Integrali impropri ( ) f x dx. c f x dx. Nel primo caso diciamo che l integrale improprio (o integrale generalizzato)
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- Serafina Sartori
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1 Integrli impropri. Introduzione Abbimo introdotto il onetto di integrle onsiderndo unzioni ontinue (o ontinue trtti) in un intervllo limitto. Quest restrizione viene or rimoss onsiderndo dpprim unzioni deinite e ontinue su un intervllo non limitto, in prtiolre su un semirett. In seguito introduimo il onetto di integrle per unzioni deinite su un intervllo limitto, m non limitte in tle intervllo. L integrle he deinimo, detto improprio o generlizzto, h numerose e importnti pplizioni nell mtemti: bsti per tutte itre il tto he si l trsormt di Fourier he quell di Lple, strumenti ondmentli per lo studio dei segnli e dei iruiti elettrii, sono deinite ppunto d integrli impropri.. Deinizioni e primi esempi Considerimo un unzione () deinit su un semirett, he possimo prendere del tipo [, ) ed ivi ontinu trtti; ome bbimo visto nell shed preedente per ogni [,) possimo lolre Considerimo or il d (.) lim d Nel lolo di questo limite si possono presentre tre possibilità: il limite esiste inito e vle l; il limite esiste ininito (vle - oppure ); il limite non esiste. Nel primo so diimo he l integrle improprio (o integrle generlizzto) (.) ( ) d (he si legge "integrle d più ininito di ()" ) onverge e h il vlore l. Nel seondo so si die he l integrle (.) diverge, mentre nell'ultimo so si die he l integrle è indeterminto (o osillnte). Il termine spesso usto di omportmento dell integrle st d indire il tto he esso è onvergente, divergente oppure indeterminto.
2 Esempio d Considerimo l integrle. 4 Per veriire l eventule onvergenz dobbimo dpprim lolre d = = 3 3 e lolre il limite di quest quntità per he tende, ottenendo lim = Poihé il limite esiste inito, l integrle onverge e si h d =. 4 3 Esempio L integrle Intti log d è divergente. e [ ] lim log d = lim log = lim (log ) = e e Esempio 3 L integrle sen d è osillnte. Anhe in questo so possimo lolre l integrle tr e e poi lolre il limite per + : = [ ] = lim sen d lim os lim os. Il limite non esiste, per ui diimo he l integrle è indeterminto. Esempio 4 Questo esempio è molto importnte nell prti perhé introdue un migli di unzioni he possimo utilizzre ome mpione on ui onrontre un unzione ssegnt per studire l onvergenz dell'integrle improprio orrispondente: si trtt delle unzioni = dove è un prmetro rele positivo. Considerimo il so =; bbimo
3 d = [ log ] = log e quindi l integrle diverge. Se invee bbimo d = = Se > l quntità - tende zero per + ; se invee < ess tende ll ininito qundo +. Possimo quindi onludere enunindo il seguente risultto: d l integrle onverge se >, diverge se. Osservzione Nell esempio preedente bbimo onsiderto l integrle on primo estremo di integrzione ugule ; notimo he il omportmento dell integrle (l su onvergenz o divergenz) non mbi se lolimo l integrle prtire d un qulsisi vlore, purhé strettmente positivo. Intti possimo notre he, segliendo b>, bbimo he per ogni > e per un generi unzione integrnd () Poihé l quntità b b = + d d d. b d è ostnte il omportmento dell integrle dipende solmente dl seondo termine nell somm. Questo rgionmento non si può pplire per l integrle d In questo so l unzione non è limitt in un intorno destro di zero, per ui non h senso lolre l'integrle on primo estremo lo zero. Vedremo più vnti ome trttre questo so.
4 .3 Integrle improprio di unzioni non negtive Se risult () per ogni [,+ ), l integrle improprio h un proprietà molto importnte. Teorem Si () un unzione non negtiv in [, ); llor l integrle improprio d onverge oppure diverge. Per vlutre l onvergenz di un integrle di un unzione non negtiv si utilizzno luni riteri, he si bsno tutti sul seguente riterio. Teorem [Criterio del onronto] Sino () e g() due unzioni non negtive in [,) e si per ogni [,) llor () g(). se onverge l integrle improprio di g onverge nhe quello di ;. se diverge l integrle improprio di diverge nhe l integrle di g. Esempio L integrle log d diverge. e Possimo onrontre l unzione integrnd () on l unzione g()=/ ; poihé log e poihé l integrle di g() è divergente, nhe l integrle di () diverge. Esempio L integrle 3π + sen d onverge. Osservimo he l unzione integrnd è positiv in qunto + sen Possimo mggiorre l unzione integrnd on un unzione il ui integrle onverge; intti + sen 3 Per il riterio del onronto, l integrle proposto onverge.
5 Il seguente riterio, detto del onronto sintotio, disende d quello del onronto e d semplii proprietà del limite ed è spesso di uso più ile rispetto l riterio del onronto, in qunto rihiede solo il lolo del limite del quoziente tr le unzioni (osservimo he tle limite, se esiste, è sempre un quntità mggiore o ugule zero) invee he lo studio dell relzione esistente tr le due unzioni. Teorem 3 [Criterio del onronto sintotio] Si () un unzione non negtiv e si g()>. Se esiste il limite lim ( ) = g l llor:. se l R ed è diverso d zero llor l'integrle di () e l integrle di g() hnno lo stesso omportmento;. se l= e se l integrle di g() onverge llor nhe l integrle di () onverge; 3. se l= e se l integrle di g() diverge, llor nhe l integrle di () diverge. Esempio 3 L integrle d è onvergente. Il denomintore dell unzione integrnd () si nnull in = e in = 3; nell semirett [,) () è quindi un unzione ontinu e positiv. Possimo onrontre () on l unzione g()= ; si h lim = lim =. Poihé l integrle di g() (Teorem del prgro.) è onvergente, possimo pplire l prim prte dell enunito del riterio del onronto sintotio e onludere he l integrle proposto è onvergente.
6 Esempio 4 L integrle d + è divergente. Il denomintore dell unzione integrnd h lo stesso ordine di grndezz di (sppimo he il termine è un ininito di ordine ineriore e quindi può essere trsurto nell determinzione dell'ordine di grndezz); viene quindi spontneo onrontre l unzione integrnd on g()=/. lim + = lim + =. Tenendo onto dell prim prte dell enunito del riterio del onronto sintotio e del Teorem del prgro., possimo onludere he l'integrle è divergente. Osservzione L utilizzo del riterio del onronto sintotio e dell migli di unzioni di onronto non sempre permette di onludere se un integrle è onvergente o meno. Un esempio di importnz g o, più in generle, dell migli di unzioni g β = = log ( log ) Poihé l unzione logritmo h un ordine di ininito ineriore ogni potenz di on esponente positivo si h log < ε (per ) per ogni ε >. Se onsiderimo i reiproi bbimo quindi he, sempre per sempre suiientemente grnde d ui si ottiene he > log ε, > > log + β ε.
7 Quest doppi disuguglinz non i permette di ottenere né l onvergenz né l divergenz g (). Per re questo riorrimo l lolo diretto, osservndo he un primitiv dell unzione integrnd è l unzione log log : [ ] d = log log = log log log log log L integrle di g () è quindi divergente. Il lettore è invitto studire il so β e veriire he vle il seguente teorem. Teorem 4 d L integrle β onverge se e solo se β >. log
8 .4 Convergenz ssolut Le onsiderzioni del prgro preedente possono essere dttte ilmente l so di unzioni sempre non positive (l integrle improprio in questo so onverge o diverge - ) e nhe unzioni he mbino segno un numero inito di volte. Supponimo he l unzione () nell semirett [,) mbi di segno solmente nei punti,,..., k ; possimo llor srivere k k = + d d d Il primo integrle è un integrle ordinrio; il seondo è un integrle improprio di un unzione di segno ostnte, he ride in quello he bbimo detto. Restno esluse d queste onsiderzioni le unzioni he presentno ininiti mbimenti di segno nell semirett [,), ome, d esempio l unzione g = sen In questi si è utile introdurre il onetto di onvergenz ssolut. Deinizione Diimo he l integrle improprio d onverge ssolutmente se onverge l integrle ( ) d. Il onetto di onvergenz e quello di onvergenz ssolut sono tr di loro ollegti; intti vle il seguente teorem. Teorem Se l integrle improprio d è ssolutmente onvergente llor è nhe onvergente e si h d d. Dimostrzione A prtire dll unzione () deinimo le unzioni + () (dett prte positiv di ) e - () (dett prte negtiv di ) ome:
9 se + = e se < = D quest deinizione si riv immeditmente he: + =, + se < se = + + Grzie lle prime due relzioni, pplindo il riterio del onronto per gli integrli impropri si h + he gli integrli d e relzione): + d - d sono onvergenti e quindi lo è nhe (per l terz d = + ( ) d = ( ) d. Dimostrimo or l disuguglinz; per ogni > issto si h (per le proprietà dell integrle deinito) he d d Pssndo l limite per si h l tesi. Esempio L integrle sen d è onvergente. π Trttndosi di un unzione he mbi segno ininite volte, studimo l eventule onvergenz ssolut dell integrle; ll integrle π sen d = π sen d possimo pplire i riteri noti per gli integrli di unzioni non negtiv, in prtiolre il riterio del onronto. Ottenimo: sen d ui si può onludere he l integrle dto è ssolutmente onvergente e quindi onvergente. Osservzione sen Si può dimostrre he l'integrle improprio d (dove > ) è onvergente m non ssolutmente onvergente: in questo so si prl di integrle sempliemente onvergente.
10 .5 Integrli impropri di unzioni non limitte Considerimo un unzione () deinit in un intervllo limitto e non limitt in tle intervllo. Per issre le idee supponimo he () si deinit in [,b), ontinu in ogni intervllo [, b -ε) e he si Clolimo l integrle e poi vlutimo ( ) lim = b b ε d bε lim+ ε d Questo limite può esistere inito, esistere ed essere ininito, oppure non esistere. Nel primo so deinimo l'integrle improprio tr e b di () b d ome il vlore di tle limite; se il limite è ininito, diimo he l integrle diverge, se il limite non esiste diimo he l integrle è osillnte o indeterminto. Anlogmente si può deinire l integrle per un unzione deinit in (,b] e non limitt in un intorno di. Per questo seondo tipo di integrle, possimo ripetere le onsiderzioni tte nel so preedente: in prtiolre l integrle di un unzione non negtiv è sempre onvergente o divergente. Il riterio del onronto e quello del onronto sintotio possono essere riormulti in mnier nlog quell già vist; nhe il onetto di onvergenz ssolut e il Teorem del prgro.4 si ripetono senz modiihe. Bisogn invee rionsiderre il problem delle unzioni mpione per lo studio dell onvergenz: seglimo nor le unzioni = e studimo l onvergenz dell integrle improprio tr e. Teorem L integrle d onverge per <, diverge per. Esempio π sen L integrle d è divergente. 3
11 Per dimostrrlo utilizzimo il riterio del onronto sintotio; poihé bbimo un orm indetermint / nell origine e poihé, ome è noto, lim sen = è spontneo onrontre l unzione onsidert on l unzione g()=/. Ottenimo lim sen lim sen = =. d ui si h il risultto..6 Altri esempi Vedimo or luni esempi di integrli impropri rtterizzti dl tto he le diioltà si sovrppongono, ome nel so di integrli deiniti sull inter rett, integrli di unzioni deinite su un semirett e non limitte in un punto e osì vi. L ide on ui si rontno questi si è molto semplie; si spezz l integrle in tnti integrli in ui si h un solo problem : intervllo illimitto e unzione limitt oppure intervllo limitto e unzione non limitt. L integrle di prtenz è onvergente se tutti gli integrli osì ottenuti onvergono (e in questo so il suo vlore si pone ugule ll somm di questi), è divergente se, d esempio, uno di essi diverge e gli ltri onvergono oppure se tutti divergono (on lo stesso segno). Rest esluso solmente il so di somm di integrli he divergono ll ininito on segno opposto: in questo so non possimo trrre onlusioni e diimo he l integrle è indeterminto. Invee di svolgere un trttzione generle, i limitimo re qulhe esempio. Esempio Studire l onvergenz dell integrle improprio e d. Si trtt di un integrle esteso ll inter rett. Possimo spezzrlo in due integrli estesi semirette, segliendo un qulunque punto e onsiderndo seprtmente e d e e d. Conviene segliere = ; in questo modo possimo togliere il vlore ssoluto e osservre he poihé l unzione integrnd è pri, si h e d = e d Possimo lolre direttmente l integrle; integrndo due volte per prti si h 4
12 [ ( ) ] ( ) e d = + + e = + + e Pssndo l limite per si h he l integrle onverge e h il vlore ; l integrle proposto è quindi onvergente e vle 4. Esempio Studire l vrire del prmetro rele positivo l onvergenz dell integrle d. L integrle deve essere lolte su un intervllo non limitto e l unzione limitt in un intorno destro dell origine. Spezzimo l integrle, segliendo >, nell somm di d + d Riordndo il Teorem del prgro. e il Teorem del prgro.5, bbimo he se < il primo integrle onverge e il seondo diverge, se = divergono entrmbi, mentre se > diverge il primo e onverge il seondo. In tutti i si l integrle proposto è quindi divergente. Esempio 3 Studire l onvergenz di d. Spezzimo l integrle nell somm di due integrli del seondo tipo d + d Questi integrli sono entrmbi divergenti: il primo -, il seondo ; l integrle di prtenz è quindi indeterminto. 5
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