9.9.1 Applicazione al calcolo di aree Esercizi Soluzioni...361

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1 Indice 1 Nozioni di base Insiemi Elementi di logica matematica Connettivi logici Predicati Quantificatori Insiemi numerici L ordinamento dei numeri reali La completezza di R Fattoriali e coefficienti binomiali Prodotto cartesiano Relazioni nel piano Esercizi Soluzioni Funzioni Definizioni e primi esempi Immagine e controimmagine Funzioni suriettive e iniettive; funzione inversa Funzioni monotòne Funzioni composte Traslazioni, cambiamenti di scala, riflessioni Funzioni elementari e loro proprietà Funzioni elevamento a potenza Funzioni polinomiali e razionali Funzioni esponenziali e logaritmiche Funzioni trigonometriche e loro inverse Esercizi Soluzioni... 61

2 X Indice 3 Limiti e continuità I Intorni Limiti di successioni Limiti di funzioni; continuità Limiti all infinito Continuità. Limiti al finito Limiti destro e sinistro; punti di discontinuità Limiti di funzioni monotone Esercizi Soluzioni Limiti e continuità II Teoremi sui limiti Teoremi di unicità e permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti; forme di indeterminazione di tipo algebrico Teorema di sostituzione Altri limiti notevoli; forme indeterminate di tipo esponenziale Proprietà globali delle funzioni continue Esercizi Soluzioni Confronto locale di funzioni. Successioni e serie numeriche Simboli di Landau Infinitesimi ed infiniti Asintoti Ulteriori proprietà delle successioni Serie numeriche Serie a termini positivi Serie a termini di segno alterno Esercizi Soluzioni Calcolo differenziale La derivata Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione Punti di non derivabilità Punti di estremo e punti critici di una funzione I Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy Prima e seconda formula dell incremento finito Intervalli di monotonia di una funzione Derivate di ordine superiore Convessità e flessi Estensione del concetto di convessità...203

3 Indice XI 6.10 Studio di funzioni Le funzioni iperboliche Il Teorema di de l Hôpital Applicazioni del Teorema di de l Hôpital Esercizi Soluzioni Sviluppi di Taylor e applicazioni Le formule di Taylor Sviluppi di Taylor notevoli Operazioni sugli sviluppi di Taylor Uso degli sviluppi di Taylor nello studio locale di una funzione Esercizi Soluzioni Rappresentazioni del piano e dello spazio Coordinate polari, cilindriche, sferiche Vettori nel piano e nello spazio Vettori applicati nell origine Modulo e prodotto scalare Vettori applicati in un punto Numeri complessi Operazioni algebriche Coordinate cartesiane Forma trigonometrica e forma esponenziale Potenze e radici Equazioni algebriche Curve nel piano e nello spazio Cenni alle funzioni di più variabili Continuità Derivate parziali e gradiente Esercizi Soluzioni Calcolo integrale I Primitive e integrali indefiniti Regole di integrazione indefinita Integrazione di funzioni razionali Integrali definiti Integrale secondo Cauchy Integrale secondo Riemann Proprietà dell integrale definito Media integrale Il Teorema fondamentale del calcolo integrale Regole di integrazione definita...354

4 XII Indice Applicazione al calcolo di aree Esercizi Soluzioni Calcolo integrale II Integrali impropri Integrali su intervalli illimitati Integrali di funzioni non limitate Altri integrali impropri Integrali curvilinei Lunghezza di un arco e ascissa curvilinea Integrali di linea Esercizi Soluzioni Equazioni differenziali ordinarie Definizioni generali Equazioni del primo ordine Equazioni a variabili separabili Equazioni lineari Equazioni omogenee Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo Il problema di Cauchy per le equazioni del primo ordine Funzioni lipschitziane Una condizione di risolubilità del problema di Cauchy Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti Esercizi Soluzioni Appendici A.1Principio di induzione A.2Complementi su limiti e continuità A.2.1Limiti A.2.2Funzioni elementari A.2.3Numero di Nepero A.3 Complementi sulle proprietà globali delle funzioni continue A.3.1Sottosuccessioni A.3.2Funzioni continue su un intervallo A.3.3Continuità uniforme...467

5 Indice XIII A.4Complementi sul calcolo differenziale A.4.1Formule di derivazione A.4.2Teorema di de l Hôpital A.4.3Funzioni convesse A.4.4Formule di Taylor A.5Complementi sul calcolo integrale A.5.1Integrale di Cauchy A.5.2Integrale di Riemann A.5.3Integrali impropri Tavole e formulari Indice analitico...503

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