Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

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1 Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito

2 Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle Integrle Indeinito Integrle indeinito e primitiv Esempi e propriet

3 Il concetto di Integrle: cenni storici L'ide di se del concetto di integrle si trov già in prte nel metodo usto d Archimede di Sircus (vissuto tr il 87 ed il.c per il clcolo dell're del cerchio o del segmento di prol e più precismente per il clcolo dell're dell supericie rcchius dl primo giro dell spirle

4 Il concetto di Integrle: clcolo delle ree E per il nostro LAI? 6 5 LAI (m/m tempo (giorni

5 Il concetto di Integrle: clcolo delle ree L quntit (somm di re oglire otosinteticmente ttiv nei 4 giorni? 6 5 LAI (m/m tempo (giorni

6 Il concetto di Integrle: clcolo delle ree L quntit (somm di re oglire otosinteticmente ttiv nei 4 giorni? 6 5 LAI (m/m tempo (giorni

7 Rettngoloide reltivo ll unzione 0 si ( un unzione deinit e continu in un intervllo [,] chiuso e limitto e si ( 0 l vrire dell vriile in [,] In tli ipotesi De. Si deinisce rettngoloide reltivo ll unzione l prte di pino compres tr il grico di 0 e l sse delle scisse R {(, y : e 0 y ( }

8 Integrle reltivo ll unzione 0 L re del plurirettngolo inscritto nel rettngoloide è: sn mh + mh m h n L re del plurirettngolo circoscritto l rettngoloide è: Sn Mh + M h M n h

9 Esempio sul cerchio n A, n n N

10 Integrle reltivo ll unzione 0 De. Il vlore comune del limite delle somme s n ed S n si deinisce integrle deinito dell unzione ( esteso ll intervllo [,] e si indic: ( d lims lims n n n + n + e non è ltro che l re del rettngoloide reltivo ll unzione (ricordimo che ( 0 l vrire dell vriile in [,]

11 Integrle deinito di un unzione 0 In prticolre, nel cso in cui ( 0, l integrle deinito dell unzione ( esteso ll intervllo [,] coincide con l re del rettngoloide reltivo ll unzione e si indic: ( d Are R Nelle ipotesi poste, l integrle deinito è un numero > 0

12 Integrle deinito di un unzione: deinizione i numeri e (estremi dell intervllo di deinizione dell unzione, vengono deiniti estremi di integrzione e in prticolre: è l estremo ineriore di integrzione èl estremo superiore di integrzione l unzione ( viene deinit unzione integrnd l vriile è l vriile di integrzione

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14 Integrle deinito di un unzione 0 Osservzione. L deinizione di integrle deinito di un unzione deinit e continu in un intervllo [,], nel cso prticolre in cui ( 0, h un interpretzione geometric in qunto coincide con l re del rettngoloide reltivo ll unzione stess. E se ( non e sempre mggiore di 0?

15 Le somme s n ed S n reltive d un unzione (, deinit e continu in un intervllo [,], possono essere costruite nche indipendentemente dl segno dell stess unzione ( nell intervllo [,]

16 In prticolre, ssegnt ( continu in [,] (di segno non necessrimente positivo L integrle deinito ( d si interpret come l somm delle ree con segno delle regioni che il grico ( individu insieme ll sse orizzontle e lle rette e

17 α γ β

18 Osservzione Se ( è un unzione costnte [ ] ( m > 0,, m R ( d md m(

19 In prticolre, vle che: ( d 0, ( deinit e continu ( d ( d

20 Proprietà degli integrli deiniti Additività dell integrle rispetto ll intervllo di integrzione Si ( un unzione deinit e continu in [,] e si c (, ( <c<. Allor, vle che: ( d ( d + c ( d c

21 Ovvimente, tle proprietà h un chiro signiicto geometrico nel cso si trtti di integrli di unzioni positive T T c Are R Are T + Are T

22 Sino ( e g( due unzioni deinite e continue in [,] e si c R. Allor, vle che: [ ] + + d g d d g ( ( ( ( d d d c d c ( ( ( ( Proprietà degli integrli deiniti

23 L deinizione di integrle non d nessun inormzione su come clcolrlo. Ci proponimo or di mettere in evidenz l importnte relzione che esiste tr integrli e derivte

24 Funzione primitiv De. Un unzione F( deinit e derivile in [,], si deinisce primitiv dell unzione (, deinit e continu in [,], se risult che [ ] F '( (,,

25 Funzione primitiv se ( F ( intti: F '( (

26 Integrle indeinito De. Si ( un unzione deinit e continu in [,], llor sicurmente mmette primitive e l insieme di tutte le primitive di ( viene deinito integrle indeinito di e si indic col simolo ( d

27 Integrle indeinito se F( è un primitiv di (, llor si h che ( d F( + c con c R costnte ritrri

28 Osservzione Esiste un grnde dierenz tr l integrle deinito e indeinito di un stess unzione ( d ( d l integrle deinito è un numero (in prticolre positivo e pri ll re del rettngoloide reltivo d se è non negtiv l integrle indeinito è un insieme di unzioni

29 Regole d d log + c, c

30 Integrle indeinito delle unzioni elementri e d e d + c log + c, ( > 0,

31 Proprietà dell integrle indeinito Inine, ricordndo che: l derivt di un somm è l somm delle derivte l derivt del prodotto di un costnte per un unzione è l costnte per l derivt dell unzione Vlgono le seguenti proprietà dell integrle indeinito

32 Proprietà: [ ( g( ] d ( d + + g( d c ( d c ( d, c R costnte d ( ( d

33 Teorem ondmentle del clcolo integrle Si ( un unzione continu e positiv in [,]. Fissto in [,], deinimo A ( ( t cioè A( e l re dell regione di pino compres tr il grico di e le rette verticli ed. dt L unzione A( e primitiv di e nel punto si h A ((

34 L'integrle ( t dt dipende dll'estremo [,] e quindi è un unzione dell che possimo indicre come segue A ( ( t dt A(

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36 Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Integrle Indeinito Integrle indeinito e primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

37 Teorem di Torricelli-Brrow Si ( un unzione deinit e continu in [,] e si F( un su primitiv llor risult che: [ ( ] ( ( ( d F F F [ F( ] dove il simolo st ppunto signiicre l dierenz tr i vlori ssunti d F in e

38 Esempi: si dto d [ ] 0 0 0

39 Esempio: Clcolre l're del ll unzione ( rettngoloide reltivo nell'intervllo [ 0,] Are R d 0 Applicndo l ormul ondmentle del clcolo integrle > 0

40 Esempio: Clcolre l re tr l curv e l sse delle L unzione e (- +4 Gli estremi sono [0,4] d (

41

42 A volte, poi, ci si riconduce d integrli immediti ttrverso l ormul di derivzione delle unzioni composte. Ad esempio, vle che: [ ], ( '( ( c d [ ] ( [ ] '( ( ( c D intti: [ ] '( ( Integrle indeinito delle unzioni composte

43 c e d e + ( ( '( c d + ( log ( '( [ ], ( '( ( c d Regole ( 0,, log '( ( ( > + c d

44 Integrzione per decomposizione in somm In molti csi il clcolo dell integrle indeinito di un unzione si può ricondurre l clcolo di integrli già noti, o di tipo più semplice Un metodo prticolrmente requente consiste nel decomporre l unzione integrnd nell somm di due o più unzioni e poi nell pplicre l proprietà di linerità.

45 Integrzione per decomposizione in somm Esempio. Clcolre il seguente integrle indeinito: d + Allor: sommndo e sottrendo l numertore dell unzione integrnd si h che: d + + d d + d d d + log + + c + +

46 Applet per l risoluzione di integrli indeiniti

47 Esempi: ( + d + d ( + ( + d c 3 ( ( + + c c

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