Lezione del 17 dicembre 2013 TAN E TAEG

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1 Lezione del 7 dicembre 03 TAN E TAEG Esercizio. Calcolo del TAN e TAEG Riceviamo un finanziamento di importo pari a 7500 da estinguere in rate annue al tasso annuo effettivo del 5,%. Vengono rilevate spese di istruttoria per 00 e spese di incasso rata pari a,5. Calcolare TAN e TAEG. Il TAN è pari al tasso di interesse praticato ovvero 5,%. TAEG: è il costo totale del credito a carico del consumatore espresso in percentuale annua del credito concesso. Il T.A.E.G. comprende gli interessi e tutti gli oneri da sostenere per utilizzare il credito (art. TUB). In altre parole il TAEG è il tasso che annulla il valore attuale dei flussi di cassa che comprendono la quota capitale, la quota interessi e tutte le altre spese sostenute. Nota bene: Sia il TAN che il TAEG sono due TIR. Si differenziano l'uno dall'altro per il tipo di flussi di cassa che prendono in considerazione. Calcoliamo la rata che dobbiamo pagare per estinguere il debito in anni al tasso del 5,% i:=0.05; i := 0.05 () rata := 7500 i K K rata := () Alla scadenza 0, riceviamo 7500 euro meno i 00 euro relativi alle spese di istruttoria, ovvero abbiamo un flusso di cassa positivo pari a 7400 euro. Alle scadenze e paghiamo la rata e le spese di incasso ovvero abbiamo un flusso di cassa negativo pari a 4044, 97+,5. Di conseguenza, il TAEG è il tasso interno di rendimento (T.I.R.) della seguente operazione finanziaria Progetto_C:=matrix(,3,[0,,, ,-( ),- ( )]); Progetto_C := (3) 7400 K K In altre parole il TAEG è il tasso che annulla il valore attuale dei flussi di cassa del progetto C C C.5 REA := 7500 K 00 K K C taeg C taeg : soluzioni_rea_0:=solve(rea=0,taeg); soluzioni_rea_0 := , K (4)

2 Il TAEG del progetto è pari a 6,8%5,%. Esercizio. Riceviamo un finanziamento di importo pari a 3000 da estinguere in 60 rate mensili al tasso nominale annuo converibile mensilmente del j =7%. Vengono rilevate spese di istruttoria per 70 e spese notarili 50 da pagare alla stipula del contratto; inoltre insieme alla rata vengono pagati per spese di incasso. Calcolare TAN e verificare che il TAEG è pari a Il TAN è pari al tasso di interesse nominale annuo convertibile mensilmente. Abbiamo rate mensili e quindi, dal tasso nominale del 7% dobbiamo ricavare il tasso mensile e successivamente il tasso annuo effettivo equivalente al tasso mensile. Ovvero: i := 0.07 i := (5) TAN := 0.07 TAN := 0.07 (6) TAEG: è il costo totale del credito a carico del consumatore espresso in percentuale annua del credito concesso. Il T.A.E.G. comprende gli interessi e tutti gli oneri da sostenere per utilizzare il credito (art. TUB) In altre parole il TAEG è il tasso che annulla il valore attuale dei flussi di cassa che comprendono la quota capitale, la quota interessi e tutte le altre spese sostenute. Determiniamo gli effettivi flussi di cassa dell'operazione, a partire dal calcolo della rata. rata := 3000 i K K60 rata := (7) I flussi di cassa dell'operazione sono i seguenti: - al tempo 0 riceviamo il finanziamento di 3000 diminuito delle spese di istruttoria e delle spese notarili; - ad ogni mese paghiamo la rata di 633,64 euro più le spese di incasso di euro. Il progetto finanziario può essere descritto nel seguente modo: Progetto_C:=Matrix(,7,[[0,,,a,a,a,60],[ ,- ( ),-( ),a,a,a,-( )]]): a := `..`: Progetto_C; K K K restart: Calcoliamo il REA dell'operazione finanziaria a cui si riferisce il TAEG REA := 3000 K 70 K 50 K C K : i K60 (8) Il TAEG è il tasso annuo equivalente al tasso mensile che annulla il REA. Sapendo che il TAEG = , troviamo il tasso mensile equivalente TAEG_ := C K

3 TAEG_ := (9) Per verificare che il TAEG sia effettivamente pari a , sostituiamo il tasso mensile ad esso equivalente nella fornula del REA. REA_T:=subs(i[]= ,REA); REA_T := (0) Il famoso tasso zero. Voglio acquistare un notebook al prezzo di 60. Ho la possibilità di pagare il bene in rate mensili da 05: il rivenditore espone un T.A.N. dello 0,00%. Spese di istruttoria: 50,00; spese incasso rata e comunicazioni: /rata. Calcoliamo il TAEG Flussi_di_cassa_operazione_per_TAEG:=Matrix([[0,,,a,],[00-50, -(Rata+),-(Rata+),a,-(Rata+)]]): a := `..`: Flussi_di_cassa_operazione_per_TAEG;.. 50 KRata K KRata K.. KRata K () Rata:=60/; Rata := 05 restart: REA:=(60-50)-(05+)*(-(+i[])^(-))/i[]; 07 K REA := 0 K i () (3) evalf(solve(rea=0,i[])): Risolvendo l'equazione si ha: i=0, Il TAEG è il tasso annuo effettivo equivalente a al tasso mensile che annulla il valore attuale dei flussi di cassa. i:=( )^()-; i := (4) TAEG i=,68%!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Esercizio: Per l'acquisto di una bicicletta da corsa del valore di 3050 euro, ci viene proposta la seguente forma di finanziamento: spese di istruttoria pari a 50 euro da pagare immediatamente, 4 rate costanti mensili immediate posticipate annuali al tasso nominale annuo convertibile mensilemente j= e spese di incasso sulle rate pari a euro. a) calcolare l'importo della rata b) verificare che il TAEG dell'operazione è pari a 9, % Soluzione: Determino il tasso mensile effettivo applicato per determinare gli interessi da corrispondere i[]:= /; i := (5) Il TAN è il tasso annuo nominale convertibile mensilmente equivalente al tasso mensile precedentemente determinato.

4 TAN := i $ Il TAN è pari a 6,78%. Determino l'importo della rata TAN := (6) Rata := 3050 i K K4 Rata := (7) Il TAEG è un tasso annuo, mentre la periodicità della rata è mensile. Di conseguenza il valore attuale dei flussi di cassa deve essere calcolato usando un tasso mensile. Il TAEG è il tasso annuo effettivo equivalente al tasso mensile effettivo che annulla il valore attuale dei flussi di cassa. In base a quanto detto, calcolo il tasso mensilo equivalente al TAEG tasso_mensile := C K tasso_mensile := (8) Il tasso mensile che annulla il valore attuale dei flussi di cassa, soddisfa la seguente equazione K C K _m REA := 3050 K 50 K : i_m Sostituendo a i_m il valore del tasso mensile equivalente al TAEG (ovvero ) si ha REA=0 ( a meno di errori determinati dagli arrotondamenti) e quindi abbiamo verificato che il TAEG= 9, %. Infatti subs(i_m=tasso_mensile,rea); (9) Esercizi su TAN e TAEG tratti dai compiti di esame Esercizio 7 del 5/0/0 Riceviamo un finanziamento di 5000 euro da rimborsare in rate semestrali costanti immediate posticipate, al tasso effettivo annuo i=4%. a) Calcolare la rata. b) Tenuto conto ) che le spese di instruttoria e notarili sono complessivmente di 0 euro e che tale somma deve essere versata all'atto della stipula del contratto; ) che le spese per l'incasso di ogni rata sono di euro, determinare il TAN e il TAEG. Trovo il tasso semestrale i := C 0.04 K (.)

5 i := (.) Calcolo rata Rata := 5000 i K K Rata := A:=Matrix([[0,,],[5000,-Rata,-Rata]]); A := 5000 K K REA_A:=A[,]+A[,]*(+i)^(-)+A[,3]*(+i)^(-); REA_A := 5000 K K tir_semestrale:=solve(rea_a=0,i); tir_semestrale := , K j:=tir_semestrale[]*; j := (.) (.3) (.4) (.5) (.6) Il TAN è j ovvero j:=i*; j := (.7) Per il calcolo del TAEG costruisco l'operazione finanziaria i cui flussi di cassa tengono conto di tutte le spese A:=Matrix([[0,,],[5000-0,-(Rata+),-(Rata+)]]); A := (.8) 4980 K K Il TAEG è il tasso annuale equvalente al Tir (semestrale) del progetto finanziario A, ovvero è il tasso che annulla il REA di A. REA_A:=A[,]+A[,]*(+i)^(-)+A[,3]*(+i)^(-); REA_A := 4980 K K (.9) semestrale:=solve(rea_a=0,i); semestrale := , K (.0) Determino il tasso annuo equivalente al tasso semestrale TAEG:=( e-)^-; TAEG := (.) Esercizio 6 del 4/07/0 Per l'acquisto di un viaggio alle isole Figi del valore di 5800 euro, ci viene proposto un finanziamento di pari importo, da rimborsare mediante 36 rate costanti, posticipate mensili. a) Sapendo che il TAN applicato è pari a j =3% calcolare l'importo della rata del finanziamento. b) Vengono richieste:

6 - spese di istruttoria e spese legali pari a 80 euro da pagare immediatamente; - spese di incasso rata pari a,5 euro. Verificare che il TAEG dell'operazione è pari a: 4,605679%. i:=0.03/; i := rata:=5800*i/(-(+i)^(-36)); rata := (.) (.) Il TAEG è il tasso annuo effettivo equivalente al tasso mensile (TIR mensile) che annulla il valore attuale dell'operazione finanziaria costituita dai seguenti flussi di cassa Progetto_C:=Matrix(,7,[[0,,,a,a,a,48],[ ,-(rata+.5),- (rata+.5),a,a,a,-(rata+.5)]]): a := `..`: Progetto_C; (.3) 570 K K K Imposto il REA REA:=570-(rata+.5)*(-(+i)^(-36))/i; REA := 570 K K Calcolo il tasso mensile equivalente al TAEG che costituisce il TIR tir_mensile:=( )^(/)-; tir_mensile := i 36 (.4) (.5) Se il TAEG è pari al 4,605679%, allora il tir_mensile è il tasso che annulla il REA. Infatti REA_calcolato:=subs(i=tir_mensile,REA); REA_calcolato := (.6) Esercizio 5 del 5/09/0 Per l acquisto di uno scooter del prezzo di euro vengono proposti i due seguenti finanziamenti: a) 700 euro al momento dell acquisto, più due rate annuali immediate posticipate di 60 euro, senza alcuna spesa iniziale di istruzione della pratica di finanziamento e senza alcuna spesa obbligatoria al pagamento delle rate; b) 000 euro al momento dell acquisto, più due rate annuali immediate posticipate di 600 euro, con 00 euro di spese iniziali di istruzione della pratica di finanziamento e 0 euro di spese obbligatorie al pagamento delle rate. Calcolare il TAN ed il TAEG delle due proposte di finanziamento e dire quale è la più conveniente, motivando opportunamente la risposta. Svolgimento I flussi di cassa relativa all'alternativa a sono i seguenti alternativa_a:=matrix([[0,,],[ ,-60,-60]]): alternativa_a; (3.) 300 K60 K60

7 In questo caso il TAN ed il TAEG sono uguali e pari al TIR dell'operazione finanziaria indicata sopra. Di conseguenza REA_a:=300-60/(+i)-60/(+i)^; REA_a := 300 K 60 (3.) K 60 Risolvendo l'equazione REA=0 si ha che il TAN ed il TAEG sono pari a TAN_TAEG:=solve(REA_a=0,i): evalf(tan_taeg[]); I flussi di cassa relativi all'alternativa b) per il calcolo del TAN sono alternativa_b:=matrix([[0,,],[3000,-600,-600]]): alternativa_b; 3000 K600 K600 Il TAN è il tir dell'operazione finanziaria indicata sopra. Calcolo il REA REA_b_TAN:= /(+i)-600/(+i)^; REA_b := 3000 K 600 K 600 Risolvendo l'equazione REA=0 si ha che il TAN è pari a TAN_TAEG:=solve(REA_b_TAN=0,i): evalf(tan_taeg[]); Il TAEG ed il TAN dell'alternativa a) sono pari al 4,44% I flussi di cassa relativi all'alternativa b) per il calcolo del TAEG sono alternativa_b:=matrix([[0,,],[900,-60,-60]]): alternativa_b; 900 K60 K60 Il TAN è il tir dell'operazione finanziaria indicata sopra. Calcolo il REA REA_b_TAEG:=900-60/(+i)-60/(+i)^; REA_b_TAEG := 900 K 60 K 60 Risolvendo l'equazione REA=0 si ha che il TAN è pari a TAN_TAEG:=solve(REA_b_TAEG=0,i): evalf(tan_taeg[]); (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) Il TAEG dell'alternativa b) è pari al 7,7%. Conviene l'alternativa a).