Metodi Numerici per la soluzione di equazioni e il calcolo di integrali definiti

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1 Università degli Studi di Plermo Scuol Interuniversitri Sicilin di Specilizzzione per l Insegnmento Secondrio Lbortorio di Anlisi Numeric Prof. C. Aren Metodi Numerici per l soluzione di equzioni e il clcolo di integrli definiti Specilizzndi: Dott. Ferdinndo Aufiero Dott. Onofrio Indelicto Dott. Rosrio Mnto Dott.ss Angel Schivo 1

2 Indice Lbortorio di nlisi numeric...3 Anlisi dell clsse...3 Osservzione sul rilievo eductivo dell disciplin insegnt...3 Costruzione dell unità didttic...5 UNITA DIDATTICA: Risoluzioni numeriche d'equzioni...5 UNITA DIDATTICA: Clcolo numerico d integrli definiti...7 Verifiche e criteri di vlutzioni:...7 Attività didttic...9 Il metodo delle corde...15 Metodi di punto fisso o delle pprossimzioni successive...18 Integrzione numeric...22 Attività didttic...22 METODO DEI RETTANGOLI...23 METODO DEI TRAPEZI...25 METODO DI CAVALIERI-SIMPSON...28 Grigli di vlutzione...32 Appendice A

3 CORSO SISSIS Lbortorio di nlisi numeric Anlisi dell clsse L conoscenz del gruppo clsse è presupposto indispensbile per grntire il buon esito del compito eductivo-didttico e per poter qulificre l preprzione degli lunni. Dll prtecipzione ll ttività didttic dei discenti verifiche riscontrte finlizzte ll vlutzione del e dlle livello di preprzione individule di ciscuno dei discenti, si può consttre che l clsse si present bbstnz eterogene, per qunto rigurd le conoscenze-competenze e per l prtecipzione l dilogo scolstico. Nei primi giorni di scuol l conoscenz è orientt relizzre l socilizzzione degli lunni tr loro con prticolre ttenzione eventuli gruppi di lunni, provenienti d zone decentrte, individure gruppi trinnti e fr emergere problemi, motivzioni, disgi e spetttive. Il fine che si vuole rggiungere con l comprtecipzione dei diversi docenti è stimolre l clsse l dilogo, in prticolre sollecitndo ttivmente gli lunni provenienti d ltre clssi o ripetenti che trovno mggiori difficoltà d inserirsi nel contesto di un gruppo già formto. Osservzione sul rilievo eductivo dell disciplin insegnt L mtemtic, l pri di precchie ltre discipline, h un ruolo bsilre e specifico ll interno del processo eductivo poiché contribuisce in modo rilevnte ll formzione culturle dei giovni stimolndo l ricerc, li iut cpire le successive tppe delle conquiste del pensiero umno, educ ll riflessione, nel complesso li iut d cquisire un metodo di studio ordinto, vlido nche in mbito di ltri cmpi del spere. Lo studio dell mtemtic: Promuove ed esercit le fcoltà si intuitive che logiche Educ i procedimenti euristici, i processi di strzione e ll formzione dei concetti Esercit rgionre induttivmente ed deduttivmente 3

4 Svilupp le ttitudini si nlitiche che sintetiche. Determinndo cosi, nei giovni, bitudine ll sobrietà, precisione nel linguggio, cur delle coerenze rgomenttive, gusto per l ricerc dell verità. Il consiglio di istituto tenendo conto delle spetttive e delle esigenze nonché del contesto socio-economico-culturle, del territorio su cui si trov disloct l mggior prte dell utenz (lunni, fmiglie) si propone di: Potenzire l crescit culturle e socile dei discenti Potenzire le loro cpcità di utocontrollo Potenzire le loro cpcità di proporre in modo deguto le proprie idee Potenzire le loro cpcità d'utonomi opertiv In ogni cso non dileggindo mi nessuno e dimostrndo d ognuno un pprezzmento per l impegno dimostrto, perché ciscuno, vedendo riconosciuto il proprio lvoro, si sent grtificto e spronto perseverre (nello studio). Per il conseguimento di tli obiettivi, il consiglio di clsse concord nell scelte delle strtegie più idonee per insturre, nel contesto clsse, un clim di collborzione reciproc lunno-lunno e lunno-docente. Ritiene costruttivo che l lunno: Consideri il docente come guid dell propri formzione. Non dipende troppo dl docente m cquisti un propri utonomi. Di contro che il docente: Comprend l personlità dell lunno Vluti per ciscuno il rggiungimento degli obiettivi prefissti in relzione dei propri livelli di preprzione di prtenz e ll proprie ttitudini e cpcità pprezzndo più i progressi ftti che i risultti effettivi delle singole prove non trscurndo di incorggire i più timidi e di frenre gli entusismi dei più superficili. Il potenzimento del processo di socilizzzione, il rggiungimento degli obiettivi formtivi, previsti dll Progrmmzione di Istituto srnno perseguibili lvori di gruppo guidti o utonomi, ricerche e rielborzioni, dibttiti e confronti. 4

5 Costruzione dell unità didttic Il problem didttico centrle, che si pone l docente nell ttuzione dei progrmmi, risiede nell scelt di situzioni idonee fre insorgere in modo nturle congetture, ipotesi, problemi. Per un prtic così finlizzt sono di importnz i risultti delle ricerche in cmpo storico-epistemologico, in quello pedgogico, nonchè in quello metodologico-didttico. Le rppresentzioni epistemologiche sono dei percorsi conoscitivi di un prticolre concetto mtemtico o scientifico in generle. Tli rppresentzioni possono essere messe punto d un soggetto pprendente o d un comunità scientific in un determinto periodo storico. Affinchè si riesc costruire bene l unità didttic è opportuno che si introducno dei concetti bse in modo tle che si rend di fcile comprensione l'rgomento che si vuole trttre; UNITA DIDATTICA: Risoluzioni numeriche d'equzioni Enuncizione dell'rgomento dell'unità didttic. L'rgomento dell'unità didttic che si vuole ffrontre rigurd le risoluzioni numeriche di equzioni. Concetti e vocboli introdotti: Concetto di soluzione numeric di equzioni, pprossimzione, errore, iterzione, formule itertive. Prerequisiti e obiettivi: I prerequisiti per l pprendimento, devono essere i seguenti: Conoscere e spere pplicre i metodi lgebrici di soluzioni delle equzioni polinomili. Conoscere le equzioni trscendenti e trigonometriche. Spere utilizzre il foglio di clcolo.(excel) Gli obiettivi cognitivi che si vogliono perseguire sono: Conoscere i principli metodi numerici di soluzione di equzioni polinomili, trscendenti e trigonometriche 5

6 Conoscere i limiti di pplicbilità dei metodi numerici di soluzione dell equzioni. Conoscere il problem degli errori nei metodi numerici di soluzione dell equzioni. Gli obiettivi opertivi che si vogliono perseguire sono: Spere risolvere in form numeric equzioni polinomili, trscendenti e trigonometriche con l usilio del foglio di clcolo. Confrontre i vri metodi di soluzione delle equzioni polinomili, trscendenti e trigonometriche. Spere vlutre l errore commesso nell ppliczione di un metodo per soluzione equzioni Vlutre l'efficci di un metodo di soluzione rispetto d un ltro. 6

7 UNITA DIDATTICA: Clcolo numerico d integrli definiti Enuncizione dell'rgomento dell'unità didttic. L'rgomento dell'unità didttic che si vuole ffrontre, rigurd clcolo numerico di integrli definiti Concetti e terminologi introdotti: Concetto di clcolo numerico di integrle definito, errore di pprossimzione. Prerequisiti e obiettivi: I prerequisiti per l pprendimento, devono essere i seguenti: Concetti di limite, e di clcolo differenzile. Concetto di funzione primitiv e di integrle indefinito. Spere utilizzre il foglio di clcolo. Conoscere il concetto di errore di pprossimzione. Gli obiettivi cognitivi che si vogliono perseguire sono: Conoscere i principli metodi numerici di clcolo di integrli definiti. Conoscere i limiti di pplicbilità dei metodi di integrzione numeric. Gli obiettivi opertivi che si vogliono perseguire sono: Spere clcolre in form numeric integrli definiti. Confrontre i vri metodi di clcolo numerico su tli integrli. Spere vlutre l efficci di un metodo rispetto d un ltro Verifiche e criteri di vlutzioni: Le vlutzioni sull pprendimento, volte d ccertre il livello di preprzione rggiunto dll llievo in ordine l tipo di conoscenz e cpcità connesse gli obiettivi dell insegnmento srnno effettute trmite prove di verifiche di tipo formtivo e sommtivo. Le verifiche di tipo formtivo srnno necessrie per il controllo in itinere del processo di pprendimento e di supporto per eventuli pilotggi dell ttività didttic, prevedendo che nel cso venissero riscontrte eventuli lcune, queste verrnno colmte ttrverso un processo di recupero in itinere. 7

8 Le verifiche di tipo sommtivo servirnno per il controllo del profitto scolstico i fini dell clssificzione finle. Gli strumenti d utilizzre consisternno in interrogzione, prove semistrutturte, questionri, esercizi ed esercitzioni l computer. I fttori che concorrernno ll vlutzione srnno: l impegno profuso, il metodo di studio, l prtecipzione ll ttività didttic, l eventule progresso riscontrto, il livello di conoscenz-competenz, nonché l situzione personle. 8

9 Attività didttic L nostr ttività didttic const di due prti fondmentli: 1. Introduzione del problem dell soluzione di equzioni generiche: f(x) = 0 2. Lbortorio d'informtic, in cui srnno implementti grzie l foglio elettronico i metodi esposti nell prte teoric. L nostr lezione inizi col porre immeditmente il problem: richimndo le equzioni di primo grdo chiederemo gli studenti cos vogli dire risolvere un'equzione, è chiro che per l mggior prte dei csi vremo modo di ppurre un conoscenz del problem d prte di tutti. Iterndo il nostro procedimento, riprenderemo le equzioni di secondo grdo fcendo notre come il metodo del discriminnte ci ssicur l conoscenz univoc delle due rdici. L'ssenz di tle metodo ci costringerebbe provre ripetutmente se lcuni numeri presi cso sino rdici dell nostr equzione. E' chiro che questo modus operndi è inefficce per risolvere l nostr equzione e potrebbe nche non grntirci l soluzione in un tempo rgionevolmente breve. L'esistenz del metodo del discriminnte per risolvere le equzioni di secondo grdo ll fine rssicur gli studenti, legti d un visione "formulistic" dell mtemtic, sull possibilità di trovre le soluzioni. L conoscenz di equzioni superiori l secondo grdo d prte degli studenti nei progrmmi di scuol secondri è legt solitmente ll possibilità di ricondurle quelle di secondo grdo: misconoscendo il ftto che quelle equzioni sono soltnto un piccolissim prte di quelle esistenti, e che bst cmbire di poco i coefficienti per non essere più in grdo di risolverle. Nell fttispecie l'equzione: 6 x 3-19 x x - 6 = 0 h tre rdici complesse, che si possono direttmente ricvre riconducendol d un'equzione di secondo grdo. Bst cmbire di un'unità uno qulsisi dei coefficienti trsformndo d esempio l'equzione nell form: 9

10 6 x 3-19 x x -5 = 0 per trovrsi nell'impossibilità di risolverl con metodi trdizionli. Inftti solo rrmente è possibile determinrne le soluzioni estte e questo può ccdere per vri motivi. Fccimo un pio di esempi: È noto che nche per funzioni piuttosto semplici, per esempio polinomi di grdo > 4 non è possibile scrivere formule risolutive in form chius (cioè in cui compiono solo un numero finito di operzioni elementri). Questo obblig d usre metodi itertivi che portno necessrimente vlori pprossimti per le soluzioni. I clcoli sono svolti in precisione finit: i numeri reli sono rppresentti nei clcoltori secondo un sistem detto virgol mobile normlizzt. Non descriveremo nei prticolri questo metodo di rppresentzione; ci limiteremo d osservre che è rppresentbile in mcchin esttmente solo un sottoinsieme finito di reli.tutti gli ltri sono ffetti fin dll'inizio d un errore di rppresentzione che vri second dell precisione di mcchin (cioè second di qunte cifre binrie sono uste per rppresentre ciscun rele). Un vlore tipico per l'errore reltivo è circ Nonostnte questo vlore si piuttosto piccolo, ci sono csi in cui può portre seri problemi di clcolo. A second del contesto, cioè second del metodo usto, dire che un vlore x* è un soluzione pprossimt di un equzione f(x) = 0 può voler dire si che f(x*) è"piccolo" sufficienz si che x* è "vicino" ll soluzione estt dell'equzione. Si pone questo punto l'esigenz di utilizzre un metodo numerico per risolvere l nostr equzione. Dovrebbe essere chiro gli studenti che trovre l soluzione dell'equzione equivle trovre i punti d'intersezione con l'sse x dell funzione f (x) = 6 x 3-19 x x -5. Illustrimo quindi i vri metodi di soluzione numeric di equzioni: Il metodo di bisezione Considerimo l'equzione x 3 - x - 1 = 0 10

11 Osservimo che f(1) = -1 e f(2) = 5 llor, poiché l funzione f(x) è continu, ess ssume tutti i vlori compresi tr -1 e 5 (teorem di Weierstrss). In prticolre deve esistere lmeno un vlore x* compreso tr 1 e 2 tle che f(x*)=0. Studindo il segno dell derivt f'(x) si potrebbe nche stbilire priori che c'è esttmente un vlore che nnull f(x) nell'intervllo [1, 2]. Come si può vedere dl grfico seguente: f(x) ,2 1,4 1,6 1,8 2-2 x Potremo prendere il punto medio del segmento come prim pprossimzione dell soluzione: x* = 1.5 con errore ssoluto < 0.5 Per cercre di individure l soluzione vlutimo f(x) nel punto medio dell'intervllo; si h: f(1.5) = > 0 > -1 = f(1). Quindi or sppimo che l soluzione x* è nell'intervllo [1, 1.5]. In ltri termini: x* = 1.25 con errore ssoluto < Ripetendo lo stesso rgionmento, clcolimo f(1.25): f(1.25) = < 0 < = f(1.5), quindi x*=1.375 con errore ssoluto < Proseguendo, si individu un sequenz di intervlli, di mpiezz sempre più piccol: ogni volt che si clcol l f in un nuovo punto l'errore dimezz. Il procedimento si può porre in form lgoritmic come segue: 11

12 dt un funzione f(x) continu nell'intervllo [ 0, b 0 ] e tle che f( 0 )f(b 0 ) < 0, e dto un intero n 1.Per n = 0, 1, 2,..., finché non soddisftti m = ( n +b n )/2 Se f( n )f(m) < 0 llor n+1 = n b n+1 = m ltrimenti n+1 = m b n+1 = b n 2.L'equzione f(x) = 0 h un soluzione x = m con errore ssoluto < b n+1 - n+1. È necessrio precisre cos signific l'espressione finché non soddisftti. Un lgoritmo, per essere tle, h bisogno di un termine. Il procedimento usto invece potrebbe essere portto vnti ll'infinito: è sempre possibile trovre un nuovo punto medio, clcolrci l funzione, trrre le conclusioni e riprtire dccpo. È necessrio quindi ggiungere un criterio di rresto l procedimento: se non lo fcessimo, un progrmm che relizzsse il metodo, proseguirebbe fre clcoli in eterno senz fornire mi un rispost. Per evitrlo è sufficiente prevedere che ci si fermi dopo un certo numero mssimo d'iterzioni, qulunque si l'esito dell'elborzione. D'ltr prte, se d un certo punto si vesse f(m) = 0, vremmo trovto l soluzione e non vrebbe senso proseguire oltre. Possimo quindi riscrivere l'lgoritmo nell mnier seguente: Dt un funzione f(x) continu nell'intervllo [ 0, b 0 ], tle che f( 0 )f(b 0 ) < 0 e dto un intero n mx 1.Per n=0, 1, 2,..., n mx m = ( n +b n )/2 Se f(m) = 0 slt l punto 2. Se f( n )f(m) < 0 llor n+1 = n b n+1 = m ltrimenti 12

13 n+1 = m b n+1 = b n 2.L'equzione f(x) = 0 h un soluzione x = m con errore ssoluto < b n+1 - n+1. Per i metodi itertivi è bene prevedere un criterio che rresti le iterzioni, llorché il risultto rggiunto è giudicto buono sufficienz, per esempio se l'errore reltivo è minore di un tollernz fisst. Per il metodo di bisezione, dto che l'errore reltivo dimezz d ogni ciclo, un criterio di questo tipo coincide esttmente col fissre un numero mssimo di iterzioni. Il punto di forz di questo metodo è nell su semplicità e sicur convergenz, il suo punto debole è invece nell scrs efficienz rispetto gli ltri metodi inftti poiché d ogni psso viene dimezzto l intervllo contenente l rdice, pertnto richiede un numero elevto di iterzioni. L'lgoritmo su descritto può essere implementto l clcoltore ricorrendo un linguggio di lto livello come Pscl, C, Visul Bsic o un progrmm specifico per l mtemtic d esempio Derive. In ppendice A sono riportte un grfico dell'interpretzione geometric del metodo di bisezione, e un digrmm di flusso utile nel cso si vogli implementre il metodo in form lgoritmic. Nel cso che si vogli invece implementre il metodo su un foglio di clcolo l'lgoritmo su descritto può essere trdotto nelle seguenti funzioni: Supposto come nel nostro cso che f()*f(b)< 0 si h: 1 = [ +(1-segno(f()*f(m))*/2+(1+segno(f()*f(m))*b/2]/2 b 1 = [b +(1-segno(f()*f(m))*/2+(1+segno(f()*f(m))*b/2]/2 e iterndo: n+1 = [ n +(1-segno(f( n )*f(m n ))* n /2+(1+segno(f( n )*f(m n ))*b n /2]/2 n+1 = [b n +(1-segno(f( n )*f(m n ))* n /2+(1+segno(f( n )*f(m n ))*b n /2]/2 Di seguito è riportt l'ppliczione di questo metodo l cso precedente medinte foglio di clcolo Excel: 13

14 Soluzioni di equzioni con il metodo di bisezione x 3 - x - 1 = 0 n b f() f(b) m=(+b)/2 f(m) ,5 0, ,5-1 0,875 1,25-0, ,25 1,5-0, ,875 1,375 0, ,25 1,375-0, , ,3125 1,375-0, ,3125 1, , ,3125 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,3125-0, , , , , , , , , , , , , , ,65949E , , ,65949E- 0, , , , , ,65949E- 0, , , , , ,65949E- 0, , , , , ,65949E- 0, , ,35524E , , ,65949E- 8,35524E- 1, ,84779E , , ,65949E- 1,84779E- 1, ,40587E , , ,40587E- 1,84779E- 1, ,20949E

15 18 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,40587E- 05-5,92464E- 06-1,85758E- 06-1,85758E- 06-8,40809E- 07-3,32426E- 07 2,20949E- 06 2,20949E- 06 2,20949E- 06 1,75958E- 07 1,75958E- 07 1,75958E- 07-5,92464E- 06-1,85758E- 06 1,75958E- 07-8,40809E- 07-3,32426E- 07-7,82336E- 08 Il metodo delle corde Il metodo delle corde è un metodo itertivo più efficiente per clcolre le rdici di un equzione non linere f(x) rele e continu in un intervllo chiuso e limitto [,b] che ssum vlori di segno opposto gli estremi dell intervllo, condizione che, come detto in precedenz, ssicur l presenz di lmeno un rdice. Il metodo delle corde (o dell fls posizione), l cui interpretzione grfic è riportt in figur, consiste nel clcolre se l intersezione x i dell rett (cord) pssnte per i punti A,B di coordinte (,ƒ()) e (b, ƒ(b)) rispettivmente con l sse delle scisse è un rdice. Poiché l equzione di un rett pssnte per i punti A,B h equzione: 15

16 16 ) ( ) ( ) ( f b f f y b x = ponendo y = 0 si ottiene: ) ( ) ( ) ( * ) ( f b f f b x = o ncor meglio: ) ( ) ( ) ( ) ( * f b f bf b f x = Per verificre quest condizione, non si controll se f(x i ) = 0, m (poiché si lvor con i numeri reli) se f(x i ) < p, ove p rppresent l precisione scelt. Se x i non è un rdice si vlut il segno del prodotto f() f(x i ) e si procede llo stesso modo nel sotto intervllo [, x i ] se il segno è negtivo, o nel sottointervllo [x i,b] se è positivo. Pertnto iterndo il procedimento si gener un successione di termini { x i }, il cui termine (i+1)-esimo è: ) ( ) ( ) ( * ) ( * = i i i i i i x f x f x f x x f x x i = 2,3,4 Si può notre che se, come sovente succede nei csi prtici, nell intervllo considerto l funzione si monoton e non cmbi concvità, llor uno degli estremi rimne fisso e le formul precedente ssume le seguenti forme:

17 Cso A funzione crescente e concvità verso il bsso oppure funzione decrescente e concvità verso l lto cioè: f ( )* f ''( x) > 0 llor l formul d pplicre divent l seguente: x i+ 1 * f ( xi ) = f ( x ) i xi * f ( ) f ( ) Cso B funzione decrescente e concvità verso il bsso oppure funzione crescente e concvità verso l lto cioè: f ( )* f ''( x) > 0 llor l formul d pplicre divent l seguente: x i+ 1 xi * f ( b) b * f ( xi ) = f ( b) f ( x ) i Poiché il procedimento su cui è bsto il metodo delle corde pprossim l funzione con l rett individut di punti di coordinte (, f()) e (b, f(b)) si può dimostrre che l errore commesso durnte ogni iterzione è minore e pertnto è necessrio un minor numero di iterzioni rispetto l metodo di bisezione, come si può dl seguente foglio di clcolo dove è stto pplicto il metodo delle corde ll stess funzione e llo stesso intervllo dell esempio precedente, in questo cso l funzione è crescente e concv verso l lto per cui l funzione di iterzione d pplicre è quell del cso B. 17

18 Soluzioni di equzioni con il metodo delle corde X 3 - x - 1 = 0 n b f() f(b) x i f(x i ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0475E ,047E , , ,56438E ,564E , , ,08739E ,087E , , ,61092E ,611E , , ,95519E ,955E , , ,29066E ,291E , , ,51552E ,516E , , ,4907E ,491E , , ,32108E ,321E , , ,68035E ,68E , , ,13656E ,137E , , ,8194E-09 Metodi di punto fisso o delle pprossimzioni successive Sono i metodi che si ottengono trsformndo il problem del clcolo dello zero di f(x) nel problem equivlente dell costruzione di un successione (convergente) dove ϕ(x) è scelt in modo che che può essere ottenuto d: xk+ 1 = ϕ( xk ) (1) x = ϕ(x) (2) f ( x) + x = x 18

19 ponendo f ( x) + x = ϕ( x) se α R è un rdice dell equzione f ( x) = 0 (3) llor α srà nche soluzione dell equzione (2), con α = ϕ(α) e si dice punto fisso o punto unito di ϕ(α) Geometricmente l soluzione dell (3) coincide con l sciss del punto di intersezione di: Vedimo un semplice esempio: 2 f ( x) = x 2x + 1 y = x e y = ϕ(x) ϕ ( x) = x ϕ ( x) = 2x 1; 2 2 ϕ 3 ( x) = x x + 1 Le tre (x) ϕ i mmettono tutte α = 1 come ''punto unito'', m non tutte e tre vnno bene per generre un successione convergente prtendo, per esempio, d x = Non tutte le ϕ(x) di iterzione generno successioni di {x n } convergenti d α, l condizione ffinché vveng ciò è che esist un opportuno intorno F di α dove l ϕ(x) si continu con l su derivt prim e che in tle intorno si: 0 < ϕ '( x) q < 1 19

20 in tl cso per ogni x 0 pprtenente d F esiste un successione {x n }convergente d α. Considerimo desso l funzione: x 3 4x 1= 0 un possibile funzione d iterzione è l seguente: 3 1 ϕ ( x) = x 4 l qule, ssumendo come punto inizile x 0 = 1. 8 port rpidmente ll soluzione x = , come è possibile osservre, nche in form nimt, nel seguente foglio di clcolo Excel: Iterzioni1.xls Un secondo esempio è l funzione: x 3 + 4x 1 = 0 per l qule un funzione di iterzione è l seguente: ϕ ( x) = 3 x

21 ed ssumendo come punto inizile x 2 port rpidmente ll soluzione 0 = x = , come è possibile osservre, nche in form nimt, nel seguente foglio di clcolo Excel: Iterzioni2.xls. Nel foglio di clcolo si può nche vedere come inserendo un vlore inizile x > 2 l successione ϕ(x 0 k) non converge. 21

22 Integrzione numeric Attività didttic L nostr ttività didttic const di due prti fondmentli: 1. Introduzione del problem dell soluzione di equzioni generiche: f(x) = 0 2. Lbortorio d'informtic, in cui srnno implementti grzie l foglio elettronico i metodi esposti nell prte teoric. L vlutzione di integrli definiti qundo non è not l primitiv dell funzione integrnd o qundo il procedimento nlitico risult complesso richiede l ppliczione di metodi numerici. Le tecniche numeriche si bsno sull ppliczione di un formul che us i vlori che l funzione integrnd ssume ll interno dell intervllo di integrzione. Ogni formul di integrzione numeric h un suo grdo di precisione inftti: b n f(x) = c i f(x) + R n (f) i=1 il primo termine è detto prte pprossimnte e R n (f) errore di troncmento. L vlutzione numeric dell integrle vviene trmite l costruzione di un opportun successione di vlori {x i }, tle che risulti: n b lim c i f(x) = f(x) e R n (f) = 0 n i=1 L successione {xi} dei vlori ottenuti dipende dl procedimento itertivo pplicto. Nei successivi prgrfi srnno nlizzti lcuni tr i metodi di integrzione numeric più semplici d relizzre: il metodo dei rettngoli, dei trpezi e di Cvlieri-Simpson. 22

23 METODO DEI RETTANGOLI Il metodo dei rettngoli è il metodo itertivo più semplice per clcolre l integrle definito di un funzione ƒ(x) rele e continu in un intervllo chiuso e limitto [,b]. Esso consiste nel suddividere l intervllo di integrzione [,b] in un certo numero di sottointervlli n e nell pprossimre l funzione ll interno di ciscun intervllo con il vlore costnte che quest ssume nel suo punto medio, pertnto il clcolo dell integrle numerico viene quindi corrispondere con l somm dei rettngoli venti come bse l mpiezz costnte dei sottointervlli h = (b-)/n e come ltezz il vlore che l funzione ssume nel punto medio di ciscun rettngolo. L formul risultnte, nel cso in cui si scelg n=1 risult: b f(x) h *f (+h/2) ove h= (b-) Nel cso in cui n=2, h= (b-)/n b f(x) h* f (+h/2) + h f(+h/2+h) mentre per n generico e h= (b-)/2n si h: b n-1 f(x) h f(+(1/2+i) h) i=0 Il procedimento di clcolo dell integrle, può essere semplicemente relizzto prevedendo n iterzioni che conviene numerre con i d 0 n-1 e incrementre d ogni psso, come è riportto nel progrmm, l somm integrle con il vlore: F(A+(i+.5)*h). inftti l x dovrebbe ssumere i vlori: 23

24 A+h/2, A+h/2+h,A+ h/2+h+h,...ovvero d ogni iterzione x= A+(i+0.5)h Per un migliore pprossimzione del risultto e per non incorrere in problemi di convergenz il clcolo dell integrle viene ripetuto dimezzndo ogni psso l mpiezz dei sottointervlli, fino qundo l differenz tr due vlori successivmente clcolti è minore dell precisione che si vuole rggiungere nel clcolo. Nel metodo dei rettngoli, l cui interpretzione grfic è riportt in Fig.2.1 Per verificre quest condizione (poiché si lvor con i numeri reli) si controll se Ι Ι 1 < p, ove p rppresent l precisione scelt. Poiché si pprossim l funzione, in ogni sottointervllo, con l rett prllel ll sse x di equzione y = f(x i ) viene commesso un errore di pprossimzione che richiede un elevto numero di iterzioni prim di giungere l risultto. Fig.2.1 Interpretzione grfic dell integrzione numeric secondo il metodo dei rettngoli Animzione integrzione numeric con il metodo dei rettngoli 24

25 METODO DEI TRAPEZI Esso consiste nel suddividere l intervllo di integrzione [,b] in un certo numero di sottointervlli n e nell pprossimre l funzione ll interno di ciscun intervllo con l spezzt che congiunge i punti per cui pss il grfico dell funzione gli estremi di ogni intervllo, pertnto il clcolo dell integrle corrisponde ll somm dei trpezi venti come ltezz l mpiezz dei sottointervlli STEP = (b)/n e come bse mggiore e minore il vlore che l funzione ssume gli estremi dei singoli sottointervlli. L formul risultnte, nel cso in cui si scelg n=1 risult: b f(x) h/2 ( f (+h) + f()) ove h= (b-) Nel cso in cui n=2, h= (b-)/n b f(x) h/2 ( f (+h) + f()) + h/2 ( f (+2h) + f(+h)) mentre per n generico e h= (b-)/2n si h: b n-1 f(x) h/2 [f(+(i+1) h) + f(+i h)] oppure i=0 b n-1 f(x) h/2 [f(+f(b)] + h [f(+i h)] (dett formul di Bezout) i=0 Il clcolo dell integrle, di cui in Fig.2.2.ne è riportt l interpretzione grfic, può essere semplicemente relizzto prevedendo n iterzioni che conviene numerre con un indice i d 0 n-1 e incrementre d ogni psso l somm integrle con il vlore: 25

26 h*.5* ((F(+i*h)+F(+(i+1)*h))) Inftti durnte il procedimento di clcolo si deve generre un successione di termini ( ciscuno rppresentnte l re di un trpezio), ove si moltiplic l ltezz costnte dei trpezi, pri d h, per l somm delle due bsi diviso 2, pertnto, come è riportto nel progrmm: I=I+(h*.5*(F(+i*h)+F(+(i+1)*h))) Per rendere minimo l errore e per non incorrere in problemi di convergenz il procedimento viene ripetuto dimezzndo ogni psso l mpiezz dei sottointervlli, fino qundo l differenz tr due vlori successivmente clcolti divent trscurbile ovvero (poiché si lvor con i numeri reli) fino qundo Ι2 Ι1 < p, ove p rppresent l tollernz scelt. S può dimostrre che l errore commesso usndo l formul trpezoidle, che risult : R(t) < 1/12 (x i - x i+1 ) 3 f (ξ ) è molto minore rispetto quello commesso usndo l formul rettngolre, pertnto il risultto ottenuto prità di sottointervlli risult più pprossimto. Fig.2.2 Interpretzione grfic dell integrzione numeric secondo il metodo dei trpezi 26

27 27

28 METODO DI CAVALIERI-SIMPSON Il metodo di Cvlieri-Simpson consiste nel suddividere l intevllo [,b] in un certo numero di sottointervlli n e nell pprossimre l funzione, ll interno di ogni sottointervllo, con un prbol individut di punti di coordinte: (x i, f(x i )), (x i+1, f(x i+1 )) e dl punto intermedio (x i + (b-)n) f(x i + (b-)n)). L formul risultnte, nel cso in cui si scelg n=1 risult: b f(x) (h/3)[f()+4f (+h)+f( b)] ove h= (b-)/2 Nel cso in cui n=2, h= (b-)/2n b f(x) (h/3)[f()+4f (+h)+f( +2h)] + (h/3)[f(+2h)+4f (+3h)+f( b)] mentre per n generico e h= (b-)/2n si h: b f(x)» (h/3)[f()+4f (x 1 )+2f(x 2 ) f(x 2n-1 )+f(x 2n )] Il procedimento di clcolo dell integrle, può essere semplicemente relizzto inizilizzndo l somm integrle con l sommtori dei primi due termini e dell ultimo termine: I=(F()+F(b)+4*F(+h*(2*n-1)))*h/3.0 trmite l iterzione di n pssi che conviene numerre trmite un indice i d 0 n-1, ove l somm integrle verrà incrementt con l coppi di termini successivi di coefficiente 4 e 2: 28

29 I=I+h/3.0*(4*F(+i*h)+2*F(+(i+1)*h)) Si noti che il clcolo dell integrle secondo questo metodo, come risult osservndo l Fig.2.3 prevede l ulteriore divisione metà di ogni intervllo, pertnto dopo ver fissto il vlore inizile di n questo srà subito rddoppito per poter inizire correttmente il clcolo. Come nei csi precedenti per rendere minimo l errore e per non incorrere in problemi di convergenz il procedimento viene ripetuto rddoppindo ogni iterzione il numero dei sottointervlli, fino qundo l differenz tr due vlori successivmente clcolti è minore dell precisione che si vuole rggiungere nel clcolo, ovvero si controll se Ι2 Ι1 < p, ove p rppresent l tollernz scelt. Il metodo di Cvlieri-Simpson è uno tr i metodi più utilizzti per l notevole precisione che è in grdo di rggiungere con pochi intervlli di clcolo, inftti è possibile dimostrre che l errore di clcolo commesso risult : R(t) < 1/90 (x i - x i+1 ) 5 f (ξ ) ovvero molto minore rispetto lle formule presentte in precedenz. Fig.2.3 Interpretzione grfic dell integrzione numeric secondo il metodo di Cvlieri-Simpson Nel seguente foglio di clcolo possimo vedere un confronto tr i diversi metodi di clcolo numerico degli integrli pplicto ll funzione: f(x) = x 29

30 nell intervllo [0,1] Integrzione Numeric f(x) = x i x y n c n y n ,03 0, , ,06 0, ,51639 = , ,26491 b = 1 3 0, ,13 0, ,73029 n = , ,16 0, ,63299 h = , ,89442 Rn 6 0,2 4 7 S 0,23 0, ,93218 Vlore estto = 0, Metodo Rettngoli (y 0 -y n- S 0, ,26 0, , ) = 0, S 0, ,54772 Metodo Rettngoli (y 1 -y n ) = 0, ,3 3 2,19089 S 0, ,33 1,15470 Metodo Trpezi = 0, , S 0, ,36 Metodo Cvlieri Simpson = 0, , , , , , ,43 0, , , , , , , , ,53 0, , ,56 0, , ,6 0, ,

31 ,63 0, , ,66 0, , ,7 0, , ,73 0, , ,76 0, , , , , ,83 0, , ,86 0, , , , , ,93 0, , ,96 0, ,

32 Grigli di vlutzione Vlutzione Comprensione del testo Conoscenz dei contenuti e loro ppliczione Uso delle regole di clcolo e formlismi mtemtici Correttezz espressiv Rielborzione critic e originlità < 4 = insufficiente Non degut Incoerente Errto Errt Assente 5 = mediocre Przile Superficile Impreciso Lessico impreciso Superficile 6 = sufficiente Sufficiente Sufficiente Corretto Lessico corretto Adeguti 7 = discreto Discret Discret Approprito Lessico corretto ed pproprito 8 = buono Vlid orgnizzzione Approfondit Adeguto Lessico specifico e deguto Articolt cpcità di collegmento e di estensione dei contenuti Personle 9/10 = ottimo Pdronnz orgnizztiv e cpcità nlitico sintetico Appliczione dei contenuti rticolt e fluid Pdronnz delle regole e dei formlismi Pdronnz del linguggio specifico Personle ed originle 32

33 Appendice A Interpretzione geometric del metodo di bisezione:

34 Digrmm di flusso per il metodo di bisezione: