GLI INTEGRALI L INTEGRALE DEFINITO L INTEGRALE INDEFINITO

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1 GLI INTEGRALI L INTEGRALE DEFINITO. L re sotto un curv pg.. Sistemzione teoric 4. Osservzioni e proprietà 5 4. Due domnde l professore 6 5. L ntiderivt o primitiv di un funzione ssegnt: l integrle indefinito 6. Il teorem dell medi del clcolo integrle 7. Il Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle (Teorem di Torricelli-Brrow) 8. Come si clcol nell prtic un integrle definito 4 L INTEGRALE INDEFINITO 9. Integrli immediti 6 0. Integrzione delle funzioni rzionli frtte Denomintore di grdo Denomintore di grdo con delt positivo 4 Denomintore di grdo con delt nullo 5 Denomintore di grdo con delt negtivo 6 Denomintore di grdo superiore l 8. Integrzione per prti 0. Il differenzile, questo sconosciuto. Approfondimenti: Pierino e il differenzile 4 4. Integrzione per sostituzione 6 5. Esercizi 8 (figur trtt dl sito Gli integrli, di Gincrlo Zilio, è distriuito con licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte 4.0 Internzionle

2 L INTEGRALE DEFINITO. L re sotto un curv Il clcolo dell re sotto un curv, ossi dell re dell regione di pino compres fr un dt curv e l sse delle scisse (entro l fsci di pino delimitt d due scisse fisste), è un prolem il cui interesse è enorme non solo in mtemtic pur, m nche in svriti cmpi pplictivi. Ad esempio, in Fisic, l re sotto un curv può ssumere, di volt in volt, il significto di spzio complessivo percorso in un certo intervllo di tempo (qundo si not l legge dell velocità in funzione del tempo); lvoro effettuto d un forz su di un oggetto che si spost lungo un certo rco di triettori (qundo si not, per ogni singol posizione ssunt dll oggetto, l componente dell forz nell direzione dello spostmento); ecc. ecc. ecc. Nel seguito, chimeremo trpezoide l figur mistiline (quell che è omreggit in Figur ) di cui desiderimo clcolre l re. Supponimo inizilmente, per semplicità, che l funzione f ( ) considert si monotòn crescente (d or in poi, nell ggettivo, ometteremo l ccento, che comunque è d intendersi cd sull ultim o ) Considerimo le figure qui finco. L intervllo [,] è stto suddiviso in n prti uguli, ciscun di mpiezz Δ, n e gli estremi delle suddivisioni sono stti indicti con k :,,,...,, 0 n Il poligono omreggito viene detto plurirettngolo inscritto e l su re fornisce, evidentemente, un pprossimzione per difetto dell re del trpezoide, pprossimzione tnto più precis qunto più lto è il numero n delle suddivisioni di [,] (in fig. è n 4, e l pprossimzione è piuttosto imprecis; m in fig., con n 8, l pprossimzione si f già più soddisfcente). Aimo Are plurirettngolo inscritto pprossimzione per difetto dell re del trpezoide somm ree rettngoli omreggiti f ( ) Δ + f( ) Δ f( ) Δ 0 n Le figure mostrno nche il cosiddetto plurirettngolo circoscritto (di contorni superiori trtteggiti), l cui re rppresent un pprossimzione per eccesso dell re cerct, tnto più precis qunto più è lto il numero n delle suddivisioni di [, ]. Are plurirettngolo circoscritto pprossimzione per eccesso dell re del trpezoide somm ree rettngoli più lti f ( ) Δ + f( ) Δ f( ) Δ n n

3 Ponimoci or in un situzione più generle. Non supporremo più che l funzione si necessrimente monoton su [,]; ci limiteremo supporl continu su [,]. In questo cso, le ltezze dei singoli rettngoli costituenti i due plurirettngoli inscritto e circoscritto non srnno più, in generle, i vlori ssunti dll funzione lle estremità dell intervllino [ k, k], m srnno, rispettivmente, il minimo mk e il mssimo M k dell f ( ) su [ k, k]. (Osservimo per inciso che un funzione continu su di un intervllo chiuso e limitto mmette ivi sempre minimo ssoluto e mssimo ssoluto: teorem di Weierstrss). Avremo llor Are plurirettngolo inscritto pprossimzione per difetto dell re del trpezoide somm ree rettngoli omreggiti mδ + m Δ mnδ Are plurirettngolo circoscritto pprossimzione per eccesso dell re del trpezoide somm ree rettngoli più lti MΔ + M Δ MnΔ Si cpisce che fcendo crescere n (numero delle suddivisioni di [,] in sottointervlli), potremmo ottenere pprossimzioni, rispettivmente per difetto e per eccesso, tnto precise qunto lo desiderimo, dell re del trpezoide. Di fronte d un funzione continu su di un intervllo (non import se si o non si monoton) per clcolre l re sotto l curv potremmo nche procedere nel modo seguente: Effettuimo l solit suddivisione di [,] in n sottointervllini uguli, ciscuno di mpiezz Δ, n e ndimo considerre, su ciscun intervllino [ k, k ], un sciss qulsisi k (leggi: segnto k ) (in Fig. 4 imo preso k nel punto medio dell intervllino, m non dev essere oligtorimente proprio così). Se or clcolimo l somm delle ree dei rettngoli di se Δ e ltezz f ( k ), ossi se clcolimo Are plurirettngolo intermedio pprossimzione del l re del trpezoide f ( ) Δ + f( ) Δ f( n) Δ, si cpisce che, fcendo crescere il numero n di suddivisioni di [, ], potremmo pprossimre l re del trpezoide con l precisione desidert. Esercitzione Fcendo i clcoli mno, senz clcoltrice, determin un pprossimzione per difetto e un per eccesso dell re sotto l curv y, sull intervllo [, ], tli che differiscno tr loro meno di 0,0. Per inciso, posso dirti che l re in questione vle ESATTAMENTE 5/4,75. Come ho ftto determinrne il vlore estto che più estto non si può? Ti piceree sperlo, vero? EH, EH!!! Non devi fr ltro che proseguire l lettur!

4 . Sistemzione teoric Si y f() un funzione definit su di un intervllo chiuso e limitto [,] e ivi continu. Suddividimo l intervllo [,] in n prti uguli, ciscun di mpiezz Δ ( )/ n, indicndo con k gli estremi degli intervllini che costituiscono l suddivisione: 0,,,..., n, n. Indichimo poi con mk e con M k rispettivmente il minimo e il mssimo fr i vlori ssunti dll f () su [ k, k] (tle minimo e mssimo ssoluti esistono certmente, per il teorem di Weierstrss). Considerimo le somme n s mδ + m Δ m Δ m Δ n n k k n S M Δ + M Δ M Δ M Δ n n k k 4 dett SOMMA INTEGRALE INFERIORE dell f () su [,], reltiv ll suddivisione effettut dett SOMMA INTEGRALE SUPERIORE dell f () su [,], reltiv ll suddivisione effettut Si può dimostrre (sotto l ipotesi, ridimolo, dell continuità dell f () su [,] ), che l successione delle somme integrli inferiori s, s, s,..., s n,... e l successione delle somme integrli superiori S, S, S,..., S n,... convergono llo stesso limite. Tle limite comune vien detto integrle definito dell f ( ) su [,] e indicto col simolo f () d. E dunque f () d limsn limsn n n dove il simolo è stto scelto perché può esser visto come un S di Somm stilizzt, e il prodotto f () d ricord che ciscun ddendo delle somme di cui si st indicndo il limite è costituito dl prodotto di un vlore dell f (), per un incremento dell vriile indipendente (incremento Δ che, l tendere di n ll infinito, divent un infinitesimle d ). All dimostrzione di questo teorem, l cui verità è perltro fcilmente colt dll intuizione, simo costretti purtroppo rinuncire. Inftti il rgionmento dimostrtivo richiede di ver cquisito lcune nozioni sull cosiddett continuità uniforme, che vnno l di là dei limiti del nostro corso. Aggiungimo, sempre senz dimostrzioni, qulcos in più: ) I due limiti coincidenti lim s n e lim S n costituiscono nche, rispettivmente, n n l estremo superiore dell insieme numerico { } n s e l estremo inferiore dell insieme numerico { S } ) Allo stesso limite comune l qule convergono le successioni s n (delle somme integrli inferiori ) ed S n (delle somme integrli superiori ), risult tendere nche qulunque successione di somme integrli intermedie Tn f( ) Δ + f( ) Δ f( n) Δ costruit prendendo, in ciscun intervllino [ k, k ], un ritrrio punto k c) Con qulche dttmento e puntulizzzione, si potree elorre un teori più generle, ffrnct dl vincolo che le suddivisioni di [,] deno essere costituite d sottointervlli di ugule mpiezz. d) Nell trttzione, ci simo concessi un licenz, un tteggimento non rigoroso che or voglimo correggere. Aimo prlto fin dll inizio di re del trpezoide, senz verl prim definit. Dicimo or, più correttmente, che l re (con segno) del trpezoide è, per definizione, ppunto il vlore comune dei limiti lim s n e lim S n ; il numero, insomm, che imo indicto con () n n f d. n

5 5. Osservzioni e proprietà Osservimo ncor che l definizione ppen post di integrle definito, seppure si stt introdott prtire d considerzioni di crttere geometrico, h significto nche indipendentemente d interpretzioni geometriche. Non è poi necessrio che l funzione f ( ) ssum, nell intervllo [,], esclusivmente vlori positivi, come imo supposto fin qui per evitre compliczioni. E comunque ovvio che se f ( ) è negtiv sull intervllo [,], negtive srnno pure le somme sn, Sn e negtivo srà quindi il vlore dell integrle f ( d ) lim sn lim Sn. n n Dl punto di vist geometrico, questo numero negtivo misureree l re con segno tr l curv e l sse, entro il cmpo di scisse considerto. Il vlore ssoluto dell integrle dree il vlore dell re senz segno. E se l f ( ) ssumesse, su [,], vlori si positivi che negtivi? Beh, llor in ciscun somm sn o Sn vremmo un prte degli ddendi positiv e un ltr prte negtiv, e il segno dell integrle dipenderee d m iutimoci con un figur. Nell figur, per comodità grfic, imo rppresentto un somm integrle intermedi nziché (come è più usule) un somm integrle inferiore o superiore, m si cpisce che il discorso non cmi nell sostnz. Insomm, è evidente (e si potree puntulmente dimostrre) che in situzioni come quell dell figur, cioè qundo l f( ) non h segno costnte su [,], l integrle f ( d ) vree il significto di somm lgeric di ree con segno : e pertnto vree vlore positivo o negtivo second che l estensione complessiv dei pezzi di trpezoide l di sopr dell sse si mggiore o, rispettivmente, minore dell estensione complessiv Fig. 5 dei pezzi di trpezoide che stnno sotto l sse. Verific empiricmente questo ftto clcolndo, con crt e mtit o, d esempio, col foglio elettronico, l integrle ( ) d : le pprossimzioni trovte vrnno, se il numero n delle suddivisioni di [0,] 0 è stnz elevto, vlori prossimi 0. Ciò signific che l porzione di superficie l di sotto dell sse dà ll integrle un contriuto negtivo ugule e opposto l contriuto positivo che proviene dll porzione l di sopr dell sse. L somm lgeric delle ree con segno è pertnto null. OSSERVAZIONE: l espressione linguistic re sotto l curv può essere ncor utilizzt, per estensione, nche nei csi in cui l curv vd finire tutt o in prte nel semipino delle ordinte negtive: il significto è llor quello di re con segno, o di somm lgeric di ree con segno. L interpretzione geometric permette nche di comprendere molto ene (vedi figur 6) l PROPRIETA espress dll seguente uguglinz: c f ( ) f ( ) + f ( ). c M il ello è che (figure 6, 6c) l uguglinz di cui sopr vle QUALUNQUE SIANO LE POSIZIONI RECIPROCHE DEI TRE PUNTI,, c, per il ftto che si pongono le seguenti CONVENZIONI: f( ) d 0 f ( d ) f( d ) Fig. 6 Fig. 6 Fig. 6c

6 4. Due domnde l professore Come si clcolvno gli integrli qundo non c er il computer? Me lo dice desso come h ftto trovre 6 5 d? 4 Prof.: π Se è solo per questo, potrei dirti, per esempio, che è nche sen d. Uh, uh!!! 0 Pierino: M è incrediile! Mi spieg il trucco? Prof.: sono qui per questo. Prim di tutto, è necessrio stilire cos si intende per funzione integrle. Considerimo un funzione y f( ), continu su di un intervllo [, ]. Si dice funzione integrle dell f ( ) in [, ] l funzione così definit: y F( ) f( ) d, il cui vlore è l re (con segno) dell regione pin compres fr l curv di equzione y f( ) e l sse, sull intervllo [, ]. Tle re dipende ovvimente dl secondo estremo di integrzione. Fig. 7 Pierino: m qui compre due volte: il simolo indic il secondo estremo di integrzione, e, contempornemente, indic nche l vriile dell funzione integrnd! Prof.: Giust osservzione. Sennonché, l vriile dell funzione integrnd (si dice: l vriile di integrzione ) è, come si suol dire, un vriile mut o pprente : niente cmi se se ne cmi il nome. Che differenz f, per esempio, se si scrive: d oppure tdt oppure udu? Pierino: Beh, tutte e tre le scritture ll fin fine indicno un numero, nzi LO STESSO numero (quello che noi vevmo pprossimto l computer e che lei, professore, ci h nticipto essere esttmente 5/4). Prof.: Inftti! Non c è proprio nessun differenz scrivere d, o tdt, o udu: tutte e tre le scritture indicno il numero 5/4 (nche se l sse delle scisse è denominto sse nel primo cso, sse t nel, ecc. Quindi, volendo, un stess funzione integrle potree essere scritt in tnti modi equivlenti: F( ) f ( ) d f ( t) dt f ( u) du Qule scrittur preferisci, Pierino? Pierino: Direi F( ) f( t) dt. Mi è simptic, e mi semr più chir dell prim scrittur propost, perché compre un volt sol e quindi è più evidente il ruolo che riveste per noi, ovvero il ftto che è il secondo estremo di integrzione (il primo estremo di integrzione è fisso d ), e d questo secondo estremo di integrzione dipende l re considert, che quindi è funzione di : ( ) Are sotto l curv sull'intervllo [ ] F,.

7 Prof.: D ccordo. Or io dico un cos: se noi riuscissimo trovre un formul, contenente (com è ovvio), che esprimesse l funzione integrle F( ) f( t) dt, llor sremmo posto, perché l re che ci interess, ossi il numero f () t dt, coincideree col numero F ( ). Pierino: E vero. Però scusi, professore, determinre un tle formul per F() comporteree di conoscere il vlore di TUTTE le infinite ree sotto l curv, che possono ottenere mntenendo come sciss di sinistr, e fcendo vrire l sciss di destr sull intervllo [, ]. In questo modo, non complichimo il prolem? Prof.: Apprentemente sì. Sennonché, qundo pensimo ll f ( d ), l oggetto del nostro pensiero è un qulcos di sttico, mentre f () t dt è un quntità dinmic, di cui possimo seguire l VARIAZIONE l vrire di. E un osservzione molto elementre ci permetterà di trrre un informzione ESTREMAMENTE significtiv sul modo di vrire di quest funzione F( ) f( t) dt. Pierino: A che informzione si riferisce, professore? Prof.: Ti invito osservre le seguenti due funzioni integrli: F( ) f( t) dt, F( ) f( t) dt : Figur 8 7 Dopo ver scelto un sciss 0 (l stess per entrmi i grfici), imo considerto il vlore, in 0, di ciscun funzione integrle: F( 0) re grigio scuro nell fig. di sinistr, F( 0) re grigio scuro nell fig. di destr. Aimo poi dto d 0 un PICCOLO incremento Δ (ugule per entrme le figure). Per effetto del pssggio d 0 0 +Δ, il vlore delle funzioni integrli si è modificto, diventndo F( 0 +Δ ) e, rispettivmente, F( 0 + Δ ). Or io ti chiedo: qule fr le due funzioni integrli h suìto l incremento mggiore? L o l F? F

8 8 Pierino: Beh, i due incrementi ΔF e Δ F sono dti, nelle due figure, dlle ree dei trpezoidini sottili compresi fr l sciss 0 e l sciss 0 + Δ ; or, è evidente che il trpezoidino più grnde è quello dell prim figur; quindi l incremento mggiore, lo h suito l prim delle due funzione integrli, l F. Prof.: Giusto. E senti desso, cos si deve il ftto che il primo trpezoidino si più esteso del secondo? Pierino: E più esteso perché è più lto. L se, inftti, è lo stesso segmento Δ per entrmi i trpezoidini. M il primo trpezoidino h ltezz mggiore del secondo, quindi l su re è più grnde. Prof.: Sono d ccordo. Puntulizzimo però un cos: in che senso mi prli di ltezz del trpezoidino? Il trpezoidino è limitto, sinistr e destr, d due segmenti verticli: or, le lunghezze di questi due segmenti non sono uguli Pierino: E vero. In effetti, ho prlto di ltezz perché ogni trpezoidino mi è semrto molto simile d un rettngolino il ftto è che i due segmenti verticli che limitno lterlmente il trpezoidino differiscono di pochissimo certo, ciò non ccdree se Δ fosse grnde, m vendo noi preso un piccolo incremento Δ, i due segmenti sono qusi uguli. Prof.: In effetti, se pensimo Δ vermente molto piccolo, i due segmenti verticli che limitno lterlmente il trpezoidino differiscono di pochissimo e il trpezoidino può essere ssimilto d un rettngolino. Dunque, ricpitolndo, tu mi hi detto che nel pssggio d Δ, l incremento più grnde è stto suìto dll funzione integrle F, per il ftto che l ltezz, dicimo così, del trpezoidino corrispondente er mggiore. Giusto. Or io ti chiedo: qunto vlgono le ltezze dei due trpezoidini, quelle ltezze che sono responsili, in ultim nlisi, dell mggiore o minore rpidità di crescit delle funzioni integrli F ( ), F ( )? Pierino: l ltezz del primo trpezoidino è pressppoco ugule f( 0). Dico pressppoco perché c è comunque sempre il prolem delle due ltezze che non sono proprio uguli m qusi uguli e l ltezz (con le solite riserve) del secondo trpezoidino vle f( 0). Prof.: Dunque, in qulche modo, l rpidità con cui cresce un funzione integrle, nelle immedite vicinnze di un sciss fisst, è proporzionle ll ordint dell funzione integrnd, in corrispondenz di quell sciss Giusto? Pierino: Giusto. Prof.: Rpidità, velocità di crescit qule concetto mtemtico fnno venire in mente queste prole? Pierino: l derivt, direi. Prof.: Inftti. Provimo costruire l derivt di un funzione integrle F( ) f( t) dt nell sciss 0. 0+Δ 0 0+Δ () () f () t dt f t dt f t dt F( 0 +Δ) F( 0) 0 '( 0) lim F Δ 0 Δ Δ Δ re trpezoidino "ltezz" trpezoidino, f( 0 ) "se" trpezoidino che è simile un rettngolino

9 9 Pierino: Quindi l derivt dell funzione integrle F( ), clcolt in un dt sciss 0, è ugule l vlore che l funzione integrnd f ( ) ssume, in corrispondenz dell stess sciss 0! Prof.: se le pprossimzioni che imo introdotto nel discorso (prlre di ltezz del trpezoidino, ssimilndolo d un rettngolino, e scegliere come ltezz di questo rettngolino proprio f ( 0) ) non sono tli d compromettere l verità dell conclusione, è relmente così. E nzi, visto che con 0 imo indicto un sciss fisst, m fisst ritrrimente, quest relzione vrrà per ogni sciss dell intervllo [, ]: si vrà dunque ( ) F'( ) f( ), [, ]. In effetti, ti nticipo che un revisione di tutt l questione in termini rigorosi (l fremo dopo, con clm) conferm pienmente l vlidità dell relzione (), che prende il nome di Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle (ttriuito Evngelist Torricelli e Isc Brrow). Pierino: quindi, dell funzione integrle F( ), noi conoscimo, su tutto [, ], l funzione derivt! E prtire dll conoscenz dell funzione derivt, in qulche modo srà possiile rislire ll funzione di prtenz! Prof.: L ide è quest. Occhio però un cos. Doimo tener presente che, se un funzione h un cert derivt, nche tutte (e sole) le funzioni che differiscono d quell per un costnte dditiv, risultno vere l stess derivt quindi, se si conosce l derivt di un funzione incognit, quest ultim non ne risult determint in modo unico restno perte infinite possiilità (seene tutte le soluzioni del prolem sino funzioni strettmente imprentte tr loro, in qunto differiscono l un dll ltr per un costnte dditiv). Ad esempio, se è richiesto di trovre un funzione l cui derivt è +, sree incompleto rispondere che l funzione in questione è + voglio dire che l uso del singolre sree improprio, perché ndree ene nche 5 + +, o + insomm, le soluzioni del prolem di trovre un funzione l cui derivt è + sono infinite, sono tutte e sole le funzioni dell form + +, essendo C un costnte ritrri. C Pierino: Dunque simo di nuovo nei psticci! Il nostro oiettivo er, not l espressione nlitic dell funzione integrndo f ( ), di trovre l espressione nlitic dell funzione integrle F( ) f( t) dt perché poi, per determinre l re sotto l curv sull intervllo [, ], si sree trttto semplicemente di clcolre F ( ). Qundo imo stilito che vle l relzione F'( ) f( ), ci simo sentiti felici perché imo pensto: ci sterà rislire dll derivt (che è not), ll funzione (incognit) che gener quell derivt (dicimo: ll ntiderivt ) m or ci rendimo conto che, nche qundo simo cpci di fre questo, come nel cso dell funzione +, l cui ntiderivt è fcile d trovre, c è il guio di vere un ntiderivt determint non in modo unico, m soltnto meno di un costnte dditiv. A questo punto, se io per esempio voglio clcolre l re sotto l curv y +, sull intervllo [, ], posso dire che l funzione integrle F( ) ( t + ) dt è: F( ) + + C, m non so qunto vle C

10 0 Prof.: Dài, che riesci trovrmi nche C! Rifletti ene (restimo sull esempio concreto che hi ppen ftto): cos ltro si, rigurdo ll funzione F( ) ( t + ) dt, oltre l ftto che l su derivt vle +? Pierino: Mumle mumle un iutino? Prof.: Io dico che tu conosci un vlore dell funzione, in corrispondenz di un cert sciss. Qul è l sciss e qul è il vlore? Pens l significto geometrico F( ) Are sotto l curv, fr l'sciss e l'sciss " Pierino: Ci sono! Io so che F () 0. Prof.: Perfetto! M llor tu si : prim cos, che F( ) + + C ; second cos, che F () 0. Qunto vle dunque l costnte C? Pierino: Si h C 0 d cui C. Prof.: Giusto. Dunque 4 F( ) +. Qunto vle llor l re sotto l curv y +, sull intervllo [, ]? Pierino: Vle 4 4 F () , Prof.: Ce l imo ftt!!! Dài, riprovimoci considerndo un ltr funzione su di un ltro intervllo! Ad esempio, prendimo l funzione y / sull intervllo [, 8]. Qunto vle l re sotto l curv? Pierino: Dunque l funzione integrle F( ) dt h come derivt t, quindi è un fr le infinite ntiderivte di /. M io me l ricordo, un funzione l cui derivt è / : è l funzione ln. Perciò l fmigli delle ntiderivte dell funzione / è l fmigli di tutte e sole le funzioni del tipo ln + C. L mi funzione integrle è dunque F( ) ln+ C, m devo ncor trovre C. Però io so che F () 0. Quindi ln + C 0 d cui C ln. Di conseguenz F( ) ln ln. E in definitiv re sotto l curv, sull'intervllo [, 8] F(8) ln8 ln ln 4, Sincermente, mi sto divertendo! Prof.: In effetti, tutto questo è molto ppssionnte. Vedremo più vnti nche un metodo col qule si riuscirà semplificre le cose, evitndo di dover determinre esplicitmente l costnte C. Puoi or controllre tu stesso che si h, come vevmo nticipto, π 5 ( un funzione che d ( un funzione con derivt è 4 ) e 4 4 sen d h derivt sen 0 è cos) Or però ci ttende dell ltro lvoro: ) rivisitre d un punto di vist più rigoroso il cmmino percorso; dre cioè un dimostrzione come si deve del teorem di Torricelli-Brrow, ossi dell uguglinz F'( ) f( ), [, ]. ) Studire le principli tecniche medinte le quli, dt un funzione, nche complict, si può rislire ll espressione dell su ntiderivt (non sempre questo è relizzile).

11 5. L ntiderivt o primitiv di un funzione ssegnt: insomm, l integrle indefinito Si dice integrle indefinito di un funzione f ( ), l fmigli di tutte e sole quelle funzioni l cui derivt è ugule f ( ). Se un funzione F( ) è tle che F'( ) f( ), llor si dice che F( ) è un ntiderivt, o un primitiv, dell f ( ). Il termine più usto è primitiv. Poiché: se due funzioni differiscono per un costnte dditiv, llor hnno l stess derivt; e, vicevers, se due funzioni hnno l stess derivt, llor differiscono per un costnte dditiv (conseguenz del Teorem di Lgrnge), se ne deduce che, dt un funzione f ( ), se ess mmette un primitiv F( ), ne mmetterà infinite: si trtterà di tutte e sole le funzioni che si possono scrivere sotto l form F( ) + C, C. Il simolo di integrle indefinito è il seguente: (leggi: integrle di f ( ) f ( d ) in d : in è un modo di leggere l opertore di moltipliczione per ). Tle simolo è stto scelto per vi del legme che il teorem di Torricelli-Brrow stilisce fr il prolem del clcolo dell re sotto un curv (integrle DEFINITO) e l ricerc dell ntiderivt di un funzione (integrle INDEFINITO, ppunto). Poiché, dunque, il simolo di integrle indefinito indic l FAMIGLIA di tutte le primitive dell funzione f ( ) (o, se si preferisce: indic l GENERICA primitiv dell f ( )), esso contiene implicitmente un costnte dditiv ritrri: d esempio ( + ) d + +C, d ln+c Ricordimo che l derivt è un opertore linere, nel senso che l derivt di un cominzione linere di funzioni è ugule ll cominzione linere delle derivte (s intende, con gli stessi coefficienti): D hα( ) + kβ( ) hdα( ) + kdβ( ) hα'( ) + kβ'( ). [ ] Ne consegue perciò che nche l integrle indefinito è un opertore linere: [ + ] + hf ( ) kg( ) d h f ( ) d k g( ) d Esempio: (5 ) cos d d+ cosd + sen+ C Così come esistono delle en precise formule di derivzione, similmente è possiile scrivere tutt un serie di formule di integrzione indefinit (qundo non ci si possiilità di equivoco scriveremo semplicemente: integrzione ) ed elorre, per i csi più complessi, delle tecniche di integrzione indefinit (integrzione per prti, integrzione col circolo vizioso pprente, ecc.) Mentre però l derivzione è un procedur del tutto meccnic, l integrzione è, in un cert misur, un rte, che richiede intuito, e cpcità di collegre e reinterpretre procedure e formule diverse. Si può dimostrre che un funzione, che si continu su di un intervllo, è sempre ivi integrile; tuttvi, il prolem di rislire ll espressione nlitic dell integrle può essere nche molto difficile. Aggiungo che per lcune funzioni costruite componendo funzioni elementri, d esempio l fondmentle e, importntissim in Teori degli Errori, è stto dimostrto che l integrle indefinito, pur esistente dt l continuità dell funzione integrnd, non mmette un espressione nlitic costituit d composizioni di funzioni elementri. Le tecniche di integrzione indefinit, o ntiderivzione, sono nell mggior prte dei csi utilizzte per poi procedere l clcolo di un integrle definito, ovvero dell re sotto un curv ; l loro importnz è perciò lqunto diminuit d qundo, trmite i computer, possimo utilizzre opportuni lgoritmi di integrzione numeric per pprossimre, con l precisione desidert, l integrle definito di un funzione ssegnt, senz ver isogno di clcolrne l ntiderivt. Nel seguito impreremo le formule e le tecniche fondmentli di integrzione indefinit.

12 6. Il teorem dell medi del clcolo integrle Se un funzione y f( ) è continu su di un intervllo chiuso e limitto [, ], llor esiste certmente, nell intervllo perto (, ), lmeno un sciss c tle che f ( d ) ( fc ) ( ) Giustificzione con l intuizione geometric: considert l curv continu y f( ) sull intervllo [, ], e pres un rett orizzontle, srà sempre possiile spostre quest verso l lto o verso il sso in modo d relizzre l situzione in cui l re del rettngolo compreso fr l rett e l sse, sull intervllo [, ], si perfettmente ugule ll re del trpezoide. L ordint costnte dei punti di tle rett dovrà evidentemente essere compres fr il minimo ssoluto e il mssimo ssoluto dell funzione su [, ], quindi l rett srà oligt tglire l curv in lmeno un punto. L sciss di tle punto di intersezione rett-curv è l sciss c di cui il teorem fferm l esistenz. Figur 9 Le due ree più scure sono uguli, quindi sono uguli le ree ) del trpezoide ) del rettngolo Dimostrzione L funzione f (), per ipotesi continu sull intervllo chiuso e limitto [, ], è ivi dott di minimo ssoluto m e di mssimo ssoluto M (Teorem di Weierstrss). Se or noi prendimo un qulsisi somm integrle inferiore, vremo sn mδ + m Δ mnδ mδ + mδ mδ m( Δ +Δ Δ ) m( ) e nlogmente, pres un qulsivogli somm integrle superiore, vremo Sn MΔ + M Δ MnΔ MΔ + MΔ MΔ M( Δ +Δ Δ ) M( ). Poiché dunque per ogni n risult m ( ) sn Sn M( ) si vrà m ( ) lim sn lim Sn M( ) n n ed essendo lim s lim S f( ) d n n n srà dunque m ( ) f( d ) M( ) d cui infine m n f( ) d M. Esiste perciò ( teorem dei vlori intermedi ) un sciss c, con < c <, tle che f() c f ( d ) quindi f ( d ) ( ) f( c), C.V.D. L ordint f( ) d f () c m V viene chimt vlor medio dell funzione f () su [, ].

13 7. Il Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle (Teorem di Torricelli-Brrow) Dimostrzione Se y f( ) è un funzione continu sull intervllo [, ], llor l derivt dell funzione integrle F( ) f( t) dt è ugule l vlore dell funzione integrnd y f( ) in corrispondenz dell sciss nell qule si deriv: [ ] F'( ) f( ),, Nell figur è rppresentt l funzione INTEGRANDA f. Considerimo un sciss fisst picere in [, ] e scrivimo il rpporto incrementle dell funzione INTEGRALE F nel punto. Avremo: +Δ +Δ f () t dt f () t dt f() t dt Δ F F( +Δ) F( ) f () c Δ Δ Δ Δ dove l ultimo pssggio è un ppliczione del Teorem dell Medi sull intervllo [, +Δ ] : c è ppunto l sciss di cui quel teorem ssicur l esistenz. Il punto c dipende d Δ, il che si può indicre scrivendo c c( Δ), e si h < c < + Δ. Or fremo tendere Δ zero; m qundo Δ tende zero, l sciss c, essendo strett fr (fissto) e + Δ, tenderà e vremo: F( +Δ) F( ) NOTA lim lim f ( c) f( ), C.V.D. Δ 0 Δ c NOTA: quest ultimo pssggio dipende strettmente dll ipotesi di continuità per l f (). Volendo, per comprenderlo meglio, possimo porre c + h, con h h( Δ) e 0 < h < Δ, e vremo lim f ( c) lim f( + h) f( ), ppunto per l continuità dell f c h 0 nell sciss. OSSERVAZIONE In tutto il procedimento dimostrtivo, per rendere il rgionmento più spontneo e nche per rgioni di prticità nell esposizione, imo supposto positivo l incremento Δ. E chiro che il tutto si potree riformulre per un Δ di segno qulsisi.

14 4 8. Come si clcol nell prtic un integrle definito Grzie l Teorem Fondmentle, dovendo clcolre f ( d ), è lecito procedere come segue. Il nostro oiettivo è di scrivere l espressione dell funzione integrle F( ) f( t) dt, dell qule ci interesserà poi clcolre il vlore F(). Poiché il Teorem ci ssicur che F '( ) f ( ), ricveremo dunque l espressione nlitic dell F() determinndo l ntiderivt (o primitiv ) dell f (), con l tecnic di ntiderivzione opportun. Tuttvi, sppimo che tle primitiv è individut meno di un costnte dditiv C. Supponimo or di ver trovto un qulsisi fr le infinite primitive dell f (). Si ϕ () tle primitiv. ϕ () NON è, meno di un colpo di fortun, proprio l funzione integrle F() che ci interess; tuttvi, F () differisce d ϕ () per un costnte dditiv e si h dunque F( ) ϕ( ) + C Adesso imo due possiilità: ) Possimo determinre il vlore dell costnte C, medinte l condizione F ( ) 0. Avremo: ϕ ( ) + C 0 d cui C ϕ() e quindi F( ) ϕ( ) ϕ( ). E questo punto, concluderemo scrivendo: f ( d ) F ( ) ϕ( ) ϕ( ) ) Oppure (più conveniente!) possimo tenere presente il risultto definitivo f ( d ) ϕ( ) ϕ( ) e imoccre quindi un scorcitoi : evitimo di ricvre esplicitmente l funzione integrle F(), perché in fondo ci st quell primitiv ϕ () che vevmo trovto ntiderivndo l f (); prendimo dunque l nostr rv primitiv ϕ ( ) e clcolimo l differenz fr i vlori che ess ssume in e in rispettivmente. Di solito l procedur si espone con un simologi specile, molto efficce. Si scrive: f ( d ) [ ϕ ( ) ] ϕ( ) ϕ( ) Il simolo [ ] ϕ ( ) è semplicemente un comodo pro memori. Serve, molto nlmente, per insctolre l ϕ () in modo d verl lì ell comod, e contempornemente indicre che di quest funzione si dovrnno clcolre i vlori in e in, per frne l differenz. RICAPITOLAZIONE Il clcolo di un re sotto l curv, di un integrle definito, richiede di prire un finestr sé stnte, per l determinzione di un primitiv dell funzione integrnd f (). Vle dire, il clcolo di un integrle definito comport di effetture prim il clcolo di un integrle indefinito. Riferimoci d un esempio: supponimo di dover clcolre L procedur const di TRE FASI.. Si determin l integrle indefinito: 4 d. 4 d + C (in questo cso è stto fcile, non sempre lo è) 4. Si prende un qulunque delle infinite primitive trovte, d esempio 4.. Si clcol l differenz dei due vlori che l primitiv considert ssume, in corrispondenz del secondo estremo di integrzione e del primo, nell ordine. Si scrive cioè 4 d Ecco ftto! L re sotto l curv vle, nel nostro esempio, 5/40.75

15 ALTRI ESEMPI Clcolre π 0 π 0 cos d cos d sen + C π 0 5 π cos d [ sen ] sen sen0 0 Clcolre d d ln + C 0 0 d [ ln ] ln 0 ln0 ln ln Clcolre ( ) ( ) d d + C ( ) d ESERCIZI Determin il vlore degli integrli indicti: ) ( 4 ) 0 d ) ) 0 0 e d + d 4) ( + ) d 5) + d RISPOSTE π 0 ) ) e.78 ) ) 4 5) + ln 4,86

16 9. Integrli immediti 6 L INTEGRALE INDEFINITO Rissumimo le puntte precedenti: si dice INTEGRALE INDEFINITO di un funzione f ( ), l fmigli di tutte e sole quelle funzioni l cui derivt è ugule f ( ). Esse sono dette le primitive ( ntiderivte ) di f ( ), e differiscono tutte fr loro per un costnte dditiv. Ad esempio, pres l funzione f () cos, l fmigli delle sue primitive, ossi il suo integrle indefinito, è l fmigli costituit dlle infinite funzioni sen + c, c. Inftti tutte, e sole, le funzioni dell form sen + c, hnno per derivt cos. Il simolo di integrle indefinito è il seguente: f ( d ) (leggi: integrle di f ( ) in d ). Tle simolo è stto scelto per vi del legme che il teorem di Torricelli-Brrow stilisce fr il prolem del clcolo dell re sotto un curv (integrle DEFINITO) e l ricerc dell ntiderivt o primitiv di un funzione (integrle INDEFINITO, ppunto). Poiché, dunque, il simolo di integrle indefinito indic l FAMIGLIA di tutte le primitive dell funzione f ( ) (o, se si preferisce: indic l GENERICA primitiv dell f ( )), esso contiene implicitmente un costnte dditiv ritrri. Esempi: 4 cos d sen + c, 4 d + c, d rctg + c + TAVOLA DEI PRINCIPALI INTEGRALI IMMEDIATI Formule di derivzione Per derivre un potenz occorre moltiplicre per l esponente Dα α α e ssre questo di un unità α α D f( ) f( ) f '( ) [ ] α [ ] Dln D ln f ( ) f '( ) f( ) De e f ( ) f ( ) f '( ) Dsen [ ] Dcos sen [ ] De e f D sen f ( ) cos f ( ) f '( ) Dcos f( ) sen f( ) f '( ) D rc sen Drcsen f( ) f '( ) ( ) Formule corrispondenti di integrzione α + α d + c (, ) α + α α α+ α [ f() ] [ f( ) ] f '( ) d + c ( α, α ) α + Cso prticolre [ f( )] ( ) '( ) importnte: f f d + c d ln + c f '( ) d ln f ( ) + c f( ) ed e + c e ( ) f '( ) d ef( ) + c cos cos d sen +c cos f ( ) f '( ) d sen f ( ) + c sen d cos + c [ f ] [ ] Drctg Drctg f( ) f '( ) ( ) + + [ f ] [ ] sen f ( ) f '( ) d cos f ( ) + c d rc sen + c f '( ) d rc sen f ( ) + c f( ) d rctg + c + f '( ) d rctg f ( ) + c + f( )

17 OSSERVAZIONI 7 L tell non riport le formule di derivzione Drccos, Drccotg, con le corrispondenti formule di integrzione, + per il ftto che tli formule differiscono solo per un segno dlle nloghe con rc sen e rctg e dunque, dovendo clcolre d esempio d, si potree scrivere indifferentemente d rc sen + c oppure d rccos + c, m di norm si preferisce, per consuetudine, utilizzre l funzione rc sen. Idem per l coppi rc tg, rc cotg : si privilegi qusi sempre l prim fr le due. Non imo riportto neppure le formule ln D d + c ln perché, di fronte d un esponenzile in se divers d e, è sempre possiile pssre ll se e, trmite l identità e ln. Discorso nlogo per le formule con l funzione logritmic in se divers d e. Qui di seguito riportimo qulche esempio di ppliczione delle formule elencte in tell. Nello svolgere gli integrli proposti, imo tenuto conto dell linerità dell integrle indefinito: [ + ] + hf( ) kg ( ) d h f( d ) k gd ( ) Esempio d d + / d d d d + 5 d d ln + c ln + c + 5 ln + c 5 5 UN CONSIGLIO DA AMICO Specilmente nei primi esercizi, è opportuno fre l verific, derivndo l espressione ottenut, per controllre se si ottiene effettivmente quell che er l funzione integrnd. E ciò, non soltnto per essere sicuri che il risultto si estto, m nche per impdronirsi meglio dei meccnismi psicologici dell integrzione: essendo l integrzione indefinit nient ltro che il processo inverso dell derivzione, in qulche modo si impr d integrre solo se l mente è llent tornre-indietro-per-vedere-se-è-giusto. Verific di d 6 5 d + 5 ln + c : 6 D c ln OK!!!!!!!!

18 Esempio Esempio 8 4 ( e ) d e + c 4 + d d + c + c + c + c + c + Esempio 4 ( sen cos ) d cos sen + c Esempio 5 Esempio 6 Esempio 7 Esempio 8 Esempio 9 sen d OCCHIO! ATTENZIONE! Questo esercizio non è immedito! Sree sglito scrivere 4 sen sen d + c! α Inftti l integrle proposto non è dell form d, m si present invece come [ f ( α )] d. Sennonché, qundo l se dell potenz è un funzione, l formul di riferimento è α+ α [ f( ) ] [ f ( ) ] f '( d ) + c α + che richiede l presenz, come fttore moltiplictivo, dell DERIVATA dell funzione che è ll se dell potenz m un tle fttore nel nostro esempio non c è. L esercizio proposto è dunque stnz prolemtico. Lo si può risolvere solo con un cert dose di inventiv: vedi qui sotto. sen d sen sen d ( cos ) sen d ( sen cos sen ) d cos sen d + cos sen d cos + + c ( ) ( ) f( ) f '( ) ln (ln ) ln d ln d c c + + f( ) f '( ) f '( ) f( ) d ln c ln d d d + c f '( ) f( ) cos d cos cos d d sen + c f '( ) cos f( ) 4 Con semplici pssggi nloghi quelli dell Esempio 9, è possiile ricvre le seguenti formule di frequente ppliczione: senm cos m d + c m cos m senm d + c m m m e e d + c m

19 Esempio 0 Esempio sen sen e cosd e f ( ) e f '( ) 9 e d e d e + c ef ( ) f '( ) + c Verific: De ( sen + c sen ) e cos, OK!!! Esempio Esempio e d STOP!!! E stto dimostrto che questo integrle non può essere espresso in termini di funzioni elementri. L funzione l cui derivt è e esiste (nzi, ne esistono infinite, che differiscono fr loro per un costnte), m non si trtt di un funzione che si poss scrivere cominndo fr loro le clssiche funzioni lgeriche, goniometriche, esponenzili, logritmiche ecc. f '( ) + f ( ) ( ) d d d rctg + c + + ( ) + ( ) 4 Esempio 4 d d 9 4 d Esempio 5 Esempio 6 d rctg + c 6 + NOTA 8 NOTA d d + ln 4 9 ln(4 9 ) NOTA : l derivt del denomintore è 8 ; cercheremo perciò di fr comprire 8 numertore, '( ) onde ricondurci ll situzione f d ln f ( ) + c f( ) NOTA : possimo sciogliere le stnghette di vlore ssoluto perché è 4+ 9 > 0, d 9 d 9 d NOTA 4 9 d 9d 9 d rctg + c rctg + c NOTA : pprofittndo di un risultto già cquisito (Esempio 4) 9 7 Esempio 7 d 9 6+ ( ) d ( ) d ( ) d c c ( ) + ( ) + f '( ) f( ) α Esempio 8 E sempio 9 ( ) d d ln ln c ln + Verific: ln f '( ) D ( ln ln + c ) ( ln ),!!! ln D ln OK f( ) sen4 d cos + c cos + c 4 4

20 0 0. ESERCIZI sugli integrli immediti (o qusi) ) e d ) d ) ( ) 4) 7 6 5) e+ 4 6) 7) 8) + e d d d + d + d d 9) ( ) 0) ) cos d + d + d ) ( + ) 0 d ) 6 + d 4) ( 4sen 4 ) 5) sen cos d cos d 6) sen d Suggerimento: cos sen 6) cos d 7) 8) 9) 0) ) ) d + 4 d + 4 d Suggerimento: d d 4 d

21 ) ln d 4) ln d 5) cos sen d 6) 7) cos d sen d Suggerimento: 8) 0 d 9) 0) ) ) ) d ( 5 + ) 4 d ( ) + d d d Suggerimento: ( ) RISPOSTE 4) ) e +c ) + c ) 4 + 4e + e + c 4) 6) ln + + c 7) ln + + c 8) 0) ln + + c ) ln c c 5) e 4 ln + c 9) + + ) ( + ) + c ) ( ) 4cos sen 4 + c 5) 4 sen + c 6) sencos + c 6) 7) rctg c ln c 9) rctg + c 0) ) ( ) ) rc sen c + ) c ) ln 0) 6) ln ( sen ) 5 5 ( + ) + + c 7) 4 4 rctg 8) ( ) + c 4) ln + c 5) + + c sen + c c + sencos + c c sen sen + c 0 0 9) ln + c 9 ) rctg ( ) + c ) ( ) + c ) ( ) 4 rc sen + c

22 0. Integrzione delle funzioni RAZIONALI FRATTE ( rpporti di polinomi) Studieremo or tecniche specifiche per gli integrli dell form A ( ) d, B ( ) essendo A( ) e B ( ) due polinomi. E lecito supporre che il numertore A ( ) si di grdo inferiore rispetto l denomintore B ( ): inftti, se così non fosse, ci si potree pur sempre riportre questo cso, sostnzilmente trmite un divisione fr polinomi, come mostr l esempio seguente. + d + Poiché il numertore non è di grdo inferiore rispetto l denomintore, svolgimo l divisione: A( ) + B ( ) + + Q( ) R ( ) Or imo disposizione l identità + ( + )( + ) 5 e ciò f sì che il nostro integrle poss essere trscritto come: + ( + )( + ) 5 d d + + ( + )( + ) 5 5 d d 5ln c A ( ) In generle, di fronte d un integrle di funzione rzionle frtt d B ( ) in cui si deg ( A( ) ) deg ( B( )) (deg signific grdo, dll inglese degree) si svolgerà l divisione A( ): B( ), poi si utilizzerà l identità dividendo quoziente divisore + resto A ( ) Q ( ) B ( ) + R ( ) che permetterà di scrivere l funzione integrnd sotto un form divers: A ( ) Q ( ) B ( ) + R ( ) Q ( ) B ( ) d d B ( ) B ( ) R ( ) R ( ) + d Q( ) d + d B ( ) B ( ) B ( ) In tl modo ci si ricondurrà ll integrzione del polinomio Q ( ) (immedit) e dell funzione rzionle frtt R( )/ B( ). M in quest ultim il numertore è di grdo inferiore rispetto l denomintore, perché in un divisione di polinomi il polinomio resto h sempre grdo minore rispetto l polinomio divisore.

23 Il cso in cui il denomintore è di grdo Se il polinomio denomintore è di grdo, llor, per qunto sopr, possimo supporre che il numertore si di grdo zero, cioè si un costnte. Dunque il nostro integrle srà dell form e procederemo come nell esempio che segue: In generle: NOTA k d d 7 d d ln 8 + c (NOTA) k k k d k d d ln + c ln 8 ln 8 d + c + c ; 8 Per l precisione, sree ( ) d ltr prte, poiché c indic un costnte ritrri, nche 7 c srà un costnte ritrri; e quest costnte ritrri potrà essere indict ncor con c. Volendo effetture tutti i pssggi, con perfett slvgurdi dell correttezz formle, si potree scrivere: ( ln 8 ) ln 8 ln 8 d + c + c + c 8 M NELLA PRATICA, questi pssggi e rgionmenti vengono di norm sltti e si scrivono direttmente ctene che portno dppertutto l sol c : d 7 d d l c 8 8 n ESERCIZI ) ) 0 + d 4) d 5) 4 d ) 5( ) + 6 d ) 0 d Suggerimento: 0 + d Suggerimento: ( + ) + RISPOSTE ) ln c ) ln + c oppure ln 5( ) + c (NOTA) ) ln c 4) + 4 ln 4 + c 5 9 5) ln ln c 6) ln ln ln ln c c c NOTA d d ln + c ln + c 5( ) d d oppure : ln c ln 5( ) + c 5( ) ( ln5 + ln ) + c ln5 ln + c Questo risultto equivle l precedente, perché se c è un costnte ritrri, llor nche ln 5 + c è un costnte ritrri! 5

24 4 Il cso in cui il denomintore è di grdo Allor, per qunto sopr, possimo supporre che il numertore si di grdo 0 o di grdo : k + h d + + c L integrzione si effettu con tecniche diverse, second che, nel trinomio I. Δ> 0 II. Δ 0 III. Δ< 0 Primo sottocso: Δ> c, si: E noto che un trinomio di grdo con Δ>0 è scomponiile in due fttori di grdo, distinti fr loro. L tecnic di integrzione consiste nell effetture l scomposizione e poi nello spezzre l frzione in un somm lgeric di due frzioni col denomintore di primo grdo. Esempio: + 4 d Δ 4c 9 0 > Considerimo l funzione integrnd, scomponimone il denomintore, e scrivimol come somm lgeric di due frzioni venti per denomintori i due fttori di primo grdo ottenuti e per numertori due costnti A, B d determinrsi in modo opportuno: A B + ( + )( ) + Si trtt or di stilire per quli vlori di A, B l uguglinz + 4 A B + ( + )( ) + è verifict per tutti i vlori di, ossi è un identità. Dovrà essere, identicmente (cioè: per ogni ), + 4 A ( ) + B(+ ) (+ )( ) (+ )( ) + 4 A A+ B+ B (+ )( ) (+ )( ) + 4 ( A + B ) + ( A+ B) (+ )( ) (+ )( ) A+ B e tle scopo A, B dovrnno soddisfre il sistem { A+ B A 5/ + 4 Risolvendo, si h { d cui + B 7/ ( + )( ) + Il nostro integrle llor divent: d + d d + d d + d (+ )( ) ln + + ln + c 6 PROVACI TU!!! Fi vedere che si h 8 d 4ln ln + c +

25 5 Secondo sottocso: Δ 0 Un trinomio di grdo con Δ 0 è ugule un qudrto di inomio, eventulmente moltiplicto per un costnte. M spettimo un ttimo, prim di effetture l scomposizione: l prim cos d fre, inftti, è di fr comprire numertore l derivt del denomintore, come illustrto dll esempio che segue. Esempio: Δ 4c d L derivt del denomintore è 8 4. Innnzitutto, voglimo fr comprire numertore quest espressione. Avremo: + d d d d d d ( ) ln ( ) 8 d ln( ) + ( ) 8 4 d + ( ) ln + + c ln + c 4 4 ln + c 4 4( ) PROVACI TU!!! Fi vedere che si h d ln c ( + )

26 6 Terzo sottocso: Δ< 0 Di un trinomio di grdo + + c con Δ < 0, noi sppimo che: non è scomponiile in fttori ( meno di utilizzre coefficienti complessi: m in questo contesto, non se ne prl neppure!) si può scrivere come [( + k) + p], essendo p > 0. L tecnic di integrzione, in questo cso, consiste nel ricondursi ll derivt di un rco tngente, come illustrto dll esempio che segue. Anche qui, come nel sottocso precedente (quello del Δ 0 ) occorre innnzitutto fr comprire numertore l derivt del denomintore. Esempio: 6+ Δ 4c 6 44 < 0 d 6+ 4 d d d d d d d d I I Si trtt or di risolvere i due integrli I,I : il primo port immeditmente un logritmo, il secondo v ricondotto d un rc tg. Dunque: 6 (imo omesso il vlore ssoluto perché, com è noto, I ln( d 6 + ) + c un trinomio di grdo con Δ < 0 e coefficiente positivo 6+ è sempre >0, per ogni vlore dell vriile) I d d d d d + ( ) + ( ) ( ) + NOTA d d + + rctg + c In definitiv vremo NOTA: stimo cercndo di portrci nelle condizioni di poter pplicre l formul di integrzione f '( ) d rctg f ( ) + c. + f( ) [ ] L funzione che nell formul è indict con f ( ) è per noi l E si h. D D ( ) 6 d d + d I I ln( 6 + ) + rctg + c ln rctg + c + d + + rctg + c PROVACI TU!!! Fi vedere che si h ( ln 65 )

27 ESERCIZI ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) 4) 5) 4 d d 4 ( )( ) + 7 d 4+ 4 ( ) d 4+ 5 d d d d d d d d + 7 d d d 7 RISPOSTE ) 7ln ln 4 + c ) ln ln + + c ) 5 ln ln + c 9 4) ln + c 5) ln + + c 6) r ctg ( ) + c 9 9 ( ) 7) ( ln + 6) + rctg + c 8) ( ) ln rctg + c 9) ( 5 0 ln ) + rctg + c 0) ln c ) 6 ln 5 ln + c ) + c ) + 0 l n rctg + c 5 ( + ) 6 6 4) ln ln 5 + c 5) ( + ln + + ) rctg + c

28 8 Il cso in cui il denomintore è di grdo superiore l secondo Di fronte ll integrle di un rpporto tr due polinomi nel qule il grdo del denomintore si superiore, deg N( ) >, ossi ( ) M( ) d N( ) innnzitutto scomporremo in fttori il denomintore N( ). I fttori ottenuti potrnno essere dei tipi seguenti: + ( + ) n, n > c con Δ< (trinomio di grdo non scomponiile utilizzndo coefficienti reli) + + c n con Δ< 0, n > ( ) A questo punto, cercheremo di decomporre l frzione M ( ) in un somm lgeric di frzioni più semplici. N( ) A Per ogni fttore + prepreremo un frzione dell form + Per ogni fttore ( + ) n prepreremo n frzioni dell form A A A,,..., n + ( + ) ( + ) n Per ogni fttore A+ B + + c prepreremo un frzione dell form + + c Per ogni fttore ( + + c ) n prepreremo n frzioni dell form A + B A+ B A,,..., n + Bn + + c ( + + c) ( + + c) n Infine determineremo le costnti in gioco in modo che l somm lgeric di tli frzioni si identicmente ugule ll frzione inizile M ( ) N( ). Per illustrre il procedimento, considerimo l integrle seguente: ( 4+ 5) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( + + ) ( ) ( + + ) A B C + D + ( ) ( ) ( ) I A ( )( + + ) + B ( + + ) + ( C+ D)( ) ( ) ( + + ) ( ) ( + + ) A ( ) + B ( + + ) + ( C+ D)( + ) ( ) ( + + ) ( ) ( + + ) ( 4+ 5) d A A + B + B + B + C C + C + D D + D ( ) ( + + ) ( ) ( + + ) ( A + C ) + ( B C+ D ) + ( B+ C D ) + ( A+ B+ D) ( ) ( + + ) ( ) ( + + )

29 A + C () + () + () + (4) B B C + D 4 () A+ C B C D 5 () () + C D 9 A + B + D 0 (4) A+ B+ D 0 B B B A 0 A+ C A+ C A+ C B C D C D () + (4) C 4 C A+ D () + (4) C+ D (4) () D D 9 E dunque ( ) ( + + ) ( ) + + e di conseguenz: I + + I d d d d ( ) ( + + ) ( ) + + ( ) + + ( ) + + I d ( ) d c c ( ) + + I d d d d ln + + d ln + + d ln + + d ln + + d ln ln + + rctg c d ln I + + Finlmente vremo 4 II +I + ln + + rctg + + c ESERCIZI ) d ) d ) + 4 d ) d 5) d ( + ) 6) + d ( ) RISPOSTE 7 ) ln + ln c ) ln rctg + + c + ) 0rctg + c + 4) 6 ln ln c 5) + c 6) ln c + + ( ) d

30 . Integrzione PER PARTI Cpit volte che l funzione integrnd si presenti come il prodotto di due funzioni, tli che nessun di esse si l derivt dell ltr, m tli però che fr le due, lmeno un si fcilmente integrile. In questi csi può tlvolt funzionre l cosiddett regol di integrzione per prti. Non voglimo rppresentrl suito trmite un formul: inftti, l regol si ssimil più fcilmente se è descritt prole. Anzi, srà estremmente conveniente studirsi l filstrocc memori e ripetersel psso psso mentre l si pplic. Premesso che il fttore fcilmente integrile viene chimto fttor differenzile (fd) mentre l ltro fttore viene detto fttor finito (ff), l regol dice così: fttor finito per (moltiplicto) l integrle (NOTA ) del fttor differenzile, (meno) l integrle (NOTA ) dell integrl trovto, per l derivt del fttor finito. 0 NOTA qui integrle signific primitiv NOTA qui integrle signific invece opertore di integrzione V detto che l scelt del fttore d prendersi come fttor differenzile è legt non soltnto questioni di fcile integrilità, m nche ll previsione dell ntur del nuovo integrle cui si perverrà: sì, perché qundo si integr per prti non si conclude suito l integrzione, m l si riconduce l clcolo di un ltro integrle, che si più semplice di quello ssegnto. Esempio sen d ( cos ) cos d cos + cos d cos + sen + c ff fd fttor finito per l integrle del fttor differenzile (meno) l integrle dell integrl trovto Verific: ( ) ( ) cos cos per l derivt del fttor finito D cos + sen + c cos sen + cos cos + sen+ cos OK!!! Prim di proseguire con gli esempi, trducimo l regol in formul e dimostrimol. Indichimo con: ( ) d ( ) l integrle di prtenz ff fd B ( ) quello che l regol chim l integrle (nel senso di primitiv ) del fttor differenzile L regol fferm dunque che ( ) d ( ) ( ) B ( ) B( ) '( ) d D ( ) ( ) Or: D( ( ) B ( ) B( ) '( ) d) '( ) B( ) + ( ) B'( ) B( ) '( ) quest è l derivt l derivt del prodotto ( ) B( ) di un integrle è l funzione integrnd '( ) B( ) + ( ) ( ) B ( ) '( ) ( ) ) (, C B indicv l primitiv di : B'( ) ( ) e dimostrrl signific semplicemente fr vedere che ( ( ) B ( ) B ( ) '( d ) ).V.D.

31 Esempio Esempio Esempio 4 ln d ln d ln d ln fd ff d ln c (ln ) c Qui si integr per prti un prim e poi un second volt! e d e e d e e d ff fd ff fd e e e d e e + ed ( ) e e + e + c e( + ) + c sen sen cosd d ff fd cos cos sen sen d sen d ff fd sen + cos cos d sen + cos sen c + 4 TIPICI INTEGRALI DA RISOLVERE PER PARTI sono i seguenti: n sen d ff fd n cos d ff fd n e d ff fd rc sen d rc sen d rccos d rccos d fd ff fd ff Esempio 5 n ln d fd ff rc tg d fd ff rcsen d rc sen d rc sen d fd ff ( ) rc tg d + ( ) + rcsen + d rcsen c rc sen c OSSERVAZIONE DI CARATTERE FORMALE In n ln d, tnto per fre un esempio, non sree perfettmente corretto dire che il ftt. diff. è n : fd ff il vero fttor differenzile è, stretto rigore, n d. Il ftto è che il fttor differenzile dovree, volendo, poter essere pensto come il differenzile (vedi uno dei prgrfi successivi) di un funzione. Tuttvi, nello scrivere, non simo stti tnto sottilizzre, perché nli rgioni di crttere grfico ci vreero reso un po scomod quest pignoleri. Esempio 6 INTEGRAZIONE COL CIRCOLO VIZIOSO APPARENTE e cos d cos e e ( sen ) d e cos + e sen d e cos + sen e e cos d fd ff fd ff Semr che si si generto un circolo vizioso; imo inftti ritrovto l'integrle di prtenz. M se si scrivono soltnto il primo e l ultimo nello dell cten, si ottiene: e cos d e cos e sen e + cos d d cui è possiile ricvre e cosd : e cos d e cos + esen + c e ( cos+ sen) e cosd + c Gli ESERCIZI sull integrzione per prti sono pgin 8.