UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECNOMICHE Corso di laurea triennale in Economia e Management Curriculum: International Economics and Management ANALIS I STAB ILE DE I R ENDIMENT I A ZIONAR I Relatore: Ch.mo Prof. Enrico Rettore Laureando: Cristian Gebellato matricola N. / A.A. 2011/2012

2 Sommario 1. Introduzione Statistica e Finanza Le problematiche della distribuzione normale La distribuzione Normale Approssimazioni della distribuzione Normale Introduzione alle distribuzioni stabili Cenni Storici L ipotesi di Mandelbrot Distribuzioni Stabili e le loro proprietà fondamentali Definizione dei parametri fondamentali Probabilità Stabile Forme parametrizzabili di distribuzioni stabili Stima dei parametri fondamentali Vantaggi e Svantaggi nell utilizzo e applicazione delle distribuzioni Stabili Applicazione dell analisi stabile Foot Locker Inc, breve profilo della società Foot Locker, analisi dei log-rendimenti azionari Foot Locker: analisi dei dati empirici Applicazione del Fitting Stabile e del Fitting Normale Attendibilità dei risultati, applicazione del test Chi Quadrato di Pearson Valutazione del Rischio e definizione di Expected Shortfall Classi di rischio Analisi del rischio mediante l utilizzo dell Expected Shortfall Bibliografia Fonti delle Immagini

3 1. Introduzione Nello sviluppo di questa trattazione si vuole prendere in esame il concetto di distribuzione stabile, dandone una definizione quanto più esaustiva e precisa, per poi introdurre gli argomenti di applicazione più prettamente finanziaria ed economica che saranno sviluppati in questa trattazione. Verrà quindi analizzata questa classe particolare di distribuzioni di probabilità definendone quelle che sono le caratteristiche fondamentali e gli sviluppi che lo studio di questo argomento ha avuto nel tempo. Nella prima parte verrà fatta una panoramica storica sulla nascita e sullo sviluppo di questa classe di distribuzioni definendo quelli che erano i concetti e fondamenti statistici che in precedenza regolavano i principali concetti economici e finanziari e descrivevano l andamento dei mercati e dei rendimenti azionari per poi introdurre l innovazione del modello stabile. Verrà poi discusso in modo completo il concetto di distribuzione stabile, ne verrà descritta la particolare classe di appartenenza e ne verranno definite le caratteristiche. Verranno descritte le code spesse di queste distribuzioni, che si configurano come lo strumento più preciso nello studio di fenomeni rari e poco diffusi (black swan), tipici della struttura finanziaria. Si introdurranno quindi i parametri che la definiscono e si definirà la rappresentazione analitica della sua funzione di densità di probabilità. Nella definizione di questo tipo di distribuzione verrà presa in esame la distribuzione di probabilità di tipo normale, che ancora oggi rappresenta la base fondamentale di applicazione della statistica in ambito finanziario, e si vedrà come una distribuzione normale altro non è che una particolare tipo di distribuzione stabile. Questi concetti verranno introdotti e sviluppati in modo più semplificato di quanto potrebbe essere fatto in una adeguata trattazione di tipo statistico in quando verranno definiti al fine di introdurre le tematiche di implicazione finanziaria caratterizzate dallo sviluppo di questa particolare classe. Dopo questa parte teorica di descrizione e introduzione alle distribuzioni stabili verrà trattata la possibile applicazione di queste ultime ai fenomeni finanziari in particolare nella descrizione dei rendimenti azionari, Verranno quindi fatte delle analisi basate su dati forniti dall azienda di ricerca e analisi finanziaria Redexe, sulla base delle quali si potrà verificare come uno studio di tipo stabile sia più adatto a descrivere e quindi a predire l andamento dei rendimenti azionari di determinati strumenti finanziari piuttosto che un analisi basata sulla distribuzione normale. Nell ultima parte, più propriamente applicativa, verranno sviluppati i concetti analizzati in precedenza all analisi del rischio finanziario. Sempre mediante l utilizzo di dati forniti dall azienda Redexe, si analizzerà l andamento dei rendimenti azionari in un campione di oltre ottocento titoli del mercato Nasdaq Composite e 3

4 NYSE Composite (che insieme rappresentano oltre il 70 per cento della capitalizzazione mondiale) mediante uno studio di tipo normale ed uno studio di tipo stabile. Basando l analisi sull expected shortfall come migliore misura del rischio rispetto al VaR (value at risk), si vedrà come uno studio basato su una statistica normale sottostimi il rischio finanziario, mentre un analisi di tipo stabile lo sovrastimi di poco approssimando in modo decisamente migliore l andamento dei rendimenti. Questo a rappresentare l inadeguatezza della statistica normale in questo campo di analisi. 4

5 2. Statistica e Finanza Le problematiche della distribuzione normale La distribuzione normale è da sempre stata usata come strumento di analisi privilegiato nei più svariati ambiti scientifici. Tale distribuzione venne individuata per la prima volta da Abraham De Moivre 1 ( ), uno dei padri della teoria della probabilità e fu proposta definitivamente nel 1797 da Karl Friedrich Gauss 2 ( ). Parte dei meriti della definizione di questa distribuzione vengono inoltre attribuiti a Laplace 3 ( ) che ne avrebbe determinato alcune proprietà fondamentali. Nello sviluppo di questa distribuzione si è sempre ritenuto che la somma di un certo numero di variabili aleatorie indipendenti tenda a distribuirsi come una gaussiana, e questo concetto formalizzato nel teorema centrale del limite è sempre stato considerato il fondamento su cui basare lo sviluppo e l applicazione della distribuzione normale a diversi ambiti di studio. Proprio seguendo questa definizione si è presunto che il rendimento azionario potesse essere considerato come un insieme di informazioni derivate dal prezzo azionario (e da rispettivo dividendo) e che questo si distribuisse secondo una distribuzione normale. La formula riportata sotto rappresenta il rendimento azionario, R t, calcolato come la log differenza del prezzo dell azione, includendo i dividendi. dove P t e P t-1 rappresentano i prezzi dell azione al tempo t e al tempo t-1 mentre D t rappresenta il dividendo. Se però si cerca di fare un analisi più accurata si può notare che una distribuzione normale non è in grado di descrivere determinati eventi, che possono essere definiti estremi, ovvero accadimenti rari la cui probabilità di accadimento non riesce ad essere adeguatamente approssimata da questo tipo di distribuzione. Come si è potuto osservare nell andamento del mercato anche in tempi recenti questi cigni neri hanno segnato profondamente l intera struttura finanziaria globale determinando ripercussioni su tutti gli strumenti finanziari, compresi quelli che verranno successivamente presi in esame. 1 Abraham De Moivre, 1733, Aproximatio ad Summam Terminorum Binomii (a+b) n in Seriem expansi 2 Karl friedrich Gauss, 1809, Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium 3 Pierre Simon Laplace, 1812, Théorie analytique des probabilités, Paris: Courcier 5

6 Basti pensare alla crisi del 2008, al fallimento di numerose banche e all enorme quantità di debito che gli stati si sono dovuti accollare. Tutti questi eventi, come lo è stata la crisi del 1929, sono definiti usando l espressione inglese once a century, perché così improbabili e imprevedibili da non poterne dare una previsione adeguata. Questo perché una statistica basata sull analisi normale non si dimostra essere il giusto metodo nello studio di questo tipo di fenomeni in quanto non è in grado di dare una corretta definizione e interpretazione di casi limite. La forma di una distribuzione gaussiana non è infatti in grado di approssimare in modo adeguato una distribuzione di probabilità di dati finanziari come l andamento dei rendimenti dei prezzi azionari a causa dell ampiezza troppo ridotta delle code della distribuzione. La serie di problemi che derivano dall utilizzo delle distribuzioni normali si riscontra quindi nel momento in cui ci si trova di fronte a degli accadimenti (delle variazioni o delle escursioni) che la distribuzione normale non è in grado di prevedere. Ciò si riscontra ad esempio in forti variazioni di prezzo o su perdite considerevoli degli indici finanziari. Ma il fallimento dell applicazione normale si riscontra anche nel calcolo del rischio finanziario. Le metodologie e gli strumenti costruiti sulla base della distribuzione normale offrono una misura del rischio che sottostima quello empirico mettendo società, investitori e addirittura banche in una situazione di falsa stabilità, finendo con l essere assoggettati all elevata volatilità che caratterizza i nostri mercati, specialmente in questo periodo. Sarà poi più semplice illustrare questi concetti da un punto di vista grafico mediante la loro applicazione ad una serie di dati. Nel corso della trattazione si cercherà quindi di mettere in luce mediante l applicazione pratica le limitazioni della distribuzione normale facendo vedere i problemi fondamentali descritti sopra, ovvero: l incapacità di tener conto di tutti gli eventi estremi che caratterizzano i mercati finanziari, la sottostima del rischio. 6

7 2.1 La distribuzione Normale La distribuzione normale o distribuzione gaussiana è una delle distribuzioni di probabilità di maggiore uso. Per introdurre questo tipo di distribuzione è necessario dare una definizione di teorema centrale del limite che venne formulato per la prima volta da Laplace 4 e De-Moivre 5 e fu successivamente riformulato da Lindeberg ( ) e Lèvi ( ) 6. Questo teorema afferma che la somma normalizzata di una serie di variabili casuali tra loro indipendenti si distribuisce come una variabile casuale normale al crescere del numero di variabili considerate. L introduzione di questo teorema permette di definire anche l errore standard, è possibile infatti calcolare un intervallo di confidenza per stimare la media µ. La funzione di densità di probabilità della distribuzione normale è definita come: con x ]- ; + [ µ ]- ; + [ e σ 2 x ]0; + [ dove x indica il punto del supporto della v.c., µ è la media e σ 2 è la varianza. La distribuzione normale con media µ=0 e deviazione standard σ=1 viene indicata con N(0,1). Se si osserva un immagine tipica di distribuzione normale come la figura 1, si può notare che sono presenti frequenze relativamente più alte dei valori centrali e progressivamente minori verso gli estremi delle code. La funzione è simmetrica rispetto alla media e presenta due flessi in corrispondenza di μ-1,96σ e μ+1,96σ che delimitano un area centrale che concentra il 95% della probabilità. 4 Pierre Simon Laplace, 1812, Théorie analytique des probabilités, Paris: Courcier 5 Abraham De Moivre, 1733, Aproximatio ad Summam Terminorum Binomii (a+b) n in Seriem expansi 6 Paul Pierre Levy, 1948, Stochastic Processes and Brownian Motion 7

8 Fig. 2.1 Rappresentazione grafica di una generica distribuzione di probabilità normale La distribuzione presenta diverse caratteristiche secondo i valori assunti dai parametri che la definiscono. ogni curva vi è comunque coincidenza fra media, moda e mediana mentre al variare di σ o di μ variano, rispettivamente, il grado di apertura e la posizione della curva. Se infatti μ varia e σ rimane costante si avranno infinite curve di pari dispersione ma diverso asse di simmetria. Se σ varia e μ rimane costante l asse di simmetria sarà fisso e ciò che cambia è la dispersione della curva attorno alla media. Tutte le possibili configurazioni che la distribuzione nomale può assumere possono essere ricondotte ad una stessa forma semplificata che viene definita normale standardizzata o normale ridotta, definita dalla formula Tale trasformazione induce una v.c. con media μ nulla e deviazione standard unitaria. Anche in questo caso la normale ridotta verrà indicata con N(0,1) e dopo il cambiamento di variabile la nuova funzione di densità di probabilità sarà dove z indica il valore sulle ascisse definito in unità di deviazioni standard dalla media. 8

9 2.2 Approssimazioni della distribuzione Normale Il grande interesse da sempre sviluppatosi nei confronti della distribuzione normale è determinato dal fatto che molti fenomeni sono rappresentabili ricorrendo a questa distribuzione. Ma anche dal fatto che distribuzioni in generale non normali, o ben distanti dell esserlo, si avvicinano a questa distribuzione al verificarsi di certe condizioni. Quando determinati parametri tendano all infinito (si tratta quindi di leggi asintoticamente normali). In questo caso si tratta di distribuzioni che tendono ad avvicinarsi alla distribuzione normale quando certi parametri tendono all infinito. Non si tratta quindi di distribuzioni puramente normali ma distribuzioni che ora possono essere considerate approssimativamente tali. Quando questi siano quasi normali, si parla quindi di approssimazione. Quando avvengano appropriate trasformazioni che portino le variabili a essere distribuite normalmente o in una condizione approssimativamente simile. In questo caso una semplice trasformazione può condurre ad una distribuzione gaussiana come ad esempio mediante l utilizzo di radici quadrate o logaritmi in cui data la distribuzione di probabilità di una variabile x, il logaritmo log(x) segue una distribuzione normale. Tale funzione avrà una distribuzione di probabilità. Infine, la figura 2 illustra come varia la probabilità di osservare un valore entro un intervallo centrato sulla media al variare dell ampiezza dell intervallo stesso. Fig. 2.2 Distribuzione Normale: probabilità attribuita a vari intervalli centrati sulla media 9

10 Tale probabilità è pari a: 68,3% per l intervallo (μ-σ, μ+σ) 95,4% per l intervallo (μ-2σ, μ+2σ) 99,73% per l intervallo (μ-3σ, μ+3σ). Si può vedere come la probabilità sia quasi pari a uno per l intervallo μ +/-3σ. Data quindi la relazione tra tali probabilità e le ampiezze degli intervalli cui si riferiscono, nel caso si tratti di una distribuzione normale sarà sufficiente conosce media e varianza per definirne la distribuzione. Nel seguito vedremo come la distribuzione normale svolga un ruolo fondamentale nelle applicazioni all ambito finanziario, nell approssimazione delle curve dei rendimenti e nella definizione di indicatori aventi come funzione la l interpretazione dell andamento di strumenti finanziari. 3. Introduzione alle distribuzioni stabili Nella trattazione di questa particolare classe di distribuzioni si vuole darne una definizione che consenta poi di introdurre i concetti e le implicazioni economiche finanziarie che verranno prese in esame successivamente. Proprio per questo motivo, come per le distribuzioni normali, verrà fatta una panoramica generale delle distribuzioni α-stabili analizzando le caratteristiche fondamentali e i parametri che le definiscono nonché tutti gli aspetti che saranno poi utilizzati nell analisi finanziaria. 3.1 Cenni Storici L ipotesi di Mandelbrot Sin dai tempi di Bachelier ( ), che può essere considerato come il precursore della matematica finanziaria moderna si è ritenuto che il prezzo delle azioni seguisse un moto browniano 7, ovvero un moto caratterizzato da variazioni successive tra loro indipendenti. Egli riteneva che gli incrementi nel valore del prezzo azionario fossero tra loro indipendenti e che seguissero una distribuzione normale. Questa teoria fu in 7 Bachelier L., 1900, "Théorie de la spéculation", Annales Scientifiques de l École Normale Supérieure 3 10

11 seguito ripresa da Wiener ( ) 8 e ad oggi si fa riferimento al processo di Bachelier-Wiener. I successivi sviluppi continuarono a consolidare questa teoria e ad associarla al logaritmo del prezzo per poi trovare implicazione anche nel concetto del random walk. Secondo questa concezione l andamento dei mercati speculativi si sviluppa secondo il cosiddetto percorso casuale ovvero una sequenza di variabili casuali tali per cui la loro variazione da un periodo al successivo è a componenti indipendenti. L equazione random walk può essere espressa come: dove Y(t) indica il prezzo dell azione al tempo t e α rappresenta il cosiddetto white noise, ovvero una sequenza di v.c. tra loro indipendenti. Per quanto riguarda il prezzo e i rendimenti azionari, questi non seguono un andamento specifico ma si muovono in modo casuale ed imprevedibile. Da ciò deriva tutta una serie di analisi volte alla previsione quanto più esatta possibile delle tendenze e degli andamenti dei prezzi (analisi tecnica). La teoria del percorso casuale si basa su due assiomi, che le variazioni di prezzo siano variabili casuali tra loro indipendenti e che tali variazioni seguano una qualche distribuzione di probabilità. La distribuzione che viene tipicamente presa in considerazione è la gaussiana motivando tale scelta con un non sempre ben precisato riferimento al teorema centrale del limite. Mandelbrot 9, partendo dall analisi empirica delle distribuzioni delle variazioni di prezzo osservò come le code di tali distribuzioni fossero troppo pesanti per essere distribuite secondo normali. Questo nuovo approccio che viene definito ipotesi paretiana si basa sull assunto che la varianza delle distribuzioni sia infinita e che i dati empirici analizzati si conformino meglio ad una nuova famiglia di distribuzioni detta appunto Pareto-Stabili. 8 Nonlinear Problems in Random Theory, 1958, Cambridge, Massachusetts: The Technology Press of the Massachusetts Institute of Technology 9 Benoit Mandelbrot, 1962, The Stable Paretian Income Distribution when the Apparent Exponent is Near Two, International Economic Review, Vol. 4, No. 1, pp

12 3.2 Distribuzioni Stabili e le loro proprietà fondamentali Le distribuzioni stabili o α-stabili sono una particolare forma di distribuzioni di probabilità caratterizzate da asimmetria e da code di uno spessore elevato (heavy tails) rispetto a quelle della normale. Questa particolare classe di distribuzioni venne analizzata per la prima volta da Paul Levy nei suoi studi sulla somma di variabili con stessa distribuzione di probabilità. Queste distribuzioni non sono caratterizzate da una funzione di densità di probabilità analiticamente definite fatta eccezione per tre casi particolari, ovvero la distribuzione Gaussiana, di Cauchy e di Levy. Le distribuzioni stabili possono essere utilizzate in diversi ambiti quali lo studio di sistemi fisici ed economici ed esistono motivazioni valide per descrivere un determinato sistema o una distribuzione mediante l utilizzo di distribuzioni stabili piuttosto che mediante il semplice utilizzo della distribuzione normale. Lo studio empirico ha infatti mostrato il possibile fallimento del teorema centrale del limite (Central Limit Theorem, CLT), fondamento nella definizione della distribuzione normale. Infatti la presenza di distribuzioni con varianza infinita, la non identica distribuzioni delle variabili o addirittura i rapporti di dipendenza tra le variabili determinano il non corretto funzionamento del CLT nella definizione delle distribuzioni. Lo studio empirico ha inoltre dimostrato come la distribuzione di svariati fenomeni presenti code pesanti. La migliore approssimazione dell asimmetria e delle code pesanti (la leptocurtosi) di certi tipi di distribuzione ha reso la distribuzione stabile un più che valido modello alternativo nello studio dei rendimenti azionari e di altre grandezze finanziarie. 12

13 3.2.1 Definizione dei parametri fondamentali Per definire una distribuzione stabile sono necessari quattro parametri un indice di stabilità α [0,2], anche detto indice di coda un indice di asimmetria β [-1,1] un parametro di scala γ>0 un parametro di posizione δ appartenente a R con α e β parametri di forma della distribuzione. Per una distribuzione standard si userà quindi la notazione S α (α, β, γ, δ) Il parametro α definisce l'ampiezza e la pesantezza delle code della distribuzione, come già detto una distribuzione di tipo stabile presenterà delle code più spesse, leptocurtiche, rispetto ad altri tipi di distribuzione. Nel caso in cui l'indice di stabilità α sia uguale a 2 si avrà una distribuzione di tipo normale, mentre per α=1 e β=0 si avrà una distribuzione di Cauchy. La figura rappresenta un area di zoom della sezione superiore di diversi tipi di forme di distribuzioni al variare del parametro α. Fig Rappresentazione di una sezione di quattro distribuzioni di probabilità al variare del parametro α α α β definisce il grado di asimmetria di una distribuzione. Per β=o si avrà una distribuzione simmetrica, per β>0 la distribuzione sarà asimmetrica a destra mentre per β<0 la distribuzione sarà asimmetrica a sinistra e la coda sarà più spessa a sinistra. 13

14 La figura rappresenta la variazione della distribuzione al variare del parametro β. Fig Rappresentazione di una sezione di quattro distribuzioni di probabilità al variare del parametro β Probabilità Stabile Come già detto in precedenza la funzione di densità di probabilità delle distribuzioni stabili non è analiticamente esprimibile e lo studio di quest ultima richiederebbe di per sé una complessa trattazione a parte. Poiché lo scopo di questo lavoro è quello di mostrare le conseguenze dell applicazione della distribuzione stabile alla finanza e di analizzare le differenze rispetto all utilizzo di una distribuzione normale, mi limiterò a riportare una definizione di variabile stabile. Il calcolo della funzione di probabilità stabile non si rende infatti necessario nelle considerazioni e analisi finanziarie in oggetto. Una variabile casuale si dice stabile se al variare di n è soddisfatta la seguente condizione con X 1, X 2,, X n, variabili casuali indipendenti distribuite in modo identico, c n > 0 e d n costanti reali opportunamente scelte. L equazione pone il vincolo dell uguaglianza nella distribuzione di una trasformazione lineare di variabile casuale continua e di una somma di variabili casuali continue. Quindi la forma della distribuzione di X è preservata sotto il vincolo dell addizione. 14

15 3.2.3 Forme parametrizzabili di distribuzioni stabili Per tali distribuzioni stabili è possibile definire una formula analitica della densità di probabilità solo in tre particolari casi dei cui verrà data una breve definizione di seguito. La distribuzione Gaussiana già vista in precedenza: che si dimostra essere stabile con α=2 e β=0 La distribuzione di Cauchy o di Lorentz: che si dimostra essere stabile con α=1 e β=0 La distribuzione di Levy: che si dimostra essere stabile con α=1/2 e β=1 15

16 Fig Rappresentazione delle tre diverse distribuzioni di probabilità stabili per le quali è possibile definire una formula analitica, la Normale in blu, di Cauchy in viola e di Levy in giallo. Analizzando la figura 3.3 si può notare come la distribuzione di Cauchy (in viola), abbia code molto spesse rispetto alla normale (in blu) mentre la distribuzione di Levy (in giallo) dimostra un asimmetria maggiore con la maggior parte di probabilità concentrata in x>0 e code ancor più pesanti che per la Cauchy. 16

17 3.2.4 Stima dei parametri fondamentali Esistono diversi metodi di stima dei parametri di una distribuzione stabile, a partire da metodologie più veloci e meno accurate a tipologie più laboriose e precise. Verrà ora data una breve descrizione del metodo più rigoroso. Tali metodologie verranno utilizzate successivamente nella stima dei parametri nell'analisi di una serie di dati finanziari empirici. Metodo della Massima Verosimiglianza. Data una serie di osservazioni indipendenti tratte da una distribuzione stabile, la stima di massima verosimiglianza del parametro θ=(α,β,γ,δ) è ottenuta massimizzando la funzione: dove f(x; θ) indica la funzione di densità di probabilità. Se tale funzione non è esprimibile in modo analitico serve darne una approssimazione numerica. Come per la definizione della funzione di distribuzione di probabilità stabile anche in questo caso si è data solo una breve spiegazione del metodo di massima verosimiglianza applicato alla distribuzione stabile in quanto esistono programmi e software specifici che calcolano tali formule. 3.3 Vantaggi e Svantaggi nell utilizzo e applicazione delle distribuzioni Stabili Facendo un analisi della classe di distribuzioni stabili si può notare come l utilizzo di questo particolare tipo di distribuzioni comporti dei grandi vantaggi ma allo stesso tempo determinati problemi, tipicamente riguardanti la difficoltà nel darne una definizione analitica. L utilizzo delle distribuzioni α-stabili permette di prendere in considerazione la frequenza dei valori estremi (nelle code delle distribuzioni), di cui solitamente la distribuzione normale non è in grado di dare una corretta rappresentazione. Tra le altre caratteristiche utili si ha che la somma di osservazioni indipendenti di una distribuzione stabile ha la stessa distribuzione stabile della singola osservazione. Da ciò si può presupporre che i rendimenti azionari aggregati in diversi archi temporali abbiano la stessa distribuzione α-stabile. 17

18 Di seguito verrà trattata l'applicazione delle distribuzioni di tipo stabile all'analisi di tipo finanziario come migliore approssimazione della distribuzione dell andamento dei rendimenti. Si vedrà come la caratteristica pesantezza delle code (tipica delle distribuzioni α-stabili) sia un migliore indicatore del loro andamento e verrà poi dimostrato come un approccio stabile all analisi del rischio finanziario si avvicini maggiormente al rischio empirico rispetto ad un approccio che si sviluppi da un analisi normale. Come già detto i dati che verranno utilizzati nell analisi sono stati forniti dalla società di risk management, Redexe s.a.r.l., che fornisce consulenza di risk management e asset management, basando i propri programmi e software applicativi su modelli fisici e statistici applicabili al mercato finanziario. La società ha sviluppato modelli per l analisi di risk budgeting, performance probabilità, controllo dello stile di gestione, asset optimization e time series forecasting sviluppando tecnologie informatiche all avanguardia nel settore. 4. Applicazione dell analisi stabile Per illustrare i concetti fin qui esposti sarà preso in esame un titolo al fine di dimostrare come l analisi dell andamento dei rendimenti azionari che si basi su una statistica di tipo stabile possa determinare una migliore approssimazione di tale andamento, fornendo inoltre gli strumenti necessari per una possibile previsione futura. Il titolo che sarà analizzato è Foot Locker, Inc. quotato al NYSE (New York Stock Exchange). L analisi delle serie storiche dei rendimenti azionari di questo titolo verrà basata sullo studio di più serie storiche (finanza.yahoo.it), la prima riferita ad un arco di tempo di due anni, la seconda ad un arco di tempo di dieci anni e la terza a 20 anni. Verrà quindi presentato per entrambe le serie un fitting ottenuto mediante un modello di tipo normale ed uno ottenuto mediante un modello di tipo stabile in modo da mostrarne graficamente le differenze. Per dare un ulteriore conferma della bontà del modello stabile verrà poi eseguito il test Chi-Quadro di Pearson. Verrà quindi verificato mediante il risultato del test che il fitting stabile si dimostra quello migliore. Un ultima considerazione riguarderà infine l analisi del rischio. Capita ancora con una certa frequenza che gli strumenti utilizzati nell analisi del rischio finanziario siano fondati su modelli di tipo normale che come cercherò di far vedere è caratterizzato da un grado di errore più elevato rispetto ad 18

19 un analisi stabile. Tali metodi di analisi, quale il VaR di cui si darà definizione non sembrano quindi essere i migliori strumenti nella valutazione del rischio finanziario. Verranno quindi determinati dei livelli o scaglioni di rischio e verranno prese in considerazione per il titolo Foot Locker le serie storiche, a due anni a dieci e a venti anni (in quanto si dimostrano le più significative per dimostrare l erronea analisi del rischio del sistema normale) e su di esse verrà calcolato l expected shortfall (ES), di cui verrò data definizione in seguito, quale metodo di analisi del rischio. Verrà poi calcolato l expected shortfall sia sul fitting normale che su quello stabile e si potrà notare come il fitting normale dia una misura del rischio decisamente inferiore rispetto a quello stabile, sottostimando in questo modo il rischio. Data la complessità del processo e vista la natura di questo lavoro, analizzarò i dati e il materiale fornitomi dalla società redexe s.r.l. leader in questo campo di studi, con la quale ho collaborato durante il mio periodo di stage. Tutti i calcoli specifici necessari all analisi e alla rappresentazione di grafici e immagini sono stati svolti da software specifici, di proprietà di redexe. I dati analitici che verranno usati di seguito sono stati verificati e sono il risultato di una analisi svolta da softare all avanguardia in questa materia. 4.1 Foot Locker Inc, breve profilo della società Foot Locker è una società di retail specializzata nel settore calzaturiero e di abbigliamento sportivo con sede a Manhattan, New York e quotata al NYSE. È leader mondiale nel suo settore ed opera in 21 paesi con oltre 3420 negozi specializzati. La società possiede asset per oltre 2.8 miliardi di dollari, e nel 2011 ha registrato un fatturato di 5,75 miliardi di dollari. La società si è dimostrata un ottimo esempio per un analisi grafica volta a dimostrare le differenze sostanziali dei vari fitting sull andamento dei rendimenti azionari del titolo e nel calcolo del rischio finanziario. Di seguito verranno quindi presentati i risultati dell analisi effettuata sul titolo, a partire dall analisi del fitting normale e stabile per ogni serie per poi passare all analisi delle classi di rischio e della stima che ne danno i due fitting mediante l utilizzo dell expected shortdfall. 19

20 4.2 Foot Locker, analisi dei log-rendimenti azionari I rendimenti logaritmici dei prezzi azionari di Foot Locker a due, a dieci e a venti anni sono stati calcolati a partire dalle serie storiche rese disponibili da Yahoo finanza. Dalle serie storiche si è quindi calcolato il rendimento mediante la formula R t = log (P t ) log (P t-1 ) Considerando la serie storica di prezzi, i rendimenti logaritmici al periodo t=1sono indipendenti e identicamente distribuiti secondo una distribuzione stabile simmetrica con media 0, parametro di scala c e parametro di stabilità α. Dato un intervallo di tempo T infatti i rendimenti logaritmici saranno distribuiti R t = log (P t ) log (P t-t ) = (P t ) log (P t-1 ) (P t-1 ) log (P t-2 ) + + (P t T-1 ) log (P t-t ) Saranno quindi distribuiti secondo una distribuzione stabile quale somma di distribuzioni stabili identiche. In figura è riportata la rappresentazione grafica dei rendimenti logaritmici del periodo 1991/2011 a cadenza giornaliera Redexe. All rights are reserved Fig Rappresentazione grafica dei rendimenti logaritmici giornalieri nel periodo 1991/2011 Da ciò si può verificare la volatilità a cui è soggetto il rendimento del titolo. Questo è un elemento fondamentale per studiare il titolo azionario, per valutarne le oscillazioni e di conseguenza anche il possibile 20

21 rischio che ne deriva. Nell analisi dei titoli azionari e nello sviluppo di strategie di portfolio lo studio dei rendimenti e della volatilità cui è soggetto in media un titolo sono due aspetti fondamentali che permettono di valutare il rischio e l expected return. In questo caso, analizzando il grafico, il titolo Foot Locker ha mantenuto rendimenti giornalieri con variazioni in un range di più o meno 10 per cento rispetto allo zero fino al 1997, anno in cui si sono cominciate a riscontrare variazioni più ampie (oltre il 10% giornaliero). Da questo punto in poi si può notare come l andamento dei rendimenti e quindi in parallelo l andamento del titolo abbia cominciato a variare, come dimostrano variazioni giornaliere dei rendimenti oltre il 10% e il conseguente aumento della volatilità. Un aumento della volatilità, di eventi che escono dall ordinario range di variazione determinano valori anomali (ovvero valori che si trovano sulle code estreme) che non sono caratteristici di una distribuzione tipicamente normale, causando un inadeguatezza del fitting normale. Creando quindi un riscontro meno preciso del fitting normale rispetto all effettivo andamento dei rendimenti. Il caso estremo, come si può notare nella figura 4.2.2, lo si può riscontrare tra il 2008 e il 2009, periodo caratterizzato da un importante crisi del settore finanziario. In questo periodo ovviamente l andamento dei rendimenti è stato soggetto ad un elevata volatilità che ha comportato variazioni dei rendimenti con picchi del 20%. Questi eventi vengono definiti eventi rari o black swans, e comportano modificazioni oltre l ordinario dei tipici comportamenti del mercato finanziario Redexe. All rights are reserved Fig Variazione elevata nei rendimenti con picchi di volatilità nel periodo Ed è proprio di questi eventi che la distribuzione normale non riesce a tener conto, sono eventi improvvisi e inaspettati che esulano dall ordinario range di variazione e che danno luogo a valori sulle code estreme di 21

22 una distribuzione. Tali accadimenti stravolgono le aspettative di mercato e a causa un inadeguata struttura previsionale possono comportare importanti perdite se non, estremizzando, gravi crisi finanziarie. Solo mediante un analisi che tenga conto della possibilità e del rischio derivante da questi accadimenti si potranno prevedere certi eventi ed evitare conseguenze negative. Come si vedrà di seguito, grazie all utilizzo di un sistema previsionale basato su di una caratterizzazione stabile della distribuzione sarà possibile definire una migliore metodologia nell analisi di tali problematiche. 4.3 Foot Locker: analisi dei dati empirici Di seguito verranno riportate le analisi grafiche svolte al fine di dimostrare la valenza del fitting stabile ed il vantaggio che ne deriva rispetto all analisi di tipo normale. Verranno utilizzate le serie dei rendimenti logaritmici a due, a dieci e a venti anni, calcolate a partire dallo storico dei prezzi azionari ottenuti dal sito Yahoo finanza (finance.yahoo.it). Sui dati empirici verrà poi sovrapposto l adattamento normale e l adattamento stabile in modo da rappresentare in modo semplice come la distribuzione empirica dei log-rendimenti sia approssimata in modo più preciso da un approssimazione di tipo stabile Redexe. All rights are reserved Fig Distribuzione di probabilità empirica dei rendimenti logaritmici a due anni. La figura rappresenta la distribuzione di probabilità empirica dei rendimenti logaritmici di una serie riferita ad un arco di tempo di due anni (periodo dal 16/09/2009 al 15/09/2011). Si può notare che in questo ridotto periodo di tempo le oscillazioni dei logrendimenti daily superano in modo esiguo ed in poche occasioni il 10%. Su una scala di tempo così ridotta la probabilità di individuare eventi rari diventa relativamente minore rispetto a scale temporali più ampie. 22

23 La dimensione del campione è infatti un elemento essenziale nell applicazione del fitting probabilistico, un campione troppo ridotto non permette infatti di conferire precisione al test. Per questo motivo verranno presentare serie con range temporali più ampi volte a dimostrare l efficacia del sistema di analisi stabile nella rappresentazione e previsione dei dati empirici Redexe. All rights are reserved Fig Distribuzione di probabilità empirica dei rendimenti logaritmici a dieci anni. Nella figura è invece rappresentata una distribuzione dei log-rendimenti giornalieri in un arco di tempo di dieci anni (periodo dal 18/09/2001 al 15/09/2011). La distribuzione si riferisce ad un range di tempo decisamente più ampio nel quale è possibile ritrovare con probabilità maggiore eventi di un certo rilievo, riscontro empirico di variazioni consistenti del range, che si dimostrano scostanti e spostati verso le code della distribuzione. Questi dati sono conseguenza di accadimenti che si discostano dal range probabilistico atteso e di conseguenza sono tipicamente determinati da situazioni inattese di cui non si trova riscontro in una previsione normale. Come si può notare quest immagine comincia ad assumere una conformazione e delle caratteristiche diverse 2011 Redexe. All rights are reserved Fig Distribuzione di probabilità empirica dei rendimenti logaritmici a dieci anni. rispetto alla rappresentazione della distribuzione dei rendimenti a due anni, con delle code più spesse ovvero con la probabilità di osservare eventi importanti (variazioni consistenti) sugli estremi della distribuzione, sempre più probabile. Nella figura è rappresentata la distribuzione di probabilità dei log-rendimenti in un arco di tempo di venti anni (periodo dal 17/09/1991 al 15/09/2011). In questo caso è rappresentato un intervallo di tempo ancora più ampio rispetto ai dieci anni, e seguendo la logica introdotta in precedenza, (maggiore è il range di tempo adottato, maggiore è la probabilità di riscontro 23

24 con eventi sulle code della distribuzione), si può notare nei dati empirici come il numero di eventi osservati sulle code della distribuzione sia sempre più consistente. Nel periodo preso in considerazione infatti si può osservare una presenza ed una densità maggiore sulle code della distribuzione con oscillazioni che superano il 15%. Non solo quindi si hanno variazioni maggiori nel calcolo dei rendimenti logaritmici ma anche un numero maggiore di rilevazioni che rispecchiano tali variazioni. Osservando le tre immagini si possono quindi cogliere le differenze sostanziali e le conseguenze che comporta svolgere delle analisi su intervalli di tempo troppo ridotti o prendendo in considerazione solo un determinato periodo temporale. Queste scelte sono infatti causa di errori nei risultati dei test o di risultati decisamente inaffidabili. Nello stesso modo, la scelta di basare le proprie strategie su di un modello statistico che non prende in considerazione l eventualità che si realizzino casi estremi, rari o inaspettati non rappresenta la scelta ottimale nello studio di attività finanziarie e nella conseguente analisi del rischio a loro legato. Da quanto esposto finora si evince quindi come nell applicazione di un pattern probabilistico che voglia approssimare nel miglior modo possibile il flusso di dati storici e possibilmente futuri, sia necessario prendere in considerazione un periodo si tempo che permetta la giusta valutazione ed identificazione degli eventi. 4.4 Applicazione del Fitting Stabile e del Fitting Normale Sui dati empirici presentati nel paragrafo precedente verranno ora applicati i modelli statistici presi in esame, ovvero quello normale e quello stabile. Lo scopo dell esposizione di questo paragrafo è quello di verificare empiricamente quale tra i due modelli meglio si adatti ai dati e di conseguenza meglio si presti a prevedere l andamento futuro dei rendimenti azionari. Questa successiva utilizzazione del modello stabile (già utilizzato da diversi operatori nel mercato) è e potrà essere ancor di più fondamento nella creazione di strumenti e strategie finanziarie. Le immagini che saranno riportate di seguito rappresentano una specifica area di zoom delle distribuzioni dei rendimenti logaritmici nei tre periodi temporali presentati precedentemente. 24

25 Per ogni periodo temporale sarà quindi sovrapposta alla distribuzione empirica dei dati il pattern stabile e quello normale in modo da poterli confrontare e darne una valutazione in relazione al titolo scelto. Così come per il titolo Foot Locker, lo stesso test è stato svolto uno ad uno dalla società Redexe su tutti i titoli quotati nel mercato NYSE e Nasdaq ottenendo gli stessi risultati in una percentuale molto alta (quasi totale) dei casi. Si sono riscontrate eccezione per i titoli per quali è disponibile uno periodo storico ridotto di osservazione e per titoli con bassa capitalizzazione nel mercato, solitamente soggetti ad elevata volatilità a causa del prezzo ridotto per azione (che li rende soggetti ad elevata speculazione). Di seguito saranno quindi riportate le varie applicazioni dei fitting alla serie empirica. Sia per il fitting stabile che per quello normale saranno riportati i parametri calcolati in precedenza da specifici software (data la complessità del calcolo) usando il metodo della massima verosimiglianza, di cui si è accennato in precedenza. Per ogni serie temporale sarà calcolato sia l adattamento normale che quello stabile e ne verranno definiti i parametri, partendo da quello a dieci anni per poi passare al venti e due anni. La figura sotto come le altre che verranno presentate rappresenta una sezione ingrandita della distribuzione dei log-rendimenti ( in questo caso a dieci anni), sul quale è stato sovrapposto il fitting normale calcolato sui dati storici. In grigio è rappresentato la distribuzione dei rendimenti logaritmici mentre la linea viola indica l adattamento normale. In questo caso µ = e σ = Come si può osservare nell immagine il fitting normale tende a seguire la serie empirica per variazioni minime dal range che non superano il 7%. Quando poi viene superata questa soglia il pattern normale non sembra più in grado di approssimare adeguatamente i dati empirici ampliando l errore sempre di più spostandosi verso gli estremi della distribuzione. Si può vedere come il pattern normale sottostima seriamente la probabilità di accadimento di eventi lontani dalla media 25

26 2011 Redexe. All rights are reserved Fig Fitting normale sulla serie empirica a dieci anni. La figura rappresenta la stessa serie di dati empirici a dieci anni (rappresentati sul grafico in scala lineare) sul quale è stato sovrapposto il fitting stabile. Come prima in grigio è rappresentato lo storico mentre in arancione l adattamento stabile. In questo caso le stime di massima verosimiglianza dei parametri stabili sono le seguenti: parametro di stabilità α = , parametro di simmetria β = , parametro di scala γ = e parametro di posizione δ = Si può analizzare graficamente come il fitting stabile riesca a seguire in modo preciso l andamento empirico per variazioni dei log-rendimenti fino al 7% come il fitting normale, ma anche quando poi viene superata tale soglia, l adattamento stabile sembra riuscire a seguire in modo decisamente più preciso di quello normale l andamento della serie empirica. Le caratteristiche fondamentali del fitting stabile, capace di approssimare la distribuzione empirica anche sulle code, fanno sì che il pattern riesca ad approssimare meglio la distribuzione dei rendimenti con un errore decisamente inferiore al pattern normale. Sulle code della distribuzione infatti, la particolare condizione di code spesse della distribuzione stabile permette al fitting di non scendere, come si è visto in precedenza, come quello normale, ma bensì di intercettare sul grafico eventi sugli estremi e ciò grazie all altezza delle code. 26

27 2011 Redexe. All rights are reserved Fig Fitting stabile sulla serie empirica a dieci anni. Sovrapponendo i due fitting sullo stesso grafico la situazione risulta molto più chiara, nella figura si può infatti notare la grande differenza di precisione che si viene a creare. Il fit normale (in viola) è caratterizzato da un errore maggiore e vistoso rispetto a quello stabile (in rosso), che si caratterizza per un ottima approssimazione della distribuzione. Da ciò si evince come il fitting stabile sia decisamente da preferire rispetto a quello normale che comporta una scarsa verosimiglianza oltre certe soglie di variazione, verso gli estremi Redexe. All rights are reserved Fig Applicazione del fitting normale (in viola) e stabile (in rosso) alla serie empirica dei dati a dieci anni. 27

28 Ciò dimostra anche come una scelta di carattere finanziario che determini l utilizzo di strumenti o strategie basate sulla statistica normale siano affette da un errore maggiore rispetto a quelle basate su di un fitting stabile. E conseguenza di questo è la sottovalutazione del rischio, di cui si parlerà più avanti, che la statistica normale tende ad avere. Per quanto riguarda le altre due serie temporali, si vedrà ora come nella distribuzione dei log-rendimenti a venti anni l errore del fitting normale si dimostra ancor maggiore mentre nella distribuzione della serie a due anni tale errore tende ad assottigliarsi a causa del ristretto range temporale che come si è detto prima è direttamente proporzionale alla probabilità di individuare elementi rari caratteristici delle estremità delle distribuzioni. Come per la distribuzione a dieci anni di seguito in figura sono riportati i grafici a venti anni del fitting normale, di quello stabile e dei due sul medesimo grafico in modo da individuarne meglio le differenze Redexe. All rights are reserved Fig Applicazione del fitting normale (a sinistra) e stabile (a destra) alla serie empirica a venti anni. In questo caso i parametri normali sono µ = e σ = mentre quelli stabili calcolati mediante il metodo della massima verosimiglianza sono i seguenti: parametro di stabilità α = , parametro di simmetria β = , parametro di scala γ = e parametro di posizione δ =

29 Come si può osservare nei grafici presentati sopra, nell analizzare la distribuzione si può vedere come il fitting normale non sia in grado di seguirla. Oltre una variazione del 10% il pattern normale non approssima adeguatamente l andamento della serie empirica determinando un errore sempre più grande via via che si allontana dalla media. Rispetto alla distribuzione a dieci anni questa presenta estremità ancora più spesse e dense con un maggior numero di eventi rari che si presentano lungo le code. Ciò rende l errore del fitting normale ancora più grande. Il fitting stabile viceversa sembra riuscire a descrivere bene la distribuzione dei log-rendimenti riuscendo ad intercettare con un errore decisamente minore quegli eventi rari che si sviluppano nelle code e che il pattern normale non riesce a considerare. Lo si vede meglio nella figura riportata qui sotto. L errore rispetto al pattern stabile, cerchiato in verde, è maggiore rispetto a quello calcolato in un arco temporale minore Redexe. All rights are reserved Fig Applicazione del fitting normale (in viola) e stabile (in rosso) alla serie empirica dei dati a venti anni. Un ultima distribuzione di rendimenti logaritmici da analizzare è quella a due anni. In questo caso le differenze fra i due fitting tenderanno a ridursi generando errori minori in quanto, dato il ridotto intervallo di tempo considerato la probabilità che si presentino eventi rari si riduce. L immagine rappresenta l applicazione dei due fitting alla serie empirica a due anni. 29