt L ssenz del termine di primo grdo nel polinomio l denomintore ci permette di determinre subito il secondo integrle t + dt = ( ) t rctn + c. Quindi, riunendo i risultti e tornndo ll vribile d = log( + + 3) 5 ( ) + rctn + c Se il polinomio l denomintore Q() h grdo mggiore di llor bisogn determinrne un fttorizzzione complet (rele) ossi scriverlo come prodotto di fttori di primo grdo e fttori di secondo grdo irriducibili (con < ) e quindi si costruisce l decomposizione dell funzione rzionle P ()/Q() come combinzioni lineri di frzioni più semplici: () d ogni fttore ( ) n si ssocino le n frzioni semplici, ( ),, ( ) ; n () d ogni fttore irriducibile ( + b + c) m si ssocino le m frzioni semplici + b + c, ( + b + c),, ( + b + c), m + b + c, ( + b + c),, ( + b + c) m.

13 Clcolo Integrle 67 Esempio 3.5 Clcolimo l integrle 4 + d. L fttorizzzione complet del polinomio l denomintore è 4 + = ( + ) Al fttore si ssocino le frzioni semplici e mentre l fttore irriducibile + si ssocino le frzioni semplici Quindi l decomposizione è + e +. ( + ) = A + B + C + + D + dove A, B, C e D sono costnti d determinre. Svolgimo i clcoli ( + ) = (A + C)3 + (B + D) + A + B ( + ) e dunque A + C = B + D = A = B = d cui ricvimo che A =, B =, C = e D =. Quindi ( ( + ) d = + + ) + d = log + log( + ) + rctn + c = log rctn + c 4. L integrle definito Or che bbimo un po di prtic con l ricerc delle primitive clcolimo qulche integrle definito ricordndo il teorem fondmentle.

14 68 Roberto Turso - Anlisi - 4 Esempio 4. Clcolimo l integrle definito + d. Prim determinimo un primitiv dell funzione d integrre ( ) + d = + d = + d( + ) = log( + ) + c. Quindi vlutimo + d = [ log( + ) ] = log. Esempio 4. Clcolimo l integrle definito e e log d. In questo cso il clcolo procede integrndo prim / e e log e d = log d (log ) = e [ log ] e e = ( ) =. L presenz degli estremi di integrzione permette di individure un ltr interessnte proprietà: l intervllo di integrzione può essere suddiviso. Additività rispetto ll intervllo di integrzione Se f è integrbile in [, b] e c b llor b f() d = c f() d + b c f() d. Si noti inoltre che se si invertono gli estremi di integrzione llor l integrle cmbi di segno b f() d = f() d. b Esempio 4.3 Clcolimo l integrle definito 3 d.

15 Clcolo Integrle 69 Conviene decomporre l intervllo di integrzione inserendo un punto di suddivisione in dove l funzione cmbi segno. In questo modo possimo sbrzzrci del vlore ssoluto: 3 3 ] [ ] d = ( ) d + ( ) d = [ = 3. Esempio 4.4 Clcolimo l integrle definito Prim pplichimo l linerità: ( + ) rctn d. ( + ) rctn d = rctn d + rctn d. Or osservimo che l funzione rctn è dispri (f( ) = f()) e quindi il suo integrle sull intervllo simmetrico rispetto ll origine [, ] vle zero: rctn d =. Inoltre, l funzione rctn è pri (f( ) = f()) e quindi il suo integrle sull intervllo simmetrico [, ] vle il doppio di quello su [, ]: rctn d = rctn d. Allor l integrle d clcolre divent ( + ) rctn d = 4 rctn d. Proseguimo il clcolo integrndo per prti ( ) 4 rctn d = 4 rctn d [ ] = 4 rctn 4 = π + d = π = π [ rctn ] = π. d (rctn ) ( ) d +

16 7 Roberto Turso - Anlisi L integrle improprio Nell sezione precedente bbimo visto qulche clcolo di integrle definito. Le funzioni d integrre erno continue su tutto l intervllo limitto [, b]. Or provimo d mplire l definizione di integrle nche l cso in cui l funzione si continu solo su [, b): b t f() d = lim f() d. t b Se l intervllo non è limitto ossi b = + si pone + f() d = lim t + t f() d. Se il limite esiste finito llor l integrle improprio si dice convergente e l funzione si dice integrbile su [, b). Il cso in cui l funzione si continu solo su (, b] è ssolutmente nlogo: b f() d = lim t + Esempio 5. Considerimo l funzione b t f() d. f() = per R \ {}. Sppimo già che d = log + c. Allor l integrle improprio su [, + ) vle + Inoltre l integrle improprio su (, ) vle d = [log ]+ = +. d = [log ] + = +. In entrmbi i csi gli integrli impropri non sono convergenti. Esempio 5. Considerimo l funzione f() = α per R \ {} con α > e diverso d. Abbimo visto che α d = α α + c.

17 Clcolo Integrle 7 Allor l integrle improprio su [, + ) vle + [ α d = α α ] + = { α se α > + se α < Quindi l integrle su (, + ) è convergente se e solo se α >. Inoltre l integrle improprio su (, ) vle [ ] α { d = se α < α α α + se α > + = Quindi l integrle su (, ) è convergente se e solo se α <. f() = α Esempio 5.3 Clcolimo l integrle + per β R. (log ) β Allor (log ) d = β L integrle improprio su (e, + ) vle + e e d(log ) = (log ) β (log ) β d = Quindi l integrle è convergente se e solo se β >. (log ) β + c β se β log log + c se β = { β se β > + se β Esempio 5.4 Clcolimo l integrle /e d per β R. log β

18 7 Roberto Turso - Anlisi - 4 Se cmbimo vribile ponendo y = / possimo ricondurre questo integrle improprio l precedente: e + y log /y β ( dy ) + { = y e y(log y) dy = se β > β β + se β Quindi l integrle è convergente se e solo se β >. Esempio 5.5 Clcolimo l integrle improprio + e 3 (log 4) d L funzione dt è continu in [e 3, + ). Per clcolre il vlore dell integrle improprio dobbimo prim determinre un primitiv. Per > (log 4) d = log d(log ) = 4 dopo ver posto t = log. Decomponimo l funzione rzionle t 4 = (t + )(t ) = 4 t 4 t +. t 4 dt. Or possimo completre il clcolo dell primitiv (log 4) d = 4 t dt 4 t + dt = 4 log t log t + + c 4 = 4 log log log + + c. Or bst vlutre l primitiv gli estremi di integrzione [ 4 log log log + ] + e 3 = 4 log = log Criteri di convergenz per integrli impropri In molti csi è possibile dire se un integrle improprio converge o meno senz ffrontre il problem dell fticos determinzione di un primitiv. Esistono inftti dei criteri di convergenz del tutto simili quelli già studiti per le serie (nche gli integrli sono delle somme infinite ).

19 Clcolo Integrle 73 Criterio del confronto Sino f e g due funzioni continue tli che f() g() per [, b). Allor () Se b g() d converge llor nche b f() d converge. () Se b f() d = + llor nche b g() d = +. Esempio 6. Provimo che l integrle improprio + e d è convergente. In questo cso l determinzione di un primitiv dell funzione positiv e srebbe ddirittur proibitiv (si dimostr inftti che esiste un primitiv, m che quest non è esprimibile come composizione di funzioni elementri!). Il ftto che l funzione tend zero molto velocemente per + ci suggerisce però di pplicre il punto () del criterio del confronto. Si trtt llor di individure un funzione che mggiori quell dt e il cui integrle improprio si convergente. L funzione e h proprio quest proprietà: e e per e Quindi l integrle dto è convergente e + e d = [ e ] + = e. + e d + e d = e Criterio del confronto sintotico Sino f e g due funzioni continue positive [, b) tli che f() lim b g() = L. Se < L < + ossi f g per b. Allor b f() d converge se e solo se b g() d converge.

20 74 Roberto Turso - Anlisi - 4 Per l ppliczione del criterio del confronto sintotico bbimo bisogno di un repertorio di integrli impropri di cui conoscimo le proprietà di convergenz. Qui rissumimo i risultti di cui vremo bisogno e che in prte sono già stti dimostrti negli esempi precedenti. () Se < b llor Integrli impropri principli b { converge se α < ( b) = α + se α () Se > llor + { converge se α > oppure se α = e β > α (log ) = β + se α < oppure se α = e β (3) Se < llor α log β = { converge se α < oppure se α = e β > + se α > oppure se α = e β Esempio 6. Determinimo per quli vlori di R l funzione ( ) e 5 e + (log( + )) è integrbile sull intervllo (, + ). L funzione dt è continu sull intervllo (, + ) e quindi dobbimo fre un nlisi sintotic si per + che per +. Comincimo con + ( e e + ) 5 (log( + )) ( ) 5 () + 5 = 3. Dunque l funzione è integrbile vicino + se α = 3 < ossi se < 4. Vedimo cos succede per + ( ) e 5 e + (log( + )) (log ). Dunque l funzione è integrbile verso + se α = (l esponente del logritmo è > ). Unendo le due condizioni bbimo che < 4. Esempio 6.3 Determinimo per quli vlori di R l funzione cos 5 (sin )

21 Clcolo Integrle 75 è integrbile sull intervllo (, π). Per determinre l convergenz bst fre un nlisi sintotic gli estremi dell intervllo di integrzione. Per + cos 3 / (sin ) /3 = +/3. 5/3 Dunque l funzione è integrbile vicino + se α = 5/3 < ossi se < 8/3. Invece, per π cos 3 (sin ) = cos 3 (sin(π )) (π ). Dunque l funzione è integrbile vicino π se α = <. Unendo le due condizioni bbimo che <. Concludimo con un cenno l problem dell integrbilità impropri per un funzione di segno non costnte. In questo cso inftti i criteri precedenti non sono pplicbili. Vle però il seguente risultto (nlogo quello per le serie). Criterio dell convergenz ssolut Se b f() d converge llor nche b f() d converge. Esempio 6.4 Provimo che l integrle improprio + sin d converge. Per > sin, inoltre / è integrbile in [, + ) e quindi per il criterio del confronto nche l funzione (positiv) sin / è integrbile in [, + ). Quindi l integrle improprio converge per il criterio dell convergenz ssolut. Si osservi che nche l integrle improprio + sin d converge, nche se il rgionmento precedente non è pplicbile perchè l funzione / non è integrbile in [, + ).

22 76 Roberto Turso - Anlisi - 4 f() = sin L convergenz si può invece spiegre osservndo il grfico dell funzione: si trtt di oscillzioni modulte dlle funzioni ±/. L integrle improprio d clcolre è l serie i cui termini corrispondono lle ree delle singole gobbe. Tli ree hnno segno lterno (perché stnno lterntivmente sopr e sotto l sse ) e decrescono in vlore ssoluto zero (quest ffermzione ndrebbe dimostrt!). Quindi l serie (e nche l integrle) converge per il criterio di Leibnitz.