Radicali. Esistenza delle radici n-esime: Se n è pari: ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R.

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1 Radicali Radici quadrate Si dice radice quadrata di u umero reale a, e si idica co a, il umero reale positivo o ullo (se esiste) che, elevato al quadrato, dà come risultato a. Esisteza delle radici quadrate: Ogi umero reale positivo o ullo ha esattamete ua radice quadrata i R. Esempio: = Ogi umero reale egativo o ammette radice quadrata i R perché o esiste essu umero che elevato a dia u valore egativo. Esempio: o esiste Radici cubiche Si dice radice cubica di u umero reale a, e si idica co reale che, elevato al cubo, dà come risultato a. a, il umero Esisteza delle radici cubiche: Ogi umero reale ha esattamete ua radice cubica i R. Esempio: 8=, 8= Radici -esime Sia u umero aturale diverso da zero; si defiisce radice -esima di u umero reale a (se esiste) e si idica co il simbolo a : se è pari: il umero reale positivo o ullo che, elevato a, dà come risultato a se è dispari: il umero reale che, elevato a, dà come risultato a Il simbolo è detto sego di radice -esima Il umero a è detto radicado Il umero è detto idice del radicale. Nel caso di = l'idice viee ormalmete omesso Esisteza delle radici -esime: Se è pari: ogi umero reale o egativo (cioè positivo o ullo) ha esattamete ua radice -esima i R. Esempio: 6= ogi umero reale egativo o ammette radici -esime i R perché o esiste essu umero che elevato ad u umero pari dia u valore egativo. Esempio: Se è dispari: ogi umero reale ha esattamete ua radice -esima i R. Esempio: 6 o esiste 5 = ; 5 = Riduzioe allo stesso idice e semplificazioe Proprietà ivariativa dei radicali: Cosideriamo u radicale il cui radicado è positivo o ullo. Moltiplicado l'idice del radicale e l'espoete del radicado per uo stesso umero aturale diverso da zero si ottiee u radicale equivalete a quello

2 origiario. I simboli: a m è equivalete a p a mp per ogi a 0 e per ogi,m,p apparteeti a N -{0} Riduzioe di più radicali allo stesso idice Si applica la proprietà ivariativa. Per ridurre allo stesso idice si determia il m.c.m. tra gli idici e si moltiplica idice del radicale ed espoete del radicado per il quoziete tra m.c.m. e idice del radicado. 8 Esempio: se si hao i radicali 5 e 5 il m.c.m.(,8)=6, quidi si divide 6 per (per il primo radicale) e si ottiee e quidi il primo radicale è equivalete a 5 6 = 5. 8 Per il secodo radicale si divide 6 per 8 e si ottiee 5 = 6 5 La riduzioe di due radicali allo stesso idice può essere utile ella divisioe e moltiplicazioe di radicali e per cofrotare radicali co idici diversi. Semplificazioi di radicali Si applica la proprietà ivariativa al cotrario, ossia si determia se il radicado e l'idice del radicale hao u divisore i comue e si dividoo etrambi per tale valore. Esempio, 5 7 = 5 = 5 Prodotto, quoziete, elevameto a poteza di radicali Prodotto e quoziete Nell'ipotesi che siao verificate le codizioi di esisteza dei radicali a e b valgoo le segueti proprietà:. a b = a b co apparteete a N-{0}. a b = a b co apparteete a N-{0} e b 0 Poteza di u radicale Nell'ipotesi che siao verificate le codizioi di esisteza dei radicali preseti,vale la seguete proprietà: a m = a m co,m apparteeti a N-{0} Trasporto sotto e fuori dal sego di radice Trasporto sotto il sego di radice SI tiee coto della seguete catea di uguagliaze (si suppoe che A 0 ): A B= A B= A B Esempio: = = = Se A<0 bisoga distiguere il caso di pari e dispari: se è dispari si opera come visto precedetemete, come se il fattore fosse positivo

3 se è pari bisoga lasciare fuori dalla radice il sego meo e portare detro la radice il valore assoluto di A Esempio: = = 8 Trasporto fuori dal sego di radice A volte è utile effettuare l'operazioe cotraria a quella appea vista. Se si tratta di ua radice quadrata, occorre scomporre il radicado idividuado i fattori che soo dei quadrati perfetti, e i questo caso possoo essere trasportati fuori dalla radice. Se si tratta di ua radice cubica si idividuao, ivece, i cubi perfetti. I caso di radice -esima si idividuao le poteze -esime. Esempio: 6= 8 = 8 = Addizioi e sottrazioi di radicali ed espressioi irrazioali Addizioi e sottrazioi I geerale: a b ab a b a b Se ci soo radicali che hao lo stesso idice e lo stesso radicado si possoo mettere i evideza. Esempio: 5 5= 5=5 5 Espressioi irrazioali Soo espressioi umeriche o letterali i cui soo preseti dei radicali. Per semplificare u'espressioe irrazioale bisoga applicare opportuamete le proprietà e le regole viste fio ad ora. Esercizi svolti:. Riduci al miimo idice comue i segueti radicali: ; ; 0 Svolgimeto: Il m.c.m.(,,)=, quidi: 6 6 = 6 ; = ; 0 = 0. Semplifica, se possibile, i segueti radicali: a) 8 ; 5 6 ; ; 6 6 Svolgimeto: devo cercare di esprimere i radicadi come poteze che abbiao u espoete divisore dell'idice del radicale

4 a) 8= = 6 = = 5 = 5 = 5 = = 5 = 5 6 6= 6 = 6. Semplifica i segueti radicali: a) 0: ; 8 : ; 8 ; 00 : Svolgimeto: a) 0: = 0:=0 8 : = 8 := 8 = 6 = 8 = 8 =6=6 00 : = 00 : = 00 = 00 = 0. Trasporta sotto il sego di radice i fattori esteri: a) ; Svolgimeto: 8 ; a) = = = 7 8= 8= 8= = = = 9 5. Trasporta fuori dal sego di radice tutti i fattori possibili:

5 a) ; 00 ; ; 8 80 Svolgimeto: devo cercare di esprimere i radicadi come prodotti i cui compaia u fattore che sia poteza co idice uguale a quello del radicale a) =6 =6 = 00=00 =00 =0 =0 = 6 = 6 = 8 80 = = Semplifica le segueti espressioi: a) Svolgimeto: a) 87 6 = = = 6 5 = = = = 7