I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti

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1 I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008

2 AGENDA Un quadro di sintesi dei diversi modelli Le applicazioni dei modelli VaR Veri e falsi difetti dei VaR L expected shortfall Esercizi 2

3 I modelli VaR I modelli per la misurazione dei rischi di mercato vengono utilizzati dalle istituzioni finanziarie per diverse finalità, tra cui: confronto e integrazione di rischi diversi fissazione di limiti all autonomia operativa dei vari desk costruzione di misure di performance aggiustate per il rischio Tali modelli sono stati oggetto di numerose critiche da parte di accademici, operatori ed esponenti degli organi di vigilanza Molte di queste critiche, formalmente corrette, derivano da una cattiva comprensione delle finalità dei modelli 3

4 Un quadro di sintesi dei diversi modelli Distribuzione dei rendimenti Livello di confidenza Variazione valore di mercato Interazione tra di più fattori Varianze-covarianze Normale multivariata, corretta per volatilità recente Come multiplo della deviazione standard Approssimata con funzioni lineari (ad es. le greche ) o quadratiche (delta gamma) Attraverso una matrice di correlazioni Simulazioni storiche Stazionaria (storica) Percentile della distribuzione delle variazioni di valore Ibrido Storica, corretta per la volatilità recente Come percentile della distribuzione ponderata delle variazioni di valore Monte Carlo Completamente flessibile Come percentile della distribuzione simulata delle variazioni di valore Calcolata a partire dalle nuove condizioni di mercato ( full valuation ), anche se niente impedisce di usare approssimazioni lineari Implicita nella distribuzione storica Implicito nella distribuzione storica Matrice di correlazioni e sua fattorizzata 4

5 Un quadro di sintesi dei diversi modelli / 2 Principali pregi Principali limiti Varianze-covarianze Rapidità di calcolo Non richiede un modello di pricing per ogni posizione Ipotizza distribuzioni normali Richiede una stima esplicita di volatilità e correlazioni Hp. linearità payoff Simulazioni storiche Ibrido Non richiede ipotesi esplicite sulla distribuzione dei fattori di rischio Non richiede una stima esplicita di volatilità e correlazioni (preserva quelle passate) Richiede un campione storico ampio Richiede un modello di pricing per ogni posizione Monte Carlo Utilizzabile per portafogli complessi Distribuzione dei fattori di mercato totalmente flessibile Onerosità di calcolo Richiede un modello di pricing per ogni posizione 5

6 I modelli VaR Nessuno dei modelli descritti nella tabella rappresenta una soluzione in assoluto "migliore" delle altre: Per misurare la redditività corretta per il rischio delle unità di trading, ad esempio, il modello varianze-covarianze rappresenta l'alternativa più adeguata (veloce da calcolare e su un orizzonte giornaliero i limiti di questo approccio non sono del tutto rilevanti) Nel caso di posizioni caratterizzate da payoff non lineari i modelli di full valuation (simulazione storica o Monte Carlo) rappresentano la scelta migliore Per verificare se il patrimonio disponibile è sufficiente, la costruzione di scenari di stress risulta maggiormente adeguata 6

7 Le applicazioni dei modelli VaR - Confronto tra rischi diversi - Il VaR rende confrontabili rischi diversi Creazione di un linguaggio comune tra le diverse unità operative delle banche Il rischio delle diverse posizioni è rappresentato da indicatori diversi: duration e convessità per le obbligazioni, beta e volatilità per i titoli azionari, delta, gamma, vega, theta e rho per le opzioni etc. Il VaR, partendo da sensibilità e volatilità delle singole posizioni, costruisce misure di rischio omogenee Ipotizziamo di confrontare il rischio connesso a una posizione lunga in titoli del Tesoro decennali (quotati alla pari) con quello connessa alla vendita di un opzione call at the money sul dollaro, con scadenza a un anno Quale delle due posizioni è più rischiosa? 7

8 Le applicazioni dei modelli VaR - Confronto tra rischi diversi - VOLATILITÀ giornaliera dei fattori di mercato Yield to maturity decennale = 25 bp Variazioni % del cambio EUR/USD = 1,5% Variazioni % della volatilità implicita nel prezzo delle opzioni sul dollaro = 0,2% Il cambio sul dollaro e la sua volatilità sono perfettamente correlati Ora è possibile calcolare il VaR (livello di confidenza 99%) Titoli del Tesoro: approccio varianze-covarianze e approssimazione delta/gamma Posizione in opzioni: full valuation 8

9 Le applicazioni dei modelli VaR - Confronto tra rischi diversi - TITOLI DEL TESORO: Le variazioni nel valore di mercato della posizione possono essere calcolate come: VM y ( y) 2 Il coefficiente δ è dato dalla duration modificata (7,36 anni) moltiplicata per il valore dell esposizione ( euro) Il coefficiente γ è dato dalla convexity modificata (69,74), cambiata di segno e moltiplicata per il valore dell esposizione Il VaR della posizione (livello di confidenza al 99%) 69,74 VaR 2 1 7, ,330, 25% ,330, 25%

10 Le applicazioni dei modelli VaR - Confronto tra rischi diversi - OPZIONE CALL: Approccio di full valuation Adottiamo come funzione di pricing la formula di Black e Scholes e ricalcoliamo il valore della call in corrispondenza di un valore, per i due fattori di rischio corrispondente al peggior valore della call (al netto del 1% di scenari peggiori) Simuliamo gli effetti di un aumento del prezzo del sottostante (cambio EUR/USD) e di un aumento della volatilità (trattandoli separatamente, poiché sono perfettamente correlati) Ipotizzando che le variazioni percentuali dei due fattori di rischio siano normali, i percentili sono 2,33 volte la deviazione standard: Cambio 3,5% (2,331,5%) Nuovo livello: 1,035 euro per dollaro Volatilità 0,47% (2,330,2%) Passa dal 10% al dal 10% al 10,047% 10

11 Le applicazioni dei modelli VaR - Confronto tra rischi diversi - Il VaR della call si ottiene quindi per differenza tra il valore della call in presenza di queste condizioni di mercato estreme ed il valore date le condizioni di mercato correnti: VaR 1,035;10,047% c1;10% c Nuove condizioni di mercato Condizioni di mercato correnti Tasso di cambio a pronti S 1, Tasso di cambio strike X 1 1 Tasso d interesse i 5% 5% Volatilità s 10,047% 10% Scadenza T 1 1 Componenti d 1 0,89 0,55 della formula d 2 0,79 0,45 di Black e Scholes N(d 1 ) 0, ,70884 N(d 2 ) 0, , Valore della call, con la formula di Black $1 0, ,06805 e Scholes, per un nozionale di $ ,6 6805,0 Differenza tra i due valori (VaR) 2678,6 11

12 Le applicazioni dei modelli VaR - Confronto tra rischi diversi - La posizione in titoli del Tesoro sta creando più rischio rispetto alla call: la massima perdita giornaliera cui la banca potrebbe andare incontro nel 99% dei casi è infatti quasi doppia (4.150 euro contro euro) nel caso dei titoli di Stato L esempio mostra due vantaggi del VaR: Il VaR agevola la comunicazione orizzontale, cioè fra operatori che lavorano su desk diversi Il VaR agevola la comunicazione verticale nei confronti dell alta direzione: non ci si scontra con terminologie diverse (modified duration, convexity, beta, delta, gamma, ecc.) per ogni singolo desk Il VaR inoltre consente l aggregazione dei rischi connessi a posizioni diverse, agevolando così il calcolo del rischio di portafogli composti da numerose esposizioni 12

13 Le applicazioni dei modelli VaR - L imposizione di limiti all assunzione di rischio- Tramite il VaR è possibile fissare dei limiti all'operatività dei singoli desk Consideriamo un desk che negozia titoli del Tesoro a lungo termine (Treasury bonds) per una banca Il limite di valore a rischio allocato a tale unità risk-taking è Euro Partendo da questo valore, sulla base del grado di sensibilità della posizione ai fattori di mercato rilevanti (in questo caso, il tasso di interesse) e del loro livello di volatilità, il desk sarà in grado di determinare l esposizione massima compatibile con il suo VaR Se il VaR è stato calcolato con il metodo parametrico: Il massimo valore di mercato della posizione compatibile con un certo livello di VaR è: VaR VM VM DM DM VaR z s z y s y 13

14 Le applicazioni dei modelli VaR - L imposizione di limiti all assunzione di rischio- In presenza di: volatilità delle variazioni decadali dei tassi a lungo termine (s y ) pari a 4 bp livello di confidenza del 97,5 % ( z a pari a circa 1,96) duration modificata pari a 6,25 anni Un VaR di euro corrisponde a un valore di mercato pari a circa 32,7 milioni di Euro: VM ,251,960,04% Eventuali cambiamenti delle condizioni di mercato (volatilità di y) o della composizione del portafoglio (variazioni di DM) producono un aggiustamento del valore della posizione In caso di aumento della volatilità, VM diminuisce Se tutti i desk della banca hanno un limite VaR, in caso di variazioni delle condizioni di mercato il portafoglio verrà automaticamente allocato verso i mercati caratterizzati da minor tensione 14

15 Le applicazioni dei modelli VaR - L imposizione di limiti all assunzione di rischio- Un limite di VaR può essere convertito anche in altre misure di rischio, come ad esempio il basis point value, o DV01 variazione generata nel valore di un portafoglio obbligazionario da una variazione del tasso d interesse pari a un punto base Partendo dall equazione del VaR, anziché considerare una variazione dei tassi pari ad z s y, ipotizziamo che essa sia pari a un punto base: DV 01 VM DM 0,01% VaR 0,01% z s Il VaR al 97,5% ( z a pari a circa 1,96) corrisponde, in presenza di una volatilità s y dello 0,04%, a un basis point value di euro Il VaR può quindi essere espresso in misure diverse, a seconda della finalità perseguita e dalle modalità di utilizzo (per un operatore sarà ad esempio comodo avere a disposizione una traduzione immediata in valore di mercato o DV01) y 15

16 Le applicazioni dei modelli VaR - La costruzione di misure di risk-adjusted performance- Si tratta del calcolo della redditività corretta per il rischio delle singole posizioni o dei singoli desk le misure di redditività corretta per il rischio sono riconducibili a un semplice rapporto fra utile e rischio La misura di rischio può essere stimata ex-ante, come rapporto fra utile atteso e VaR corrente, e verificato ex-post, come quoziente fra utile effettivamente conseguito e valore del VaR effettivamente registrato In queste misure, il VaR è spesso chiamato anche CaR, cioè capitale a rischio Un certo ammontare di rischi deve essere fronteggiato dalla banca attraverso un uguale ammontare di capitale proprio, per assorbire le eventuali perdite senza recare pregiudizio alle ragioni dei creditori 16

17 Le applicazioni dei modelli VaR - La costruzione di misure di risk-adjusted performance In un ottica ex-post: Raroc p u i VaR VaR p p u VaR p i Raroc Per indicare misure di performance come quelle appena descritte, vengono utilizzati numerose sigle come Roc (return on capital), Raroc (risk-adjusted return on capital), Rorac (return on risk-adjusted capital), Rocar (return on capital at risk), Rarorac (risk-adjusted return on risk-adjusted capital). Le misure di risk-adjusted performance possono essere utilizzate per: compiere scelte più efficienti confrontando, ex ante, il profilo di redditività corretta per il rischio di posizioni diverse costruire un sistema di incentivi basato sul rischio connesso ad un determinato utile confrontare, ex post, la performance delle unità organizzative per determinare quale di esse stia utilizzando meglio il capitale p i u VaR Espresso come premio al rischio p 17

18 Sei falsi difetti del VaR I modelli VaR sono strumenti che non vanno considerati una panacea, capace di risolvere in modo semplice e meccanicistico il problema Prima di acquistare un software per la misurazione del VaR, è necessario costruire un adeguata base di dati (data warehouse) Senza una base di dati, si può andare incontro ad errori che non sono imputabili alla metodologia VaR, ma al modo in cui è stata implementata trascurano gli eventi eccezionali 6 falsi difetti: trascurano le relazioni di clientela si basano su ipotesi irrealistiche producono risultati fortemente divergenti amplificano l instabilità dei mercati arrivano troppo tardi, quando il danno è fatto 18

19 Sei falsi difetti del VaR - I modelli VaR trascurono gli eventi eccezionali - I modelli VaR non sono in grado di coprire l'intera gamma dei possibili eventi che un'istituzione finanziaria deve essere in grado di fronteggiare In realtà: Si trascura, ad esempio, un 1% degli scenari futuri I modelli VaR non hanno come finalità quella di rendere una banca non fallibile, ma di indicare la quantità di capitale necessaria per limitare il rischio di fallimento ad una percentuale accettabile. Il livello di confidenza usato nel calcolo del VaR può essere aumentato a piacere, così da catturare la percentuale di eventi desiderata. Un VaR al 100%, non sarebbe perö né teoricamente auspicabile, né praticamente conseguibile La banca dovrebbe finanziarsi interamente con capitale e verrebbe meno la sua funzione primaria 19

20 Sei falsi difetti del VaR - I modelli VaR trascurono le relazioni di clientela - La sua meccanica applicazione potrebbe indurre la banca a porre bruscamente termine a tutte le posizioni la cui redditività corretta per il rischio risultasse inadeguata Si cadrebbe in una visione troppo di breve termine del processo di creazione del valore in banca In realtà i modelli VaR rappresentano uno strumento a cui è naturale e necessario affiancare le valutazioni soggettive della direzione della banca Una determinata operazione, con redditività insufficiente a remunerare il capitale, potrebbe comunque essere conservata in portafoglio sulla base di una valutazione soggettiva di lungo periodo 20

21 Sei falsi difetti del VaR - I modelli VaR si basano su ipotesi irrealistiche- Se le ipotesi che sono alla base dei diversi criteri per il calcolo del VaR non sono condivisibili, esse condurranno a quantificare il rischio e ad allocare il capitale fra le diverse unità operative in modo inaffidabile In realtà ogni istituzione finanziaria sceglie di detenere un certo livello di capitale e di allocarlo alle diverse attività svolte Chi adotta un modello VaR conosce le ipotesi (talvolta discutibili) su cui esse sono basate, ma chi non dispone di un modello, procede in modo considerevolmente più opaco In ogni caso le ipotesi di un modello possono essere opportunamente modificate in presenza di condizioni particolari di mercato, o di specifiche valutazioni soggettive del management 21

22 Sei falsi difetti del VaR - I modelli VaR producono risultati fortemente divergenti - I modelli VaR sono stati criticati da alcuni ricercatori che, confrontando empiricamente i risultati prodotti dai diversi approcci, hanno riscontrato forti divergenze In realtà i risultati dei modelli VaR dipendono fortemente dall approccio utilizzato e dalle ipotesi adottate (ampiezza del campione storico, orizzonte temporale, numero di fattori di rischio etc. ), non possono essere considerati una misura univoca Se i risultati sono utilizzati per introdurre in tutte le business unit di un istituzione finanziaria limiti all operatività e misure di performance corrette per il rischio, l importante è che si utilizzino criteri omogenei per tutte le unità della banca 22

23 Sei falsi difetti del VaR - I modelli VaR amplificano l instabilità dei mercati- Se tutte le istituzioni finanziarie utilizzano il VaR, in corrispondenza di eventuali cadute dei mercati, i loro trader riceveranno probabilmente il medesimo segnale operativo In realtà: Ad esempio quando la volatilità aumenta, la massima esposizione compatibile con il limite prefissato si riduce, richiedendo di vendere un certo ammontare di titoli Le vendite generalizzate potrebbero accentuare la tendenza al ribasso i modelli VaR adottati dalle istituzioni finanziarie non sono tutti uguali e producono misure di rischio diverse in presenza di crisi di mercato è gli operatori delle diverse istituzioni finanziarie tendono ad adottare comportamenti uniformi 23

24 Sei falsi difetti del VaR - Le misure VaR arrivano troppo tardi, quando ormai il danno è fatto - Un ultima critica alle misure di VaR riguarda il ritardo con il quale esse riflettono eventuali shock di mercato e la conseguente inefficacia nel prevenire le perdite Il ritardo deriva principalmente dal fatto che i modelli VaR si fondano sulla stima della volatilità storica per la previsione della volatilità futura Esistono anche tecniche di stima basate su dati storici e tuttavia sufficientemente reattive alle condizioni di mercato più recenti In ogni caso: se un modello VaR venisse alimentato con previsioni più sofisticate si potrebbero ottenere misure capaci di anticipare eventuali crisi dei mercati L incapacità di anticipare le variazioni estreme è un limite di qualunque tecnica previsionale La finalità di un modello VaR non è anticipare i possibili crolli ma generare misure di rischio fondate su condizioni normali 24

25 Due veri difetti del VaR - La dimensione delle perdite- Il VaR consente di rispondere al seguente quesito: Qual è la perdita massima che potrebbe essere subita entro un determinato orizzonte temporale, se si eccettua una piccola percentuale, pari ad esempio all 1%, di casi più sfavorevoli? pr L VaR 1 c Ciò che conta, dunque, è la probabilità che la perdita effettiva ecceda il VaR e il modello non fornisce alcuna informazione circa la dimensione di tale eccedenza. Consideriamo ad esempio due portafogli azionari, contraddistinti dai vettori h e k Medesimo valore di mercato = 1 mln di euro Medesimo VaR giornaliero (livello di confidenza 99%) = euro Simulazione (storica o Montecarlo) con 500 osservazioni 25

26 Due veri difetti del VaR - La dimensione delle perdite- Peggiori 10 perdite su 500 Portafoglio h Portafoglio k (ordinate partendo dalla peggiore) VaR al 99% (VaR 99% ) Maximum Loss (L max ) Maximum Excess Loss (L max VaR 99% ) Maximum Excess Loss in percentuale del VaR 200% 20% (L max /VaR 99% - 1) Expected Excess Loss (E(L-VaR 99% L > VaR 99% )) Expected Excess Loss in percentuale del VaR 100% 10% Come si vede dalla tabella la perdita più consistente per il portafoglio h è euro; (supera il VaR del 200%) La perdita massima per il portafoglio k è euro (supera il VaR solo del 20%) 26

27 Due veri difetti del VaR - La dimensione delle perdite- Per h il valore atteso delle perdite superiori al VaR è euro. La perdita attesa eccedente il VaR ( expected excess loss ) è pari a , 100% del VaR Per il portafoglio k la perdita attesa eccedente il VaR è euro, il 10% del VaR A parità di VaR, i due portafogli presentano in realtà differenze significative in termini di rischio 27

28 Due veri difetti del VaR - La mancata subadditività- Il VaR non rispetta la subadditività il rischio di un portafoglio composto da più posizioni deve risultare non superiore alla somma dei rischi delle singole posizioni Per qualsiasi misura di rischio r subadditiva vale che: r( x y) r( x) r( y) Solo in alcuni casi l applicazione del VaR rispetta questa proprietà. Può quindi accadere che: VaR( x y) VaR( x) VaR( y) Ciò accade tipicamente quando la distribuzione congiunta dei fattori di mercato è caratterizzata da code spesse ed è diversa dalla normale multivariata 28

29 Due veri difetti del VaR - La mancata subadditività- Consideriamo due titoli a e b: Titolo a Titolo b Distribuzione dei valori futuri Probabilità VM T VM T 1% % % E(VM T ) 99,3 99,3 II. Valore corrente VM 0 VM 0 Valore 99,3 99,3 III. Variazioni di valore future Probabilità VM VM 1% -29,3-29,3 4% -9,3-9,3 95% 0,7 0,7 IV. Misure sintetiche E(VM) 0,0 0,0 VaR al 99% 9,3 9,3 Immaginiamo che il valore corrente dei titoli sia pari, oggi, proprio a 99,3 euro (cioè il loro valore atteso). 29

30 Due veri difetti del VaR - La mancata subadditività- Ipotizziamo che i due titoli siano detenuti da un unico investitore Supponiamo inoltre che essi siano indipendenti Dall assenza di correlazione ci si attende un effetto di diversificazione del rischio: il VaR del portafoglio comprendente a e b dovrebbe essere inferiore a 18,6 (9,3 + 9,3) euro 30

31 Due veri difetti del VaR - La mancata subadditività- Titolo a Titolo b -29,3-9,3 0,7 1% 4% 95% -29,3-58,6-38,6-28,6 1% 0,01% 0,04% 0,95% -9,3-38,6-18,6-8,6 4% 0,04% 0,16% 3,80% 0,7-28,6-8,6 1,4 95% 0,95% 3,80% 90,25% Nota: i valori in corsivo indicano le probabilità Distribuzione dei valori futuri del portafoglio comprendente i due titoli: tabella riordinata Distribuzione dei valori futuri del portafoglio comprendente i due titoli: tabella a doppia entrata Probabilità Probabilità cumulata Valore 0,01% 0,01% -58,6 0,08% 0,09% -38,6 1,90% 1,99% -28,6 0,16% 2,15% -18,6 7,60% 9,75% -8,6 90,25% 100,00% 1,4 VaR al 99% 28,6 31

32 Due veri difetti del VaR - La mancata subadditività- Riferendoci all ultima tabella della slide precedente, la riga in grigio evidenzia il primo percentile, cioè il valore che lascia alle proprie spalle l 1% (almeno) di casi peggiori Tale valore rappresenta il VaR al 99%, e risulta pari a una perdita di 28,6 euro, sensibilmente superiore alla somma dei VaR Si è quindi verificato che: VaR( a b) VaR( a) VaR( b) Questo problema, però, non si verifica se il VaR viene calcolato secondo l approccio parametrico (distribuzione normale) In questo caso, infatti, il VaR è semplicemente un multiplo z della deviazione standard 32

33 Due veri difetti del VaR - La mancata subadditività- Dalla formula della varianza di portafoglio e assumendo r1 : s 2 ab s 2 a 2 2rs as b s b s z ab s VaR s ab ab a s z VaR b s a a z VaR b s b Viene escluso così ogni possibile rischio di subadditività Quando la distribuzione empirica delle variazioni di valore assume una forma chiaramente non normale non è certo possibile adottare l approccio parametrico solo perché esso garantisce risultati subadditivi. 33

34 Una misura di rischio alternativa: l expected shortfall I problemi relativi ai modelli VaR possono essere superati ricorrendo all expected shortfall (ES) ES Valore atteso di tutte le perdite superiori al VaR Se si preferisce fare riferimento alla variazione del valore di mercato DVM: ES E VM VM Se il VaR è calcolato con riferimento alla sola componente di perdita inattesa: (E(L) = perdita attesa) o ES E ES Facendo riferimento ai valori di mercato futuri (VM) anziché loro delle variazioni DVM: ES E L L VaR E L E( L) L E( L) VaR VaR VM E( VM ) VM E( VM ) VM E( VM ) VM E( VM E ) VaR VaR 34

35 Una misura di rischio alternativa: l expected shortfall L ES dipende dal VaR prescelto come soglia anche questa misura si caratterizza per un determinato livello di confidenza e per un dato orizzonte temporale Riferendoci alla tabella della slide 25 (le prime cinque righe indicano gli scenari in cui la perdita è superiore al VaR): L expected shortfall non è che la media di queste cinque perdite: euro per il portafoglio h, e euro per il portafoglio k ES a un anno, con livello di confidenza del 99% 35

36 Una misura di rischio alternativa: l expected shortfall Considerando i due titoli a e b della slide 28: per ognuno di essi l ES a un anno, con un livello di confidenza del 99%, è pari a 29,3 euro C è infatti un unico valore di perdita superiore al VaR, che coincide con la media condizionata L ES per il portafoglio-somma a+b è 40,8 euro: Cioè la media (ponderata per le probabilità) dei valori di perdita (58,6 e 38,6) delle prime due righe della seconda tabella di slide % 0.08% ES99 % % 0.09%

37 Una misura di rischio alternativa: l expected shortfall Si può notare che l ES del portafoglio rispetta la condizione di subadditività e può essere dimostrate che questa proprietà è sempre valida per questa misura L ES è anche omogeneo di grado uno se le posizioni in portafoglio vengono scalate per una costante positiva k, anche l ES risulta moltiplicato per k L ES è funzione globalmente convessa rispetto alla composizione del portafoglio; è più facile utilizzare questa misura di rischio per la composizione di portafogli ottimi a rischio minimo Per questi motivi numerosi ricercatori e diverse istituzioni finanziarie hanno prestato maggiore attenzione all ES come indice di rischio 37

38 Una misura di rischio alternativa: l expected shortfall Il VaR è il capitale necessario per limitare a =1-c la probabilità di fallimento di una banca La differenza tra ES e VaR può essere vista come: il valore atteso del costo che le autorità di vigilanza dovrebbero sostenere per salvare la banca il premio che un assicuratore neutrale al rischio richiederebbe alla banca per un assicurazione contro il rischio di perdite superiori al VaR 38

39 I modelli per la stima della volatilità Esercizi/1 1. Una banca detiene due posizioni, rispettivamente in azioni e in titoli di Stato a lungo termine. Il portafoglio azionario vale attualmente euro ed ha un beta medio ponderato pari a 95%; i titoli di Stato hanno un valore di mercato di euro e duration modificata di 7 anni. La volatilità delle variazioni percentuali nell indice di borsa è stimata pari a 15%; la volatilità delle variazioni assolute dello yield to maturity dei titoli di Stato a 7 anni è stimata pari a 2%. Sulla base del rispettivo VaR al 99%, quale dei due portafogli è attualmente più rischioso? Di quanto? Come cambierebbe il risultato se la banca dovesse adottare un VaR al 95%? E cosa accadrebbe se, dato un VaR al 99%, la volatilità dell indice azionario dovesse aumentare dal 15% al 25%? [per risolvere questo esercizio, ricordate che N -1 (99%)2,33 e che N -1 (95%)1,64, dove N -1 (.) indica l inversa della funzione di ripartizione normale standard] 39

40 I modelli per la stima della volatilità Esercizi/2 2. Il VaR di un portafoglio costituito da due posizioni è 50 milioni di euro. In quale dei seguenti casi il VaR parametrico aumenterebbe perché una delle due posizioni è stata chiusa? I. se le due posizioni hanno segni opposti (una lunga e una corta) e sono esposte a fattori di mercato correlati negativamente tra loro; II. se i due fattori di mercato a cui sono esposte le due posizioni sono indipendenti; III.se le due posizioni hanno lo stesso segno (entrambe lunghe o entrambe corte) e sono esposte a fattori di mercato correlati negativamente tra loro; IV.il VaR parametrico non aumenta mai, perché esso garantisce la subadditività. 40

41 I modelli per la stima della volatilità Esercizi/3 3. Sulla base della seguente distribuzione di probabilità delle perdite su un portafoglio e utilizzando un livello di confidenza del 95%, calcolate il VaR (definito come la massima perdita inattesa L tale che la probabilità di incorrere in perdite inattese maggiori di L è il 5%) e il relativo expected shortfall. Segue alla slide successiva 41

42 I modelli per la stima della volatilità Esercizi/3 Probabilità Perdite, cominciando dalla peggiore 0.50% % 100 1% % % % 60 1% % % % 0 Mostrate inoltre come il VaR e l ES (sempre ad un livello di confidenza del 95%) cambierebbero se la massima perdita, anziché un miliardo di euro (come indicato nella tabella) fosse pari a 500 milioni di euro. 42